2014年温州市小学数学小课题评比
学 校： 苍 南 县 钱 库 小 学
成员姓名： 蔡勤学 陈耀坤 邓家宝
小课题题目： 捆扎水管的学问
指导教师： 林 尾 维
捆扎水管的学问
一、问题提出
前几天，我们学习了圆的周长，在数学书66页，遇到了一个题目, 如图1：
图1
看见这个问题，我想：这不就是捆扎起来的水管的横截面吗？要计算出它们的周长，到底有没有计算的方法呢？能不能用我们的能力研究出一个简易的方法或者说一个数学公式呢？我们带着这些问题，开始了“捆扎同尺寸的多根圆形管所用绳子长度”的规律的研究。
二、研究过程
首先，我们就针对遇到的那个问题进行了解决。
（一）计算
2个圆 ：
4个圆：9个圆：
图2 图3 图4 2×7+7π1 4×7+7π 8×7+7π =2×7+7×3.14 =4×7+7×3.14 =8×7+7×3.14 =14+21.98 =28+21.98 =56+21.98 =35.98（cm ） =49.98（cm ） =77.98（cm ）
这3个计算是我用最简单的方法“数线段”做的——数出线段的数量乘圆的直径加上圆的周长。但是我们觉得这方法太简单了，所以我们决定找出一个新的计算公式。
1
本文π取3.14。
经过计算，我发现图2和图3的线段数都等于它们圆的个数，可是图4的却不等，这是为什么呢? 我们反复观察、比较，终于发现中间那个圆是没有算线段的，那么，算式9-1=8（个），只有其他8个圆有算线段。不禁，我想出了一个计算公式：绳子的长度=圆的直径×（圆的个数-绳子没有碰到的圆的个数）+圆的周长。如果出现像图2，图3这样的，绳子没有碰到的圆的个数为0的时候，当然就不算。这个公式三种情况可以通用。但，是不是所有的捆扎方式都可以对应这个新的公式呢？ （二）提出猜想:
我们大胆得提出猜想：无论水管的捆扎方式是怎样的，绳子的长度=圆的直径×（圆的个数-绳子没有碰到的圆的个数）+圆的周长。
（三）研究一些水管的捆扎方式，并计算。（除接头外）
我们小组走访五金店进行调查，出现了各种各样的捆扎方式，并研究了一番。我们发现多根圆形管捆扎后的水管的横截面的不同，就以最外圈的圆心连接后所成的图形为标准进行分类，整理如下表1，就是找到的四种捆扎方式。
表1
我们碰到的题目和五金店中的圆柱物体捆扎都是同类型而且尺寸相同的方式，所以我们所有的研究对象都是同尺寸的圆形管。就以我把老板店里的一些同尺寸的水管摆起来捆扎在一起，并计算和测量（除接头外），看看是否对应公式。我们通过测量、数，整理得到如下表2、表3、表4、表5：
表2 A种线形（2
个）（单位：cm ）
表3 B种方形（单位：cm ）
表4 C种正三角形（单位：cm ）
表5 D种等腰梯形（单位：cm ）
看图，我们发现A 、B 、C 、D 这四种捆扎方式都可以对应我猜想出的公式。但是，为什么B 种最外圈的圆心连接后成方形，有4个角，C 种方形最外圈的圆心连接后成正三角形，有3个角？为什么形状不同而结果都符合我们猜出的公式
呢？我决定深入了解这个问题。
（四）深入研究
首先， A 种是一种线形，各个圆心连接没有跟其他三种这样的角。于是，我们就从B 种、C 种、D 种类型中选择每种最典型的，分别4个圆、3个圆和5个圆。为了便于分析比较，我们用“几何画板”这个画图软件又画出了这样的图，画出其他三种捆扎方式，如图5、图6、图7。
图5 图6 图7 我们仔细量、观察，发现：B 种方形中4个圆组成的∠1、∠2、∠3、∠4这4个角，每个是90°，加起来刚好是是360°，算式是∠1+∠2+∠3+∠4=360°，刚好一个圆的圆心角所拥有的度数。所以我们可以把一圈绳子分成8段，其中有4段线段的长度分别与圆的直径相等，都是10cm; 其他4段都是四分之一个圆弧，这些四分之一个圆弧合起来的长度刚好等于一个圆的周长。那么图5等于：
10×4+10×3.14 =40+31.4 =71.4（cm ）
C种正三角形和 B种方形和好像一样，所有的角加起来也等于360°，但是它只有3个角，每一个是120°，也是一个圆所拥有的度数，算式是∠1+∠2+∠3=360°。所以，我们也可以把一圈绳子分成6段，其中有3段线段的长度分别与圆的直径相等，也都是10cm ；其他3段都是三分之一个圆弧，这些三分之一个圆弧合起来的长度也刚好等于一个圆的周长。图6绳子的长度为：
10×3+10×3.14 =30+31.4 =61.4（cm ）
而D 种等腰梯形 就比较难了，它有4个角，但这4个角的度数是多少呢？
原先，我们直接看出来，说这4个角都是120°，总和等于480°。后来，我兴高采烈的拿去给老师看时，老师一眼就看出了错误，告诉我这是错的，可是我不相信。结果老师画了一副图，我不得不信了：
在老师的指导下，我知道图8中的圆心连接成的三角形，每边的长度都是一条直径的长度, 所以是个正三角形，每个角是60°, 而长方形内的每个角是90°，那么∠3=360°-90°×2-60°=120°，∠1就可以看成是360°减去两个直角和两个60°，即360°-90°×2-120°=60°。同样的道理我们可以推出∠2=60°，∠4=60°, 四个角的度数合起来也是等于一个圆的圆心角所拥有的度数——360°。经过老师的分析与解释，我终于明白了。算式是∠1+∠2+∠3+∠4=360°，这么说，图8中绳子的长度为：
10×7+10×3.14 =70+31.4 =101.4（cm ）
所以，我们得出猜想——绳子的长度=圆的直径×（圆的个数-绳子没有碰到的圆的个数）+圆的周长，是成立的。 （五）推广应用
实际上，在生活中也会有捆扎水管的学问，下面是我在生活中找到的图片。（如图9、图10）。
图9 图10
第一张直径为5cm ，第二张直径为2cm 。那么我们现在就用我的公式算一下
它们所需绳子的长度吧（除接头外）。下面是它们的一个横截面：
？
图11
绳子的长度=圆的直径 ×（圆的个数-绳子没有碰到圆的个数）+圆的周长 5×（30-12）+5×3.14 =5×18+5×3.14 =90+15.7 =105.7（cm ）
这是一个正六边形。在吸取了等腰梯形的错误，我也像老师也画了图:
图 12
我发现它的角既然有6个，但是每个只有60°，合起来也是360°，也就是一个圆的圆心角的度数，算式是∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°。计算了一下图11右图绳子的长度：
2×（19-7）+2×3.14 =2×12+2×3.14 =24+6.28 =30.28（cm ）
果然，跟我想的一样，答案是对的。这样一看，
我发现了水管无论怎样捆扎，
它的绳子长度都=圆的直径×(圆的个数-绳子没碰到的水管）+圆的周长。哈哈，看来水管无论怎么捆扎，总度数都等于360°，我们的猜想是对的，以后所有的水管捆扎方式都好算咯！
在生活中不单单只有水管用到了捆扎的方法，其实在生活中还有许许多多的东西用到了捆扎这个方法，易拉罐，啤酒瓶等等。 （六）大发现
这个过程是我们后来突然发现的，我们用3个水管捆扎起来。我们本以为只有一种方法——C 种正三角形，后来发现这里面原来有2个捆扎方法：第一种，如图13是A 种线形。第二种 ，C 种正三角形。这两中捆扎方法一共可以捆扎成3个图形，而其中有2个是不对应公式的。
第一种： 第二种：
图13 图14
我们来数数看它们的线段的条数和圆的个数是否相等。图13，3条线段，3个圆，线段条数和圆的个数相等，而图14，3个圆，4条线段，线段条数和圆的个数不相等。所以，我们决定通过“数线段”的方法计算找出一个规律来得出新的一个线形的计算公式。（备注：直径为10cm ）
2个：
10×2+10×3.14=51.4（cm ） 10×2+10×3.14=51.4（cm ）
3个：
10×4+10×3.14=71.4（cm ） 10×4+10×3.14=71.4（cm ）
4个：
10×6+10×3.14=91.4（cm ） 10×6+10×3.14=91.4（cm ）
5个：
10×8+10×3.14=111.4（cm ） 10×8+10×3.14=111.4（cm ） 看图和计算我们发现每多了一个圆周长就加了20cm 。可能不能用20cm 来算出每加一个圆加上的直径数呢？我想应该可以吧。直径数：20÷10=2(条) 。最后，我发现了一个规律：从一个圆开始，用线形这些捆扎方法捆扎的，每多捆1个圆就会多出两条直径。那么，计算公式是：绳子的长度=（圆的个数－1）×2×圆的直径+圆的周长。
三、感想
XXX ：啊！本以为那些水管也没什么，当我写完了这篇论文之后，我知道捆扎水管里面也有这么大的数学知识！除了捆扎水管，捆扎还可以用来捆扎其他圆柱体，如：易拉罐、啤酒瓶。虽然捆扎的数学知识很多，很难懂，但我们只要能找出计算的方法，发现出它的计算公式，它是会给我们的生活带来许许多多的方便的。
XXX ：我原本以为“捆扎水管”这个小论文十分枯燥，但是在写小论文的过程中，我还发现了许多有趣的地方，如：在计算捆扎水管一周时我们都当了一回小大人。我认为这次研究真是个令人振奋的数学之旅，我们将带着这份浓厚的兴趣和勇气，进一步探究数学的奥秘！
XXX ：我们在学习书本知识的时候, 要积极开动脑筋, 将所学的知识结合我们日常身边的事物, 解决生活中的实际问题, 像通过这次论文研究, 对于以后捆扎圆
柱形物体所需绳子长度就能十分明确，总结一句话：学习知识, 运用知识, 掌握知识。
2014年温州市小学数学小课题评比
学 校： 苍 南 县 钱 库 小 学
成员姓名： 蔡勤学 陈耀坤 邓家宝
小课题题目： 捆扎水管的学问
指导教师： 林 尾 维
捆扎水管的学问
一、问题提出
前几天，我们学习了圆的周长，在数学书66页，遇到了一个题目, 如图1：
图1
看见这个问题，我想：这不就是捆扎起来的水管的横截面吗？要计算出它们的周长，到底有没有计算的方法呢？能不能用我们的能力研究出一个简易的方法或者说一个数学公式呢？我们带着这些问题，开始了“捆扎同尺寸的多根圆形管所用绳子长度”的规律的研究。
二、研究过程
首先，我们就针对遇到的那个问题进行了解决。
（一）计算
2个圆 ：
4个圆：9个圆：
图2 图3 图4 2×7+7π1 4×7+7π 8×7+7π =2×7+7×3.14 =4×7+7×3.14 =8×7+7×3.14 =14+21.98 =28+21.98 =56+21.98 =35.98（cm ） =49.98（cm ） =77.98（cm ）
这3个计算是我用最简单的方法“数线段”做的——数出线段的数量乘圆的直径加上圆的周长。但是我们觉得这方法太简单了，所以我们决定找出一个新的计算公式。
1
本文π取3.14。
经过计算，我发现图2和图3的线段数都等于它们圆的个数，可是图4的却不等，这是为什么呢? 我们反复观察、比较，终于发现中间那个圆是没有算线段的，那么，算式9-1=8（个），只有其他8个圆有算线段。不禁，我想出了一个计算公式：绳子的长度=圆的直径×（圆的个数-绳子没有碰到的圆的个数）+圆的周长。如果出现像图2，图3这样的，绳子没有碰到的圆的个数为0的时候，当然就不算。这个公式三种情况可以通用。但，是不是所有的捆扎方式都可以对应这个新的公式呢？ （二）提出猜想:
我们大胆得提出猜想：无论水管的捆扎方式是怎样的，绳子的长度=圆的直径×（圆的个数-绳子没有碰到的圆的个数）+圆的周长。
（三）研究一些水管的捆扎方式，并计算。（除接头外）
我们小组走访五金店进行调查，出现了各种各样的捆扎方式，并研究了一番。我们发现多根圆形管捆扎后的水管的横截面的不同，就以最外圈的圆心连接后所成的图形为标准进行分类，整理如下表1，就是找到的四种捆扎方式。
表1
我们碰到的题目和五金店中的圆柱物体捆扎都是同类型而且尺寸相同的方式，所以我们所有的研究对象都是同尺寸的圆形管。就以我把老板店里的一些同尺寸的水管摆起来捆扎在一起，并计算和测量（除接头外），看看是否对应公式。我们通过测量、数，整理得到如下表2、表3、表4、表5：
表2 A种线形（2
个）（单位：cm ）
表3 B种方形（单位：cm ）
表4 C种正三角形（单位：cm ）
表5 D种等腰梯形（单位：cm ）
看图，我们发现A 、B 、C 、D 这四种捆扎方式都可以对应我猜想出的公式。但是，为什么B 种最外圈的圆心连接后成方形，有4个角，C 种方形最外圈的圆心连接后成正三角形，有3个角？为什么形状不同而结果都符合我们猜出的公式
呢？我决定深入了解这个问题。
（四）深入研究
首先， A 种是一种线形，各个圆心连接没有跟其他三种这样的角。于是，我们就从B 种、C 种、D 种类型中选择每种最典型的，分别4个圆、3个圆和5个圆。为了便于分析比较，我们用“几何画板”这个画图软件又画出了这样的图，画出其他三种捆扎方式，如图5、图6、图7。
图5 图6 图7 我们仔细量、观察，发现：B 种方形中4个圆组成的∠1、∠2、∠3、∠4这4个角，每个是90°，加起来刚好是是360°，算式是∠1+∠2+∠3+∠4=360°，刚好一个圆的圆心角所拥有的度数。所以我们可以把一圈绳子分成8段，其中有4段线段的长度分别与圆的直径相等，都是10cm; 其他4段都是四分之一个圆弧，这些四分之一个圆弧合起来的长度刚好等于一个圆的周长。那么图5等于：
10×4+10×3.14 =40+31.4 =71.4（cm ）
C种正三角形和 B种方形和好像一样，所有的角加起来也等于360°，但是它只有3个角，每一个是120°，也是一个圆所拥有的度数，算式是∠1+∠2+∠3=360°。所以，我们也可以把一圈绳子分成6段，其中有3段线段的长度分别与圆的直径相等，也都是10cm ；其他3段都是三分之一个圆弧，这些三分之一个圆弧合起来的长度也刚好等于一个圆的周长。图6绳子的长度为：
10×3+10×3.14 =30+31.4 =61.4（cm ）
而D 种等腰梯形 就比较难了，它有4个角，但这4个角的度数是多少呢？
原先，我们直接看出来，说这4个角都是120°，总和等于480°。后来，我兴高采烈的拿去给老师看时，老师一眼就看出了错误，告诉我这是错的，可是我不相信。结果老师画了一副图，我不得不信了：
在老师的指导下，我知道图8中的圆心连接成的三角形，每边的长度都是一条直径的长度, 所以是个正三角形，每个角是60°, 而长方形内的每个角是90°，那么∠3=360°-90°×2-60°=120°，∠1就可以看成是360°减去两个直角和两个60°，即360°-90°×2-120°=60°。同样的道理我们可以推出∠2=60°，∠4=60°, 四个角的度数合起来也是等于一个圆的圆心角所拥有的度数——360°。经过老师的分析与解释，我终于明白了。算式是∠1+∠2+∠3+∠4=360°，这么说，图8中绳子的长度为：
10×7+10×3.14 =70+31.4 =101.4（cm ）
所以，我们得出猜想——绳子的长度=圆的直径×（圆的个数-绳子没有碰到的圆的个数）+圆的周长，是成立的。 （五）推广应用
实际上，在生活中也会有捆扎水管的学问，下面是我在生活中找到的图片。（如图9、图10）。
图9 图10
第一张直径为5cm ，第二张直径为2cm 。那么我们现在就用我的公式算一下
它们所需绳子的长度吧（除接头外）。下面是它们的一个横截面：
？
图11
绳子的长度=圆的直径 ×（圆的个数-绳子没有碰到圆的个数）+圆的周长 5×（30-12）+5×3.14 =5×18+5×3.14 =90+15.7 =105.7（cm ）
这是一个正六边形。在吸取了等腰梯形的错误，我也像老师也画了图:
图 12
我发现它的角既然有6个，但是每个只有60°，合起来也是360°，也就是一个圆的圆心角的度数，算式是∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°。计算了一下图11右图绳子的长度：
2×（19-7）+2×3.14 =2×12+2×3.14 =24+6.28 =30.28（cm ）
果然，跟我想的一样，答案是对的。这样一看，
我发现了水管无论怎样捆扎，
它的绳子长度都=圆的直径×(圆的个数-绳子没碰到的水管）+圆的周长。哈哈，看来水管无论怎么捆扎，总度数都等于360°，我们的猜想是对的，以后所有的水管捆扎方式都好算咯！
在生活中不单单只有水管用到了捆扎的方法，其实在生活中还有许许多多的东西用到了捆扎这个方法，易拉罐，啤酒瓶等等。 （六）大发现
这个过程是我们后来突然发现的，我们用3个水管捆扎起来。我们本以为只有一种方法——C 种正三角形，后来发现这里面原来有2个捆扎方法：第一种，如图13是A 种线形。第二种 ，C 种正三角形。这两中捆扎方法一共可以捆扎成3个图形，而其中有2个是不对应公式的。
第一种： 第二种：
图13 图14
我们来数数看它们的线段的条数和圆的个数是否相等。图13，3条线段，3个圆，线段条数和圆的个数相等，而图14，3个圆，4条线段，线段条数和圆的个数不相等。所以，我们决定通过“数线段”的方法计算找出一个规律来得出新的一个线形的计算公式。（备注：直径为10cm ）
2个：
10×2+10×3.14=51.4（cm ） 10×2+10×3.14=51.4（cm ）
3个：
10×4+10×3.14=71.4（cm ） 10×4+10×3.14=71.4（cm ）
4个：
10×6+10×3.14=91.4（cm ） 10×6+10×3.14=91.4（cm ）
5个：
10×8+10×3.14=111.4（cm ） 10×8+10×3.14=111.4（cm ） 看图和计算我们发现每多了一个圆周长就加了20cm 。可能不能用20cm 来算出每加一个圆加上的直径数呢？我想应该可以吧。直径数：20÷10=2(条) 。最后，我发现了一个规律：从一个圆开始，用线形这些捆扎方法捆扎的，每多捆1个圆就会多出两条直径。那么，计算公式是：绳子的长度=（圆的个数－1）×2×圆的直径+圆的周长。
三、感想
XXX ：啊！本以为那些水管也没什么，当我写完了这篇论文之后，我知道捆扎水管里面也有这么大的数学知识！除了捆扎水管，捆扎还可以用来捆扎其他圆柱体，如：易拉罐、啤酒瓶。虽然捆扎的数学知识很多，很难懂，但我们只要能找出计算的方法，发现出它的计算公式，它是会给我们的生活带来许许多多的方便的。
XXX ：我原本以为“捆扎水管”这个小论文十分枯燥，但是在写小论文的过程中，我还发现了许多有趣的地方，如：在计算捆扎水管一周时我们都当了一回小大人。我认为这次研究真是个令人振奋的数学之旅，我们将带着这份浓厚的兴趣和勇气，进一步探究数学的奥秘！
XXX ：我们在学习书本知识的时候, 要积极开动脑筋, 将所学的知识结合我们日常身边的事物, 解决生活中的实际问题, 像通过这次论文研究, 对于以后捆扎圆
柱形物体所需绳子长度就能十分明确，总结一句话：学习知识, 运用知识, 掌握知识。