第二十七卷总157期 2005第3期自然辩证法通讯JOURNALOFDIALECTICSOFNATUREVol.27,SumNo157 No3,2005
古代巴比伦月亮黄纬计算法
唐 泉
(西北大学数学与科学史研究中心,710069)3
摘 要:在古代巴比伦塞琉古王朝时期(312B.C-,合朔时刻月亮黄纬的计算是一个比较重要同时又比较复杂的问题。,复原了古代巴比伦合朔时刻月亮的黄纬计算法,,古代巴比伦月亮黄纬计算的程序化算法在修,以及确定一些星历表的年代等方面都有极为重要的意义。
关键词 黄道带
〔09 A 〔文章编号〕1000-0763-(2005)03-0091-07
古代巴比伦的月亮运动理论包括许多内容,诸如太阳运动速度,月亮运动速度,月亮的黄经和黄纬,朔望月的长度,连续合朔时刻,交食周期,食分食限的计算等等。在这些内容中,合朔时刻月亮黄纬的计算是一个比较复杂的项目。已发掘出的属于塞琉古王朝时期(312B.C-64B.C)的巴比伦天学文献中,涉及月亮黄纬计算的比较多也比较完整。古代巴比伦人特别关心合朔时刻月亮的黄纬,而对月亮逐日纬度的考虑要少得
1〕(本文星历表和算法文本的编号均采用文献〔多,只在一份编号为No.81〔1〕的编号)的星历表中给出了一个
(巴比伦人将一个朔望月的1/30定义为一个tithes)。由于太朔望月内月亮的逐日纬度,时间单位是“tithes”
阳对月球的引力,黄白交点的连线(即交点线)沿着黄道与月球运行相反的方向向西移动,结果使月球绕行一
2〕周后并不返回原来的位置。根据现代天文学理论,〔白道和黄道的交角在4°57′至5°19′之间变化,平均值为
5°9′,变化周期约为173天,交点线每年移动19°21′,约18.6年完成一周。黄白交点退行的现象使月球运动变得远比太阳运动复杂,巴比伦人显然也认识到了黄白交点退行的现象,古代巴比伦月亮黄纬算法的复杂性正是其月球运动复杂性的体现。巴比伦人计算某次合朔时月亮黄纬的算法和前一次合朔时月亮的黄经及黄纬密切相关,而月亮的黄经算法又和太阳的运动速度密切相关。因此,在讨论月亮黄纬算法之前,有必要先讨论太阳的运动和月亮黄经的求法。
一、巴比伦人处理天学问题的数学手段
古代巴比伦人处理天学问题时所普遍采用的数理方法除了内插法,就是折线函数和阶梯型函数。
在巴比伦的数理天文学中,内插法应用非常广泛,例如昼长的计算,黄白道差的计算,朔望月长度的计算等都采用了线性内插法。不仅如此,巴比伦人在处理行星运动时还应用了非线性内插法。其中最为引人注目的是一份关于木星逐日运行的星历表,〔3〕该表中木星逐日行度在某些区间上二差恒等,三差为零,表现出非常齐整的规律性,说明他们在处理行星运动时已经使用二次内插法。而在同一份星历表中的某些区间上,木星的逐日行度的三差不为零,这说明巴比伦人在处理行星运动时,不仅使用了二次内插法,而且试图使用阶数更高的非线性内插法来描述行星运动,由于内插法与本文内容无涉,故本文对此不做详细讨论。
3本研究论文为国家自然科学基金(10471111)资助项目。
〔收稿日期〕2004年12月
〔作者简介〕唐 泉(1974—)男,甘肃靖远人,西北大学数学与科学史研究中心2003级博士生,主要研究方向为:数理天
文学史。
91
折线函数和阶梯型函数是巴比伦人处理天学问题时最基本的两个函数模型,古代巴比伦天文学中很多问题都可以借助这两个连续的周期函数模型得到解决。折线函数是一个连续的呈折线变化的周期函数,其本质特点是函数图像在最大值M和最小值m之间呈折线起伏,且函数递增和递减的速度相同。阶梯型函数是一个连续的呈阶梯型变化的周期函数,其本质特点是函数图像在一个周期内包含若干阶跃点,并且在任意两个相邻的阶跃点之间函数的值均系常数。
相较而言,折线函数要比阶梯型函数复杂一些。但实际上,古代巴比伦星历表中讨论天学问题所涉及的仅仅是折线函数上的一些等间距的离散的点,而不是整个折线函数。根据折线函数的特点,易知决定折线函数y(n)的基本参数有三个:M,m,d。其中M表示函数的最大值,m表示自变量增加一个步长(),即当函数单调增加时,有d=y(n+1)-y(n);,dy)y(n1)。且折线函数y(n)到达最值时的变化规律如下:若y(N)m,y(L)-d
在古代巴比伦,一直存在着两套不同的月亮运动理论体系:体系A和体系B。这两套月亮运动理论的本
(〔质差别基于对一个回归年内太阳运动的不同假设上。1〕,p.40)
体系A所主张的太阳运动模型为:将黄道十二宫分为两段,一段从室女宫13°到双鱼宫27°,弧长共计194°,另一段从双鱼宫27°到室女宫13°,弧长共计166°。在这两段中,太阳都以匀速运动,但两段中太阳的速度并不相同。在前一段中,太阳运动的速度为V=30°/朔望月,在后一段中,太阳运动的速度为v=28°;7,30/朔望月,并且V/v=16/15。显然,在体系A所主张的理论模型中,太阳运动的v-t曲线为一典型的阶梯型函数,其周期P为一个回归年。
体系B所主张的太阳运动模型为:太阳在一个回归年内的运行速度是随时间不断变化的,其v-t曲线为一折线函数,其周期P为一个回归年。该折线函数的基本参数为(〔1〕,p.70):d=0;18,0,0,;M=30;1,59,0:m=28;10,39,40。其中太阳速度的单位为度/朔望月。
中国古代直到北齐天算学家张子信发现日月五星运动不均匀性以前,始终都认为太阳是匀速运动的。和古代中国对太阳运动的认识不同,巴比伦人至迟在塞琉古王朝时期即已认识到太阳运动的不均匀性,并给出了描述太阳运动的两种模型,尽管这种认识略显粗糙,但是2000多年前的巴比伦人能认识到太阳运动的不均匀性,并试图用阶梯型函数和折线函数来描述太阳运动的尝试是非常可贵的。
三、日月合朔时月亮黄经的求法
目前已发掘出的属于塞琉古王朝时期的楔形文天学文献基本上可以分为两类:一类是描述日月五星运行的星历表,这种表包含许多栏目,每一栏代表一个天学问题,如太阳的速度,月亮的速度,月亮的黄经,月亮的黄纬,朔望月的长度,合朔时刻,昼长夜长等。这种纯粹的数表通常是根据一定的法则预先推算出的若干年后的日月五星的运行情况。另一类是专讲星历表中各项天学问题的计算法则的算法文本。
在讨论月亮运动的算法文本中,属于体系A的占绝大多数,本文所讨论的合朔时刻月亮黄纬计算法即属于体系A,也就是说,下文所讨论的合朔时刻月亮黄纬的计算即是基于太阳运动速度呈阶梯型变化这一假设之上的。
由于月亮运动远比太阳运动复杂,这使得单纯从月亮运动求月亮的黄经要比从太阳运动求太阳的黄经复杂得多。毫无疑问,巴比伦人已经认识到了这一点,因为他们在求合朔时月亮的黄经时所采用的传统方法,就是根据预先给出的太阳运动模型先求出太阳的黄经,然后根据日月合朔时月亮黄经等于太阳黄经这一特点,从而算出合朔时月亮的黄经的。巴比伦人计算日月合朔时月亮黄经时所采用的方法,No.200a(〔1〕,p.92
211)中有一段关键术文:
经度。从双鱼宫27度到室女宫13度,应加28;7,30,超过室女宫13度的部分乘以1;4加到室女宫13度上;
从室女宫13度到双鱼宫27度逐月加30,
超过双鱼宫27度的部分乘以0;56,15加到双鱼宫27度上。
上述术文其实不难理解:从室女宫13°到双鱼宫27°,由于太阳运行的速度V=30°/朔望月,因此太阳的黄经逐月增加30°;从双鱼宫27°到室女宫13°,由于太阳运行的速度v=28°;7,30/朔望月,因此太阳的黄经逐月增加28°;7,30。显然上述规则是对一个朔望月内不包含太阳速度阶跃点而言的。
如果两个相邻的合朔时刻之间内包含太阳速度的阶跃点,依术文所给的法则算出:设O,B是两个相邻的合朔时刻,,我们不妨记O点的黄经为0,A,B两点的黄经分别为λ,:1和λλ(a);2=λ1+,若A点表示双鱼宫27度,0;56,152+-λ1)×(b)
?我们只需做一简单分析即可给出肯定的回答。显然,上述关,即如果我们已知某次合朔时月亮的黄经为Bn,则依据上述法则,顺推可以求出Bn+1,Bn+2,Bn+3,……,逆推可以求出,Bn-1,Bn-2,Bn-3……。同时我们也可以看出,巴比伦人求月亮逐月黄经时所采用的函数模型就是前面讨论的阶梯型函数。
四、日月合朔时月亮黄纬计算方法
在属于体系A的算法文本中,涉及日月合朔时月亮黄纬计算法则的主要有编号为No.200,No.200b,No.200c,No.200d,No.200e,No.200f,No.200g,No.200i等几份,其中以No.200和No.200i中所记内容比较详细。总的说来,这些算法文本大多数都有程度不同的损坏,即使没有损坏,也通常不会给出完整的计算法则。我们只有通过分析各份算法文本所给出的算法片断,再结合星历表中大量的数据,相互补充印证,才能复原出月亮黄纬计算的完整方法。
巴比伦人在计算合朔时刻月亮的黄纬时先做了如下基本假设:(1)黄白大距为6°;(2)在天球上,以黄道
(此黄道带在巴比伦的日食理论中有很重要的意面为基准面向南北各延伸2°,形成一个宽为4°的“黄道带”
义,巴比伦人认为当合朔时刻月亮落在此黄道带中时,则会发生日食)。基于上述假设,白道被黄道带分作纬度不同的两部分,位于黄道带中的部分,其纬度介于正负2°之间,位于黄道带外的部分,其纬度的绝对值介于2°和6°之间。
关于黄道带的宽度和黄白交角的数值,No.200(〔1〕,p.191)中有一句至为关键的术文:
月路的宽为12度;
离中心(纬度为零的地方即黄道面)宽为2,24的区域是月亮黄纬逐月差变化的区域。
该段术文表明,巴比伦人所采用的黄白大距是6°,数据2,24界定了黄道带的宽度,其单位为
第二十七卷总157期 2005第3期自然辩证法通讯JOURNALOFDIALECTICSOFNATUREVol.27,SumNo157 No3,2005
古代巴比伦月亮黄纬计算法
唐 泉
(西北大学数学与科学史研究中心,710069)3
摘 要:在古代巴比伦塞琉古王朝时期(312B.C-,合朔时刻月亮黄纬的计算是一个比较重要同时又比较复杂的问题。,复原了古代巴比伦合朔时刻月亮的黄纬计算法,,古代巴比伦月亮黄纬计算的程序化算法在修,以及确定一些星历表的年代等方面都有极为重要的意义。
关键词 黄道带
〔09 A 〔文章编号〕1000-0763-(2005)03-0091-07
古代巴比伦的月亮运动理论包括许多内容,诸如太阳运动速度,月亮运动速度,月亮的黄经和黄纬,朔望月的长度,连续合朔时刻,交食周期,食分食限的计算等等。在这些内容中,合朔时刻月亮黄纬的计算是一个比较复杂的项目。已发掘出的属于塞琉古王朝时期(312B.C-64B.C)的巴比伦天学文献中,涉及月亮黄纬计算的比较多也比较完整。古代巴比伦人特别关心合朔时刻月亮的黄纬,而对月亮逐日纬度的考虑要少得
1〕(本文星历表和算法文本的编号均采用文献〔多,只在一份编号为No.81〔1〕的编号)的星历表中给出了一个
(巴比伦人将一个朔望月的1/30定义为一个tithes)。由于太朔望月内月亮的逐日纬度,时间单位是“tithes”
阳对月球的引力,黄白交点的连线(即交点线)沿着黄道与月球运行相反的方向向西移动,结果使月球绕行一
2〕周后并不返回原来的位置。根据现代天文学理论,〔白道和黄道的交角在4°57′至5°19′之间变化,平均值为
5°9′,变化周期约为173天,交点线每年移动19°21′,约18.6年完成一周。黄白交点退行的现象使月球运动变得远比太阳运动复杂,巴比伦人显然也认识到了黄白交点退行的现象,古代巴比伦月亮黄纬算法的复杂性正是其月球运动复杂性的体现。巴比伦人计算某次合朔时月亮黄纬的算法和前一次合朔时月亮的黄经及黄纬密切相关,而月亮的黄经算法又和太阳的运动速度密切相关。因此,在讨论月亮黄纬算法之前,有必要先讨论太阳的运动和月亮黄经的求法。
一、巴比伦人处理天学问题的数学手段
古代巴比伦人处理天学问题时所普遍采用的数理方法除了内插法,就是折线函数和阶梯型函数。
在巴比伦的数理天文学中,内插法应用非常广泛,例如昼长的计算,黄白道差的计算,朔望月长度的计算等都采用了线性内插法。不仅如此,巴比伦人在处理行星运动时还应用了非线性内插法。其中最为引人注目的是一份关于木星逐日运行的星历表,〔3〕该表中木星逐日行度在某些区间上二差恒等,三差为零,表现出非常齐整的规律性,说明他们在处理行星运动时已经使用二次内插法。而在同一份星历表中的某些区间上,木星的逐日行度的三差不为零,这说明巴比伦人在处理行星运动时,不仅使用了二次内插法,而且试图使用阶数更高的非线性内插法来描述行星运动,由于内插法与本文内容无涉,故本文对此不做详细讨论。
3本研究论文为国家自然科学基金(10471111)资助项目。
〔收稿日期〕2004年12月
〔作者简介〕唐 泉(1974—)男,甘肃靖远人,西北大学数学与科学史研究中心2003级博士生,主要研究方向为:数理天
文学史。
91
折线函数和阶梯型函数是巴比伦人处理天学问题时最基本的两个函数模型,古代巴比伦天文学中很多问题都可以借助这两个连续的周期函数模型得到解决。折线函数是一个连续的呈折线变化的周期函数,其本质特点是函数图像在最大值M和最小值m之间呈折线起伏,且函数递增和递减的速度相同。阶梯型函数是一个连续的呈阶梯型变化的周期函数,其本质特点是函数图像在一个周期内包含若干阶跃点,并且在任意两个相邻的阶跃点之间函数的值均系常数。
相较而言,折线函数要比阶梯型函数复杂一些。但实际上,古代巴比伦星历表中讨论天学问题所涉及的仅仅是折线函数上的一些等间距的离散的点,而不是整个折线函数。根据折线函数的特点,易知决定折线函数y(n)的基本参数有三个:M,m,d。其中M表示函数的最大值,m表示自变量增加一个步长(),即当函数单调增加时,有d=y(n+1)-y(n);,dy)y(n1)。且折线函数y(n)到达最值时的变化规律如下:若y(N)m,y(L)-d
在古代巴比伦,一直存在着两套不同的月亮运动理论体系:体系A和体系B。这两套月亮运动理论的本
(〔质差别基于对一个回归年内太阳运动的不同假设上。1〕,p.40)
体系A所主张的太阳运动模型为:将黄道十二宫分为两段,一段从室女宫13°到双鱼宫27°,弧长共计194°,另一段从双鱼宫27°到室女宫13°,弧长共计166°。在这两段中,太阳都以匀速运动,但两段中太阳的速度并不相同。在前一段中,太阳运动的速度为V=30°/朔望月,在后一段中,太阳运动的速度为v=28°;7,30/朔望月,并且V/v=16/15。显然,在体系A所主张的理论模型中,太阳运动的v-t曲线为一典型的阶梯型函数,其周期P为一个回归年。
体系B所主张的太阳运动模型为:太阳在一个回归年内的运行速度是随时间不断变化的,其v-t曲线为一折线函数,其周期P为一个回归年。该折线函数的基本参数为(〔1〕,p.70):d=0;18,0,0,;M=30;1,59,0:m=28;10,39,40。其中太阳速度的单位为度/朔望月。
中国古代直到北齐天算学家张子信发现日月五星运动不均匀性以前,始终都认为太阳是匀速运动的。和古代中国对太阳运动的认识不同,巴比伦人至迟在塞琉古王朝时期即已认识到太阳运动的不均匀性,并给出了描述太阳运动的两种模型,尽管这种认识略显粗糙,但是2000多年前的巴比伦人能认识到太阳运动的不均匀性,并试图用阶梯型函数和折线函数来描述太阳运动的尝试是非常可贵的。
三、日月合朔时月亮黄经的求法
目前已发掘出的属于塞琉古王朝时期的楔形文天学文献基本上可以分为两类:一类是描述日月五星运行的星历表,这种表包含许多栏目,每一栏代表一个天学问题,如太阳的速度,月亮的速度,月亮的黄经,月亮的黄纬,朔望月的长度,合朔时刻,昼长夜长等。这种纯粹的数表通常是根据一定的法则预先推算出的若干年后的日月五星的运行情况。另一类是专讲星历表中各项天学问题的计算法则的算法文本。
在讨论月亮运动的算法文本中,属于体系A的占绝大多数,本文所讨论的合朔时刻月亮黄纬计算法即属于体系A,也就是说,下文所讨论的合朔时刻月亮黄纬的计算即是基于太阳运动速度呈阶梯型变化这一假设之上的。
由于月亮运动远比太阳运动复杂,这使得单纯从月亮运动求月亮的黄经要比从太阳运动求太阳的黄经复杂得多。毫无疑问,巴比伦人已经认识到了这一点,因为他们在求合朔时月亮的黄经时所采用的传统方法,就是根据预先给出的太阳运动模型先求出太阳的黄经,然后根据日月合朔时月亮黄经等于太阳黄经这一特点,从而算出合朔时月亮的黄经的。巴比伦人计算日月合朔时月亮黄经时所采用的方法,No.200a(〔1〕,p.92
211)中有一段关键术文:
经度。从双鱼宫27度到室女宫13度,应加28;7,30,超过室女宫13度的部分乘以1;4加到室女宫13度上;
从室女宫13度到双鱼宫27度逐月加30,
超过双鱼宫27度的部分乘以0;56,15加到双鱼宫27度上。
上述术文其实不难理解:从室女宫13°到双鱼宫27°,由于太阳运行的速度V=30°/朔望月,因此太阳的黄经逐月增加30°;从双鱼宫27°到室女宫13°,由于太阳运行的速度v=28°;7,30/朔望月,因此太阳的黄经逐月增加28°;7,30。显然上述规则是对一个朔望月内不包含太阳速度阶跃点而言的。
如果两个相邻的合朔时刻之间内包含太阳速度的阶跃点,依术文所给的法则算出:设O,B是两个相邻的合朔时刻,,我们不妨记O点的黄经为0,A,B两点的黄经分别为λ,:1和λλ(a);2=λ1+,若A点表示双鱼宫27度,0;56,152+-λ1)×(b)
?我们只需做一简单分析即可给出肯定的回答。显然,上述关,即如果我们已知某次合朔时月亮的黄经为Bn,则依据上述法则,顺推可以求出Bn+1,Bn+2,Bn+3,……,逆推可以求出,Bn-1,Bn-2,Bn-3……。同时我们也可以看出,巴比伦人求月亮逐月黄经时所采用的函数模型就是前面讨论的阶梯型函数。
四、日月合朔时月亮黄纬计算方法
在属于体系A的算法文本中,涉及日月合朔时月亮黄纬计算法则的主要有编号为No.200,No.200b,No.200c,No.200d,No.200e,No.200f,No.200g,No.200i等几份,其中以No.200和No.200i中所记内容比较详细。总的说来,这些算法文本大多数都有程度不同的损坏,即使没有损坏,也通常不会给出完整的计算法则。我们只有通过分析各份算法文本所给出的算法片断,再结合星历表中大量的数据,相互补充印证,才能复原出月亮黄纬计算的完整方法。
巴比伦人在计算合朔时刻月亮的黄纬时先做了如下基本假设:(1)黄白大距为6°;(2)在天球上,以黄道
(此黄道带在巴比伦的日食理论中有很重要的意面为基准面向南北各延伸2°,形成一个宽为4°的“黄道带”
义,巴比伦人认为当合朔时刻月亮落在此黄道带中时,则会发生日食)。基于上述假设,白道被黄道带分作纬度不同的两部分,位于黄道带中的部分,其纬度介于正负2°之间,位于黄道带外的部分,其纬度的绝对值介于2°和6°之间。
关于黄道带的宽度和黄白交角的数值,No.200(〔1〕,p.191)中有一句至为关键的术文:
月路的宽为12度;
离中心(纬度为零的地方即黄道面)宽为2,24的区域是月亮黄纬逐月差变化的区域。
该段术文表明,巴比伦人所采用的黄白大距是6°,数据2,24界定了黄道带的宽度,其单位为