直线与方程
一、基础知识梳理
知识点1：直线的倾斜角与斜率
（1）倾斜角：一条直线向上的方向与X 轴的 所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，
范围为
（2）斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称倾斜角的 为该直线的斜率，即k=ta n α
注记：所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率. （当α=900时， k 不存在）
（3）过两点p 1(x 1, y 1),p 2(x 2, y 2)(x 1≠x 2) 的直线的斜率公式：
k=ta n α=
y 2-y 1
（当x 1＝x 2时，k 不存在，此时直线的倾斜角为900）.
x 2-x 1
知识点2：直线的方程
直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。 二、易错知识梳理
1、忽视截距为零
【易错题1】求经过点（2,1）且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 2、忽视与x 轴平行的情况 【易错题2】已知直线过（1,2）、（2，b ），求直线方程. 3、忽视斜率不存在的情况
【易错题3】已知直线l 过点P （1,2）且与以A(-2,-3)、B （3,0）为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围. 三、考点类型剖析
题型一 斜率与倾斜角的关系
例1、 已知过点Ｐ（１－ａ，１＋ａ）和Ｑ（３，２ａ） 的直线的倾斜角为钝角，则实数 a 的取值范围为000,180归纳小结：任意一条直线都有唯一确定倾斜角，但斜率未必都存在. ∂∈⎡，k ∈R ， ⎣
)
0000
∂∈⎡0,90k ∈(0,+∞) ，；∂∈(90,180) k ∈(-∞,0) . )⎣
题型二 三点共线问题 例2、 求证A （1,5），B （0,2），C （2,8）三点共线.
变式训练：（浙江高考）已知a>0，若平面内三点A （1,-a ），B （2, a ），C （3, a ）共线，则a=
题型三 待定系数法求直线方程
例3、 过点P(1,3)的直线分别与两坐标轴交于A,B 两点，若P 为中点，求直线的方程.
变式训练：一条直线过点A （-2,3），并且与两坐标轴围成三角形的面积为1，求此直线方程. 题型四 直线方程的应用问题
例4、如右图所示一条光线从点A （3,2）发出，经x 轴反射，通过B(-1,6),求入射光线与反射光线所在的直线方程.
23
变式训练1：已知直线mx +ny +12=0在x 轴，y 轴截距分别为-3和-4，求m,n 的值. 变式训练2：已知点A(2,5)与点B(4，-7) ，试在y 轴上求一点P, 使得PA +PB 的值最小. 四、知能达标训练
基础训练
1、过点P (－2, m ) 和Q (m , 4)的直线斜率等于1，那么m 的值等于 （ ） A 、1或3 B 、4 C 、1 D 、1或4 2、在直角坐标系中，直线y= -3x+1的倾斜角为（ ）
A 、1200 B 、-300 C 、600 D 、- 600 3、过点(-3, 0)和点(-4,) 的倾斜角是（ ）
A 、300 B 、1500 C 、600 D 、1200 4、如图，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别是k 1、k 2、k 3，则有（ ） A 、k 1
5．直线x =1的倾斜角和斜率分别是（ ）
A ．450,1
B ．1350, -1 C ．90，不存在 D ．180，不存在
00
3、过两点（-1，1）和（3，9）的直线，在x 轴上的截距是（ ） A 、-
232
B 、- C 、 D 、2
523
3、过点(5,2),且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是（ ） A 、2x+y-12=0 B 、2x+y-12=0 或2x-5y=0 C 、x-2y-1=0 D 、x+2y-9=0或2x-5y=0 7、若直线ax+by+c=0在第一、二、三象限，则（ ）
A 、ab>0，bc>0 B 、ab>0，bc0 D 、 ab
综合训练
1．直线kx -y +1=3k ，当k 变动时，所有直线都通过定点（ ） A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1)
D ．(2,1)
2．已知点A (2,3),B (-3, -2) ，若直线l 过点P (1,1)与线段AB 相交，则直线l 的
斜率k 的取值范围是（ ） A ．k ≥
3
4
B ．
3
≤k ≤2 4
C ．k ≥2或k ≤
3
D ．k ≤2 4
3．已知直线l 1:y =2x +3, 若l 2与l 1关于y 轴对称，则l 2的方程为___________________; 若l 3与l 1关于x 轴对称，则l 3的方程为___________________;若l 4与l 1关于y =x 对称，则
l 4的方程为________________;
5．直线x =1的倾斜角和斜率分别是（ ）
A ．45,1 B ．135, -1 C ．90，不存在 D ．180，不存在
6．若方程(2m +m -3) x +(m -m ) y -4m +1=0表示一条直线，则实数m 满足（ ） A ．m ≠0 B ．m ≠-
2
2
33
C ．m ≠1 D ．m ≠1，m ≠-，m ≠0 22
7、已知∆ABC 的三个顶点是A （3，-4），B （0，3），C （-6，0），求它的三条边所在的直
线方程。
8、设直线l 的方程为(a +1) x +y +2-a =0(a ∈R ) ，（1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；（2）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围.
体验高考
1、（2006 北京，11）若三点A (2,2),B (a ,0), C (0,b )(ab ≠0) 共线，则
11
+的值等于_______ a b
2、（2008浙江，11）直线x -2y +1=0关于直线x=1对称的直线方程为（ ）
A . x +2y -1=0 B . 2x +y -1= 0 C .2x +y -3=0 D . x +2y -3=0
3、（2008全国II,11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x -7y -4=0和x +y -2=0， 原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ） A.3 B.2 C. -
11
D. - 32
五、规律方法提炼
1、斜率的求法一般有两种方式
（1）已知倾斜角∂, 利用k =tan ∂；（2）已知直线上两点，利用k =
y 2-y 1
(x 1≠x 2)
x 2-x 1
2、求直线的一般方法
（1）直接法：根据已知条件选择适当的直线方程，选择时应注意方程表示直线的局限性； （2）待定系数法：先设直线方程，根据已知条件求出待定系数，最后先出直线方程； 3、与直线方程有关的最值问题的求解策略：
1首先，应根据问题的条件和结论，选取适当的直线方程形式，同时引进参数； ○
2然后，可以通过建立目标函数，利用函数知识求最值；或通过数形结合思想求最值. ○
两直线的位置关系
一、 基础知识梳理 知识点1：两条直线平行
（1）两条不重合的直线l 1:y =k 1x +b 1, l 2:y =k 2x +b 2 (b 1≠b 2) ，若l 1//l 2，则k 1=k 2. 特别地，当l 1, l 2 斜率都不存在时，两直线也平行.
（2）已知直线l 1，l 2的方程为l 1:A 1x +B 1y +C 1=0，l 2:A 2x +B 2y +C 2=0，若l 1//l 2，则有A 1B 2-A 2B 1=0，且B 1C 2≠B 2C 1或AC 12≠B 2C 1 知识点2：两直线垂直
（1）如果两直线l 1, l 2的斜率都存在，分别为k 1, k 2，则l 1⊥l 2⇔
（2）已知直线l 1，l 2的方程为l 1:A 1x +B 1y +C 1=0，l 2:A 2x +B 2y +C 2=0，若l 1⊥l 2，则有A 1A 2+B 1B 2=0，反之亦然。
特别地，当一条直线斜率为0，一条直线斜率不存在时，两直线垂直. 知识点3：两直线的交点
设两直线分别为A 1x +B 1y +C 1=0, A 2x +B 2y +C 2=0, 两直线的交点坐标即是方程组⎨
⎧A 1x +B 1y +C 1=0
的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐
A x +B y +C =0⎩222
标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立. 知识点3：几种距离 （1） 两点间的距离
平面上的两点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2) 间的距离公式PP 12=特别地，原点（0,0）与任一点P （x,y
）的距离OP =（2） 点到直线的距离
点P 0(x 0, y 0) 到直线l :Ax +By +C =0的距离d=（3） 两平行线间的距离
两条平行线l 1:Ax +By +C 1=0, l 2A x +By +C 2=0间的距离d= 知识点4：直线系方程
（1）过点P （x 0, y 0）的直线系方程为y-y 0=k(x-x0)
（2）和已知直线l :Ax +By +C =0平行的直线系方程为Ax +By +C ' =0（C ≠C ' ） （3）和已知直线l :Ax +By +C =0垂直的直线系方程为：Bx -Ay +C ' =0
（4）经过两相交直线A 1x +B 1y +C 1=0和A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为（这个直线系中不包括直线A 2x +B 2y +C 2=0）. A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2) =0知识点5：对称问题 （1）中心对称
①若点M(x1,y 1) 及N(x,y)关于P(a,b)对称，则由中点坐标公式得⎨
⎧x =2a -x 1
⎩y =2b -y 1
②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l 1//l ，由点斜式得到所求直线方程。 （2）轴对称 ①点关于直线的对称
若两点P Ax+By+C=0对称，则线段PP 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2) 关于直线l ：12的中点在对称轴l 上，而且连接PP 12的直线垂直于对称轴l 上，由方程组
y +y 2⎧x 1+x 2
) +B (1) +C =0⎪A (
22⎨
⎪⎩A (y 1-y 2) =B (x 1-x 2)
可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2, y 2) （其中A ≠0, x 1≠x 2） ②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。 二、 易错知识梳理
1、 在直线一般式中忽视A , B 不同时为零
【易错题1】已知直线l 1:(m +1) x +5y =2m , l 2:(m +1) x +(m 2+1) y =4（m ∈R ），问m 为何值时，l 1//l 2？
2、 运用两平行直线的距离公式时，忽视x,y 的系数分别相等.
【易错题2】已知两平行直线l 1:3x +4y +5=0, l 2:6x +8y -15=0，求与l 1, l 2距离相等的直线方程.
三、 考题类型剖析 题型一 求两直线交点
例1、 判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求其交点的坐标： （1）
l 1:x -y =0, l 2:3x +3y -10=0;
（2）l 1:3x -y +4=0, l 2:6x -2y =0; （3）l 1:3x +4y -5=0, l 2:6x +8y -10=0. 题型二 与平行有关的问题
例2、求过点A (1, -4) 且与直线2x +3y +5=0平行的直线方程．
变式训练1：已知直线l 与直线 l ：2x +3y -5=0平行，且在两坐标轴上的截距之和为1，求直线l 的方程.
变式训练2：求直线l :y =
1
x -1关于点(2,3)对称的直线方程 2
题型三 与垂直有关的问题
例3、求过点A (2,1)，且与直线2x +y -10=0垂直的直线l 的方程. 变式训练：当
a
为何值时，直线l 1:(a +2) x +(1-a ) y -1=0与直线
l 2:(a -1) x +(2a +3) y +2=0互相垂直？
题型四 距离问题
例4、 已知A （-1,2），B （2
，在x 轴上求一点P ，使PA =PB , 并求PA 的值. 例5、 正方形的中心为M(-1,0),一条边所在的直线方程为x +3y -5=0，试求其他三边所
在的直线方程.
例6、 求与直线l :5x -12y +6=0平行且到l 的距离为2的直线方程. 四、 知能达标训练
基础训练
1、已知两点A （-2，0），B （0，4），则线段AB 的垂直平分线方程是（ ）
A 、2x+y=0 B 、2x-y+4=0 C 、x+2y-3=0 D 、x-2y+5=0 2、两条直线mx+y-n=0和x+my+1=0互相平行的条件是（ ） A 、 m=1 B 、m=±1 C 、⎨
⎧m =-1⎧m =1⎧m =1
D 、⎨或⎨
n ≠-1n ≠-1n ≠1⎩⎩⎩
3、两条直线y =kx +2k +1, x +2y -4=0的交点在第四象限，则k 的取值范围是（ ） A 、（-6，2） B 、（-
1111
，0） C 、(-, -) D 、(, +∞)
2626
4、已知直线ax －y ＋2a ＝0与直线(2a －1) x ＋ay ＋a ＝0互相垂直，则a 等于（ ） A 、1 B 、0 C 、1或0 D 、1或－1 5、已知点(a ,0)(a >0) 到直线l :x -y +3=0的距离为1，则a 等于（ ）
B .2-
C 1
1
6、已知两直线l 1:x +m 2y +6=0, l 2:(m -2) x +3my +2m =0，当m 为何值时，l 1、l 2： （1）相交 （2）平行 （3）重合？
综合训练
1、已知定点A （0,1），点B 在直线x +y =0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是______ 2、求直线2x +11y +16=0关于点P （0，1）的对称直线方程.
3、直线l 在两坐标轴上的截距相等，且P （4,3）到直线l
的距离为l 的方程. 4、已知定点A （-1，3），B （4，2），在x 轴上求点C ，使AC ⊥BC.
5、设有三条直线l 1:4x +y =4, l 2:mx +y =0, l 3:2x -3my =4，m 为何值时，以上三条直线不能够乘三角形？
体验高考
1、（2010安徽）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） （A ）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D ）x+2y-1=0 2、（2009安徽）直线l 过点(-1,2),且与直线2x -3y +4=0垂直，则l 的方程为（ ）
A .3x +2y -1=0 B . 3x +2y +7= 0 C . 2x -3y +5= 0 D . 2x -3y +8= 0
3、（2008四川）将直线y=3x绕原点逆时针旋转90，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ ）
1111
A . y =-x + B . y =-x +1 C . y =3x -3 D . y =x +1
3333
4、（2008全国II ）原点到直线x+2y-5=0的距离为（ ） A ．1
C.2
D. 五、规律方法提炼
1、判断两直线垂直的方法有两种：一是A 二是k 1. k 2=-1，使用k 1. k 2=-11A 2+B 1B 2=0；时需讨论斜率是否存在，而使用A 1A 2+B 1B 2=0九避免讨论.
2、求两平行线间的距离有两种方法：一是转化为点到线的距离；二是利用两平行线间的距
离公式d =
x,y 系数相等.
直线与方程
一、基础知识梳理
知识点1：直线的倾斜角与斜率
（1）倾斜角：一条直线向上的方向与X 轴的 所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，
范围为
（2）斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称倾斜角的 为该直线的斜率，即k=ta n α
注记：所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率. （当α=900时， k 不存在）
（3）过两点p 1(x 1, y 1),p 2(x 2, y 2)(x 1≠x 2) 的直线的斜率公式：
k=ta n α=
y 2-y 1
（当x 1＝x 2时，k 不存在，此时直线的倾斜角为900）.
x 2-x 1
知识点2：直线的方程
直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。 二、易错知识梳理
1、忽视截距为零
【易错题1】求经过点（2,1）且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 2、忽视与x 轴平行的情况 【易错题2】已知直线过（1,2）、（2，b ），求直线方程. 3、忽视斜率不存在的情况
【易错题3】已知直线l 过点P （1,2）且与以A(-2,-3)、B （3,0）为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围. 三、考点类型剖析
题型一 斜率与倾斜角的关系
例1、 已知过点Ｐ（１－ａ，１＋ａ）和Ｑ（３，２ａ） 的直线的倾斜角为钝角，则实数 a 的取值范围为000,180归纳小结：任意一条直线都有唯一确定倾斜角，但斜率未必都存在. ∂∈⎡，k ∈R ， ⎣
)
0000
∂∈⎡0,90k ∈(0,+∞) ，；∂∈(90,180) k ∈(-∞,0) . )⎣
题型二 三点共线问题 例2、 求证A （1,5），B （0,2），C （2,8）三点共线.
变式训练：（浙江高考）已知a>0，若平面内三点A （1,-a ），B （2, a ），C （3, a ）共线，则a=
题型三 待定系数法求直线方程
例3、 过点P(1,3)的直线分别与两坐标轴交于A,B 两点，若P 为中点，求直线的方程.
变式训练：一条直线过点A （-2,3），并且与两坐标轴围成三角形的面积为1，求此直线方程. 题型四 直线方程的应用问题
例4、如右图所示一条光线从点A （3,2）发出，经x 轴反射，通过B(-1,6),求入射光线与反射光线所在的直线方程.
23
变式训练1：已知直线mx +ny +12=0在x 轴，y 轴截距分别为-3和-4，求m,n 的值. 变式训练2：已知点A(2,5)与点B(4，-7) ，试在y 轴上求一点P, 使得PA +PB 的值最小. 四、知能达标训练
基础训练
1、过点P (－2, m ) 和Q (m , 4)的直线斜率等于1，那么m 的值等于 （ ） A 、1或3 B 、4 C 、1 D 、1或4 2、在直角坐标系中，直线y= -3x+1的倾斜角为（ ）
A 、1200 B 、-300 C 、600 D 、- 600 3、过点(-3, 0)和点(-4,) 的倾斜角是（ ）
A 、300 B 、1500 C 、600 D 、1200 4、如图，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别是k 1、k 2、k 3，则有（ ） A 、k 1
5．直线x =1的倾斜角和斜率分别是（ ）
A ．450,1
B ．1350, -1 C ．90，不存在 D ．180，不存在
00
3、过两点（-1，1）和（3，9）的直线，在x 轴上的截距是（ ） A 、-
232
B 、- C 、 D 、2
523
3、过点(5,2),且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是（ ） A 、2x+y-12=0 B 、2x+y-12=0 或2x-5y=0 C 、x-2y-1=0 D 、x+2y-9=0或2x-5y=0 7、若直线ax+by+c=0在第一、二、三象限，则（ ）
A 、ab>0，bc>0 B 、ab>0，bc0 D 、 ab
综合训练
1．直线kx -y +1=3k ，当k 变动时，所有直线都通过定点（ ） A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1)
D ．(2,1)
2．已知点A (2,3),B (-3, -2) ，若直线l 过点P (1,1)与线段AB 相交，则直线l 的
斜率k 的取值范围是（ ） A ．k ≥
3
4
B ．
3
≤k ≤2 4
C ．k ≥2或k ≤
3
D ．k ≤2 4
3．已知直线l 1:y =2x +3, 若l 2与l 1关于y 轴对称，则l 2的方程为___________________; 若l 3与l 1关于x 轴对称，则l 3的方程为___________________;若l 4与l 1关于y =x 对称，则
l 4的方程为________________;
5．直线x =1的倾斜角和斜率分别是（ ）
A ．45,1 B ．135, -1 C ．90，不存在 D ．180，不存在
6．若方程(2m +m -3) x +(m -m ) y -4m +1=0表示一条直线，则实数m 满足（ ） A ．m ≠0 B ．m ≠-
2
2
33
C ．m ≠1 D ．m ≠1，m ≠-，m ≠0 22
7、已知∆ABC 的三个顶点是A （3，-4），B （0，3），C （-6，0），求它的三条边所在的直
线方程。
8、设直线l 的方程为(a +1) x +y +2-a =0(a ∈R ) ，（1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；（2）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围.
体验高考
1、（2006 北京，11）若三点A (2,2),B (a ,0), C (0,b )(ab ≠0) 共线，则
11
+的值等于_______ a b
2、（2008浙江，11）直线x -2y +1=0关于直线x=1对称的直线方程为（ ）
A . x +2y -1=0 B . 2x +y -1= 0 C .2x +y -3=0 D . x +2y -3=0
3、（2008全国II,11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x -7y -4=0和x +y -2=0， 原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ） A.3 B.2 C. -
11
D. - 32
五、规律方法提炼
1、斜率的求法一般有两种方式
（1）已知倾斜角∂, 利用k =tan ∂；（2）已知直线上两点，利用k =
y 2-y 1
(x 1≠x 2)
x 2-x 1
2、求直线的一般方法
（1）直接法：根据已知条件选择适当的直线方程，选择时应注意方程表示直线的局限性； （2）待定系数法：先设直线方程，根据已知条件求出待定系数，最后先出直线方程； 3、与直线方程有关的最值问题的求解策略：
1首先，应根据问题的条件和结论，选取适当的直线方程形式，同时引进参数； ○
2然后，可以通过建立目标函数，利用函数知识求最值；或通过数形结合思想求最值. ○
两直线的位置关系
一、 基础知识梳理 知识点1：两条直线平行
（1）两条不重合的直线l 1:y =k 1x +b 1, l 2:y =k 2x +b 2 (b 1≠b 2) ，若l 1//l 2，则k 1=k 2. 特别地，当l 1, l 2 斜率都不存在时，两直线也平行.
（2）已知直线l 1，l 2的方程为l 1:A 1x +B 1y +C 1=0，l 2:A 2x +B 2y +C 2=0，若l 1//l 2，则有A 1B 2-A 2B 1=0，且B 1C 2≠B 2C 1或AC 12≠B 2C 1 知识点2：两直线垂直
（1）如果两直线l 1, l 2的斜率都存在，分别为k 1, k 2，则l 1⊥l 2⇔
（2）已知直线l 1，l 2的方程为l 1:A 1x +B 1y +C 1=0，l 2:A 2x +B 2y +C 2=0，若l 1⊥l 2，则有A 1A 2+B 1B 2=0，反之亦然。
特别地，当一条直线斜率为0，一条直线斜率不存在时，两直线垂直. 知识点3：两直线的交点
设两直线分别为A 1x +B 1y +C 1=0, A 2x +B 2y +C 2=0, 两直线的交点坐标即是方程组⎨
⎧A 1x +B 1y +C 1=0
的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐
A x +B y +C =0⎩222
标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立. 知识点3：几种距离 （1） 两点间的距离
平面上的两点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2) 间的距离公式PP 12=特别地，原点（0,0）与任一点P （x,y
）的距离OP =（2） 点到直线的距离
点P 0(x 0, y 0) 到直线l :Ax +By +C =0的距离d=（3） 两平行线间的距离
两条平行线l 1:Ax +By +C 1=0, l 2A x +By +C 2=0间的距离d= 知识点4：直线系方程
（1）过点P （x 0, y 0）的直线系方程为y-y 0=k(x-x0)
（2）和已知直线l :Ax +By +C =0平行的直线系方程为Ax +By +C ' =0（C ≠C ' ） （3）和已知直线l :Ax +By +C =0垂直的直线系方程为：Bx -Ay +C ' =0
（4）经过两相交直线A 1x +B 1y +C 1=0和A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为（这个直线系中不包括直线A 2x +B 2y +C 2=0）. A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2) =0知识点5：对称问题 （1）中心对称
①若点M(x1,y 1) 及N(x,y)关于P(a,b)对称，则由中点坐标公式得⎨
⎧x =2a -x 1
⎩y =2b -y 1
②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l 1//l ，由点斜式得到所求直线方程。 （2）轴对称 ①点关于直线的对称
若两点P Ax+By+C=0对称，则线段PP 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2) 关于直线l ：12的中点在对称轴l 上，而且连接PP 12的直线垂直于对称轴l 上，由方程组
y +y 2⎧x 1+x 2
) +B (1) +C =0⎪A (
22⎨
⎪⎩A (y 1-y 2) =B (x 1-x 2)
可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2, y 2) （其中A ≠0, x 1≠x 2） ②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。 二、 易错知识梳理
1、 在直线一般式中忽视A , B 不同时为零
【易错题1】已知直线l 1:(m +1) x +5y =2m , l 2:(m +1) x +(m 2+1) y =4（m ∈R ），问m 为何值时，l 1//l 2？
2、 运用两平行直线的距离公式时，忽视x,y 的系数分别相等.
【易错题2】已知两平行直线l 1:3x +4y +5=0, l 2:6x +8y -15=0，求与l 1, l 2距离相等的直线方程.
三、 考题类型剖析 题型一 求两直线交点
例1、 判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求其交点的坐标： （1）
l 1:x -y =0, l 2:3x +3y -10=0;
（2）l 1:3x -y +4=0, l 2:6x -2y =0; （3）l 1:3x +4y -5=0, l 2:6x +8y -10=0. 题型二 与平行有关的问题
例2、求过点A (1, -4) 且与直线2x +3y +5=0平行的直线方程．
变式训练1：已知直线l 与直线 l ：2x +3y -5=0平行，且在两坐标轴上的截距之和为1，求直线l 的方程.
变式训练2：求直线l :y =
1
x -1关于点(2,3)对称的直线方程 2
题型三 与垂直有关的问题
例3、求过点A (2,1)，且与直线2x +y -10=0垂直的直线l 的方程. 变式训练：当
a
为何值时，直线l 1:(a +2) x +(1-a ) y -1=0与直线
l 2:(a -1) x +(2a +3) y +2=0互相垂直？
题型四 距离问题
例4、 已知A （-1,2），B （2
，在x 轴上求一点P ，使PA =PB , 并求PA 的值. 例5、 正方形的中心为M(-1,0),一条边所在的直线方程为x +3y -5=0，试求其他三边所
在的直线方程.
例6、 求与直线l :5x -12y +6=0平行且到l 的距离为2的直线方程. 四、 知能达标训练
基础训练
1、已知两点A （-2，0），B （0，4），则线段AB 的垂直平分线方程是（ ）
A 、2x+y=0 B 、2x-y+4=0 C 、x+2y-3=0 D 、x-2y+5=0 2、两条直线mx+y-n=0和x+my+1=0互相平行的条件是（ ） A 、 m=1 B 、m=±1 C 、⎨
⎧m =-1⎧m =1⎧m =1
D 、⎨或⎨
n ≠-1n ≠-1n ≠1⎩⎩⎩
3、两条直线y =kx +2k +1, x +2y -4=0的交点在第四象限，则k 的取值范围是（ ） A 、（-6，2） B 、（-
1111
，0） C 、(-, -) D 、(, +∞)
2626
4、已知直线ax －y ＋2a ＝0与直线(2a －1) x ＋ay ＋a ＝0互相垂直，则a 等于（ ） A 、1 B 、0 C 、1或0 D 、1或－1 5、已知点(a ,0)(a >0) 到直线l :x -y +3=0的距离为1，则a 等于（ ）
B .2-
C 1
1
6、已知两直线l 1:x +m 2y +6=0, l 2:(m -2) x +3my +2m =0，当m 为何值时，l 1、l 2： （1）相交 （2）平行 （3）重合？
综合训练
1、已知定点A （0,1），点B 在直线x +y =0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是______ 2、求直线2x +11y +16=0关于点P （0，1）的对称直线方程.
3、直线l 在两坐标轴上的截距相等，且P （4,3）到直线l
的距离为l 的方程. 4、已知定点A （-1，3），B （4，2），在x 轴上求点C ，使AC ⊥BC.
5、设有三条直线l 1:4x +y =4, l 2:mx +y =0, l 3:2x -3my =4，m 为何值时，以上三条直线不能够乘三角形？
体验高考
1、（2010安徽）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） （A ）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D ）x+2y-1=0 2、（2009安徽）直线l 过点(-1,2),且与直线2x -3y +4=0垂直，则l 的方程为（ ）
A .3x +2y -1=0 B . 3x +2y +7= 0 C . 2x -3y +5= 0 D . 2x -3y +8= 0
3、（2008四川）将直线y=3x绕原点逆时针旋转90，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ ）
1111
A . y =-x + B . y =-x +1 C . y =3x -3 D . y =x +1
3333
4、（2008全国II ）原点到直线x+2y-5=0的距离为（ ） A ．1
C.2
D. 五、规律方法提炼
1、判断两直线垂直的方法有两种：一是A 二是k 1. k 2=-1，使用k 1. k 2=-11A 2+B 1B 2=0；时需讨论斜率是否存在，而使用A 1A 2+B 1B 2=0九避免讨论.
2、求两平行线间的距离有两种方法：一是转化为点到线的距离；二是利用两平行线间的距
离公式d =
x,y 系数相等.