椭圆标准方程典型例题
例1 已知椭圆mx 2+3y 2-6m =0的一个焦点为（0，2）求m 的值．
例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3，0)，a =3b ，求椭圆的标准方程．
例3 ∆ABC 的底边BC =16，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．
例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
452和，过P 点作焦点所在轴33
x 2y 2
例5 已知椭圆方程2+2=1(a >b >0)，长轴端点为A 1，A 2，焦点为F 1，F 2，P 是
a b
椭圆上一点，∠A 1PA 2=θ，∠F 1PF 2=α．求：∆F 1PF 2的面积（用a 、b 、α表示）．
例6 已知动圆P 过定点A (-3，0)，且在定圆B ：(x -3)+y 2=64的内部与其相内切，求
2
动圆圆心P 的轨迹方程．
x 2⎛11⎫+y 2=1，例7 已知椭圆（1）求过点P ⎪且被P 平分的弦所在直线的方程； 2⎝22⎭
（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过A (2，1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
（4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足k OP ⋅k OQ =-
求线段PQ 中点M 的轨迹方程．
22
例8 已知椭圆4x +y =1及直线y =x +m ．
1， 2
（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为
2，求直线的方程． 5
x 2y 2
+=1的焦点为焦点，过直线l ：x -y +9=0上一点M 作椭圆，要使例9 以椭圆
123
所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．
1
x 2y 2
+=-1表示椭圆，求k 的取值范围． 例10 已知方程
k -53-k
例11 已知x 2sin α-y 2cos α=1(0≤α≤π) 表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．
例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A (, -2) 和B (-23, 1) 两点的椭圆方程．
例13 知圆x 2+y 2=1，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段，求线段中点M 的轨迹．
例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点F 1作倾斜解为
π
的直线交椭圆于A ，3
B 两点，求弦AB 的长．
x 2y 2
+=1上的点M 到焦点F 1的距离为2，N 为MF 1的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为例15 椭圆
259
A ．4 B ．2 C ．8 D ．
3 2
x 2y 2
=1，试确定m 的取值范围，使得对于直线l ：y =4x +m ，椭圆C 上有不同的两点例16 已知椭圆C +
43
关于该直线对称．
例17 在面积为1的∆PMN 中，tan M =点的椭圆方程．
1
，tan N =-2，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 2
x 2y 2
+=1所截得的线段的中点，求直线l 的方程． 例18 已知P (4, 2) 是直线l 被椭圆
369
例19已知椭圆的焦点是F 1(0, -1), F 2(0, 1) , 直线y =4是椭圆的一条准线. ① 求椭圆的方程;
∠F 1PF 2. ② 设点P 在椭圆上, 且PF 1-PF 2=1, 求cos
22
例20已知曲线x +2y +4x +4y +4=0按向量a =(2, 1) 平移后得到曲线C.
(1)求曲线C 的方程;
(2)过点D(0, 2)的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间, 设DM =λMN , 求实数λ的取值范围.
例22求中心在原点, 一个焦点为(0, 52) 且被直线y =3x -2截得的弦中点横坐标为
1
的椭圆方程. 2
2
典型例题一
例1 椭圆的一个顶点为A (2，0)，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
典型例题二
例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．
典型例题三
例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线x +y -1=0交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．
典型例题四
2
x 2y ⎛9⎫
例4椭圆+=1上不同三点A (x 1，y 1)，B 4⎪，C (x 2，y 2)与焦点F (4，0)的距离成等差数列．
259⎝5⎭
（1）求证x 1+x 2=8；
（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ．
典型例题五
x 2y +=1，F 1、F 2为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 例5 已知椭圆
43
是MF 1与MF 2的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
3
2
典型例题六
x 2⎛11⎫
+y 2=1，求过点P ⎪且被P 平分的弦所在的直线方程． 例6 已知椭圆2⎝22⎭
典型例题七
例7 求适合条件的椭圆的标准方程．
（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，-6)；
（2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．
典型例题八
x 2y 2
+=1的右焦点为F ，过点A 1例8 椭圆3，点M 在椭圆上，当AM +2MF 为最小值时，求点1612
()
M 的坐标．
典型例题九
x 2
+y 2=1上的点到直线x -y +6=0的距离的最小值． 例9 求椭圆3
典型例题十
例10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e =
⎛3⎫
，已知点P 0⎪到这个椭圆上的点的最2⎝2⎭
远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标．
4
典型例题十一
例11 设x ，y ∈R ，2x 2+3y 2=6x ，求x 2+y 2+2x 的最大值和最小值． 典型例题十二
12 已知椭圆C x 2y 2
例a 2+b
2=1(a >b >0)，A 、B 是其长轴的两个端点．
（1）过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P '，求证：不论a 、b 如何变化，∠APB ≠120
． （2）如果椭圆上存在一个点Q ，使∠AQB =120 ，求C 的离心率e 的取值范围．
典型例题十三
例13 已知椭圆
x 2y 2
1k +8+9
=1的离心率e =2，求k 的值． 典型例题十四
x 2例14 已知椭圆y 2
4b 2+b
2=1上一点P 到右焦点F 2的距离为b (b >1) ，求P 到左准线的距离．
典型例题十五
例15 设椭圆⎧⎨x =4cos α, (α为参数) 上一点P 与x 轴正向所成角∠POx =π
⎩y =23sin α.
3，求P 点坐标．
典型例题十六
5
x 2y 2
例16 设P (x 0, y 0) 是离心率为e 的椭圆2+2=1 (a >b >0) 上的一点，P 到左焦点F 1和右焦点F 2的
a b
距离分别为r 1和r 2，求证：r 1=a +ex 0，r 2=a -ex 0．
典型例题十七
x 2y 2
+=1内有一点A (1, 1) ，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点． 例17 已知椭圆95P 坐标； (1) 求+PF 1的最大值、最小值及对应的点
(2) 求PA +
典型例题十八
3
PF 2的最小值及对应的点P 的坐标． 2
x 2y 2
+=1的参数方程； 例18 (1)写出椭圆94
(2)求椭圆内接矩形的最大面积．
典型例题十九
例19 已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2=60︒． (1)求椭圆离心率的取值范围；
(2)求证∆PF 1F 2的面积与椭圆短轴长有关．
典型例题二十
x 2y 2
例20 椭圆2+2=1(a >b >0) 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使OP ⊥AP (O 为
a b
坐标原点) ，求其离心率e 的取值范围．
6
椭圆标准方程典型例题
例1 已知椭圆mx 2+3y 2-6m =0的一个焦点为（0，2）求m 的值．
例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3，0)，a =3b ，求椭圆的标准方程．
例3 ∆ABC 的底边BC =16，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．
例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
452和，过P 点作焦点所在轴33
x 2y 2
例5 已知椭圆方程2+2=1(a >b >0)，长轴端点为A 1，A 2，焦点为F 1，F 2，P 是
a b
椭圆上一点，∠A 1PA 2=θ，∠F 1PF 2=α．求：∆F 1PF 2的面积（用a 、b 、α表示）．
例6 已知动圆P 过定点A (-3，0)，且在定圆B ：(x -3)+y 2=64的内部与其相内切，求
2
动圆圆心P 的轨迹方程．
x 2⎛11⎫+y 2=1，例7 已知椭圆（1）求过点P ⎪且被P 平分的弦所在直线的方程； 2⎝22⎭
（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过A (2，1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
（4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足k OP ⋅k OQ =-
求线段PQ 中点M 的轨迹方程．
22
例8 已知椭圆4x +y =1及直线y =x +m ．
1， 2
（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为
2，求直线的方程． 5
x 2y 2
+=1的焦点为焦点，过直线l ：x -y +9=0上一点M 作椭圆，要使例9 以椭圆
123
所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．
1
x 2y 2
+=-1表示椭圆，求k 的取值范围． 例10 已知方程
k -53-k
例11 已知x 2sin α-y 2cos α=1(0≤α≤π) 表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．
例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A (, -2) 和B (-23, 1) 两点的椭圆方程．
例13 知圆x 2+y 2=1，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段，求线段中点M 的轨迹．
例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点F 1作倾斜解为
π
的直线交椭圆于A ，3
B 两点，求弦AB 的长．
x 2y 2
+=1上的点M 到焦点F 1的距离为2，N 为MF 1的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为例15 椭圆
259
A ．4 B ．2 C ．8 D ．
3 2
x 2y 2
=1，试确定m 的取值范围，使得对于直线l ：y =4x +m ，椭圆C 上有不同的两点例16 已知椭圆C +
43
关于该直线对称．
例17 在面积为1的∆PMN 中，tan M =点的椭圆方程．
1
，tan N =-2，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 2
x 2y 2
+=1所截得的线段的中点，求直线l 的方程． 例18 已知P (4, 2) 是直线l 被椭圆
369
例19已知椭圆的焦点是F 1(0, -1), F 2(0, 1) , 直线y =4是椭圆的一条准线. ① 求椭圆的方程;
∠F 1PF 2. ② 设点P 在椭圆上, 且PF 1-PF 2=1, 求cos
22
例20已知曲线x +2y +4x +4y +4=0按向量a =(2, 1) 平移后得到曲线C.
(1)求曲线C 的方程;
(2)过点D(0, 2)的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间, 设DM =λMN , 求实数λ的取值范围.
例22求中心在原点, 一个焦点为(0, 52) 且被直线y =3x -2截得的弦中点横坐标为
1
的椭圆方程. 2
2
典型例题一
例1 椭圆的一个顶点为A (2，0)，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
典型例题二
例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．
典型例题三
例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线x +y -1=0交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．
典型例题四
2
x 2y ⎛9⎫
例4椭圆+=1上不同三点A (x 1，y 1)，B 4⎪，C (x 2，y 2)与焦点F (4，0)的距离成等差数列．
259⎝5⎭
（1）求证x 1+x 2=8；
（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ．
典型例题五
x 2y +=1，F 1、F 2为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 例5 已知椭圆
43
是MF 1与MF 2的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
3
2
典型例题六
x 2⎛11⎫
+y 2=1，求过点P ⎪且被P 平分的弦所在的直线方程． 例6 已知椭圆2⎝22⎭
典型例题七
例7 求适合条件的椭圆的标准方程．
（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，-6)；
（2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．
典型例题八
x 2y 2
+=1的右焦点为F ，过点A 1例8 椭圆3，点M 在椭圆上，当AM +2MF 为最小值时，求点1612
()
M 的坐标．
典型例题九
x 2
+y 2=1上的点到直线x -y +6=0的距离的最小值． 例9 求椭圆3
典型例题十
例10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e =
⎛3⎫
，已知点P 0⎪到这个椭圆上的点的最2⎝2⎭
远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标．
4
典型例题十一
例11 设x ，y ∈R ，2x 2+3y 2=6x ，求x 2+y 2+2x 的最大值和最小值． 典型例题十二
12 已知椭圆C x 2y 2
例a 2+b
2=1(a >b >0)，A 、B 是其长轴的两个端点．
（1）过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P '，求证：不论a 、b 如何变化，∠APB ≠120
． （2）如果椭圆上存在一个点Q ，使∠AQB =120 ，求C 的离心率e 的取值范围．
典型例题十三
例13 已知椭圆
x 2y 2
1k +8+9
=1的离心率e =2，求k 的值． 典型例题十四
x 2例14 已知椭圆y 2
4b 2+b
2=1上一点P 到右焦点F 2的距离为b (b >1) ，求P 到左准线的距离．
典型例题十五
例15 设椭圆⎧⎨x =4cos α, (α为参数) 上一点P 与x 轴正向所成角∠POx =π
⎩y =23sin α.
3，求P 点坐标．
典型例题十六
5
x 2y 2
例16 设P (x 0, y 0) 是离心率为e 的椭圆2+2=1 (a >b >0) 上的一点，P 到左焦点F 1和右焦点F 2的
a b
距离分别为r 1和r 2，求证：r 1=a +ex 0，r 2=a -ex 0．
典型例题十七
x 2y 2
+=1内有一点A (1, 1) ，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点． 例17 已知椭圆95P 坐标； (1) 求+PF 1的最大值、最小值及对应的点
(2) 求PA +
典型例题十八
3
PF 2的最小值及对应的点P 的坐标． 2
x 2y 2
+=1的参数方程； 例18 (1)写出椭圆94
(2)求椭圆内接矩形的最大面积．
典型例题十九
例19 已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2=60︒． (1)求椭圆离心率的取值范围；
(2)求证∆PF 1F 2的面积与椭圆短轴长有关．
典型例题二十
x 2y 2
例20 椭圆2+2=1(a >b >0) 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使OP ⊥AP (O 为
a b
坐标原点) ，求其离心率e 的取值范围．
6