第三章全等三角形专题分类复习
一．考点整理 1. 三角形的边角关系
2. 三角形全等
角：内角和180度，余角和90度
边：构成三角形三边的条件
3. 三角形当中的三线（角平分线、中线和高线的性质） 注：三角形内角平分线与外角平分线模型归纳：
∠
D =__________ ∠D =___________
（3）
∠D =__________
3. 尺规作图
（1）作满足题意的三角形
（2）作最短距离（送水、供电、修渠道等最短路径问题）
考点1：证明三角形全等
例1. 如图，A , F , E , B 四点共线，AC ⊥CE ，BD ⊥DF ，AE =BF ，AC =BD 。求证：∆ACF ≅∆BDE 。
练习：已知，如图，△ABC 是等边三角形，过AC 边上的点D 作DG ∥BC ，交AB 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE ＝DC ，连接AE 、BD. （1）求证：△AGE ≌△DAB
（2）过点E 作EF ∥DB ，交BC 于点F ，连结AF ，求∠AFE 的度数.
F
E
考点2：求证线段之间的数量关系（截长补短）
例1:如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AC，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，求证：AB=AC+CD．
例2：如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，求证：AC=AE+CD． 变式：
如图，已知在ABC 内，∠BAC =60，∠C =40，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ
分别是∠BAC ，∠ABC 的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP
B
A
练习：如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB, ∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝
AD+BC。
C
C
例3：练习：在△ABC 中，∠ACB =90︒，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①∆ADC ≌∆CEB ；②DE =AD +BE ；
(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
练习：1. 在△ABC 中，, ∠ACB=90°，AC=BC，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E(1)当直线MN 绕点C 旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE (2)当直线MN 绕点C 旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE
(3)当直线MN 绕点C 旋转到图③的位置时，试问：DE 、AD 、BE 有怎样的等量关系? 请写出这个等量关系，并加以证明
例4：如图，在∆ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90。F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE =BF ，连接AE , EF 和CF 。求证：AE =CF 。
考点3：线段之间的位置关系
例1：如图1，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上，连接AE ，GC ． （1）试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论.
（2）将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使点E 落在BC 边上，如图2，连接AE 和GC ．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.
练习：如图：BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM ⊥AN 。
考点4：证明角等
∠2=∠1+∠C 。例1：如图，在∆ABC 中，垂足为D 。求证： BE 是∠ABC 的平分线，AD ⊥BE ，
练习：. 如图，AP , CP 分别是∆ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线，它们交于点P 。求证：
BP 为∠MBN 的平分线。
考点4：三角形中的三线（角平分线）
例1：如图，在ABC 中，延长BC 到D ，∠ABC 与∠ACD 的平分线相交，∠
A BC 与
1
依次类推，∠A 4BC 与∠A 4CD 相交于点A 5，∠A 5=3，∠A 1CD 的平分线教育A 2。则∠A =_____度
课后作业： 1. 如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求
证：AD +BC =AB ．
P
E
D
B A
2. 如图，D 是∆ABC 的边BC 上的点，且CD =AB ，∠ADB =∠BAD ，AE 是∆ABD 的中线。求证：AC =2AE 。
3. 如图，已知∠ABC=∠DBE=90°，DB=BE，AB=BC．(1)求证：AD=CE，AD ⊥CE (2)若△DBE 绕点B 旋转到△ABC 外部，其他条件不变，则(1)中结论是否仍成立? 请证明
第三章全等三角形专题分类复习
一．考点整理 1. 三角形的边角关系
2. 三角形全等
角：内角和180度，余角和90度
边：构成三角形三边的条件
3. 三角形当中的三线（角平分线、中线和高线的性质） 注：三角形内角平分线与外角平分线模型归纳：
∠
D =__________ ∠D =___________
（3）
∠D =__________
3. 尺规作图
（1）作满足题意的三角形
（2）作最短距离（送水、供电、修渠道等最短路径问题）
考点1：证明三角形全等
例1. 如图，A , F , E , B 四点共线，AC ⊥CE ，BD ⊥DF ，AE =BF ，AC =BD 。求证：∆ACF ≅∆BDE 。
练习：已知，如图，△ABC 是等边三角形，过AC 边上的点D 作DG ∥BC ，交AB 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE ＝DC ，连接AE 、BD. （1）求证：△AGE ≌△DAB
（2）过点E 作EF ∥DB ，交BC 于点F ，连结AF ，求∠AFE 的度数.
F
E
考点2：求证线段之间的数量关系（截长补短）
例1:如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AC，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，求证：AB=AC+CD．
例2：如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，求证：AC=AE+CD． 变式：
如图，已知在ABC 内，∠BAC =60，∠C =40，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ
分别是∠BAC ，∠ABC 的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP
B
A
练习：如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB, ∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝
AD+BC。
C
C
例3：练习：在△ABC 中，∠ACB =90︒，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①∆ADC ≌∆CEB ；②DE =AD +BE ；
(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
练习：1. 在△ABC 中，, ∠ACB=90°，AC=BC，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E(1)当直线MN 绕点C 旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE (2)当直线MN 绕点C 旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE
(3)当直线MN 绕点C 旋转到图③的位置时，试问：DE 、AD 、BE 有怎样的等量关系? 请写出这个等量关系，并加以证明
例4：如图，在∆ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90。F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE =BF ，连接AE , EF 和CF 。求证：AE =CF 。
考点3：线段之间的位置关系
例1：如图1，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上，连接AE ，GC ． （1）试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论.
（2）将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使点E 落在BC 边上，如图2，连接AE 和GC ．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.
练习：如图：BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM ⊥AN 。
考点4：证明角等
∠2=∠1+∠C 。例1：如图，在∆ABC 中，垂足为D 。求证： BE 是∠ABC 的平分线，AD ⊥BE ，
练习：. 如图，AP , CP 分别是∆ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线，它们交于点P 。求证：
BP 为∠MBN 的平分线。
考点4：三角形中的三线（角平分线）
例1：如图，在ABC 中，延长BC 到D ，∠ABC 与∠ACD 的平分线相交，∠
A BC 与
1
依次类推，∠A 4BC 与∠A 4CD 相交于点A 5，∠A 5=3，∠A 1CD 的平分线教育A 2。则∠A =_____度
课后作业： 1. 如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求
证：AD +BC =AB ．
P
E
D
B A
2. 如图，D 是∆ABC 的边BC 上的点，且CD =AB ，∠ADB =∠BAD ，AE 是∆ABD 的中线。求证：AC =2AE 。
3. 如图，已知∠ABC=∠DBE=90°，DB=BE，AB=BC．(1)求证：AD=CE，AD ⊥CE (2)若△DBE 绕点B 旋转到△ABC 外部，其他条件不变，则(1)中结论是否仍成立? 请证明