基于观测器的混沌系统的同步及应用

摘要

对混沌现象的认识是非线性科学最重要的成就之一。随着对混沌现象研究的不断深入，混沌控制成为这一领域的前沿课题。混沌同步属于混沌控制的范畴，近年来混沌同步己成为混沌研究的重要内容。

自Pecora 和Carroll 提出混沌同步概念, 并首次观测到混沌同步的现象后, 混沌同步的理论研究便得到了极大发展. 实现混沌同步策略称为驱动响应方法，目前, 已提出的混沌系统同步方法有多种，如线性耦合、变量反馈微扰、自适应方法、观测器同步方法等。其中观测器方法的同步更易于工程实现, 因此得到了更多的关注。且基于观测器的同步方法，不需要计算同步的条件Lyapunov 指数，同时，同步的两个混沌系统也不需要初始状态处于同一吸引域。

本文在综合学习和研究大量文献的基础上，基于状态观测器的方法，在随机扰动存在的情况下对混沌系统同步进行研究。从混沌的概念谈起，再到混沌系统的观测器设计，最后通过lunberger 型和一般型对混沌系统的同步研究进行深入地探讨。

关键词：混沌系统，观测器，同步及应用

Abstract

The recognization about the chaotic appearance is a most important achievement in the nonliner science. In recent years, with the development of the information processing particularly in the security communications the chaotic system, the study of chaotic systems, particularly, the synchronization of chaotic systems research has played an increasing role in these areas. Nowdays, the chaotic system synchronization methods are varied, such as adaptive methods, neural networks, Observer synchronization methods and so on. It is because that the synchronization method works is easy to apply in the project, meanwhile. Observer-based synchronization method doesn’trequire the computation of the condition for synchronous Lyapunov exponent, and Synchronization of two chaotic systems do not need to initial state at the same attraction.

This paper is based on the comprehensive study of the extensive literature and a lot of related information. We started from the chaos concepts, then the design of chaotic systems, at last we made it from the lunberger style and common style of the nonliner observer of chaotic system for further reaserch.

Key words:Chaos, Observation, Synchronization and Application.

摘要........................................................................................................................... I Abstract ....................................................................................................................II

1.绪论....................................................................................................................... 1

1.1混沌的起源和发展..................................................................................... 1

1.2混沌定义及其特征...................................................................................... 3

1.2.1混沌定义.......................................................................................... 3

1.2.2混沌的相关概念...............................................................................4

1.2.3混沌的基本特征...............................................................................5

1.3混沌控制和同步研究概况..........................................................................6

1.4混沌在保密通信中的应用..........................................................................8

1.5一些著名的混沌系统................................................................................. 9

2.状态观测器及其设计.......................................................................................... 11

2.1线性系统的状态观测器设计.................................................................... 11

2.2非线性系统的观测器设计........................................................................14

3.基于Lunberger 型状态观测器的同步及仿真....................................................16

3.1基于lunberger 型状态观测器的同步设计..............................................16

3.2仿真实验....................................................................................................19

4.基于一般型状态观测器的混沌同步及仿真........................................................24

4.1一般型非线性状态观测器同步................................................................ 24

4.2基于一般型状态观测器的反馈控制器设计..............................................25

4.3仿真实验...................................................................................................27

致谢.........................................................................................................................31

参考文献................................................................................................................. 32

附录.........................................................................................................................33

绪论1. 1.绪论

1.1混沌的起源和发展

混沌是自然界及人类社会中的一种普遍现象，它是在一个确定性系统中出现的一种貌似不规则的、内在的随机性运动，展示了事物的复杂性。混沌实际上并不“混”，既非纯粹的“无序”，又非纯粹的“有序”，而是两者的统一，即有序与无序的统一，确定性与随机性的统一，具有内在的规律性和普适性，内部包含着丰富的信息资源及可开发应用的潜能。

混沌是普遍存在的复杂运动形式，混沌理论和混沌现象是非线性学研究中最重要的组成部分之一。混沌科学的倡导者之一的M.Sblesinger 、物理学家J.Ford 等认为混沌是20世纪物理学上继相对论和量子力学的第三次大革命。

对混沌的研究，可以追溯到18世纪末。当时，法国数学家Poincare 在研究三体运动时，得出了双重解，这种极其复杂的解便是混沌的雏形。后来，他把动力学系统和拓扑学两大领域结合起来，提出了Poincare 猜想，提出了混沌存在的可能性。然而，由于当时条件的限制，他的预言未引起人们的重视。直到1963年，美国气象学家Lorenz E. 对描述大气对流模型中的一个完全确定的三阶常微分方程组进行数值模拟时，发现在某些条件下可出现非周期的无规则行为。这一结果解释了长期天气预报始终没有获得过成功的内在机理是因为确定性动力系统中存在有混沌运动。他在《Journal of the Atmosphere Science 》上发表了“确定性的非周期流”一文，指出气候不能精确重演与长期天气预报者无能为力之间必然存在着一种联系，这就是非周期性与不可预见性之间的联系。同时清楚地描述了“对初值条件的敏感性”这一混沌的基本性态，这就是著名的“蝴蝶效应”。与此同时，Samle S. 证明了著名的Samle 马蹄映射具有奇异不变集这一结论，它在混沌研究中起了重要作用。此后，关于混沌的研究便迅速展开。

20世纪70年代，科学家们开始考虑在许多不同种类的不规则之间有何联系。生理学家发现，在人类的心脏中存在着混沌现象，这其中有惊人的有序性。生物学家在探索着树蛾群体的减少和增多的规律。因此，70年代是混沌科学发展史上光辉灿烂的年代。1971年，Ruelle D. 和Takens F. 提出了奇异吸引子的概念。1975年华人学者李天岩和美国数学家Yorke J.A. 在《American Mathematics 》

杂志上发表了“周期三意味着混沌”的著名论文，给出了闭区间上连续自映射的混沌定义，深刻揭示了从有序到混沌的演变过程。也正是在这篇论文中，他们首先使用了“Chaos ”这个名词，并被后来的学者普遍接受。1976年，美国生物学家May R.M. 在《Nature 》杂志上发表了“具有极复杂动力学的简单数学模型”一文，它向人们表明了混沌中惊人信息，即简单的确定论数学模型竟然也可以产生看似随机的行为。1977年，第一次国际混沌会议在意大利召开，标志着混沌科学的诞生。1978年，美国物理学家Feigenbaum M.J. 在《Journal of the Statistical Physics 》杂志上发表了题为“一类非线性变换的定量普适性”的论文，引发现了倍周期分叉通向混沌的两个普适性常数而轰动世界；这是一个了不起的发现，具有里程碑的意义，正是关于普适性的研究确定了混沌科学的坚固地位。在60年代到70年代这一时期中做出重要贡献的还有Arnold V.I. 、Melnikov V.K. 、Kolmogorov ，A.N. 和Moser J. 等学者。

进入80年代，关于混沌的研究得到了进一步发展。混沌研究已发展成为一个具有明确的研究对象和基本课题、独特的概念体系和方法论框架的学科。随着相关理论的不断完善，有关混沌的研究也更加的深入。有关非线性系统中混沌、混沌产生的机制、产生混沌的系统仍是研究的热点问题之一。1980年，美国数学家Mandelbrot B.B. 用计算机绘出了第一张Mandelbrot 集的图像。后来，德国教授Peitgen H.O. 和Richter P.H. 共同研究分形流域的边界，做出了绚丽无比、精美绝伦的混沌图像，使混沌图像成为精致的艺术品，拓展了混沌科学的一个重要领域。从那时起，Mandelbrot 集便成为混沌的一种国际标志。1983年，加拿大物理学家Grassberger P. 在《Physics 》杂志上发表了著名论文“计算奇异吸引子的奇异程度”，开创了计算时间序列维数的热潮。1984年，中国著名混沌学家郝柏林编辑的《Chaos 》一书在新加坡出版。1985年，凌复华将信息熵引申为“在混沌运动中，信息在其自身内部产生，当积累到一定程度时会破坏运动的可预见性”。1986年，中国第一届混沌会议在桂林召开，为我国广泛开展混沌科学研究起到了促进作用。同年，中国学者徐京华在世界上第一次提出了三种神经细胞的复合网络，并证明了其中混沌的存在。

到了90年代，混沌理论与其它科学广泛渗透，它包括哲学、数学、物理、化学、电子技术、信息科学、天文学、气象学、经济学，乃至音乐、艺术等领域。

特别值得强调的是，在我国1991~1995年的国家攀登计划关于“非线性科学”重要项目中，混沌研究列于30个项目中的第四位，充分说明了我国科学技术界对混沌科学的重视程度。随着对混沌研究的不断深入，人们开始研究利用混沌。20世纪90年代以来，国际上混沌的控制与同步有了突破性的进展，并激起理论与应用研究的蓬勃发展，使混沌的应用出现了契机，为人们展示了诱人的前景。深入开展关于混沌理论的研究与应用，必将会推动当代科学技术的迅速发展。

在航空航天中，NASA 的科学家使用非常小量的残余氢液燃料把一个ISEE-3/ICE飞行装置送到约8000km 之外，从而首次实现了科学彗星对接。它利用天体力学中三体问题对微小扰动的极端敏感性，而这在非混沌系统中是不可能的，因为那种系统需要巨大的控制能量才能获得巨大的功效。

混沌中蕴含着有序，而有序的过程也会出现混沌。大自然就是如此错综复杂，包含着无穷的奥秘。因此，对混沌科学的进一步研究将使我们对大自然增加更深刻的理解。

1.2混沌定义及其特征

1.2.1混沌定义

混沌第一次作为确定非线性动力系统中出现的类似随机不确定输出于1975年由李天岩和J.A.Yorke 在文献中给出，并形成了“混沌”的专门定义。它是一种关于过程的科学，而不是关于状态的科学，是演化的科学，不是超存在的科学。混沌揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性、有序与无序的统一、确定性与随机性的统一。

(1)L i-Yorke 意义下的混沌定义

1975年，李天岩(LiT-Y) 和约克(J·A ·Yorke) 在“周期3意味着混沌”一文中首先给出混沌的数学定义，称为Li-Yorke 定义，叙述如下：

区间I 上的连续自映射f(x), 如果满足下面条件，便可以确定它有混沌现象：①f 的周期点无上界；

②闭区间I 上存在不可数子集S ，满足：

(i)对任意x,y ∈S ，且x≠y时, lim sup f n (x )−f n (y )>0；n →∞

(ii)对任意x,y ∈S , lim inf f n (x )−f n (y )=0；n →∞

(iii)对∀x ∈S 和f 的任意周期点y ,有lim sup f n (x )−f n (y )>0。n →∞

这里f n (i )=f (⋯f (i ))表示n 重函数关系。

即存在一个周期为3的周期点时，就一定存在任何正整数的周期点。

(2)Devancy意义下的混沌定义

1989年，R ·L ·Devancy 给出了混沌的另一定义：

设V 是一个度量空间(欧氏空间) ，映射f:V→V , 如果满足下面三个条件，便称f 在V 上是混沌的：

①对初始条件敏感依赖：存在δ>0，对∀x ∈V 和∀x 的I 邻域内，存在y 和自然数n ，使得d (f n (x ), f n (y ))>δ。

这说明混沌的映射具有不可预测性，如果初值具有一极微小的变化，在短时间内的结果还可以预测，但通过长时间的演化后，它的状态根本无法确定，即差之毫厘，失之千里，这就是著名的“蝴蝶效应”。

②拓扑传递性：对V 上任意，对开集U 、V ，存在k>0,f (k )(U )∩V ≠φ。拓扑传递意味着任一点的邻域在f 的作用之下将“遍撒”整个度量空间V ，这说明f 不可能细分或不可能分解为两个在f 下不相互影响的子系统

③f 的周期点在V 上稠密。

表明了系统具有很强的确定性和规律性，绝非混乱一片，形似混乱实则有序，这正是混沌的耐人寻味之处。

除上述对混沌的定义之外，还有诸如Smale 马蹄、横截同宿点、拓扑混合以及符号动力系统等定义。从事不同领域研究的科学家都是基于各自对混沌的理解进行研究并谋求各自的应用。

1.2.2混沌的相关概念

相空间:在连续动力系统中,用一组一阶微分方程描述运动,以状态变量(或状态向量)为坐标轴的空间构成系统的相空间。系统的一个状态用相空间的

一个点表示,通过该点有唯一的一条积分曲线。

混沌运动:是确定性系统中局限于有限相空间的高度不稳定的运动。所谓轨道高度不稳定,是指近邻的轨道随时间的发展会指数地分离。由于这种不稳定性,系统的长时间行为会显示出某种混乱性。

不动点:又称平衡点、定态。不动点是系统状态变量所取的一组值,对于这些值系统不随时间变化。在连续动力学系统中,相空间中有一个点x 0, 若满足当t →∞时,轨迹x (t)→x 0, 则称x 0为不动点。

吸引子:指相空间的这样的一个点集s (或一个子空间),对s 邻域的几乎任意一点,当t →∞时所有轨迹线均趋于s, 吸引子是稳定的不动点。

奇异吸引子:又称混沌吸引子,指相空间中具有分数维的吸引子的集合。该吸引集由永不重复自身的一系列点组成,并且无论如何也不表现出任何周期性。混沌轨道就运行在该吸引集中。

分叉和分叉点:又称分岔或分支。指在某个参数或某组参数发生变化时,长时间动力学运动的类型也发生变化。这个参数值(或这组参数值)称为分叉点,在分叉点处参数的微小变化会产生不同性质的动力学特性,故系统在分叉点处是结构不稳定的。

1.2.3混沌的基本特征

不管对混沌的各种定义有何区别，混沌的本质特征是相同的，综合起来有以下几点：

(1)混沌具有有界性

混沌是有界的，它的运动轨迹始终局限于一个确定的区域，这个区域称为混沌吸引域。无论混沌系统内部多么不稳定，它的轨线都不会走出混沌吸引域。所以从整体上来说混沌系统是稳定的。

(2)混沌具有内在随机性

一定条件下，如果系统的某个状态可能出现，也可能不出现，该系统被认为具有随机性。一般来说当系统受到外界干扰时才产生这种随机性，一个完全确定的系统（能用确定的微分方程表示）在不受外界干扰的情况下其运动状态也应当

是确定的，即是可以预测的。不受外界干扰的混沌系统虽能用确定微分方程表示但其运动状态却具有某些“随机”性，那么产生这些随机性的根源只能在系统自身，即混沌系统内部自发的产生这种随机性。当然混沌的随机性与一般随机性是有很大区别的。天体力学的平面三体问题很好的说明了这种内随机性。当用计算机计算一个小质量天体m 在两个等量大天体M 1，M 2所在平面的垂线上运动时，来回摆动若干饮以后，m的行为变得随机起来，人们再也无法预测它的位置、速度及回归时间。混沌的内随机性实际就是它的不可预侧性，对初值的敏感性造就了它的这一性质。同时也说明混沌是局部不稳定的。

(3)混沌具有分维的性质

分维性是指混沌的运动轨线在相空间中的行为特征。混沌系统在相空间中的运动轨线在某个有限区域内经过无限次折叠，不同于一般确定性运动，不能用一般的几何术语来表示，而分数维正好可以表示这种无限次的折叠。分维性表示混沌运动状态具有多叶、多层结构，且叶层越分越细，表现为无限层次的自相似结构。

(4)混沌具有标度性

是指混沌运动是无序中的有序态。其有序可以理解为：只要数值或实验设备精度足够高，总可以在小尺度的混沌区内看到其中有序的运动花样。

(5)混沌现象具有对初始条件的敏感依赖性

只要初始条件稍有差别或微小扰动，就会使系统的最终状态出现巨大的差异。因而，混沌系统的长期演化行为是不可预测的。

(6)混沌具有遍历性

混沌运动在其混沌吸引域内是各态历经的，即在有限时间内混沌轨道经过混沌区内每一个状态点。

1.3混沌控制和同步研究概况

随着对混沌系统认识的不断加深，人们对混沌现象、产生机制等进一步研究的同时，逐步转向混沌应用的研究。特别是混沌同步与混沌控制概念的提出，奠定了混沌应用的基础，使混沌同步与混沌控制有了较大的发展，并为人们展示了十分诱人的应用前景。

混沌控制的概念由美国马里兰大学的物理学家E.Ott,C.Grebogi 和J.A.Yorke 提出，其控制方法称为OGY 方法。由于混沌具有对初值敏感依赖性和长时间发展的不可预测性，混沌控制就成为混沌由理论走向应用的关键。混沌控制包混沌的控制与诱导，由于混沌系统及混沌现象的奇异性和复杂性至尽尚未为人们所彻底了解，控制具有“确定的随机性”及“非线性的复杂性”的系统——混沌系统是一件十分诱人又富有挑战性的工作。随着对混沌控制的深入研究，国际上混沌控制的方法和其实验的研究都得到了迅速发展。

实际上，实现混沌控制的机理都是变原来正的李亚普洛夫指数为负值，或附加控制因素后使系统具有负的李亚普洛夫指数，从而实现系统的稳定控制。混沌控制目标可分为两种，一种基于混沌吸引子内存在无穷对的周期轨道，控制的目标是对其中某个不稳定周期轨道进行有效的稳定控制。该方法的特点是不改变系统原有的周期轨道。另一种控制目标的对其中某个不稳定轨道进行有效的稳定控制。该方法的特点是不改变系统原由的周期轨道。另一种控制目标则不要求不许稳定控制原统中的周期轨道，而只是通过可能的策略、方法和途径，实现有效控制，得到所需轨道即可。

混沌同步的概念最初由美国海军实验室的学者L.M.Pecorahe 和T.L.Carroll 提出，并在电子线路上首次观察到同步的现象，实现混沌同步的方法称之为Pecora-Carroll 同步方法。这一开创性的工作，极大地推动了混沌同步理论的研究，拉开了利用混沌的序幕。随后的几年里，混沌同步的应用领域也从物理学迅速扩大到化学、生物学、力学、脑科学、电子学、信息科学，保密通信等领域，由于混沌同步在工程技术上的重大价值和极其诱人的应用前景，今年来一直是非线性科学的研究热点之一。

混沌同步，意即一个系统的轨道收敛于另一系统轨道的同一值，并将一直保持相互步调一致，迄今已发现几种类型的混沌同步。第一种类型就是Pecora-Carroll 同步方案，其思想是把混沌系统分为稳定和不稳定的部分，即把具有负的条件Lyapunov 指数的稳定部分制成一个稳定系统，把响应系统与驱动系统用驱动系统中的驱动信号偶合起来，由此达到响应系统与驱动同步。近年来该类型同步已经拓宽到非混沌同步（即周期、准周期同步）及高阶级联同步。基于该方法，A.V.Oppenhim等将同步的Lorenz 系统应用与保密通信。这一研究成

果给电路系统领域的混沌应用提供了良好的开端，第二种类型的混沌同步则是两个不同混沌系统相互耦合，由Gaponov-Grekhov 及其合作者在研究流体湍流时提出的。1994年美国Roy 和oornbury 及本Srgawara、Tachikawa、Tsukamoto等人已分别独立地从实验上观察到两个混沌的激光系统达到完全同步，他们就是利用激光光强相互耦合的结果。Liu和Leite 从数值上研究了两个CO 2激光系统耦合，也达到了混沌同步。第三种类型的混沌同步是通过与时间有关的小微扰的连续反馈方法，该法首先由Pyragas 提出，他与Tamasevicius 从实验上进行了验证。第四种类型的混沌同步是由Maritan 和Banavar 发展的由噪声感应导致同步。他们证明了两个混沌系统在相同的噪声作用下，只要噪声强度足够大，则可能导致两个系统实现混沌同步。

现在同步与控制的问题通过L.Kocarev 等人的工作，合成了一个问题，即将混沌同步问题作为控制问题看待，通过施加外部控制实现一个系统同步于另一个系统。在实现混沌系统的控制和同步方面，目前也有多钟方法，例如反馈控制法，输入-状态线性化法，自适应控制法等。其中，输入-状态线性化方法是一种典型的非线性控制方法，该控制方法的基本思想是用状态变换将一个非线性系统的全部动态特性变换成线性的动态特性，从而可以应用熟知的线性控制方法。该方法能使非线性系统的所有非线性特性保持下来，没有任何近似。这种方法是通过状态变换、输入变换来实现控制，并非借助于动态特性的线性化近似。

1.4混沌在保密通信中的应用

混沌保密通信大致分为三大类：第一类是直接利用混沌进行保密通信；第二类是利用同步的混沌进行保密通信；第三类是混沌数字编码的异步通信。混沌保密通信的优点有：

(1)保密性强，因为具有宽带特性，特别是利用时空混沌增强抗破译、抗干扰能力；

(2)具有高容量的动态存储能力；(3)具有低功率和低观察性；(4)设备成本低等。

基于观测器的混沌同步保密传输系统可以使接收端经过一定的时间后和发

送端同步，接收端可以仅仅依靠传输型号重建原来的状态信息。将系统：

̇=Ax +Bf (x )+Ls ⎧⎪x ⎨T ⎪⎩y ′=C x +s

作为保密系统的发送端。这里s ∈R 为被加密信号，y ′∈R 为发送段的输出信号，也是接收端的驱动信号。

接收端采用如下状态观测器：

̇=Ax ⎧ˆˆ+Bf (x ˆ)+L (y ′−y ˆ)⎪x ⎨

ˆ=C T x ˆ⎪⎩y

ˆ=x −x ˆ，则：定义同步误差e

̇=x −x ̇=(A −LC T )e ˆˆˆ+B (f (x )−f (x ˆ))e

ˆ(t )→0是指数收敛时，有则可知当e

ˆ(t ))=lim (y ′(t )−y ˆ(t ))=lim (C T x (t )+s (t )−C T x ˆ(t ))=C T lim e ˆ(t )+s (t )=s (t )lim (s

t →∞

ˆ(t )。因此可获得恢复信号s

基于同步状态观测器的保密通信，主要利用混沌系统由初值敏感性带来的不可预见性，和内在随机性来隐藏信号，它在发送端将有用信号调制到混沌系统中去，在接受端用同步的混沌信号来解调。

1.5一些著名的混沌系统

(1)Logistic映射

X t +1=µX t (1−X t )(2)广义的Logistic 映射

⎧⎪X 2t =kX 2t −1(1−X 2t )

⎨⎪⎩X 2t +1=lX 2t (1−X 2t )(3)Hénon 映射

2⎧⎪X 1(k +1)=1.4−X 1(k )+0.3X 2(k )⎨⎪⎩X 2(k +1)=X 1(k )

(4)Lozi映射

⎧⎪X 1(k +1)=3−1.8X 1(k )+X 2(k )⎨⎪⎩X 2(k +1)=0.25X 1(k )(5)Lorenz系统

•⎧X

⎪1=−10X 1+10X 2⎪•

⎨X 2=28X 1−X 2−X 1X 3⎪•

⎪X 3=X 1X 2−X 3⎩3

(6)Rössler系统

⎧•

⎪X 1=−X 2−X 3⎪•

⎨X 2=X 1+0.2X 2⎪•

⎪X 3=0.2+X 1X 3−5X 3⎩(7)Chua电路

•⎧X

⎪1=(10−X 1−X 2−f (X 1))⎪⎪•

⎨X 2=X 1−X 2+X 3⎪•

⎪X 3=−14.87X 2⎪⎩

F (X 1) =−0.68X 1−0.295(X 1+1−X 1−)(8)Chen系统

•⎧X

⎪1=35(X 2−X 1)⎪•

⎨X 2=7X 1−X 1X 3+28X 2⎪•

⎪X 3=X 1X 2−3X 3⎩

2.状态观测器及其设计

状态观测器就是一个在物理上可以实现的动力系统，其在被观测系统的输入输出信号的驱动下，产生一组输出，使得该输出能够很好地逼近于被观测系统的状态变量输出。要构造非线性状态观测器状态需要满足可观性。对线性系统，观测器设计理论已较成熟。非线性系统的状态观测器的设计问题要复杂的多。

2.1线性系统的状态观测器设计

实际中通过直接测量得到所有状态变量是很少见的，但大多数情况下确实需要可靠估计出不可测量的状态变量，尤其是在基于模型控制器的综合及过程监控的场合。为了解决这一特殊任务，需要用到状态观测器来精确重构出不可测量的状态变量。对线性系统，观测器设计理论较为成熟，已基本解决了所有的问题。

全维状态观测器考虑n 维线性定常系统：

̇=Ax +Bu , x (0)=x 0, t ≥0x

（2.1）

y =Cx

其中，A ，B 和C 分别是n ×n ，n ×p 和q ×n 实常阵，状态x 不能直接加以测量。输出y 和输入u 是可以利用的。所谓全维状态观测器，就是以y 和u 为输ˆ(t )满足如下关系式：入，且其输出x

ˆ(t )=lim x (t )lim x

t →∞

（2.2）

是一个n 维线性定常系统。

下面给出全维状态观测器的设计方法。

首先，根据已知的系数矩阵A ，B 和C ，按原系统相同的结构形式，复制出ˆ之差值信号作为修正变一个基本系统。然后，取原系统输出y 和复制系统输出y

量，并将其经增益矩阵L 馈送到复制系统中积分器的输入端，构成一个闭环系统。显然，这个重构系统是以原系统的可量测变量u 和y 为输入的一个n 维线性定常系统，其中有待确定的系统矩阵只有L 。在被估计系统{A，B ，C}满足一定

的条件下，通过适当地选取增益矩阵L ，可使这个重构系统成为给定系统的一个全维状态观测器。

按上述方法所构成的全维状态观测器的动态方程为：

̇=Ax ˆˆ+Bu +L (y −cx ˆ), x ˆ(0)=x ˆ0x

（2.3）

ˆ)起到了反馈的作用。而且，由比较（2.1）和（2.3）还可以其中修正项L (y −cx

看出，此状态观测器在维数上显然等同于被估计系统，两者的唯一差别仅在于式ˆ)。（2.3）中引入修正项L (y −cx

为了说明引入此修正项的作用，讨论当（2.3）中去掉此修正项后可能会产生的问题。去掉修正项后得到的观测器就是被估计系统的直接复制，为：

̇=Ax ˆˆ+Bu , x ˆ(0)=x ˆ0x

（2.4）

ˆ0=x 0，理论上可实现对所有可达到重构状态的目的，如果进而能做到使初态x

ˆ(t )=x (t )，即实现完全的状态重构。但是，这种开环型的观测器实t ≥0均成立x

际上是难于应用的，它的两个主要缺点是：第一，每次用这种观测器前都必须设ˆ0=x 0，这显然是不方便的；第二，如果系统矩阵A 包含不稳定的置初始状态x

ˆ0和x 0间的很小偏差，也会导致随着t 的增加而使x ˆ(t )和x (t )特征值，那么即使x

ˆ)就是为了克服这些问题而引入的。间偏差越来越大。修正项L (y −cx

进一步，考虑到y=Cx，并将其代入（2.3），则此种全维状态观测器的动态方程可表示为：

̇=(A −LC )x ˆˆ+Bu +LCx , x ˆ(0)=x ˆ0x

（2.5）

ˆ为真实状态和估计状态间的误差，那么利用（2.1）和（2.5）就可以再̃x =x −x 导出̃x 所应满足的动态方程为：

̇=(A −LC )̃̃ˆ0x x , ̃x (0)=̃x 0=x 0−x

（2.6）

̃0为多大，只要使矩阵(A −LC )的特征值这表明，不管初始误差x

λi (A −LC )(i =1, 2, ⋯, n )均具有负实部，那么一定可做到使下式成立：

ˆ(t )=lim x (t )lim x

t →∞

（2.7）

即实现状态的渐近重构。进而，如果可通过选择增益阵L 使

λi (A −LC )(i =1, 2, ⋯, n )任意配置，则̃x (t )的衰减快慢是可被控制的。即可使重ˆ(t )很快地趋近于真实状态x (t )。构状态x

下面给出可对全维状态观测器（2.5）进行任意极点配置的条件。

设由（2.1）所给出的n 维线性定常系统是能观测的，即若{A，C}为能观测，则必可采用由（2.5）所表述的全维观测器来重构其状态，并且必可通过选择增益阵L 而任意配置(A −LC )的全部特征值。

̇=Ax +Bu ，y =Cx ，设{A，C}能观测，再对所要设计的给定被估计系统x

全维观测器指定一组期望的极点{λ1i , λ2i , ⋯λn i }，则设计全维状态观测器的步骤为：

第一步：导出对偶系统{A T , C T , B T }。

第二步：利用极点配置问题的算法，对矩阵对{A T , C T }来确定使

λi (A T −C T K )=λi i , i =1, 2, ⋯, n

成立的反馈增益阵L 。第三步：取L =K T 。

第四步：计算(A −LC )，则所要设计的全维状态观测器就为：

̇=(A −LC )x ˆˆ+Bu +Ly x

ˆ即为x 的估计状态。而x

这是对无噪声的线性系统而言的其观测器的设计原则是使系统状态计误差（系统状态与观测器状态之差）渐近于零。在有噪声的统计特性已知的情况下，则可按照选择使系统状态估计误差的方差最小的准则设计。而对非线性系统观测器设计，远远没有达到成熟的地步，非线性的观测器的设计问题是复杂得多且更富有挑战性。

2.2非线性系统的观测器设计

这里讨论一类满足Lipschitz 条件的本质非线性系统，在R össler 、Lorenz 等混沌系统，及在机械或机器人系统等许多非线性系统中都满足这一条件。这里给出非线性系统观测器的设计方法。

考虑如下一般的非线性系统：

̇=Ax +g (t , u , y )+f (t , u , x )x

（2.8）（2.9）

y =Cx

其中x ∈R n 为系统的状态，A ∈R n ×n ，C ∈R m ×n ；y ∈R m ，u ∈R p 分别为系统的输出、输入。g (i , i , i ):R +×R p ×R m →R n 、f (i , i , i ):R +×R p ×R n →R n 分别为非线性映射，且f (t , u , x )满足如下Lipschitz 条件：

f (t , u , x 1)−f (

t , u , x 2)

其中r 为Lipschitz 常数。并设[A，C]可观。对于（2.8）、（2.9）式，建立如下观测器：

~̇=A ~x x +g (t , u , y ) +f (t , u , ~x ) +L (y −c ~x )

（2.10）

（2.11）

其中̃x ∈R n 为测量变量，L ∈R n ×m 为增益矩阵。定义w =x −̃x ，则可得：

̇=(A −LC )w +f (t , u , x )−f (t , u , ̃w x )

（2.12）

非线性系统观测器设计的问题为：选取适当的反馈阵L ，使（2.12）式渐近稳定，即保证如下关系：

lim w (t )=0

t →∞

（2.13）

引理1：对于函数h (t )>0，常数a , c , λ，如果：

h (t )≤ce +∫ae λ(t −τ)h (τ)d (τ)

λt

（2.14）

那么：

h (t )≤ce (λ+a )t

（2.15）

为了方便不失一般性，设A c =A −LC ，并且λi (A C )

v ∈R n ×n ，det v ≠0，使得：

VA C V −1=diag (λ1, λ2, ⋯λn )=∧

令λ=max λi ，则可得如下观测器收敛条件：

（2.16）

定理1对于满足条件（2.10）的系统（2.8），（2.9）及其观测器（2.11），若有：

λ+•−1•r

则（2.13）式成立。证明：由（2.12）式可得：

（2.17）

w (t )=e w (0)+∫e A C τ⎡x (τ))⎤⎣f (τ, u , x (τ))−f (τ, u , ̃⎦d (τ)

A C t

（2.18）

由2.16可得：

e A C t =V −1e ∧t V

代入（2.18）式：

ˆVw (0)+∫e ˆ(t −τ)V (f (τ, u , x )−f (τ, u , ̃Vw (t )=e x ))d τ

（2.19）

（2.20）

上式两边取范数，可得不等式：

(t ) ≤e (0) +∫e λ(t −x ) r •w (τ) d (τ)

λt

（2.21）（2.22）（2.23）

又由于

w (τ) =−1Vw (τ) ≤−1•(τ)

(t ) ≤e λt (0) +∫e λ(t −x ) r •−1•(τ) d (τ)

由引理2.1及（2.17），（2.23）式可得：

lim (t )=0

t →∞

（2.24）

即（2.13）式成立。所以定理2.1成立。从以上定理可看出，观测器收敛的

条件可归结为A C 阵的特征向量矩阵V 及其逆V −1的范数条件。

r 型系统状态观测器的同步及仿真3.基于Lunberge Lunberger

r 型状态观测器的同步设计Lunberger 3.1基于Lunberge

考虑如下一类非线形反馈控制系统：

i ⎧⎪x =Ax +Bf (x )⎨

⎪⎩y =C x

（3.1）

作为系统的发射端。式（3.1）中x ∈R n 为状态向量，且A =R n ×n ，B ∈R n 分别为适当维数的矩阵和向量，f :R n →R 为非线性映射，y ∈R 表示系统的输出，

C T 是C 的转置。接受端用Lunberger 型状态观测器

⎧ˆ=Ax ˆ+Bf (x ˆ)+L (y −y ˆ)⎪x ⎨⎪ˆ=C T x ˆ⎩y

（3.2）

ˆ是观测器的状态，y ˆ是观测器的输出，L ∈R n 来重构混沌载波信号。式（3.2）中x 是观测器增益。选择适当的L 可以使系统（3.1）和（3.2）同步。定义同步误差ˆ，则由式（3.1）和式（3.2）可得e =x −x

ˆ))e =(A −LC T )e +B (f (x )−f (x

假设系统1满足如下性质：

(1)f :R n →R 在R n 上满足Lipschitz 条件。(2)(A,C)是可观测的，即可观测矩阵Q ∈R n ×n 的秩

⎛C T ⎞

⎜T ⎟C A ⎟=n rank (Q )=rank ⎜⎜⋮⎟⎜⎟⎜C T A n −1⎟⎝⎠

（3.3）

（3.4）

⎛0⎞

⎜⋮⎟

(3)QB =⎜⎟(b 0≠0)。这一条件意味着系统的非线性部分f(x)对于可观测矩阵

⎜0⎟⎜⎟⎝b 0⎠Q 满足一定的结构。

需要注意的是，若存在一个向量C ∈R n ，使rank (Q )=n ，且

C T A i B =0(i =0,1, ⋯, n −2)

（3.5）

则性质（2）和（3）满足。因为式（3.5）可改写成一个有N 个未知参数的n-1个方程的方程组，且由性质（1）知系统只有一个自由度。故可通过求解方程（3.5）得到向量C ∈R n 。

定理3.1若系统1满足性质（1），（2），（3），构造观测器增益

L (θ)=Q −1×L 0(θ)(θ≥1)

此处⎛α1θ⎞

⎜2⎟αθL 0=⎜2⎟

⎜⋮⎟⎜⎟⎜αθn ⎟⎝n ⎠

（3.6）

且参数αi (i =1, 2, ⋯, n )的取值满足多项式p n (s )=s n +α1s n −1+⋯+αn 是稳定多项式（即∀p n (s 0(i ))=0

，则∀θmin >1，当θ>θmin (i =1, 2, ⋯, n )，∃Re ⎡⎣s 0(i )⎤⎦

时，∃e (t )→0是全局指数收敛的，而且收敛速率由θ的阶来决定。证明：对于矩阵L 的构造，可考虑如下坐标变换

z =Qx （3.7）

这里Q ∈R n ×n 是式（3.4）中的可观测矩阵。由性质（2）可以得出Q 是可逆的，根据坐标变换式（3.7）和性质（2），系统（3.1）可变为

⎧

⎪z =A 0z +B 0g (z )⎨

⎪⎩y =C 0

（3.8）

T T

这里g (z )=f (Q −1z )。设A 0=QAQ −1，B 0=QB ，C 0=C T Q −1，D 0=D T Q −1。T

若C 0=(1,0, ⋯,0)，矩阵A 0=A br +∆A 0，A br 是相伴矩阵

I −1⎞⎛0

A br =⎜n −1n

T ⎟00⎝1n −1⎠

，（3.9）

⎛0(n −1)×n ⎞

∆A 0=⎜，v ∈R n 是由A 的参数得到的常数向量，又由性质（3）知⎟⎜v T ⎟

⎝⎠

B 0=(0, ⋯,0, b 0)。所以可将系统（3.8）表示为：

z =A br z +B 0(g (z )+b 0−1∆A 0z )，

（3.10）

为简单起见，设g a (z )=g (z )+b 0−1×∆A 0x 。因为QL (θ)=L 0(θ)，所以相应的同步系统如下：

i ⎧ˆ)ˆ=A br z ˆ+B 0g a (z )+L 0(θ)(y −y ⎪z ⎨

ˆ=C 0⎪ˆz ⎩y

（3.11）

为了说明观测器增益向量L 0(θ)可以使系统（3.2）收敛，引入同步误差

ˆ)ε=Θ(z −z

这里

Θ=diag (θn −1, θn −2, ⋯,1)

由于θ≥1和Q 是可逆矩阵，所以ε(t )→0是指数收敛的，就意味着ˆ(t )→0也是指数收敛的。因此只需要证明ε(t )→0是指数收敛即可。由x (t )−x

ˆ=C 0ˆ)，同步误差ε的动力学行为由系式（3.10）、（3.11）、（3.12）和y −y (x −x

（3.12）

（3.13）

统

ˆ)⎤ε̇=θM 0ε+ΘB 0⎡⎣g a (z )−g a (z ⎦

（3.14）

决定。这里M 0=A br −L 0(1)C 0，且M 0的特征多项式p n (s )=s n +α1s n −1+⋯+αn 是T 稳定的。可见M 0是稳定矩阵，且Lyapunov 方程P 0M 0+M 0P 0=−I n 有唯一解

P 0>0。考虑二次函数V (ε)=εT P 0ε，沿系统（3.14）的轨迹V (ε)的时间导数为：

̇=−θε2+2εT P ΘB ⎡g (z )−g (z V 0a ˆ)⎤⎣a ⎦≤−θε

当θ≥1时，

ˆ)⎤ˆ)e T P 0ΘB 0⎡⎣g a (z )−g a (z ⎦≤e P 0ΘB 0g a (z )−g a (z

成立。由于g a (z )是全局Lipschitz 函数，故g a (z )也是全局Lipschitz 函数，因此ˆ∈ℝn ，∃k f >0，使g a (z )−g a (z ˆ)≤k f z −z ˆ成立。注意到ΘB 0=b 0，则∀z ，z

())

（3.15）

ˆ)⎤+2e T P 0ΘB 0⎡⎣g a (z )−g a (z ⎦

(

()

ˆ)⎤ˆε≤k f (P 0)b 0εe T P 0ΘB 0⎡⎣g a (z )−g a (z ⎦≤k f λmax (P 0)b 0z −z

()

（3.16）

式中λmax (P 0)表示矩阵P 0的最大特征值。将式（3.16）代入式（3.15），则

V ̇(14)≤−(θ−k f λmax (P 0)b 0

这意味着：

)

θmin =max {1, k f λmax (P 0)b 0̇0。根据Lyapunov 判据，可以得到则∀θ>θmin ，∃V (14)ˆ(t ; x ˆ(0))−x (t ; x (0))→0x

是

指

数

收

敛

的

。

又

由

于

def

⎤V (t )≤V (0)exp ⎡⎣−(θ−k f λmax (P 0)b 0)t ⎦，所以同步误差的收敛率是由θ的阶来决定的。

定理3.2若设f (x )仅满足Lipschitz 条件，D ∈R n 是一个任意紧域，在定ˆ(0)∈D ，理3.1的条件下构造同样的观测器增益，则对于全部初始条件x (0), x 存在依赖于D 的θmin >1，∀θ>θmin ，∃e (t )→0是指数收敛的，且收敛速率是θ的阶。将条件限制在紧域中，模拟定理3.1的证明易证3.2

注意到：改变观测器增益L (θ)的参数θ，即可条件系统的同步误差。这是因为：

⎤V (t )≤V (0)exp ⎡⎣−(θ−k f λmax (P 0)b 0)t ⎦

（3.18）

ˆ(t ) 收敛得越快，θ增大到一定程度后同步误可知，θ越大，同步误差e =x (t ) −x 差收敛速度变化不明显。

3.2仿真实验

下面以R össler系统为例，讨论所给出的状态观测器混沌同步的加密传输方案的有效性。

R össler系统为：

̇1=−(x 2+x 3)⎧x ⎪

̇2=x 1+ax 2⎨x ⎪x

⎩̇3=b +x 3(x 1−c )

所以：

⎛0−1−1⎞⎛0⎞⎜⎟⎜⎟

A =⎜1a 0⎟, B =⎜0⎟, f (x )=b +x 1x 3

⎜00−c ⎟⎜1⎟⎝⎠⎝⎠

（3.19）

注意到f(x)仅满足局部Lipschitz 条件，这样由定理3.2可知在紧密域上可得到指数收敛率。因为

10⎞⎛0

⎜⎟

rank (Q )=rank ⎜1a 0⎟=3，

⎜a a 2−1−1⎟⎝⎠

可见式（3.19）的秩和参数a 无关，故a 的取值只要保证R össler系统处于混沌状态，即可满足性质（2）。又因为

⎡0⎤

⎥QB =⎢0⎢⎥⎢⎣−1⎥⎦

所以满足性质（3）。可见R össler系统满足上述三个性质。故根据定理3.1可⎛3θ⎞

⎜⎟

选取L 0(θ)=⎜3θ2⎟，则观测器增益向量为：

⎜θ3⎟⎝⎠

⎞⎛−a 10⎞⎛3θ⎞⎛−3a θ+3θ

⎟⎟⎜3θ2⎟=⎜3θL (θ)=Q −1L 0(θ)=⎜100⎟⎜⎟⎜⎟⎜

⎜−1a −1⎟⎜θ3⎟⎜−3θ+3a θ−θ3⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠

为了确定参数a 的范围，考察了控制参数沿参数空间中a ∈[0.1,0.25]、b =0.2和c=8的轨迹变化时系统(3.19)行为的演化。图3为具有代表性的一组R össler系统的吸引子。构造R össler系统的吸引子，方法是选择一个合适的时间步长，由四阶Runge-Kutta 法去求解方程(3.19)。选取起始点为(x 1, x 2, x 3)=(1,1,1)，计算时方程（3.19）最初2000次运算丢弃，以保证系统轨道已收敛到吸引子上，然后再让方程（3.19）运算，即可构造出R össler系统的吸引子。由图3可见：；当0.108≤a

沌运动（图3.2,图3.3）；当0.246≤a

。

图3.1

a=0.1,b=0.2,c=8;

图3.2a=0.12,b=0.2,c=8

图3.3

a=0.2,b=0.2,c=8

图3.4a=0.248,b=0.2,c=8图3R össler系统的吸引子

4.基于一般型非线性系统状态观测器的同步及仿真

4.1一般型状态观测器同步设计

本章利用非线性状态观测器概念建立一个同步系统，并在控制器的控制下实现同步控制。给定如下系统：

̇=Ax +g (x (t ), t )x

（4.1）

y =Cx

式（4.1）为目标系统，A ，C 满足可观性条件。

为实现同步，设计上式的观测器为：

̇=Ax ˆˆ+f (x ˆ(t ), t )+L l (y −Cx ˆ)+Bu x

（4.2）

ˆ为状态观测器的状态，L 1为待定常数，B 为合适的矩阵，u 为要设计的其中，x 控制器。

传统的状态观测器是按和原系统相同的结构形式，复制出一个基本的系统，ˆ之差值信号作为修正变量，并将其经过然后，取原系统输出y 和复制系统输出y

增益矩阵L 馈送到复制系统中积分器的输入端，而构成一个闭环系统。但当原系统有不确定因素，或系统的模型没完全确定时（如参数未知时），则状态观测器就不能按与原来相同的结构形式复制。我们所设计的状态观测器（4.2）中的f 与式（4.1）中的g 不相同，同时增加控制项u ，选择u 使设计的观测器实现观测目的。

在系统（4.1）、（4.2）中：

f , g :R n ×R →R n , f , g ∈C 1, L l ∈R n , B ∈R n ×m ˆ(t )∈R n , y (t )∈R , u (t )∈R m , C ∈R l ×n x (t ), x

由（4.1）、（4.2）可得误差系统：

̇=Le +f (x ˆ(t ), t )−g (x (t ), t )+Bu e

ˆ(t )−x (t )为状态观测误差向量。式L =A −L l C , e (t )=x

在B 为列满秩条件下式（4.3）又可写为：

（4.3）

̇=Le +B ⎡ˆ(t ), t )−l (x (t ), t )+u (t )⎤e ⎣h (x ⎦

其中

（4.4）

h =(B B )B T f

−1

l =(B T B )B T g

显然，L 为式（4.4）的线性部分。

于是，式（4.1）、（4.2）的同步控制问题可转化为对误差系统式（4.4）进行ˆ(t ), t )使研究，即寻找一个合适的L l 、B 和u (t )=ϕ(x (t ), x

ˆ(t )−x (t )=0lim x

t →∞

−1

（4.5）

4.2基于一般型状态观测器的反馈控制器设计

下面通过确定一个合适的u (t )，使式（5.4）中的e (t )有

lim e (t )=0

t →∞

假设4.1：

ˆ(t ), t )≤γ(x ˆ(t )), ∀x ˆ, t h (x

l (x (t ), t )≤β(x (t )), ∀x , t

且γ(t )和β(t )是连续的。

一般情况下，不管系统是处于平衡点、周期或混沌情况下，对所有的时间t 均有

ˆ(t )≤M 1, ∀t ∈[0, ∞), M 1∈R +x

x (t )≤M 2, ∀t ∈[0, ∞), M 2∈R +

于是，在假设4.1满足的情况下，存在W , T ∈R +有

ˆ(t ), t )≤W h (x

（4.6）

l (x (t ), t )≤T

选择一个控制器u (t )具有如下形式：

u (t )=−Ke (t )−k 0tanh (B T Me )

（4.7）

其中K ∈R m ×n , M ∈R n ×n , k 0∈R +。下面给出如何设计B 、L l 、K 、M 。

首先要选择合适的控制矩阵B 使式（4.3）中的线性部分是可控的，即选择B 使L ，B 满足可控性条件。如果式（4.4）的线性部分L 是可控的，则存在一个

m ×n 矩阵K ，使L-BK 的所有特征值都有负实部。

可选择一个反馈控制律：

u l (t )=−Ke l (t )

使闭环系统

̇l =(L −BK )e l (t )e

的平衡点是大范围渐近稳定的。

（4.8）

（4.9）

引理4.1：假设L ，B 满足可控性条件，p ∈R n ×n 和Q ∈R m ×m 是正定矩阵。又设M ∈R n ×n 满足：

−p −L T M −ML +MBQ −1B T M =0

K 由下式定义：

（4.10）

K =Q −1B T M

那么L-BK 的所有特征值都有负实部。

显然，引理4.1中的矩阵M 满足Lyapunov 方程

（4.11）

(L −BK )T M +M (A −BK )=−I

式中的I (n ×n )为单位阵。

当考虑到两个系统分别满足假设4.1及式（4.6）时，有如下定理：

（4.12）

定理4.1若式（4.4）中的控制器由式（4.7）给定，则当取k 0≥2(W +T )时，对所有的初始条件e (0)都有

lim e (t )=0

t →∞

证明：选择标量函数

V (e )=e T Me

（4.13）

由于M 是一个正定对称阵，因此，V (e )对所有的e ∈R n 是正定函数。对V (e )沿着式（4.5）对时间求导可得

̇(e )=e ̇T Me +e T Me ̇V

⎤ˆ(t ), t )−Bl (x (t ), t )−k 0B tanh ⎡=⎡L −BK e +Bh x B ()(⎣Me ⎤⎦⎦Me ⎣

ˆ(t ), t )−Bl (x (t ), t )−k 0B tanh (B T Me )⎤+e T M ⎡L −BK e +Bh x ()(⎣⎦

ˆ(t ), t )B T Me +e T MBh (x ˆ(t ), t )=e T (L −BK )Me +e T M (L −BK )e +h T (x

⎤B T Me ⎡⎤−l (x (t ), t )B Me −e MBl (x (t ), t )−k 0⎡tanh B Me ⎣⎦⎣⎦T

−k 0e T MB tanh (e T M B )

ˆ(t ), t )B T Me −2l (x (t ), t )B T Me =−e +2h (x

T T T T

⎤⎡−k 0tanh ⎡B Me B Me −k e MB tanh e 0⎣⎦⎣MB ⎤⎦

T T

ˆ(t ), t )B T Me −2l (x (t ), t )B T Me T

T T 11T T T T ⎤⎡⎤−k 0sgn ⎡B Me B Me −k e MB sgn e MB 0⎣⎦⎣⎦22

ˆ(t ), t )+l (x (t ), t )≤−e +2h (x

()B Me −k

T T

sgn ⎡⎣B Me ⎤⎦B Me

由于

T T T

⎤sgn ⎡B Me B Me =B Me ⎣⎦

所以

̇(e )

̇(e )为一负定函数，于是得到式（4.4）的因此，当选择k 0≥2(W +T )时，V 平衡点e=0是大范围渐近稳定的结论。

当然如果误差方程（4.4）中的线性部分L 是Hurwitz 矩阵，即选择L l 使得L 为Hurwitz 阵。则在式（4.7）中可去除线性反馈部分。从而控制器仅为：

T u (t )=−k 0tanh ⎡B ⎣Me ⎤⎦

（4.14）

4.3仿真

同步两个相同参数的Lorenz 系统

Lorenz 系统的方程为：

⎛−δ̇=⎜r x ⎜⎜0⎝y =Cx =

δ0⎞⎛0⎞

⎟⎟⎜

−10⎟x +⎜−x 1x 3⎟

⎜⎟0−b ⎟⎠⎝x 1x 2⎠

x 2+x 3

当取δ=10, r =28, b =时，系统处于混沌状态。C=（011），C 和A 满足

3可观性条件。

构造上述Lorenz 系统的状态观测器为：

⎛−δ̇=⎜r ˆx ⎜⎜0⎝ˆ=Cx ˆ=y

δ0⎞⎛0⎞

⎟ˆ⎜ˆˆ⎟ˆ)+Bu −10⎟x +⎜−x 1x 3⎟+L 1(y −y

⎜ˆx ˆ⎟0−b ⎟⎠⎝x 12⎠

ˆ2+x ˆ3x

⎛10⎞

⎟则可验证误差动力系统的线性部分

由于L ′不是Hurwitz 矩阵。选取L 1=⎜1⎜⎟

⎜0⎟⎝⎠⎛1⎞

⎟，使L ，B 满足可控性条件，控制器用式（4.14）

L 为Hurwitz 矩阵。选取B =⎜0⎜⎟

⎜1⎟⎝⎠ˆk −x k (k =1, 2,3). e (k )随时间t 形式。当k 0=150时，两个系统的变量误差为e k =x 的变化情况如图所示：

图4.1k=1，e(k)随时间t

的变化情况

图4.2k=2，e(k)随时间t 的变化情况

图4.3k=3，e(k)随时间t 的变化情况

图4Lorenz 系统的同步误差

在系统变量有界的前提下，给出了一类混沌系统的同步方案，并设计了一个带有控制器的非线性状态观测器。基于观测器的同步方案不需要计算Lyapunov 指数，不需要初始条件属于相同的吸引域。本章可实现两个相同的系统的同步，并且同步是大范围渐近稳定的。

致谢

本毕业设计工作自始至终得到了我的导师年漪蓓老师的细心指导。年老师开阔的思维、独特的见解，使我受益匪浅；她一丝不苟，认真负责，严谨的治学态度将影响我以后的人生道路。这几个月来的毕业设计，她培养了我接受新事物的能力、理论分析能力及发现和解决问题的能力，为我将来从事工作打下了良好的基础。从资料准备，设计指导到论文的撰写工作，无不浸透了年老师的大量心血，在这里，对年老师致以衷心的感谢。

在本文的后期工作还得到了信息学院郑永爱老师的热情指导，在此致以真诚的谢意。

同时也要向多年来在学业和生活上给予我谆谆教诲和热心帮助过的能动学院和广陵学院的领导和老师，表示诚挚的感谢。

此外我还得到了一起做毕业设计的同学的帮助，在此表示感谢！

最后衷心感谢各位尊敬的评审老师，在百忙之中抽出宝贵的时间，评审我的论文，谢谢。

参考文献

[1]Pecora L M, Carroll L T;Synchronization in chaotic circuits ，Physical Review Letter, 199064(8)821-824

[2]Pecora L M, Carroll L T;Driving system swith chaotic signals ，Physical Review A , 1991(44)2374-2378

[3]李国辉, 徐得名, 周世平; 基于状态观测器的参数调制混沌数字通信, 物理学报, 2004, 53(3)706-709

[4]陈从颜, 宋文忠; 基于非线性观测器设计的混沌同步控制, 控制与决策, 20(5)586-588

[5]王兴元，段朝锋; 基于线性状态观测器的混沌同步及其在保密通信中的应用, 通信学报, 26(6)105-111

[6]段朝锋; 基于观测器的不确定混沌控制与混沌同步, 中国优秀博硕士学位论文全文数据库, 2005

[7]张新莹; 混沌同步及其在保密通信中的应用, 中国优秀博硕士学位论文全文数据库, 2005

[8]关新平, 范正平, 陈彩莲等; 混沌控制及其在保密通信中的应用, 国防工业出版社，2002168-225

[9]陈奉苏; 混沌控制及其应用, 中国电力出版社,2005288-302

[10]侯书霞; 基于非线性观测器的混沌同步控制研究, 中国优秀博硕士学位论文全文数据库,2005

[11]扬宏; 混沌动力学特性及其在保密通信中的应用的研究, 中国优秀博硕士学位论文全文数据库,2002

[12]孙克辉; 混沌同步控制理论及其在信息加密中的应用研究, 中国优秀博硕士学位论文全文数据库,2005

[13]姚利娜; 基于非线性观测器理论实现混沌系统控制与同步研究, 中国优秀博硕士学位论文全文数据库,2002

[14]Henk Nijmeijer, Iven M.Y.Mareels;An Observer Looks at Synchronization, IEEE,1997

附录

图-1程序：

f1=inline(['[-x(2)-x(3);x(1)+0.248*x(2);0.2+x(3)*x(1)-8*x(3)]'],'t','x');

t_final=500;x0=[1;1;1];

[t,x]=ode45(f1,[0,t_final],x0);

plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3),'k');

xlabel('x');

ylabel('y');

zlabel('z');

图-2程序：

function f=lorenzgc(t,x)

k=150;

f=zeros(6,1);

f(1)=-10*x(1)+10*x(2);

f(2)=28*x(1)-x(1)*x(3)-x(2);

f(3)=x(1)*x(2)-8/3*x(3);

f(4)=-10*x(4)+10*x(5)+10*(x(2)-x(5))+10*(x(3)-x(6))-k*tanh(0.05*(x(4)-x(1))+0.319*(x(5)-x(2))+0.0395*(x(6)-x(3)));

f(5)=28*x(4)-x(4)*x(6)-x(5)+(x(2)-x(5))+(x(3)-x(6));

f(6)=x(4)*x(5)-8/3*x(6)-k*tanh(0.05*(x(4)-x(1))+0.319*(x(5)-x(2))+0.0395*(x(6)-x(

3)));

f(7)=-10*x(7)-10*x(9);

f(8)=28*x(7)-2*x(8)-x(9);

f(9)=-2.6667*x(9);

end

clc;

clear;

%~~main prg ~~~~~~~~~~~~~~~~~

global e1

global e2

global e3

funname='lorenzgc';

%//h1output-space;h0rgkt-step;h1>=h0//

h1=0.006;

t=0;tf=30;

x=[0.20.20.20.10.10.10.10.10.1]';

delta=1.e-3;h0=0.004;

%------------------------

n=1;h=h0;m=0;

m1=length(x);

k=zeros(m1,4);

et=[];x11=[];

while t

feval(funname,t,x);

et=[et;t,x'];

tb=t+h1;

while t

n=1;h=h0;m=0;

xx=ones(m1,1)*delta;x0=zeros(m1,1);

k(:,1)=feval(funname,t,x);

k(:,2)=feval(funname,t+h/2,x+k(:,1)*h/2);

k(:,3)=feval(funname,t+h/2,x+k(:,2)*h/2);

k(:,4)=feval(funname,t+h,x+k(:,3)*h);

x1=x+(k(:,1)+2*k(:,2)+2*k(:,3)+k(:,4))*h/6;

while m=delta)

xx=x1;

main loop use rgkt --------------------------

n=2*n;h=h0/n;x0=x;t0=t;

for i=1:2

k(:,1)=feval(funname,t0,x0);

k(:,2)=feval(funname,t0+h/2,x0+k(:,1)*h/2);

k(:,3)=feval(funname,t0+h/2,x0+k(:,2)*h/2);

k(:,4)=feval(funname,t0+h,x0+k(:,3)*h);

x0=x0+(k(:,1)+2*k(:,2)+2*k(:,3)+k(:,4))*h/6;

t0=t0+h;

if i==1

x1=x0;

end

m=m+1;

end

if m==10

'number of iterations are more than 10!!'

end

x=x0;t=t0;

end

%---------------------------save &plot ------------------------------save pet.dat et -ascii;

save p.dat x11-ascii;

plot(et(:,1),et(:,8),'k');

xlabel('时间t');

ylabel('e_1');

figure

plot(et(:,1),et(:,9),'k');

xlabel('时间t'); ylabel('e_2');figure

plot(et(:,1),et(:,10),'k');xlabel('时间t'); ylabel('e_3');