在教学中研究，在研究中提高
------一堂绝对值不等式课的分析与反思
奉贤区教师进修学校教研室 张海君
教师利用课堂教学，渗透创新教育理念，培养学生的创新能力， 使学生会思、会问、会理解，对统摄与驾驭各方面的知识，消除误点积累常常有“大彻大悟”之效．依然受高考压力影响的高中数学课堂教学中，落实先进的教学“理念”，还是有一段距离的．在备课与实际教学过程中，出现师生思路交错、思维冲撞怎么办？教师是完成原定的教学任务，还是积极支持学生标新立异，听取学生的意见，为学生体验成功创造机会，面对高考指挥棒的巨大压力，教师到底怎样做才能有利创新精神的落实，实现应试教育向素质教育转变？学生肯发表自己见解的现象越来越少，是当前课堂教学的一种严峻挑战．
如今常可以看到的一种普遍流行的上课模式：简短复习，开门见山，直奔主题，介绍一堂课的主要内容，照本讲解，教学过程中教师问一句，学生答一二句，气氛似乎也颇热烈．新课概念、定理、公式推导匆忙结束．例题讲解，要占一节课的过半时间．除了教本上的几个例题外，教师还有几个自选的例题，课堂小结匆匆忙忙或没有．
下面先摘录一堂绝对值不等式的解法的新授课的一个教学片段．
内容（高级中学课本试用本P34华东师范大学出版社）《绝对值不等式的解》． 原定思路：先复习绝对值的性质，利用数轴来反映x 的几何意义，然后利用数形结合得出绝对值的不等式解法：
x 0) 的解集是(-a , a )
x >a (a >0) 的解集是(-∞, -a )⋃(a , +∞)
接着举例书上的例3：2x -30不能忽略，若a 未知，则需分类讨论．并打算补充2个例题来说明分类讨论这一数学思想方法在绝对值不等式中的应用．当时设想：让学生先自行探索例2：x +
2然后着重讲解补充例题3．已知A =x x -10, 且{}{}
A ⋂B =∅, 求实数c 的取值范围．
实际教学过程：学生探索例2的解法远远超出了教师的估计，现将当时学生对x +
教师抽学生吴展示学解法：根据上面的讨论和练习受启发，对右边x -2进行分
两类讨论⎨⎧x >2⎧x ≤2⇒x ∈∅或⎨⇒x ∈∅，∴⇒x ∈∅． ⎩x +1
教师略作讲评未完时，学生李迫不及待地提出了自己的一个解法和发表了一个观点．解法：
⎧x +1
观点：我的解法结果与吴××一样，但不需要分类讨论，我认为比方法一简单．我根椐此
研究性学习案例分析 1
题有这样一个想法：x 0) 的解集是(-a , a )以及x >a (a >0) 的解集是(-∞, -a )⋃(a , +∞)中的a >0这个前提条件是否可以取消，但我不知道我的解法是否正确，是碰巧、偶然？未等教师作出判断，课堂气氛已开始活跃起来，学生顾生怕自己的解法来不及阐述，马上从坐位上轰的站了起来，并激动地叙说：
x
x
学的解法与吴同学的解法一致，惟有我的答案与他们不一致，但正确答案只有一个，对我的答案是否错，若错，错在哪里，如何将绝对值不等式化为一个等价的一元二次不等式？ 下面其他同学听了学生李和顾的发言，认为他们很有道理，大家对他们的问题表现出了极大的兴趣，许多同学开始在思考，有的前后左右几个在议论．
他们的发言很出乎教师的意外：教师备课时认为，例题2较简单，不值得小题大作．他们的表现也是平时难得看得见的，不知是什么原因激发了他们的发言欲望．面对教师备课时未曾考虑详细到的很突然的问题，当时教师的第一反应应该给学生一个明确的答复，但由于准备不足，不敢轻易回答．第二反应是应该计算推导一下，是自己进行还是与学生一起进行，是课上马上进行还是留给课后或下节课进行．若自己推算，时间节省，可以保证自认为很重要的例3的教学任务的完成，但学生会丧失了一次探究能力培养的机会．若学生推算，问题可能得到圆满的解决，也许可能得不到解决，但这节课的任务将会完不成，若留在课外，学生的学习热情会打击，以后学生不会在课堂上提出自己的一些想法或见解，谁还会积极的发言呢？
当时见许多同学开始在思考，有的前后左右几个在议论这样的学习气氛，教师采取了让同学们议一议、讨论讨论、师生共同解决的方案．同学们通过自己的讨论研究很快得出同
22学顾的错因：x 0，同时纠正了解法：
(x +1) x +0⎪⎩x >22x 0) 的
解集是(-a , a )以及x >a (a >0) 的解集是(-∞, -a )⋃(a , +∞)中的a >0这个前提条件是否可以取消，争论不休！师生共同推导x
22当a >0时，x
⎧x >-a ≥0a ≤0∅当时，x
研究性学习案例分析 2
这时下课铃声响了．教师匆忙补充到：x 0) 的解集是(-a , a )中的a >0这个前提条件可以取消，同学李的解法正确，匆忙结束新课，原先的教学计划被打乱了，学生的问题没能彻底解决，教学任务也没有完成，没有课堂小结，没有作业布置．
一点体会与反思：
一、当前“重结论轻过程”的教学倾向的现象很普遍，大致体现在以下三方面：
1．遇到概念，如天上掉下来似的直接提出，马上说明“是怎样规定的”，以
节省教学时间；
2．学生感到困难的地方，上课时教师恰一带而过；学生不困难的地方，教师则讲得很细；
3．讲课中，密度高，频率快，分析浅．就题论题，每一题给出了解答就算完事了．剖析一下原因有三条：一是因为要在教学上做到“重过程”着实不易．课堂上要多花时间，课前准备上教师可能要花多于几倍的时间；二是重了过程也看不出有什么明显的益处．因为高考只考解题，不直接考对重要定理、公式的理解状况；三是“高密度，快频率”的例题教学的课堂效率在应试教育的实践中有相当强的生命力．
二、不少学生反映：课上能听懂，就是不会做；以为自己做的对，其实是错的，那么究竟是什么原因．这里需要提出质问的是：
1． 是否真懂
由于教和学等多方面的因素，常出现学生似懂非懂的现象．教师对教学内容缺少进行深入的研究，对例题蕴涵的功能体会不深，缺少设计合理的教学过程，对学生的学习能力估计不足，当学生的答案与教师的答案一致时，使教师误以为学生掌握了所学的知识，再没有进一步追问下去，只注重答案，轻思维过程，使课堂教学例题不能深刻地揭示知识的本质特性，不能从“知其然而知其所以然”的角度进行思考，缺少理性的反思．学生不求甚解的学习习惯，不深入地领悟所学知识，更不重视公式的探索过程、发现过程，学生只求知道公式、结论或大致套路．对知识的理解往往不完整、不透彻、片面思考．
2． 是怎样弄懂的
在课堂上，学生的看和听的思维效率最低，写的思维效率较高，讲的思维效率最高．因此，课堂教学教师要以学生为主体，注重开放的教学模式，创造机会让学生多想、多讲，共同讨论，互相争鸣，鼓励学生参考他们先前的技能和知识，提出新问题，探索新问题；鼓励学生彼此讨论交流，鼓励学生大胆地把想的结果讲出来，在学生讲的过程中，教师要善于捕捉学生思维过程中的创新火花，并予以关注、指导、表扬．由这堂课的教训中可以体会到一帆风顺未必好事，只有暴露学生的思维过程，甚至是错误的思路非常必要，尽管这可能费时间，但它确实是使学生真正搞懂，只有在比较、探索、讨论，甚至争论过程中自己领会的才是真正学懂的，也是掌握得较牢的．
三、当教师的计划被打断时„？
教师按教案有条不紊地讲解时，有学生要发表自己的看法，是视而不见，还是听听学生的见解．学生提出的问题就是最好的载体，“学生怎么会想到这个问题？”，“我怎么没想到，我能帮他解决吗？用什么办法呢？”，这时教师就能“看”到学生的思维过程了．这节课当时我想：既然问题已经出来了，为了解决学生提出的问题，需要一个明确的答案，抓住锲机，就让学生来考虑，讨论、积极地思考，更何况学生求知欲已被调动起来了．实践证明当初的选择是明智的．学生课后还在继续思考了有关绝对值不等式的问题：如
⎧g (x ) >0，x -a +x -b
四、结论与建议
1．充分挖掘数学课堂教学中开展研究性学习的素材
许多教师认为数学课中开展研究性学习缺少素材．其实并非如此．例如这堂课本身就
研究性学习案例分析 3
是一个很好的例子．让学生研究绝对值的性质（等量和不等量），绝对值不等式与一元二次不等式的关系，由x 0) 的几何意义指导学生研究ax +b
2．课堂上积极开展学生自主探究学习
教师是应该教给学生尽可能多的知识，但教师不可能教给学生所有的知识，教师应教会学生如何获取知识，如何分析问题．教师需要明白一个道理：学生的成功就是教师的成功，学生简单、被动地接受知识和学习的教学就是差的；能激发学生主动学习的教学肯定是不差的．学生参与知识发生过程的教学活动是掌握知识的重要保证．课堂上积极开展学生自主探究学习的学习方式，只有让学生参与感受理解知识产生和发展的过程，方能培养获取新知识、分析和解决问题的能力．是“高密度，快频率”的例题教学的课堂效率好还是实行“题不在多而在精，一题多解，一题多变，多题归一”的教学路线的课堂效率好，
有待于大家去比较实践研究．
3．积极探索数学教学模式的改革与研究
把以“启发式学习为特征、以探究活动为基点”的中学数学教学模式继续向前推进。例如教师指导学生明白数学交流的结构模式、意义与作用，让学生并逐步学会数学交流，努力鼓励学生大胆的发言、营造浓厚的课堂学习气氛，师生之间与学生之间有交流、倾听，让学生谈谈自己对练习的认识，然后大家评议，最后师生共同分析，总结解题方法．这节课一个意外的交流，学生的自主意识在加强，知识得到了不同程度的增长，创造能力特别是协同合作下的创造能力有所提高，思维品质在交流过程中得以优化，科学语言能力特别是数学语言能力在交流过程中得以锻炼，增加了学好数学的信心，学生的思维过程能得到充分的发展．体现以学生为主体，以学生发展为本的教育思想的教学模式正是进行课堂教学改革推进素质教育所努力探索的的方向．
4．教师更新教学理念，不断地充电学习
作为新世纪的一个教师，为了学生的发展，要培养学生的创新、探究精神，使创新教育落到实处，必须创造一切有利于学生思索、质疑、探究的条件，要营造良好的氛围，提供时空的保证，课堂上学生有主动发问的权力，课堂上经常会出现学生的提问，当学生向教师分别提出了一个质量很高的问题作为实施组织课堂教学教师准备好了没有？当学生所提问题的实质需要澄清或解答的依据不明时，而教师一时难以解答时，教师又该怎么办？教师仅仅停留在应付应试教育层面上显然是不够的．教师必须敢于接受来自学生的挑战，而这个前提条件是教师自己还需不断地充电学习，把创新精神的培养在课堂上落实，实现应试教育向素质教育转变．
参考资料：
1． 华东师大出版社高级中学课本数学二年级第二学期
2． 华东师大出版社数学教学参考资料高中二年级第二学期（内部使用）
3． 上海教学研究2001/1-2孙元清《谈谈教学案例及其撰写》
4． 中学数学1998/6石志群《对“懂”和“会”的思考》
5． 中学数学2001/5俞忠定、金晓红的案例研究《两条直线所成的角》
6． 中学数学月刊2001/8肖岚、李忠如的一个高中数学教学案例及其引发的思考
研究性学习案例分析 4
在教学中研究，在研究中提高
------一堂绝对值不等式课的分析与反思
奉贤区教师进修学校教研室 张海君
教师利用课堂教学，渗透创新教育理念，培养学生的创新能力， 使学生会思、会问、会理解，对统摄与驾驭各方面的知识，消除误点积累常常有“大彻大悟”之效．依然受高考压力影响的高中数学课堂教学中，落实先进的教学“理念”，还是有一段距离的．在备课与实际教学过程中，出现师生思路交错、思维冲撞怎么办？教师是完成原定的教学任务，还是积极支持学生标新立异，听取学生的意见，为学生体验成功创造机会，面对高考指挥棒的巨大压力，教师到底怎样做才能有利创新精神的落实，实现应试教育向素质教育转变？学生肯发表自己见解的现象越来越少，是当前课堂教学的一种严峻挑战．
如今常可以看到的一种普遍流行的上课模式：简短复习，开门见山，直奔主题，介绍一堂课的主要内容，照本讲解，教学过程中教师问一句，学生答一二句，气氛似乎也颇热烈．新课概念、定理、公式推导匆忙结束．例题讲解，要占一节课的过半时间．除了教本上的几个例题外，教师还有几个自选的例题，课堂小结匆匆忙忙或没有．
下面先摘录一堂绝对值不等式的解法的新授课的一个教学片段．
内容（高级中学课本试用本P34华东师范大学出版社）《绝对值不等式的解》． 原定思路：先复习绝对值的性质，利用数轴来反映x 的几何意义，然后利用数形结合得出绝对值的不等式解法：
x 0) 的解集是(-a , a )
x >a (a >0) 的解集是(-∞, -a )⋃(a , +∞)
接着举例书上的例3：2x -30不能忽略，若a 未知，则需分类讨论．并打算补充2个例题来说明分类讨论这一数学思想方法在绝对值不等式中的应用．当时设想：让学生先自行探索例2：x +
2然后着重讲解补充例题3．已知A =x x -10, 且{}{}
A ⋂B =∅, 求实数c 的取值范围．
实际教学过程：学生探索例2的解法远远超出了教师的估计，现将当时学生对x +
教师抽学生吴展示学解法：根据上面的讨论和练习受启发，对右边x -2进行分
两类讨论⎨⎧x >2⎧x ≤2⇒x ∈∅或⎨⇒x ∈∅，∴⇒x ∈∅． ⎩x +1
教师略作讲评未完时，学生李迫不及待地提出了自己的一个解法和发表了一个观点．解法：
⎧x +1
观点：我的解法结果与吴××一样，但不需要分类讨论，我认为比方法一简单．我根椐此
研究性学习案例分析 1
题有这样一个想法：x 0) 的解集是(-a , a )以及x >a (a >0) 的解集是(-∞, -a )⋃(a , +∞)中的a >0这个前提条件是否可以取消，但我不知道我的解法是否正确，是碰巧、偶然？未等教师作出判断，课堂气氛已开始活跃起来，学生顾生怕自己的解法来不及阐述，马上从坐位上轰的站了起来，并激动地叙说：
x
x
学的解法与吴同学的解法一致，惟有我的答案与他们不一致，但正确答案只有一个，对我的答案是否错，若错，错在哪里，如何将绝对值不等式化为一个等价的一元二次不等式？ 下面其他同学听了学生李和顾的发言，认为他们很有道理，大家对他们的问题表现出了极大的兴趣，许多同学开始在思考，有的前后左右几个在议论．
他们的发言很出乎教师的意外：教师备课时认为，例题2较简单，不值得小题大作．他们的表现也是平时难得看得见的，不知是什么原因激发了他们的发言欲望．面对教师备课时未曾考虑详细到的很突然的问题，当时教师的第一反应应该给学生一个明确的答复，但由于准备不足，不敢轻易回答．第二反应是应该计算推导一下，是自己进行还是与学生一起进行，是课上马上进行还是留给课后或下节课进行．若自己推算，时间节省，可以保证自认为很重要的例3的教学任务的完成，但学生会丧失了一次探究能力培养的机会．若学生推算，问题可能得到圆满的解决，也许可能得不到解决，但这节课的任务将会完不成，若留在课外，学生的学习热情会打击，以后学生不会在课堂上提出自己的一些想法或见解，谁还会积极的发言呢？
当时见许多同学开始在思考，有的前后左右几个在议论这样的学习气氛，教师采取了让同学们议一议、讨论讨论、师生共同解决的方案．同学们通过自己的讨论研究很快得出同
22学顾的错因：x 0，同时纠正了解法：
(x +1) x +0⎪⎩x >22x 0) 的
解集是(-a , a )以及x >a (a >0) 的解集是(-∞, -a )⋃(a , +∞)中的a >0这个前提条件是否可以取消，争论不休！师生共同推导x
22当a >0时，x
⎧x >-a ≥0a ≤0∅当时，x
研究性学习案例分析 2
这时下课铃声响了．教师匆忙补充到：x 0) 的解集是(-a , a )中的a >0这个前提条件可以取消，同学李的解法正确，匆忙结束新课，原先的教学计划被打乱了，学生的问题没能彻底解决，教学任务也没有完成，没有课堂小结，没有作业布置．
一点体会与反思：
一、当前“重结论轻过程”的教学倾向的现象很普遍，大致体现在以下三方面：
1．遇到概念，如天上掉下来似的直接提出，马上说明“是怎样规定的”，以
节省教学时间；
2．学生感到困难的地方，上课时教师恰一带而过；学生不困难的地方，教师则讲得很细；
3．讲课中，密度高，频率快，分析浅．就题论题，每一题给出了解答就算完事了．剖析一下原因有三条：一是因为要在教学上做到“重过程”着实不易．课堂上要多花时间，课前准备上教师可能要花多于几倍的时间；二是重了过程也看不出有什么明显的益处．因为高考只考解题，不直接考对重要定理、公式的理解状况；三是“高密度，快频率”的例题教学的课堂效率在应试教育的实践中有相当强的生命力．
二、不少学生反映：课上能听懂，就是不会做；以为自己做的对，其实是错的，那么究竟是什么原因．这里需要提出质问的是：
1． 是否真懂
由于教和学等多方面的因素，常出现学生似懂非懂的现象．教师对教学内容缺少进行深入的研究，对例题蕴涵的功能体会不深，缺少设计合理的教学过程，对学生的学习能力估计不足，当学生的答案与教师的答案一致时，使教师误以为学生掌握了所学的知识，再没有进一步追问下去，只注重答案，轻思维过程，使课堂教学例题不能深刻地揭示知识的本质特性，不能从“知其然而知其所以然”的角度进行思考，缺少理性的反思．学生不求甚解的学习习惯，不深入地领悟所学知识，更不重视公式的探索过程、发现过程，学生只求知道公式、结论或大致套路．对知识的理解往往不完整、不透彻、片面思考．
2． 是怎样弄懂的
在课堂上，学生的看和听的思维效率最低，写的思维效率较高，讲的思维效率最高．因此，课堂教学教师要以学生为主体，注重开放的教学模式，创造机会让学生多想、多讲，共同讨论，互相争鸣，鼓励学生参考他们先前的技能和知识，提出新问题，探索新问题；鼓励学生彼此讨论交流，鼓励学生大胆地把想的结果讲出来，在学生讲的过程中，教师要善于捕捉学生思维过程中的创新火花，并予以关注、指导、表扬．由这堂课的教训中可以体会到一帆风顺未必好事，只有暴露学生的思维过程，甚至是错误的思路非常必要，尽管这可能费时间，但它确实是使学生真正搞懂，只有在比较、探索、讨论，甚至争论过程中自己领会的才是真正学懂的，也是掌握得较牢的．
三、当教师的计划被打断时„？
教师按教案有条不紊地讲解时，有学生要发表自己的看法，是视而不见，还是听听学生的见解．学生提出的问题就是最好的载体，“学生怎么会想到这个问题？”，“我怎么没想到，我能帮他解决吗？用什么办法呢？”，这时教师就能“看”到学生的思维过程了．这节课当时我想：既然问题已经出来了，为了解决学生提出的问题，需要一个明确的答案，抓住锲机，就让学生来考虑，讨论、积极地思考，更何况学生求知欲已被调动起来了．实践证明当初的选择是明智的．学生课后还在继续思考了有关绝对值不等式的问题：如
⎧g (x ) >0，x -a +x -b
四、结论与建议
1．充分挖掘数学课堂教学中开展研究性学习的素材
许多教师认为数学课中开展研究性学习缺少素材．其实并非如此．例如这堂课本身就
研究性学习案例分析 3
是一个很好的例子．让学生研究绝对值的性质（等量和不等量），绝对值不等式与一元二次不等式的关系，由x 0) 的几何意义指导学生研究ax +b
2．课堂上积极开展学生自主探究学习
教师是应该教给学生尽可能多的知识，但教师不可能教给学生所有的知识，教师应教会学生如何获取知识，如何分析问题．教师需要明白一个道理：学生的成功就是教师的成功，学生简单、被动地接受知识和学习的教学就是差的；能激发学生主动学习的教学肯定是不差的．学生参与知识发生过程的教学活动是掌握知识的重要保证．课堂上积极开展学生自主探究学习的学习方式，只有让学生参与感受理解知识产生和发展的过程，方能培养获取新知识、分析和解决问题的能力．是“高密度，快频率”的例题教学的课堂效率好还是实行“题不在多而在精，一题多解，一题多变，多题归一”的教学路线的课堂效率好，
有待于大家去比较实践研究．
3．积极探索数学教学模式的改革与研究
把以“启发式学习为特征、以探究活动为基点”的中学数学教学模式继续向前推进。例如教师指导学生明白数学交流的结构模式、意义与作用，让学生并逐步学会数学交流，努力鼓励学生大胆的发言、营造浓厚的课堂学习气氛，师生之间与学生之间有交流、倾听，让学生谈谈自己对练习的认识，然后大家评议，最后师生共同分析，总结解题方法．这节课一个意外的交流，学生的自主意识在加强，知识得到了不同程度的增长，创造能力特别是协同合作下的创造能力有所提高，思维品质在交流过程中得以优化，科学语言能力特别是数学语言能力在交流过程中得以锻炼，增加了学好数学的信心，学生的思维过程能得到充分的发展．体现以学生为主体，以学生发展为本的教育思想的教学模式正是进行课堂教学改革推进素质教育所努力探索的的方向．
4．教师更新教学理念，不断地充电学习
作为新世纪的一个教师，为了学生的发展，要培养学生的创新、探究精神，使创新教育落到实处，必须创造一切有利于学生思索、质疑、探究的条件，要营造良好的氛围，提供时空的保证，课堂上学生有主动发问的权力，课堂上经常会出现学生的提问，当学生向教师分别提出了一个质量很高的问题作为实施组织课堂教学教师准备好了没有？当学生所提问题的实质需要澄清或解答的依据不明时，而教师一时难以解答时，教师又该怎么办？教师仅仅停留在应付应试教育层面上显然是不够的．教师必须敢于接受来自学生的挑战，而这个前提条件是教师自己还需不断地充电学习，把创新精神的培养在课堂上落实，实现应试教育向素质教育转变．
参考资料：
1． 华东师大出版社高级中学课本数学二年级第二学期
2． 华东师大出版社数学教学参考资料高中二年级第二学期（内部使用）
3． 上海教学研究2001/1-2孙元清《谈谈教学案例及其撰写》
4． 中学数学1998/6石志群《对“懂”和“会”的思考》
5． 中学数学2001/5俞忠定、金晓红的案例研究《两条直线所成的角》
6． 中学数学月刊2001/8肖岚、李忠如的一个高中数学教学案例及其引发的思考
研究性学习案例分析 4