2003,23A(1):115-128
数学物理学报
量子金融的意义
陈泽乾
(中国科学院武汉物理与数学研究所 武汉430071)
摘要:金融市场中的风险资产的演化过程遵从某种统计规律。这种统计规律通常是采用经典概率理论来加以阐述的。最近,作者提出了从量子力学的角度来探讨金融问题的设想[1],[2],[3]。其中,作者不仅从量子力学的角度用Maxwell-Boltzmann统计重新推导了著名的Cox-Ross-Rubinstein期权定价公式,而且还用量子力学中的Bose-Einstein统计(不可分辨粒子模型)得到了一个新的期权定价公式。这表明在理论上存在着一套关于金融市场的和谐的“量子理论”——量子金融。本文从对冲的角度来阐述这种潜在理论的金融意义和可能的实际内涵。作者给出了对冲定价的量子方案,详细讨论了单期金融市场的量子对冲问题。最后,作者解释了为什么(某些)金融市场在物理上要遵循量子规律,而不是经典统计规律。
关键词:自伴算子;量子态;金融市场;量子交易策略;对冲;资产定价。
MR(2000)主题分类:91B28;46L53 中图分类号:G10;G12 文献标识码:A
文章编号:1003-3998(2003)01-115-14
1 量子的数学涵义
本文是作者关于“量子金融”的工作[1,2,3]的继续,我们只考虑多期金融市场,不考虑
[4]连续金融情形,因此我们只需考虑有限量子系统情形。量子是一个物理概念。在数学上,量
子是用复Hilbert空间来描述的[5]。有限量子系统可以用有限维复Hilbert空间来描述,因此,不失一般性,在本文中我们只需考虑n维复线性空间Cn。按照Dirac的记号[4],为描述那些与量子系统相联系的向量,我们用右矢这个特殊的名称,并用一个特殊的符号|〉来表示一个一般的右矢。如果我们要用一个字母,例如x来指明它们中特定的一个,我们把这个字母
n插在中间,写成|x〉。这里,右矢|x〉表示C中的向量,有时也直接记作x。
对每个右矢|,它确定H上的一个有界线x〉,由Riesz表示定理,相应地有一个左矢〈x|
性泛函:对任意y∈Cn有〈x‖y〉=〈x,y〉,这里〈x,y〉表示Cn中x和y的自然内积。注意,这里的内积关于第一个变元为共轭线性的,第二个为线性的,这与多数数学书上的约定是不一致的。这种约定以及下面的一些约定是Dirac[4]引进的,在量子物理中使用较方便。我们将沿袭他的用法。记‖x‖=〈x,x〉为|x〉的范数。范数为1的右矢称为单位向量。我们用
nn{|0〉,|1〉,…,|n-1〉}表示C中的自然基,其中|j-1〉表示C中在第j行为1而在其他行
为0的列向量。|0〉,|1〉,…,|n-1〉都是单位向量。
nnn用B(C)表示C上的全体算子。C上的算子在自然基{|0〉,|1〉,…,|n-1〉}下与n×n081/2
116数学物理学报 Vol.23A阶矩阵一一对应。我们以后对它们不加区分。给定Cn中的一个算子a,必有唯一算子a*满足:对Cn中所有的|x〉,|y〉有
〈x,ay〉=〈ax,y〉.
**我们称a为a的共轭算子。如果a=a,我们称a为自伴算子或Hermite算子。通常,相应
*于自伴算子a的矩阵仍记为a,并称它为自伴矩阵或Hermite矩阵,即a与它的共轭转置a
nn相等。C上的自伴算子(矩阵)全体记作O(C)。自伴算子或Hermite算子(矩阵)在量子物理中又称为可观测量,它们是经典随机变量的量子对应物,在数学中称为非交换随机变量,是量子概率的研究对象。有两类很重要的自伴算子(矩阵),它们分别是正算子和投影算子。
n算子a称为正算子,如果对任何x∈C有
〈x,ax〉≥0。
nn对a,b∈O(C),如果a-b为正算子,那么就称a大于b,记作a≥b或b≤a。易证,≥在O(C)
中定义了一个偏序。
nn对C中的任意一个闭子空间E,由投影定理,每个x∈C在E上有唯一投影。由此我们
n定义一个算子,它将每个x∈C映射到E上的投影,我们称它为投影算子。这个算子由E唯
一确定,故我们不加区别地直接记作E。任何投影算子E满足0≤E≤1。这里以及下面,如
n果λ是一个数,它经常用来表示算子λI,其中I表示C中的恒等算子或单位矩阵。在量子概
率中,投影算子又称为事件,它们是经典概率中的事件的量子对应物。
一维投影称为原子,其意义是它不能表示为两个非零事件之和。在具有n个样本点的经
nn典概率空间中,其所有事件的Borel代数有2个元和n个原子。但在相应的量子对应C中,
它有连续统的事件,而且其原子全体与n维复投影平面形成一一对应,是一个2n-2维实流形。
nn|x〉〈y|表示|x〉和|y〉的外积,它是C中的算子,定义为:对任意|z〉∈C有
|x〉〈y||z〉=〈y,z〉|x〉。
任给C上的一个算子a和正交基{e1,…,en},数值
nn*
tra=
n∑〈e,ae〉,jjj=1n独立于正交基{e1,…,en},称为a的迹。C中具有迹为1的正算子称为态(states)。给定C的
一个态d,我们称(Cn,d)为一个简单(或n维)量子概率空间。对投影算子E,trdE称为事件E在态d上发生的概率。由谱分解定理,每个态d都可以表示为
d=
其中{u}njj=1n∑nj=1pj|uj〉〈uj|,n是C中的一个正交基,pj≥0,j=1,…,n,是d的n个特征值(计重数)且∑pj
j=1
=1。如果所有的pj>0,那么称d是诚实的(faithful)。由上述态的表示,全体态构成O(Cn)中的一个凸集,它的端点集为一维投影算子全体。为此,一维投影算子又称为纯态(purestates)。显然,当d=|u〉〈u|为纯态时,tr|u〉〈u|E=〈u,Eu〉。我们不规范地称任意单位向量u为一个纯态,其实它是代表|u〉〈u|。值得注意的是,在具有n个基本事件的经典概率空间上全体概率分布的端点集恰为n个只在一点不退化的概率测度全体。但在它的量子类似n维量子概率空间上,全体纯态是一个2n-2维实流形。
n如果一个量子系统用C来描述,那么它的每个物理量都要用一个自伴算子来表示。因
n此)
No.1 陈泽乾:量子金融的意义117一个物理量。但是,即使在严格量子系统中,并不是每个可观测量都代表一个“有价值的”物理量,通常只有少数可观测量对描述这个物理系统有价值和意义,比如,能量、动量、位置和角动量等等。
但是,在数学上有一套普遍的方法来描述可观测量。下面就来讨论可观测量的数学运算。设a是一个可观测量,因为它是自伴算子,按照谱分解定理,它的本征值都是实数而且有如下唯一分解
a=∑λE,jj
j=1
m
j=1m其中λ1
的本征值和相应的本征投影,或用量子概率的语言讲,a取λ1,…,λm这些值且Ej是a取值λj的事件,或用量子物理的语言讲,对a测量我们能够且仅能够得到λ1,…,λm这些值。
有了谱分解,我们可以引进对a的泛函演算:对实数域R上任意(复值)函数f,定义f(a)如下
f(a)=∑m
j=1f(λj)Ej.
则f→f(a)定义了一个从R上有界实值函数的代数到B(Cn)的代数同态。
设d是一个态,可观测量a=
d下的期望值是Ed[a]=
jjjE。从而a在态∑λE。则在态d下a取值λ的概率是trdjjjjjjE∑λtrdkjj=trda。a在态d下的k阶矩等于jE∑λtrdk=trdjEj=trdak=Ed[ak].∑λ
一般地说,对R上的标量值函数f,f(a)在态d下的期望值Ed[f(a)]=trdf(a)。特别是,对一个单位元x∈Cn,可观测量a在态x(即d=|x〉〈x|)下的期望值是〈x,ax〉,k阶矩为〈x,ax〉。进一步,如果可观测量a是非负的(算子),那么在每个态d下的期望值trda≥0。因
n此,在一个态d下的期望是从O(C)到R的非负线性泛函且在单位可观测量1处取值为1。
我们这里描述的是量子系统在数学上的一些很基本的事实。需要说明的是,在物理上量子系统有一些与经典系统很不相同的基本属性,比如量子迭加、量子纠缠和量子干涉等,它们有着特别的理论意义和实际运用。在新近兴起的量子计算和量子信息理论中,这些量子属性有本质的作用[6]。这从一个侧面说明,量子理论的应用不仅仅局限于物理学本身,在其他领域的应用也是很广泛的。在表面上看来与量子力学不相关的领域,其实它们之间有着本质的联系。
作者提出从量子力学的角度来研究金融市场时,起初是从数学上来加以考虑的[3]。随后的研究表明,这样的探讨不只是数学形式上的推广,而是有着本质的物理内涵的。在[2]中我们不仅可以用量子二项式模型的Maxwell-Boltzmann统计(可分辨粒子模型)推出著名的Cox-Ross-Rubinstein期权定价公式,而且可以用量子二项式模型的Bose-Einstein统计(不可分辨粒子模型)推出新的期权定价公式。这样,我们就不仅赋予了多期二项式市场的Cox-Ross-Rubinstein期权定价公式以明确的物理意义,还从基本的物理模型出发得出了新的期权定价公式。因此,金融市场与量子理论的联系是有意义的。
本文继续作者先前的工作,我们将从对冲的角度来阐述金融市场的量子意义。除本节外k
118数学物理学报 Vol.23A定价的量子理论。第四节详细研究单期金融市场的量子对冲的定价问题。最后,我们讨论了为什么(某些)金融市场在物理上要遵循量子力学规律,而不是经典统计规律。
2 交易的量子方案
我们假设所考虑的多期证券市场的演化过程遵从某种量子统计规律,它的不确定经济环境由量子滤子
(Cn,(At)tT=0)(2.1)
来描述,其中(At)t=0表示量子信息结构。这里每个At(t=0,1,…,T)都是B(C)的*-子代数且
At-1 At, t=1,…,T,(2.2)
nn子代数A是指A是B(Cn)A0=CI为平凡子代数,其中I为C上的恒等算子。B(C)的*-
*中的一个复线性子空间且满足:对A中任意的算子a,b,有ab∈A和a∈A。量子滤子(2.
1)描述的是一个T期纯交换经济,在该经济中存在T+1个交易日t=0,1,…,T,自然的真实状态是随着时间的推移而逐渐显现出来的,直到经济的最后期限时真实状态才会完全显示出来。当然,从物理上讲,要得到实际的数据是要做量子测量的。此时,演化过程的不确定性才表现出来。
设该证券市场经济具有d+1种长期证券。不失一般性,我们设第0种证券为一种风险自由(risk-free)的证券,例如债券或者银行帐号,它由一列正数Bt(t=0,1,…,T)来刻划。另外d种证券为风险证券,如股票,它们的价格分别由正算子列(非交换随机过程)
Sj=(Stj)tT=0, j=1,…,d,(2.3)
描述,其中Sjt∈At,j=1,…,d;t=0,1,…,T。换言之,第j种证券在t时刻的价格,用量子物Tn理的语言来说,是观测Stj得到的值,即Stj的特征值。这些值一般不止一个,而且我们只知道jjSt∈At,因此,在t时刻以前我们是不能确定St的取值的。为了简便,我们把这个证券市场经济记作(B,S),称为量子(B,S)-市场,其中S=(S,…,S)。
现在我们来考虑在量子(B,S)-市场中的交易问题。因为用来描述风险证券演化行为的是算子而不是数值函数,我们不能以一种直接的方案来定义交易策略。为了从数学上合理地
nnn定义量子交易策略,我们考虑代数张量积空间B(C) B(C)。首先,在它上面由B(C)诱导
了一个自然的*-运算:对任何ak,bk∈B(Cn)和λk∈C定义
***-kak bk)kbk ak.(λ=λ(2.4)1d∑k∑k
其次,给定h=
∈B(C),n∑λa b∈kkkkB(Cn) B(Cn),我们在B(Cn)上定义一个#-运算:对任意c
h#c=(∑λkak bk)#c=k∑λacb.kkkk(2.5)
(2.6)
(2.7)如果c∈B(Cn)是自伴的,那么(h#c)*=h*#c.令*Ht={∑λkak ak|λk∈R,ak∈At-1}, t=1,…,T,
k
且0t(Cnn)
No.1 陈泽乾:量子金融的意义
定义1 向量序列119
C={Ct=(ht,ht,…,ht),t=0,1,…,T}(2.8)
称为量子(B,S)-市场中的一个交易策略,如果对每个t=0,1,…,T,htj∈Ht,其中j=0,1,…,d。
按照(2.4)Ht中的元是B(Cn) B(Cn)中的自伴元,它的物理意义是它代表某种可观测量。因此,交易策略是一族可观测量。另外,Ht中的元的“At-1-可测性”说明了投资者的金融头寸由截止到时间t-1的信息确定。
1d定义2 在量子(B,S)-市场中,交易策略C={Ct=(h0t,ht,…,ht),t=0,1,…,T}的价
值过程是如下自伴算子列
C#(B,S)={Ct#(Bt,St),t=0,1,…,T},(2.9)
这里,对每个t=0,1,…,T,
Ct#(Bt,St)=h#Bt+0t01d∑h#jt
j=1dSt.j(2.10)
我们用C(B,S)记量子(B,S)-市场中的交易策略全体。
一旦赋予了交易策略在量子市场中的价值过程以确定的涵义,我们就可以定义量子市场中的套利机会了。
01定义3 在(B,S)-市场中的一个套利机会指的是一个交易策略C={Ct=(ht,ht,…,
htd),t=0,1,…,T},它满足C0#(B0,S0)=0,
CT#(BT,ST)≥0且trCT#(BT,ST)>0;(2.11)
或者,
C0#(B0,S0)
我们用Ca(B,S)记量子(B,S)-市场中的套利机会全体。
对任意t=1,…,T,我们记ΔBt=Bt-Bt-1,ΔSjt=Sjt-Sjt-1,Δhjt=hjt-htj-1和ΔCt#(Bt,St)=Ct#(Bt,St)-Ct-1#(Bt-1,St-1)。则有
dd
jtΔCt#(Bt,St)=h#ΔBt+0t∑h#j=1ΔS+(Δh#Bt-1+jt0t∑Δh#jtj=1St-1).j(2.13)
我们可以合理地假设价值过程的真实变化总是归于ΔB和ΔS的增减,而不是Δh的改变。因此,我们得出下述定义。
定义4 在(B,S)-市场中的交易策略C={Ct=(ht0,ht1,…,hdt),t=0,1,…,T}称为自融资的,如果它的价值过程C#(B,S)={C#(Bt,St),t=0,1,…,T}满足:对t=1,…,T有
td
Ct#(Bt,St)=C0#(B0,S0)+∑(h#ΔBk+0k
k=1∑h#jkj=1ΔSkj).(2.14)
我们用Cs(B,S)记量子(B,S)-市场中的自融资的交易策略全体。
由(2.13)式,自融资条件(2.14)等价于
d
Δh#Bt-1+0t∑Δh#0t
j=1Stj-1=0, t=1,…,T.(2.15)
我们将主要考虑自融资交易策略。以后没有特别说明,我们说的交易策略都是指自融资交易策略。
因为Bt>0,t=0,1,…,T,用第0种无风险证券B={Bt,t=0,1,…,T}做计量单位,我
t-,-们可以考虑一个新的证券市场经济(BS),其中-Bt=1,-St=,t=0,1,…,T。-S称为S的折
No.1 陈泽乾:量子金融的意义
定义1 向量序列119
C={Ct=(ht,ht,…,ht),t=0,1,…,T}(2.8)
称为量子(B,S)-市场中的一个交易策略,如果对每个t=0,1,…,T,htj∈Ht,其中j=0,1,…,d。
按照(2.4)Ht中的元是B(Cn) B(Cn)中的自伴元,它的物理意义是它代表某种可观测量。因此,交易策略是一族可观测量。另外,Ht中的元的“At-1-可测性”说明了投资者的金融头寸由截止到时间t-1的信息确定。
1d定义2 在量子(B,S)-市场中,交易策略C={Ct=(h0t,ht,…,ht),t=0,1,…,T}的价
值过程是如下自伴算子列
C#(B,S)={Ct#(Bt,St),t=0,1,…,T},(2.9)
这里,对每个t=0,1,…,T,
Ct#(Bt,St)=h#Bt+0t01d∑h#jt
j=1dSt.j(2.10)
我们用C(B,S)记量子(B,S)-市场中的交易策略全体。
一旦赋予了交易策略在量子市场中的价值过程以确定的涵义,我们就可以定义量子市场中的套利机会了。
01定义3 在(B,S)-市场中的一个套利机会指的是一个交易策略C={Ct=(ht,ht,…,
htd),t=0,1,…,T},它满足C0#(B0,S0)=0,
CT#(BT,ST)≥0且trCT#(BT,ST)>0;(2.11)
或者,
C0#(B0,S0)
我们用Ca(B,S)记量子(B,S)-市场中的套利机会全体。
对任意t=1,…,T,我们记ΔBt=Bt-Bt-1,ΔSjt=Sjt-Sjt-1,Δhjt=hjt-htj-1和ΔCt#(Bt,St)=Ct#(Bt,St)-Ct-1#(Bt-1,St-1)。则有
dd
jtΔCt#(Bt,St)=h#ΔBt+0t∑h#j=1ΔS+(Δh#Bt-1+jt0t∑Δh#jtj=1St-1).j(2.13)
我们可以合理地假设价值过程的真实变化总是归于ΔB和ΔS的增减,而不是Δh的改变。因此,我们得出下述定义。
定义4 在(B,S)-市场中的交易策略C={Ct=(ht0,ht1,…,hdt),t=0,1,…,T}称为自融资的,如果它的价值过程C#(B,S)={C#(Bt,St),t=0,1,…,T}满足:对t=1,…,T有
td
Ct#(Bt,St)=C0#(B0,S0)+∑(h#ΔBk+0k
k=1∑h#jkj=1ΔSkj).(2.14)
我们用Cs(B,S)记量子(B,S)-市场中的自融资的交易策略全体。
由(2.13)式,自融资条件(2.14)等价于
d
Δh#Bt-1+0t∑Δh#0t
j=1Stj-1=0, t=1,…,T.(2.15)
我们将主要考虑自融资交易策略。以后没有特别说明,我们说的交易策略都是指自融资交易策略。
因为Bt>0,t=0,1,…,T,用第0种无风险证券B={Bt,t=0,1,…,T}做计量单位,我
t-,-们可以考虑一个新的证券市场经济(BS),其中-Bt=1,-St=,t=0,1,…,T。-S称为S的折
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现过程。数学物理学报 Vol.23A
01d任给一个交易策略C={Ct=(ht,ht,…,ht),t=0,1,…,T},它在量子(-B,-S)-市场中的
价值过程C#(-B,-S)={Ct#(-Bt,-St),t=0,1,…,T}满足:对t=0,1,…,T有
Ct#(-Bt,-St)=h0t#1+
01dd∑h#jtj=1-Sjt=Ct#(Bt,St).Bt(2.16)因此,交易策略C={Ct=(ht,ht,…,ht),t=0,1,…,T}是量子(B,S)-市场中的一个套利
机会当且仅当它是量子(-B,-S)-市场中的一个套利机会。从而,量子(B,S)-市场中存在一个套利机会当且仅当量子(-B,-S)-市场中存在一个套利机会。
因为对每个t=1,…,T有
dd
0jj0jj--Δht#Bt-1+∑Δht#St-1=(Δht#Bt-1+∑Δht#St-1),(2.17)Bt-1j=1j=1
所以,交易策略C={Ct=(ht,ht,…,ht),t=0,1,…,T}是量子(B,S)-市场中的自融资交-t=0,此时对t=1,…,易策略当且仅当它是量子(-B,-S)-市场中的自融资交易策略。因为ΔB
T有
-t,-Ct#(BSt)=C0#(-B0,-S0)+
因此,对t=1,…,T,由(2.16)和(2.18)得
Ct#(Bt,St)Δ()=Btdtk=1djkj=101d∑(∑h#jtΔ-Sjk).(2.18)jth#Δ(Bt).∑j=1(2.19)
在比较证券的价格时,人们感兴趣的是它们的相对值,而不是各自的绝对值。这就是为什么
t人们要考虑折现变量-B=B≡1和-S=(Bt)的原因。
3 对冲定价的量子理论
任何一种资产的现在值是未来收入流量在今天的价值,而根据资产的未来收入流量确定资产在今天的价值,就称为资产定价。众所周知,未来收入流量往往是不确定的,因此,如何描述这样的收入流过程就成为资产定价首先需要解决的问题。在经典的理论中,这种不确定的演化过程是用函数形式的随机过程来描述的。在“量子金融”中我们推广这种经典描述方式代之以算子(非交换随机变量)列来描述。从物理的角度来看,这样做意味着我们假设金融市场的演化遵从的是量子规律而不是经典规律。由此出发,我们看到,资产定价的核心问题就是研究未来收益或收益率的量子统计分布假设为已知的金融资产或金融合同在现今时刻的合理价值。在经典情形中,有资产的对冲(套期保值)定价和套利定价的理论。下面我们将经典对冲定价的理论推广到量子情形,至于套利定价理论的量子形式则在[2]中给出。
给定一个量子(B,S)-市场,它的交易日是t=0,1,…,T。以下考虑的交易策略都是指自融资交易策略。又设aT∈AT是一个正算子,它代表终端收入流的量子统计。下面我们简记
Xt=Ct#(Bt,St),t=0,1,…,T,(3.1)
1d其中C={Ct=(h0t,ht,…,ht),t=0,1,…,T}是一个自融资交易策略。
1d定义5 对于λ>0,交易策略C={Ct=(h0t,ht,…,ht),t=0,1,…,T}称为一个上
(λ,aT)-对冲投资组合(或者,一个下(λ,aT)-对冲投资组合),如果CCCTaTTaC(3.
No.1 陈泽乾:量子金融的意义
我们称C为完备的(λ,aT)-对冲投资组合,如果121
X0=λ,XT=aT.(3.3)
对冲是金融中的基本概念,在理论和实际中都起着重要的作用。下面我们用对冲投资组合来确定证券的合理价格。
令
K(λ,aT)={C:X0=λ,XT≥aT}
和
K*(λ,aT)={C:XC0=λ,XCT≤aT}.
*,aT)和K*(λ,aT)分别是上、下(λ,aT)-对冲投资组合全体。K(λ
定义6 我们分别称*CCCC(3.4)(3.5)
C(aT)=inf{λ≥0,K(λ,aT)≠O}
和
C*(aT)=sup{λ≥0,K*(λ,aT)≠O}**(3.6)(3.7)
为aT的对冲上、下价格。
如果对所有λ≥0,K*(λ,aT)=O,我们就置C*(aT)=∞。集合K*(0,aT)≠O,这只需考虑C≡0即可。如果对所有λ≥0,K*(λ,aT)≠O,那么C*(aT)=∞。
定理1 设在量子(B,S)-市场中某金融资产的最终收益分布由aT描述。如果在量子(B,S)-市场中不存在套利机会,那么
C*(aT)≤C(aT)。(3.8)
* 证 假设C*(aT)>C*(aT)。则对C*(aT)>λ1>λ2>C(aT)存在两个交易策略C1和
C2使得
CXC01=λ1, XT1≤aT,
CXC02=λ2, XT2≥aT。*
因此,C2-C1就是一个套利机会。矛盾.
对冲确定的上、下价格有明确的金融涵义,下面的定理说明了这一点。
定理2 设在量子(B,S)-市场中某金融资产的最终收益分布由aT描述。则当它的现今售出价格大于C*(aT)时,销售者就有套利机会;而当它的购买价格小于C*(aT)时,买方就可获得套利机会。
证 设现今售出价为x>C*(aT),即存在交易策略C(x)使得
(x)(x)XC0=x, XCT=aT.
取y满足C*(aT)
(y)(y)XC0=y, XCT≥aT。
两次交易的总收益是
(y)(y)(x-aT)+(XCT-y)=(x-y)+(XCT-aT)≥x-y>0,
这里x+XT是分别在时刻0和时刻T的收入之和,而aT+y是分别在时刻T和时刻0的支出总和。因此,x-y是销售者在(B,S)-市场中的毫无风险的纯收入。销售者获得纯收入x-y的套利机会是交易策略C(y)-C(x)。
现在我们考虑对购买者存在的套利机会。假设他以低于C*(aT)的价格x购买了一个终端支付为aT的金融合同,即存在交易策略C(x)使得(x)(x)C0x,CTTC(y)
122数学物理学报 Vol.23A取y满足x
(y)(y)XC0=y, XCT≤aT。
购买者为获得到T时刻支付流量aT的合同而花费了x,他作如下投资:在时刻0他按交易策略C(-y)=-C(y)在(B,S)-市场中投资(-y)笔钱(即他借y笔钱作投资)。则交易策略C(-y)=-C(y)在时刻T的价值是
(-y)C(y)(y)XCT=X-T=-XCT.
从而两次交易的总收益是
(-y)(y)(aT-x)+(XCT-(-y))=(aT-XCT)+(y-x)≥y-x>0.
所以,如果一个人以低于C*(aT)的价格x购买了一个终端支付为aT的金融合同,则他可以用借贷的方式投资y笔钱获得毫无风险的纯利y-x。购买者获得纯收入y-x的套利机会是交易策略C(x)+C(-y)。
*因此,两个价格区间[0,C*(aT))和(C(aT),∞)都提供套利机会。在公平合理的市场中
**(即(B,S)-市场无套利机会)我们有C*(aT)≤C(aT)。从而,当价格x∈[C*(aT),C(aT)]
*时,销售者和购买者就都没有套利机会,所以,[C*,C]是双方都可接受的浮动价格区间。
现在我们来考虑(B,S)-市场的完备性问题。回顾一下,对一固定的λ和支付形式aT,交
C易策略C称为(λ,aT)-完备的,如果XC0=λ,XCT=aT。这里,等式XT=aT意味着对冲投资组
合C可以复制未定权益aT。有许多理由期望每个金融证券的终端支付形式aT都是可复制
*的。此时,K(λ,aT)∩K*(λ,aT)≠O,从而它的对冲上、下价格相等(我们假设市场是公平合
*理的,从而事先有C*(aT)≤C(aT))。这个价格即为它的对冲价格。
这种情形有特别的意义,我们给予它一个特殊的名称:
定义7 我们称T-期量子(B,S)-证券市场为完备的,如果每个金融证券的终端支付形式aT∈AT都是可复制的。
完备性条件在资产定价中有特别的意义。当市场是完备的时候,我们能够由上市的证券构造出满足我们的要求的任何衍生证券,从而可以由上市证券的价格得到这些衍生证券的价格。反过来,如果我们知道这些衍生证券的价格,则我们又可以得出一般的证券的价格。所以,在完备的市场里任何金融证券的价格可以由上市证券的价格求得。
在实际金融中,完备性条件是一个很苛刻的限制,通常的市场是不会满足这个要求的。在下一节中,我们将证明(定理3),在“完全”量子背景下任何单期量子市场模型都是不完备的。这在很大程度上反应了实际情况。另外,在理论上完备性的判断是一个饶有兴趣的问题,它是与鞅态(风险中性态)的唯一性紧密联系的,见[2]。
4 对冲单期市场
本节我们来详细探讨由对冲确定一步(或单期)量子市场模型的上、下价格的问题和它们的完备性。我们假定单期资本市场(B,S)由一个债券B=(B0,B1)和某个股票(价格)S=(S0,S1)构成,其中B0和S0都是正常数且
B1=B0(1+r), S1=S0(1+a),(4.1)
这里,利率r>-1是一个常数,变化率a∈A1是一个自伴算子,表示股票的不确定浮动价格的变化率,它满足
a=∑λE, λ>jjj
j=1m-1,j=1,…,m,(4.2)
No.1 陈泽乾:量子金融的意义
m
j的事件(投影算子),EjEk=其中Ej是a取值λ0,j≠k,∑Ej=I。j=1123
设f是实数域R上任意实值函数。令a1=f(S1)且C=C(a1),C*=C*(a1)。因为A0=CI,在这个单期量子(B,S)-市场中,交易策略可以用一对实数(U,V)来描述。由定义
**C=inf{UB0+VS0:(U,V)∈K},
C*=sup{UB0+VS0:(U,V)∈K*},
其中
K={(U,V):UB1+VS1≥f(S1)},
K*={(U,V):UB1+VS1≤f(S1)}。
我们考虑K*中的约束条件:
UB0(1+r)+VS0(1+a)≥f(S0(1+a)),(4.3)
并引进一个量子态的集合P:d∈P当且仅当d是诚实的且满足
trda=r。(4.4)
* 从而,如果(U,V)∈K,那么对任何d∈P,有
0UB0+VS0≥tr,1+r
因此,
0*C*=inf{UB0+VS0:(U,V)∈K*}≥dsuptr=x.∈P1+r
同理可得
0C*=sup{UB0+VS0:(U,V)∈K*}≤dinftr=x*.∈P1+r
所以,
C*≤x*≤x*≤C*。(4.5)
这表明当P≠O时C*≤C*。比较定理1知,P≠O与市场没有套利机会存在有某种程度的联系。事实上,我们在[2,3]中证明了这二者是等价的,这就是所谓的资产定价的基本定理。
条件trda=r出现在这里并不是很直接的。但简单的计算可知它等价于
10tr=,B1B0
01,}是一个“鞅”。在[2]中我们详细地研究了这种(非交换)鞅与套利B0B1
的关系,得到了套利定价的量子方案。
现在我们来研究金融中最基本的单期二项式市场的量子模型。此时,股票的不确定浮动价格的变化率a满足
a=λ1E1+λ2E2, -1
令f1=f(S0(1+λ1)),f2=fS0(1+λ2))。解方程组
UB0(1+r)+VS0(1+λ1)=f1,
UB0(1+r)+VS0(1+λ2)=f2,
得唯一解
(1+λ2)f1-(1+λ1)f2f2-f1**U=B0(1+r), V=,21S0(λ2-λ1)
(4.8)***(4.7)
124数学物理学报 Vol.23A
UB1+VS1=f(S1).**(4.9)
从而,
**C*≤UB0+VS0=2-r1(λf1+f2)≤C*.1+rλ2-λ1λ2-λ1
因此,f(S1)的对冲价格是唯一的,为
21C=(f1+f2).(4.10)1+rλ2-λ1λ2-λ1
这个价格公式与用经典二项式模型推导出的公式是一致的。
但是,量子二项式模型比经典二项式模型有更多的物理内涵。这表现在,虽然在二项式市场的经典模型中风险中性世界只有一个元(唯一一个鞅测度),但是二项式市场的量子风险中性世界有连续统个风险中性态,而且它是不完备的。我们首先来刻画它的风险中性态(满足(4.4)的诚实的量子态)全体P。
事实上,单期二项式市场的量子模型可以用一个二能级的量子系统来描述。因此,我们
22只需考虑C,取A1B)。令
1 0 0
-i1 0I2
=,ex=,ey=,ez=,0 1 i 00 -22其中,ex,ey,ez是著名的Pauli旋转矩阵。易知,{I2,ex,ey,ez}是C上可观测量全体O(C)的
一个基。因此,a可以表示为
12a=I2+x0ex+y0ey+z0ez,(4.11)2
其中,x0,y0,z0是三个实数。又令量子态d为
1+zx-iyd=(I2+xex+yey+zez)=,(4.12)22x+iy1-z其中,x,y,z都是实数,它取两个值
λ1=(1-x+y+z),λ2=(1+x+y+z).22
因此,量子态d为诚实的,当且仅当
x2+y2+z2
如果d满足(4.4),那么
12x0x+y0y+z0z=r-。2
故,单期二项式市场的量子风险中性世界由如下量子态d全体构成
d=(I2+xex+yey+zez),2
其中,x,y,z满足条件
x2+y2+z2
(4.13)12x0x
+y0y+z0z=r-,2
12的开圆盘。λ2-λ1
尽管量子风险中性世界的元不是唯一的,但是,风险中性定价原理在单期二项式市场的,其几何意义为:这是R3的单位球中具有半径为
No.1 陈泽乾:量子金融的意义
C=125Edf(S1)=trdf(S1).(4.14)1+r1+r
量子二项式模型与经典二项式模型的另一个不同之处是市场的完备性问题,即我们有
定理3 对C2上任意单期量子金融模型(B,S),在量子背景A0=CI和A1=B(C2)下它是不完备的。
证 因为A0=CI,我们有
{XC1=C#(B1,S1)|C∈C(B,S)}={T+US1|T,U∈R},
它至多是实二维的。因此,至少有两个Pauli旋转矩阵在(B,S)中是不可复制的。所以,金融
2模型(B,S)在量子背景A0=CI和A1=B(C)下是不完备的。
最后,我们来看一个简单例子。考虑在单期二项式的量子(B,S)-市场中买卖股票S的
+欧式看涨期权(S1-K),其中K为它的执行价格。因为
(S1-K)+=max(0,S0(1+λ1)-K)E1+max(0,S0(1+λ2)-K)E2,
记f1=max(0,S0(1+λ1)-K),f2=max(0,S0(1+λ2)-K),记0时刻该期权的价值为C,那么由(4.10)有
21C=(f1+f2)。(4.15)1+rλ2-λ1λ2-λ1
这个公式与用经典二项式模型推导出的公式是一致的。
5 结论性注释
不确定性是金融市场中风险资产演化的主要特征之一,合理地描述它要用到数学理论。在以往的理论中这种不确定性通常是采用经典概率理论来阐述的。那么,本文采用量子理论来阐述金融市场的统计规律的意义何在呢?让我们用金融中最基本的二项式模型来说明它的涵义。
二项式市场的经典模型由一个无风险资产(银行存款)B=(B0,B1)和风险资产(股票)S=(S0,S1)构成,其中B0和S0都是正常数且
B1=B0(1+r), S1=S0(1+R),
这里,利率r>-1是一个常数,R是一个随机变量,表示股票的不确定浮动价格的变化率,它取两个值λ1和λ2:
p=P(R=λ1), q=1-p=P(R=λ2)。
这里,p(或者,q)是人们通常所说的股票下跌(或者,上涨)的概率。同样,我们考虑在此市场
+中买卖股票S的欧式看涨期权(S1-K),其中K是执行价格。简记
f1=max(0,S0(1+λ1)-K), f2=max(0,S0(1+λ2)-K).
记今天期权价值为C,则有
211+C=1+r(λff2).2-λ1λ2-λ1
注意,这个公式就是(4.15),但它没有包含股票下跌(或者,上涨)的概率值p(或者,q)。这是什么原因呢?
在金融学界一种流行的解释是:“我们并不是在绝对意义下给期权定价,而是以标的股票的价格计算期权的值。而上涨和下跌的概率已经包含在股票的定价过程中,这说明我们依,])[7,8]
126数学物理学报 Vol.23A义下给期权定价”的金融涵义是什么,这种解释在数学上是站不住脚的。
我们知道,经典二项式模型是在概率论开创时期的十八世纪由J.Bernoulli建立的,也称为J.Bernoulli随机变量,是概率论中最基本的模型,其数学意义是很明确的;而且,它已被成功地用于物理、化学等自然科学中。让我们来说明它的数学涵义。不妨设S0=150,r=
,2=。则0和λ1=-5λ5
p=P(S1=90), q=P(S1=180).
令K=150,对欧式看涨期权(S1-K)有
f1=max(0,S0(1+λ1)-K)=0, f2=max(0,S0(1+λ2)-K)=30.
如果股票下跌的概率为,则欧式看涨期权(S1-K)+的期望值为2
+E(S1-K)=30×+0×=15.22
可以追溯到概率论开创时期的J.Bernoulli和C.Huygens等先驱者们的经典观点是,除去
+折现值(我们已假设折现利率r=0),期望值E(S1-K)就应该是此期权的合理价格。这就
是经典二项式模型的数学涵义。必须强调的是,此刻的这个量是与股票下跌(或者,上涨)的
+概率有关的。当p=时。E(S1-K)=15.但当p≠时我们得到另一个期望值,从而得到22
另一个期权价格。这与我们上面所得公式(4.15)是不一致的。这是什么原因了?
毫无疑问,经典二项式模型的数学意义是没有问题的、正确的。当然,公式(4.15)也是正确的。那么问题到底出在哪里呢?作者认为,一方面,二项式市场是金融中的问题,另一方面,经典二项式模型是数学中的问题;问题就在于我们并没有先验的理由直接采用J.Bernoulli随机变量来描述二项式市场,把经典二项式模型等价于二项式市场。我们看到,在Hull的标准解释中并没有说明为什么一定要用J.Bernoulli随机变量来描述二项式市场,这就是他的解释站不住脚的地方,换言之,他并没有真正理解经典二项式模型的数学意义。事实上,在自然界中的二项式问题的涵义并不都是一样的。比如,掷硬币和光子的偏振都是二项式问题,但它们的意义是不同的。掷硬币可以用J.Bernoulli随机变量来描述,光子的偏振就不行,它要用量子变量描述,因为它的演化是量子行为。
由上面的分析,我们发现用J.Bernoulli随机变量来描述二项式市场是不恰当的——其实,这个问题早已发现,只是大金融专家们不愿意面对而已,所以才出现了Hull等人的那种似是而非的解释,之后的学者们也就人云亦云、三人成虎罢了。我们的量子二项式模型正好能弥补这一缺陷(详细的物理论述请见[1]),它似乎才真正反映金融市场的实在。用量子理论来阐述经典理论的困惑,这种情况曾不止一次地出现在物理学中。例如关于光的传播理论,首先是牛顿的粒子说,但它不能说明光的干涉和衍射现象。继而有C.Huygens的波动说,以及后来Maxwell建立的电磁波理论。但是,这个理论并不能解释黑体辐射、光电效应等问题。最终的正确解答是Planck和Einstein关于光的量子论。这说明在微观世界的活动中我们必须习惯于量子理论的描述。
为了进一步说明“量子金融”的意义,下面我们简要说明如何用量子模型推出著名的
期二项式市场(B,S),我Cox-Ross-Rubinstein期权定价公式(详细情况见[2,11])。考虑N-
们用N个可分辨粒子模型来描述它,其中每个粒子都是二能级的。为此,令Hn=(C2) n且记1n1n1n+
No.1 陈泽乾:量子金融的意义127则{|1…Xn〉:X1,…,Xn=0,1}是Hn=(C2) n的自然基。给定-1
市场(B,S)为:B0和S0是正常数,对n=1,2,…,N,
Bn=B0(1+r), Sn=S0 (1+aj) IN-n,j=1
这里IN-n是HN-n上的恒等映射,
λ1+λ2λ2-λ12aj=I2+xjex+yjey+zjez,x2j+y2j+zj=, j=1,…,n.22
这个N-期市场的量子滤子为((C2) N,{An}Nn=0),这里A0=CIN,
An=B((C2) n) IN-n={a IN-n:a∈B((C2) n)},n=1,…,N.
Nnn
设dj是单期量子二项式市场((B0,B1),(S0,S0(1+aj)))的风险中性态。则易证 dj是j=1N-期二项式市场(B,S)的风险中性态。因此,对于N-期二项式市场(B,S)的欧式看涨期权
++(SN-K),由风险中性定价原理,(SN-K)的价值为
+CN=tr( dj(SN-K))j=1N
nN-nqn(1-q)N-n[S0(1+λ2)(1+λ1)-K]+,(5.1)(1+r)n=0n!(N-n)!
整理后即得Cox-Ross-Rubinstein期权定价公式
-)-K(1+r)-NH(fCN=S0H(f;N,q;N,q),(5.2)
12nN-n-=q其中q=,q,f=min{n:S0(1+λ2)(1+λ1)>K}以及λ1-λ21+r
nH(m;n,p)=∑pj(1-p)n-j.j=mj!(n-j)!
上面我们用来推出Cox-Ross-Rubinstein期权定价公式的模型是可分辨粒子模型。因此,经典的Cox-Ross-Rubinstein期权定价公式的N-期二项式市场遵从Maxwell-Boltzmann统计。这样,我们就赋予了Cox-Ross-Rubinstein期权定价公式以明确的物理意义。
在物理中除了可分辨粒子模型外,还有不可分辨粒子模型,即所谓的全同粒子体系。我们用对称全同粒子体系来描述N-期二项式市场(B,S)(反对称全同粒子体系对多期二项式市场没有意义),则有
∧λ1+λ2SN=S0(1+a) N,a=I2+x0ex+y0ey+z0ez.2
因此,对这个N-期二项式市场(B,S)的欧式看涨期权(SN-K)+,由风险中性定价原理,其价值为=N∑
CN=tr(d(SN-K))
=(1+r)N
N∧+∑knN-nnN-n[S0(1+λ2)(1+λ1)-K]+,(5.3)n=0∑q(1-
k=0q)N-k
1.λ2-λ1
公式(5.3)是N-期二项式市场(B,S)遵从Bose-Einstein统计(不可分辨粒子模型)的期权定价公式。这是一个新的期权定价公式[11]。由于Bose-Einstein统计(不可分辨粒子模型nn()这里d是满足(4.13)的任意一个态,q=
128数学物理学报 Vol.23A子模型,我们可以预见期权定价公式(5.3)如同Cox-Ross-Rubinstein期权定价公式(5.2)一样将在金融市场的理论与实践中起基本的作用。
参 考 文 献
[1] ChenZeqian.Quantumtheoryforthebinomialmodelinfinancetheory.www.arxiv.org/quant-ph/0112156
[2] ChenZeqian.Quantumfinance:Thefinitedimensionalcase.www.arxiv.org/quant-ph/0112158
[3] ChenZeqian.Anon-commutativeversionofthefundamentaltheoremofassetpricing.SubmittedtoActaMathSci
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学原理,陈咸亨译,北京:科学出版社,1965)
[5] ParthasarathyKR.AnIntroductiontoQuantumStochasticCalculus.Basel:BirkhauserVerlag,1992
[6] ShorPW.Quantumcomputing.DocMathExtra,1998,ICMI:467-486.(中译文,量子计算,陈泽乾译,数学译
林,2002,21(4))
[7] 哈里·马可威茨著,刘军霞,张一弛译.资产选择-投资的有效分散化(第二版).北京:首都经济贸易大学出版社,
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[8] 理查德·斯通著,楼克明等译.社会科学中的数学和其他论文.北京:首都经济贸易大学出版社,2000
[9] HullJC.Options,Futures,&OtherDerivatives(4thedition).Princeton:Prentice-Hall,Inc.,2000
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TheMeaningofQuantumFinance
ChenZeqian
(WuhanInstituteofPhysicsandMathematics,ChineseAcademyofSciences,Wuhan430071,zqchen@wipm.ac.cn)Abstract:Thispaperisthesequeloftheauthor'spapers[1],[2],and[3].Quantummechanicsisinvolvedtopresentanewversionofhedgingcontingentclaims.Thefinancialmeaningofsomeresultsobtainedinthesenseofquantumtheoryisstudied.Finally,butnotatlast,theauthortrieshisbesttoexplain,insomedetails,whyweshouldusequantumfinancialmodelsinreal-worldfinancialmarkets.
Keywords:Self-adjointoperators;Quantumstates;Financialmarkets;Quantumtradingstrategies;Hedgingcontingentclaims;Assetpricing.
MR(2000)SubjectClassification:91B28;46L53
2003,23A(1):115-128
数学物理学报
量子金融的意义
陈泽乾
(中国科学院武汉物理与数学研究所 武汉430071)
摘要:金融市场中的风险资产的演化过程遵从某种统计规律。这种统计规律通常是采用经典概率理论来加以阐述的。最近,作者提出了从量子力学的角度来探讨金融问题的设想[1],[2],[3]。其中,作者不仅从量子力学的角度用Maxwell-Boltzmann统计重新推导了著名的Cox-Ross-Rubinstein期权定价公式,而且还用量子力学中的Bose-Einstein统计(不可分辨粒子模型)得到了一个新的期权定价公式。这表明在理论上存在着一套关于金融市场的和谐的“量子理论”——量子金融。本文从对冲的角度来阐述这种潜在理论的金融意义和可能的实际内涵。作者给出了对冲定价的量子方案,详细讨论了单期金融市场的量子对冲问题。最后,作者解释了为什么(某些)金融市场在物理上要遵循量子规律,而不是经典统计规律。
关键词:自伴算子;量子态;金融市场;量子交易策略;对冲;资产定价。
MR(2000)主题分类:91B28;46L53 中图分类号:G10;G12 文献标识码:A
文章编号:1003-3998(2003)01-115-14
1 量子的数学涵义
本文是作者关于“量子金融”的工作[1,2,3]的继续,我们只考虑多期金融市场,不考虑
[4]连续金融情形,因此我们只需考虑有限量子系统情形。量子是一个物理概念。在数学上,量
子是用复Hilbert空间来描述的[5]。有限量子系统可以用有限维复Hilbert空间来描述,因此,不失一般性,在本文中我们只需考虑n维复线性空间Cn。按照Dirac的记号[4],为描述那些与量子系统相联系的向量,我们用右矢这个特殊的名称,并用一个特殊的符号|〉来表示一个一般的右矢。如果我们要用一个字母,例如x来指明它们中特定的一个,我们把这个字母
n插在中间,写成|x〉。这里,右矢|x〉表示C中的向量,有时也直接记作x。
对每个右矢|,它确定H上的一个有界线x〉,由Riesz表示定理,相应地有一个左矢〈x|
性泛函:对任意y∈Cn有〈x‖y〉=〈x,y〉,这里〈x,y〉表示Cn中x和y的自然内积。注意,这里的内积关于第一个变元为共轭线性的,第二个为线性的,这与多数数学书上的约定是不一致的。这种约定以及下面的一些约定是Dirac[4]引进的,在量子物理中使用较方便。我们将沿袭他的用法。记‖x‖=〈x,x〉为|x〉的范数。范数为1的右矢称为单位向量。我们用
nn{|0〉,|1〉,…,|n-1〉}表示C中的自然基,其中|j-1〉表示C中在第j行为1而在其他行
为0的列向量。|0〉,|1〉,…,|n-1〉都是单位向量。
nnn用B(C)表示C上的全体算子。C上的算子在自然基{|0〉,|1〉,…,|n-1〉}下与n×n081/2
116数学物理学报 Vol.23A阶矩阵一一对应。我们以后对它们不加区分。给定Cn中的一个算子a,必有唯一算子a*满足:对Cn中所有的|x〉,|y〉有
〈x,ay〉=〈ax,y〉.
**我们称a为a的共轭算子。如果a=a,我们称a为自伴算子或Hermite算子。通常,相应
*于自伴算子a的矩阵仍记为a,并称它为自伴矩阵或Hermite矩阵,即a与它的共轭转置a
nn相等。C上的自伴算子(矩阵)全体记作O(C)。自伴算子或Hermite算子(矩阵)在量子物理中又称为可观测量,它们是经典随机变量的量子对应物,在数学中称为非交换随机变量,是量子概率的研究对象。有两类很重要的自伴算子(矩阵),它们分别是正算子和投影算子。
n算子a称为正算子,如果对任何x∈C有
〈x,ax〉≥0。
nn对a,b∈O(C),如果a-b为正算子,那么就称a大于b,记作a≥b或b≤a。易证,≥在O(C)
中定义了一个偏序。
nn对C中的任意一个闭子空间E,由投影定理,每个x∈C在E上有唯一投影。由此我们
n定义一个算子,它将每个x∈C映射到E上的投影,我们称它为投影算子。这个算子由E唯
一确定,故我们不加区别地直接记作E。任何投影算子E满足0≤E≤1。这里以及下面,如
n果λ是一个数,它经常用来表示算子λI,其中I表示C中的恒等算子或单位矩阵。在量子概
率中,投影算子又称为事件,它们是经典概率中的事件的量子对应物。
一维投影称为原子,其意义是它不能表示为两个非零事件之和。在具有n个样本点的经
nn典概率空间中,其所有事件的Borel代数有2个元和n个原子。但在相应的量子对应C中,
它有连续统的事件,而且其原子全体与n维复投影平面形成一一对应,是一个2n-2维实流形。
nn|x〉〈y|表示|x〉和|y〉的外积,它是C中的算子,定义为:对任意|z〉∈C有
|x〉〈y||z〉=〈y,z〉|x〉。
任给C上的一个算子a和正交基{e1,…,en},数值
nn*
tra=
n∑〈e,ae〉,jjj=1n独立于正交基{e1,…,en},称为a的迹。C中具有迹为1的正算子称为态(states)。给定C的
一个态d,我们称(Cn,d)为一个简单(或n维)量子概率空间。对投影算子E,trdE称为事件E在态d上发生的概率。由谱分解定理,每个态d都可以表示为
d=
其中{u}njj=1n∑nj=1pj|uj〉〈uj|,n是C中的一个正交基,pj≥0,j=1,…,n,是d的n个特征值(计重数)且∑pj
j=1
=1。如果所有的pj>0,那么称d是诚实的(faithful)。由上述态的表示,全体态构成O(Cn)中的一个凸集,它的端点集为一维投影算子全体。为此,一维投影算子又称为纯态(purestates)。显然,当d=|u〉〈u|为纯态时,tr|u〉〈u|E=〈u,Eu〉。我们不规范地称任意单位向量u为一个纯态,其实它是代表|u〉〈u|。值得注意的是,在具有n个基本事件的经典概率空间上全体概率分布的端点集恰为n个只在一点不退化的概率测度全体。但在它的量子类似n维量子概率空间上,全体纯态是一个2n-2维实流形。
n如果一个量子系统用C来描述,那么它的每个物理量都要用一个自伴算子来表示。因
n此)
No.1 陈泽乾:量子金融的意义117一个物理量。但是,即使在严格量子系统中,并不是每个可观测量都代表一个“有价值的”物理量,通常只有少数可观测量对描述这个物理系统有价值和意义,比如,能量、动量、位置和角动量等等。
但是,在数学上有一套普遍的方法来描述可观测量。下面就来讨论可观测量的数学运算。设a是一个可观测量,因为它是自伴算子,按照谱分解定理,它的本征值都是实数而且有如下唯一分解
a=∑λE,jj
j=1
m
j=1m其中λ1
的本征值和相应的本征投影,或用量子概率的语言讲,a取λ1,…,λm这些值且Ej是a取值λj的事件,或用量子物理的语言讲,对a测量我们能够且仅能够得到λ1,…,λm这些值。
有了谱分解,我们可以引进对a的泛函演算:对实数域R上任意(复值)函数f,定义f(a)如下
f(a)=∑m
j=1f(λj)Ej.
则f→f(a)定义了一个从R上有界实值函数的代数到B(Cn)的代数同态。
设d是一个态,可观测量a=
d下的期望值是Ed[a]=
jjjE。从而a在态∑λE。则在态d下a取值λ的概率是trdjjjjjjE∑λtrdkjj=trda。a在态d下的k阶矩等于jE∑λtrdk=trdjEj=trdak=Ed[ak].∑λ
一般地说,对R上的标量值函数f,f(a)在态d下的期望值Ed[f(a)]=trdf(a)。特别是,对一个单位元x∈Cn,可观测量a在态x(即d=|x〉〈x|)下的期望值是〈x,ax〉,k阶矩为〈x,ax〉。进一步,如果可观测量a是非负的(算子),那么在每个态d下的期望值trda≥0。因
n此,在一个态d下的期望是从O(C)到R的非负线性泛函且在单位可观测量1处取值为1。
我们这里描述的是量子系统在数学上的一些很基本的事实。需要说明的是,在物理上量子系统有一些与经典系统很不相同的基本属性,比如量子迭加、量子纠缠和量子干涉等,它们有着特别的理论意义和实际运用。在新近兴起的量子计算和量子信息理论中,这些量子属性有本质的作用[6]。这从一个侧面说明,量子理论的应用不仅仅局限于物理学本身,在其他领域的应用也是很广泛的。在表面上看来与量子力学不相关的领域,其实它们之间有着本质的联系。
作者提出从量子力学的角度来研究金融市场时,起初是从数学上来加以考虑的[3]。随后的研究表明,这样的探讨不只是数学形式上的推广,而是有着本质的物理内涵的。在[2]中我们不仅可以用量子二项式模型的Maxwell-Boltzmann统计(可分辨粒子模型)推出著名的Cox-Ross-Rubinstein期权定价公式,而且可以用量子二项式模型的Bose-Einstein统计(不可分辨粒子模型)推出新的期权定价公式。这样,我们就不仅赋予了多期二项式市场的Cox-Ross-Rubinstein期权定价公式以明确的物理意义,还从基本的物理模型出发得出了新的期权定价公式。因此,金融市场与量子理论的联系是有意义的。
本文继续作者先前的工作,我们将从对冲的角度来阐述金融市场的量子意义。除本节外k
118数学物理学报 Vol.23A定价的量子理论。第四节详细研究单期金融市场的量子对冲的定价问题。最后,我们讨论了为什么(某些)金融市场在物理上要遵循量子力学规律,而不是经典统计规律。
2 交易的量子方案
我们假设所考虑的多期证券市场的演化过程遵从某种量子统计规律,它的不确定经济环境由量子滤子
(Cn,(At)tT=0)(2.1)
来描述,其中(At)t=0表示量子信息结构。这里每个At(t=0,1,…,T)都是B(C)的*-子代数且
At-1 At, t=1,…,T,(2.2)
nn子代数A是指A是B(Cn)A0=CI为平凡子代数,其中I为C上的恒等算子。B(C)的*-
*中的一个复线性子空间且满足:对A中任意的算子a,b,有ab∈A和a∈A。量子滤子(2.
1)描述的是一个T期纯交换经济,在该经济中存在T+1个交易日t=0,1,…,T,自然的真实状态是随着时间的推移而逐渐显现出来的,直到经济的最后期限时真实状态才会完全显示出来。当然,从物理上讲,要得到实际的数据是要做量子测量的。此时,演化过程的不确定性才表现出来。
设该证券市场经济具有d+1种长期证券。不失一般性,我们设第0种证券为一种风险自由(risk-free)的证券,例如债券或者银行帐号,它由一列正数Bt(t=0,1,…,T)来刻划。另外d种证券为风险证券,如股票,它们的价格分别由正算子列(非交换随机过程)
Sj=(Stj)tT=0, j=1,…,d,(2.3)
描述,其中Sjt∈At,j=1,…,d;t=0,1,…,T。换言之,第j种证券在t时刻的价格,用量子物Tn理的语言来说,是观测Stj得到的值,即Stj的特征值。这些值一般不止一个,而且我们只知道jjSt∈At,因此,在t时刻以前我们是不能确定St的取值的。为了简便,我们把这个证券市场经济记作(B,S),称为量子(B,S)-市场,其中S=(S,…,S)。
现在我们来考虑在量子(B,S)-市场中的交易问题。因为用来描述风险证券演化行为的是算子而不是数值函数,我们不能以一种直接的方案来定义交易策略。为了从数学上合理地
nnn定义量子交易策略,我们考虑代数张量积空间B(C) B(C)。首先,在它上面由B(C)诱导
了一个自然的*-运算:对任何ak,bk∈B(Cn)和λk∈C定义
***-kak bk)kbk ak.(λ=λ(2.4)1d∑k∑k
其次,给定h=
∈B(C),n∑λa b∈kkkkB(Cn) B(Cn),我们在B(Cn)上定义一个#-运算:对任意c
h#c=(∑λkak bk)#c=k∑λacb.kkkk(2.5)
(2.6)
(2.7)如果c∈B(Cn)是自伴的,那么(h#c)*=h*#c.令*Ht={∑λkak ak|λk∈R,ak∈At-1}, t=1,…,T,
k
且0t(Cnn)
No.1 陈泽乾:量子金融的意义
定义1 向量序列119
C={Ct=(ht,ht,…,ht),t=0,1,…,T}(2.8)
称为量子(B,S)-市场中的一个交易策略,如果对每个t=0,1,…,T,htj∈Ht,其中j=0,1,…,d。
按照(2.4)Ht中的元是B(Cn) B(Cn)中的自伴元,它的物理意义是它代表某种可观测量。因此,交易策略是一族可观测量。另外,Ht中的元的“At-1-可测性”说明了投资者的金融头寸由截止到时间t-1的信息确定。
1d定义2 在量子(B,S)-市场中,交易策略C={Ct=(h0t,ht,…,ht),t=0,1,…,T}的价
值过程是如下自伴算子列
C#(B,S)={Ct#(Bt,St),t=0,1,…,T},(2.9)
这里,对每个t=0,1,…,T,
Ct#(Bt,St)=h#Bt+0t01d∑h#jt
j=1dSt.j(2.10)
我们用C(B,S)记量子(B,S)-市场中的交易策略全体。
一旦赋予了交易策略在量子市场中的价值过程以确定的涵义,我们就可以定义量子市场中的套利机会了。
01定义3 在(B,S)-市场中的一个套利机会指的是一个交易策略C={Ct=(ht,ht,…,
htd),t=0,1,…,T},它满足C0#(B0,S0)=0,
CT#(BT,ST)≥0且trCT#(BT,ST)>0;(2.11)
或者,
C0#(B0,S0)
我们用Ca(B,S)记量子(B,S)-市场中的套利机会全体。
对任意t=1,…,T,我们记ΔBt=Bt-Bt-1,ΔSjt=Sjt-Sjt-1,Δhjt=hjt-htj-1和ΔCt#(Bt,St)=Ct#(Bt,St)-Ct-1#(Bt-1,St-1)。则有
dd
jtΔCt#(Bt,St)=h#ΔBt+0t∑h#j=1ΔS+(Δh#Bt-1+jt0t∑Δh#jtj=1St-1).j(2.13)
我们可以合理地假设价值过程的真实变化总是归于ΔB和ΔS的增减,而不是Δh的改变。因此,我们得出下述定义。
定义4 在(B,S)-市场中的交易策略C={Ct=(ht0,ht1,…,hdt),t=0,1,…,T}称为自融资的,如果它的价值过程C#(B,S)={C#(Bt,St),t=0,1,…,T}满足:对t=1,…,T有
td
Ct#(Bt,St)=C0#(B0,S0)+∑(h#ΔBk+0k
k=1∑h#jkj=1ΔSkj).(2.14)
我们用Cs(B,S)记量子(B,S)-市场中的自融资的交易策略全体。
由(2.13)式,自融资条件(2.14)等价于
d
Δh#Bt-1+0t∑Δh#0t
j=1Stj-1=0, t=1,…,T.(2.15)
我们将主要考虑自融资交易策略。以后没有特别说明,我们说的交易策略都是指自融资交易策略。
因为Bt>0,t=0,1,…,T,用第0种无风险证券B={Bt,t=0,1,…,T}做计量单位,我
t-,-们可以考虑一个新的证券市场经济(BS),其中-Bt=1,-St=,t=0,1,…,T。-S称为S的折
No.1 陈泽乾:量子金融的意义
定义1 向量序列119
C={Ct=(ht,ht,…,ht),t=0,1,…,T}(2.8)
称为量子(B,S)-市场中的一个交易策略,如果对每个t=0,1,…,T,htj∈Ht,其中j=0,1,…,d。
按照(2.4)Ht中的元是B(Cn) B(Cn)中的自伴元,它的物理意义是它代表某种可观测量。因此,交易策略是一族可观测量。另外,Ht中的元的“At-1-可测性”说明了投资者的金融头寸由截止到时间t-1的信息确定。
1d定义2 在量子(B,S)-市场中,交易策略C={Ct=(h0t,ht,…,ht),t=0,1,…,T}的价
值过程是如下自伴算子列
C#(B,S)={Ct#(Bt,St),t=0,1,…,T},(2.9)
这里,对每个t=0,1,…,T,
Ct#(Bt,St)=h#Bt+0t01d∑h#jt
j=1dSt.j(2.10)
我们用C(B,S)记量子(B,S)-市场中的交易策略全体。
一旦赋予了交易策略在量子市场中的价值过程以确定的涵义,我们就可以定义量子市场中的套利机会了。
01定义3 在(B,S)-市场中的一个套利机会指的是一个交易策略C={Ct=(ht,ht,…,
htd),t=0,1,…,T},它满足C0#(B0,S0)=0,
CT#(BT,ST)≥0且trCT#(BT,ST)>0;(2.11)
或者,
C0#(B0,S0)
我们用Ca(B,S)记量子(B,S)-市场中的套利机会全体。
对任意t=1,…,T,我们记ΔBt=Bt-Bt-1,ΔSjt=Sjt-Sjt-1,Δhjt=hjt-htj-1和ΔCt#(Bt,St)=Ct#(Bt,St)-Ct-1#(Bt-1,St-1)。则有
dd
jtΔCt#(Bt,St)=h#ΔBt+0t∑h#j=1ΔS+(Δh#Bt-1+jt0t∑Δh#jtj=1St-1).j(2.13)
我们可以合理地假设价值过程的真实变化总是归于ΔB和ΔS的增减,而不是Δh的改变。因此,我们得出下述定义。
定义4 在(B,S)-市场中的交易策略C={Ct=(ht0,ht1,…,hdt),t=0,1,…,T}称为自融资的,如果它的价值过程C#(B,S)={C#(Bt,St),t=0,1,…,T}满足:对t=1,…,T有
td
Ct#(Bt,St)=C0#(B0,S0)+∑(h#ΔBk+0k
k=1∑h#jkj=1ΔSkj).(2.14)
我们用Cs(B,S)记量子(B,S)-市场中的自融资的交易策略全体。
由(2.13)式,自融资条件(2.14)等价于
d
Δh#Bt-1+0t∑Δh#0t
j=1Stj-1=0, t=1,…,T.(2.15)
我们将主要考虑自融资交易策略。以后没有特别说明,我们说的交易策略都是指自融资交易策略。
因为Bt>0,t=0,1,…,T,用第0种无风险证券B={Bt,t=0,1,…,T}做计量单位,我
t-,-们可以考虑一个新的证券市场经济(BS),其中-Bt=1,-St=,t=0,1,…,T。-S称为S的折
120
现过程。数学物理学报 Vol.23A
01d任给一个交易策略C={Ct=(ht,ht,…,ht),t=0,1,…,T},它在量子(-B,-S)-市场中的
价值过程C#(-B,-S)={Ct#(-Bt,-St),t=0,1,…,T}满足:对t=0,1,…,T有
Ct#(-Bt,-St)=h0t#1+
01dd∑h#jtj=1-Sjt=Ct#(Bt,St).Bt(2.16)因此,交易策略C={Ct=(ht,ht,…,ht),t=0,1,…,T}是量子(B,S)-市场中的一个套利
机会当且仅当它是量子(-B,-S)-市场中的一个套利机会。从而,量子(B,S)-市场中存在一个套利机会当且仅当量子(-B,-S)-市场中存在一个套利机会。
因为对每个t=1,…,T有
dd
0jj0jj--Δht#Bt-1+∑Δht#St-1=(Δht#Bt-1+∑Δht#St-1),(2.17)Bt-1j=1j=1
所以,交易策略C={Ct=(ht,ht,…,ht),t=0,1,…,T}是量子(B,S)-市场中的自融资交-t=0,此时对t=1,…,易策略当且仅当它是量子(-B,-S)-市场中的自融资交易策略。因为ΔB
T有
-t,-Ct#(BSt)=C0#(-B0,-S0)+
因此,对t=1,…,T,由(2.16)和(2.18)得
Ct#(Bt,St)Δ()=Btdtk=1djkj=101d∑(∑h#jtΔ-Sjk).(2.18)jth#Δ(Bt).∑j=1(2.19)
在比较证券的价格时,人们感兴趣的是它们的相对值,而不是各自的绝对值。这就是为什么
t人们要考虑折现变量-B=B≡1和-S=(Bt)的原因。
3 对冲定价的量子理论
任何一种资产的现在值是未来收入流量在今天的价值,而根据资产的未来收入流量确定资产在今天的价值,就称为资产定价。众所周知,未来收入流量往往是不确定的,因此,如何描述这样的收入流过程就成为资产定价首先需要解决的问题。在经典的理论中,这种不确定的演化过程是用函数形式的随机过程来描述的。在“量子金融”中我们推广这种经典描述方式代之以算子(非交换随机变量)列来描述。从物理的角度来看,这样做意味着我们假设金融市场的演化遵从的是量子规律而不是经典规律。由此出发,我们看到,资产定价的核心问题就是研究未来收益或收益率的量子统计分布假设为已知的金融资产或金融合同在现今时刻的合理价值。在经典情形中,有资产的对冲(套期保值)定价和套利定价的理论。下面我们将经典对冲定价的理论推广到量子情形,至于套利定价理论的量子形式则在[2]中给出。
给定一个量子(B,S)-市场,它的交易日是t=0,1,…,T。以下考虑的交易策略都是指自融资交易策略。又设aT∈AT是一个正算子,它代表终端收入流的量子统计。下面我们简记
Xt=Ct#(Bt,St),t=0,1,…,T,(3.1)
1d其中C={Ct=(h0t,ht,…,ht),t=0,1,…,T}是一个自融资交易策略。
1d定义5 对于λ>0,交易策略C={Ct=(h0t,ht,…,ht),t=0,1,…,T}称为一个上
(λ,aT)-对冲投资组合(或者,一个下(λ,aT)-对冲投资组合),如果CCCTaTTaC(3.
No.1 陈泽乾:量子金融的意义
我们称C为完备的(λ,aT)-对冲投资组合,如果121
X0=λ,XT=aT.(3.3)
对冲是金融中的基本概念,在理论和实际中都起着重要的作用。下面我们用对冲投资组合来确定证券的合理价格。
令
K(λ,aT)={C:X0=λ,XT≥aT}
和
K*(λ,aT)={C:XC0=λ,XCT≤aT}.
*,aT)和K*(λ,aT)分别是上、下(λ,aT)-对冲投资组合全体。K(λ
定义6 我们分别称*CCCC(3.4)(3.5)
C(aT)=inf{λ≥0,K(λ,aT)≠O}
和
C*(aT)=sup{λ≥0,K*(λ,aT)≠O}**(3.6)(3.7)
为aT的对冲上、下价格。
如果对所有λ≥0,K*(λ,aT)=O,我们就置C*(aT)=∞。集合K*(0,aT)≠O,这只需考虑C≡0即可。如果对所有λ≥0,K*(λ,aT)≠O,那么C*(aT)=∞。
定理1 设在量子(B,S)-市场中某金融资产的最终收益分布由aT描述。如果在量子(B,S)-市场中不存在套利机会,那么
C*(aT)≤C(aT)。(3.8)
* 证 假设C*(aT)>C*(aT)。则对C*(aT)>λ1>λ2>C(aT)存在两个交易策略C1和
C2使得
CXC01=λ1, XT1≤aT,
CXC02=λ2, XT2≥aT。*
因此,C2-C1就是一个套利机会。矛盾.
对冲确定的上、下价格有明确的金融涵义,下面的定理说明了这一点。
定理2 设在量子(B,S)-市场中某金融资产的最终收益分布由aT描述。则当它的现今售出价格大于C*(aT)时,销售者就有套利机会;而当它的购买价格小于C*(aT)时,买方就可获得套利机会。
证 设现今售出价为x>C*(aT),即存在交易策略C(x)使得
(x)(x)XC0=x, XCT=aT.
取y满足C*(aT)
(y)(y)XC0=y, XCT≥aT。
两次交易的总收益是
(y)(y)(x-aT)+(XCT-y)=(x-y)+(XCT-aT)≥x-y>0,
这里x+XT是分别在时刻0和时刻T的收入之和,而aT+y是分别在时刻T和时刻0的支出总和。因此,x-y是销售者在(B,S)-市场中的毫无风险的纯收入。销售者获得纯收入x-y的套利机会是交易策略C(y)-C(x)。
现在我们考虑对购买者存在的套利机会。假设他以低于C*(aT)的价格x购买了一个终端支付为aT的金融合同,即存在交易策略C(x)使得(x)(x)C0x,CTTC(y)
122数学物理学报 Vol.23A取y满足x
(y)(y)XC0=y, XCT≤aT。
购买者为获得到T时刻支付流量aT的合同而花费了x,他作如下投资:在时刻0他按交易策略C(-y)=-C(y)在(B,S)-市场中投资(-y)笔钱(即他借y笔钱作投资)。则交易策略C(-y)=-C(y)在时刻T的价值是
(-y)C(y)(y)XCT=X-T=-XCT.
从而两次交易的总收益是
(-y)(y)(aT-x)+(XCT-(-y))=(aT-XCT)+(y-x)≥y-x>0.
所以,如果一个人以低于C*(aT)的价格x购买了一个终端支付为aT的金融合同,则他可以用借贷的方式投资y笔钱获得毫无风险的纯利y-x。购买者获得纯收入y-x的套利机会是交易策略C(x)+C(-y)。
*因此,两个价格区间[0,C*(aT))和(C(aT),∞)都提供套利机会。在公平合理的市场中
**(即(B,S)-市场无套利机会)我们有C*(aT)≤C(aT)。从而,当价格x∈[C*(aT),C(aT)]
*时,销售者和购买者就都没有套利机会,所以,[C*,C]是双方都可接受的浮动价格区间。
现在我们来考虑(B,S)-市场的完备性问题。回顾一下,对一固定的λ和支付形式aT,交
C易策略C称为(λ,aT)-完备的,如果XC0=λ,XCT=aT。这里,等式XT=aT意味着对冲投资组
合C可以复制未定权益aT。有许多理由期望每个金融证券的终端支付形式aT都是可复制
*的。此时,K(λ,aT)∩K*(λ,aT)≠O,从而它的对冲上、下价格相等(我们假设市场是公平合
*理的,从而事先有C*(aT)≤C(aT))。这个价格即为它的对冲价格。
这种情形有特别的意义,我们给予它一个特殊的名称:
定义7 我们称T-期量子(B,S)-证券市场为完备的,如果每个金融证券的终端支付形式aT∈AT都是可复制的。
完备性条件在资产定价中有特别的意义。当市场是完备的时候,我们能够由上市的证券构造出满足我们的要求的任何衍生证券,从而可以由上市证券的价格得到这些衍生证券的价格。反过来,如果我们知道这些衍生证券的价格,则我们又可以得出一般的证券的价格。所以,在完备的市场里任何金融证券的价格可以由上市证券的价格求得。
在实际金融中,完备性条件是一个很苛刻的限制,通常的市场是不会满足这个要求的。在下一节中,我们将证明(定理3),在“完全”量子背景下任何单期量子市场模型都是不完备的。这在很大程度上反应了实际情况。另外,在理论上完备性的判断是一个饶有兴趣的问题,它是与鞅态(风险中性态)的唯一性紧密联系的,见[2]。
4 对冲单期市场
本节我们来详细探讨由对冲确定一步(或单期)量子市场模型的上、下价格的问题和它们的完备性。我们假定单期资本市场(B,S)由一个债券B=(B0,B1)和某个股票(价格)S=(S0,S1)构成,其中B0和S0都是正常数且
B1=B0(1+r), S1=S0(1+a),(4.1)
这里,利率r>-1是一个常数,变化率a∈A1是一个自伴算子,表示股票的不确定浮动价格的变化率,它满足
a=∑λE, λ>jjj
j=1m-1,j=1,…,m,(4.2)
No.1 陈泽乾:量子金融的意义
m
j的事件(投影算子),EjEk=其中Ej是a取值λ0,j≠k,∑Ej=I。j=1123
设f是实数域R上任意实值函数。令a1=f(S1)且C=C(a1),C*=C*(a1)。因为A0=CI,在这个单期量子(B,S)-市场中,交易策略可以用一对实数(U,V)来描述。由定义
**C=inf{UB0+VS0:(U,V)∈K},
C*=sup{UB0+VS0:(U,V)∈K*},
其中
K={(U,V):UB1+VS1≥f(S1)},
K*={(U,V):UB1+VS1≤f(S1)}。
我们考虑K*中的约束条件:
UB0(1+r)+VS0(1+a)≥f(S0(1+a)),(4.3)
并引进一个量子态的集合P:d∈P当且仅当d是诚实的且满足
trda=r。(4.4)
* 从而,如果(U,V)∈K,那么对任何d∈P,有
0UB0+VS0≥tr,1+r
因此,
0*C*=inf{UB0+VS0:(U,V)∈K*}≥dsuptr=x.∈P1+r
同理可得
0C*=sup{UB0+VS0:(U,V)∈K*}≤dinftr=x*.∈P1+r
所以,
C*≤x*≤x*≤C*。(4.5)
这表明当P≠O时C*≤C*。比较定理1知,P≠O与市场没有套利机会存在有某种程度的联系。事实上,我们在[2,3]中证明了这二者是等价的,这就是所谓的资产定价的基本定理。
条件trda=r出现在这里并不是很直接的。但简单的计算可知它等价于
10tr=,B1B0
01,}是一个“鞅”。在[2]中我们详细地研究了这种(非交换)鞅与套利B0B1
的关系,得到了套利定价的量子方案。
现在我们来研究金融中最基本的单期二项式市场的量子模型。此时,股票的不确定浮动价格的变化率a满足
a=λ1E1+λ2E2, -1
令f1=f(S0(1+λ1)),f2=fS0(1+λ2))。解方程组
UB0(1+r)+VS0(1+λ1)=f1,
UB0(1+r)+VS0(1+λ2)=f2,
得唯一解
(1+λ2)f1-(1+λ1)f2f2-f1**U=B0(1+r), V=,21S0(λ2-λ1)
(4.8)***(4.7)
124数学物理学报 Vol.23A
UB1+VS1=f(S1).**(4.9)
从而,
**C*≤UB0+VS0=2-r1(λf1+f2)≤C*.1+rλ2-λ1λ2-λ1
因此,f(S1)的对冲价格是唯一的,为
21C=(f1+f2).(4.10)1+rλ2-λ1λ2-λ1
这个价格公式与用经典二项式模型推导出的公式是一致的。
但是,量子二项式模型比经典二项式模型有更多的物理内涵。这表现在,虽然在二项式市场的经典模型中风险中性世界只有一个元(唯一一个鞅测度),但是二项式市场的量子风险中性世界有连续统个风险中性态,而且它是不完备的。我们首先来刻画它的风险中性态(满足(4.4)的诚实的量子态)全体P。
事实上,单期二项式市场的量子模型可以用一个二能级的量子系统来描述。因此,我们
22只需考虑C,取A1B)。令
1 0 0
-i1 0I2
=,ex=,ey=,ez=,0 1 i 00 -22其中,ex,ey,ez是著名的Pauli旋转矩阵。易知,{I2,ex,ey,ez}是C上可观测量全体O(C)的
一个基。因此,a可以表示为
12a=I2+x0ex+y0ey+z0ez,(4.11)2
其中,x0,y0,z0是三个实数。又令量子态d为
1+zx-iyd=(I2+xex+yey+zez)=,(4.12)22x+iy1-z其中,x,y,z都是实数,它取两个值
λ1=(1-x+y+z),λ2=(1+x+y+z).22
因此,量子态d为诚实的,当且仅当
x2+y2+z2
如果d满足(4.4),那么
12x0x+y0y+z0z=r-。2
故,单期二项式市场的量子风险中性世界由如下量子态d全体构成
d=(I2+xex+yey+zez),2
其中,x,y,z满足条件
x2+y2+z2
(4.13)12x0x
+y0y+z0z=r-,2
12的开圆盘。λ2-λ1
尽管量子风险中性世界的元不是唯一的,但是,风险中性定价原理在单期二项式市场的,其几何意义为:这是R3的单位球中具有半径为
No.1 陈泽乾:量子金融的意义
C=125Edf(S1)=trdf(S1).(4.14)1+r1+r
量子二项式模型与经典二项式模型的另一个不同之处是市场的完备性问题,即我们有
定理3 对C2上任意单期量子金融模型(B,S),在量子背景A0=CI和A1=B(C2)下它是不完备的。
证 因为A0=CI,我们有
{XC1=C#(B1,S1)|C∈C(B,S)}={T+US1|T,U∈R},
它至多是实二维的。因此,至少有两个Pauli旋转矩阵在(B,S)中是不可复制的。所以,金融
2模型(B,S)在量子背景A0=CI和A1=B(C)下是不完备的。
最后,我们来看一个简单例子。考虑在单期二项式的量子(B,S)-市场中买卖股票S的
+欧式看涨期权(S1-K),其中K为它的执行价格。因为
(S1-K)+=max(0,S0(1+λ1)-K)E1+max(0,S0(1+λ2)-K)E2,
记f1=max(0,S0(1+λ1)-K),f2=max(0,S0(1+λ2)-K),记0时刻该期权的价值为C,那么由(4.10)有
21C=(f1+f2)。(4.15)1+rλ2-λ1λ2-λ1
这个公式与用经典二项式模型推导出的公式是一致的。
5 结论性注释
不确定性是金融市场中风险资产演化的主要特征之一,合理地描述它要用到数学理论。在以往的理论中这种不确定性通常是采用经典概率理论来阐述的。那么,本文采用量子理论来阐述金融市场的统计规律的意义何在呢?让我们用金融中最基本的二项式模型来说明它的涵义。
二项式市场的经典模型由一个无风险资产(银行存款)B=(B0,B1)和风险资产(股票)S=(S0,S1)构成,其中B0和S0都是正常数且
B1=B0(1+r), S1=S0(1+R),
这里,利率r>-1是一个常数,R是一个随机变量,表示股票的不确定浮动价格的变化率,它取两个值λ1和λ2:
p=P(R=λ1), q=1-p=P(R=λ2)。
这里,p(或者,q)是人们通常所说的股票下跌(或者,上涨)的概率。同样,我们考虑在此市场
+中买卖股票S的欧式看涨期权(S1-K),其中K是执行价格。简记
f1=max(0,S0(1+λ1)-K), f2=max(0,S0(1+λ2)-K).
记今天期权价值为C,则有
211+C=1+r(λff2).2-λ1λ2-λ1
注意,这个公式就是(4.15),但它没有包含股票下跌(或者,上涨)的概率值p(或者,q)。这是什么原因呢?
在金融学界一种流行的解释是:“我们并不是在绝对意义下给期权定价,而是以标的股票的价格计算期权的值。而上涨和下跌的概率已经包含在股票的定价过程中,这说明我们依,])[7,8]
126数学物理学报 Vol.23A义下给期权定价”的金融涵义是什么,这种解释在数学上是站不住脚的。
我们知道,经典二项式模型是在概率论开创时期的十八世纪由J.Bernoulli建立的,也称为J.Bernoulli随机变量,是概率论中最基本的模型,其数学意义是很明确的;而且,它已被成功地用于物理、化学等自然科学中。让我们来说明它的数学涵义。不妨设S0=150,r=
,2=。则0和λ1=-5λ5
p=P(S1=90), q=P(S1=180).
令K=150,对欧式看涨期权(S1-K)有
f1=max(0,S0(1+λ1)-K)=0, f2=max(0,S0(1+λ2)-K)=30.
如果股票下跌的概率为,则欧式看涨期权(S1-K)+的期望值为2
+E(S1-K)=30×+0×=15.22
可以追溯到概率论开创时期的J.Bernoulli和C.Huygens等先驱者们的经典观点是,除去
+折现值(我们已假设折现利率r=0),期望值E(S1-K)就应该是此期权的合理价格。这就
是经典二项式模型的数学涵义。必须强调的是,此刻的这个量是与股票下跌(或者,上涨)的
+概率有关的。当p=时。E(S1-K)=15.但当p≠时我们得到另一个期望值,从而得到22
另一个期权价格。这与我们上面所得公式(4.15)是不一致的。这是什么原因了?
毫无疑问,经典二项式模型的数学意义是没有问题的、正确的。当然,公式(4.15)也是正确的。那么问题到底出在哪里呢?作者认为,一方面,二项式市场是金融中的问题,另一方面,经典二项式模型是数学中的问题;问题就在于我们并没有先验的理由直接采用J.Bernoulli随机变量来描述二项式市场,把经典二项式模型等价于二项式市场。我们看到,在Hull的标准解释中并没有说明为什么一定要用J.Bernoulli随机变量来描述二项式市场,这就是他的解释站不住脚的地方,换言之,他并没有真正理解经典二项式模型的数学意义。事实上,在自然界中的二项式问题的涵义并不都是一样的。比如,掷硬币和光子的偏振都是二项式问题,但它们的意义是不同的。掷硬币可以用J.Bernoulli随机变量来描述,光子的偏振就不行,它要用量子变量描述,因为它的演化是量子行为。
由上面的分析,我们发现用J.Bernoulli随机变量来描述二项式市场是不恰当的——其实,这个问题早已发现,只是大金融专家们不愿意面对而已,所以才出现了Hull等人的那种似是而非的解释,之后的学者们也就人云亦云、三人成虎罢了。我们的量子二项式模型正好能弥补这一缺陷(详细的物理论述请见[1]),它似乎才真正反映金融市场的实在。用量子理论来阐述经典理论的困惑,这种情况曾不止一次地出现在物理学中。例如关于光的传播理论,首先是牛顿的粒子说,但它不能说明光的干涉和衍射现象。继而有C.Huygens的波动说,以及后来Maxwell建立的电磁波理论。但是,这个理论并不能解释黑体辐射、光电效应等问题。最终的正确解答是Planck和Einstein关于光的量子论。这说明在微观世界的活动中我们必须习惯于量子理论的描述。
为了进一步说明“量子金融”的意义,下面我们简要说明如何用量子模型推出著名的
期二项式市场(B,S),我Cox-Ross-Rubinstein期权定价公式(详细情况见[2,11])。考虑N-
们用N个可分辨粒子模型来描述它,其中每个粒子都是二能级的。为此,令Hn=(C2) n且记1n1n1n+
No.1 陈泽乾:量子金融的意义127则{|1…Xn〉:X1,…,Xn=0,1}是Hn=(C2) n的自然基。给定-1
市场(B,S)为:B0和S0是正常数,对n=1,2,…,N,
Bn=B0(1+r), Sn=S0 (1+aj) IN-n,j=1
这里IN-n是HN-n上的恒等映射,
λ1+λ2λ2-λ12aj=I2+xjex+yjey+zjez,x2j+y2j+zj=, j=1,…,n.22
这个N-期市场的量子滤子为((C2) N,{An}Nn=0),这里A0=CIN,
An=B((C2) n) IN-n={a IN-n:a∈B((C2) n)},n=1,…,N.
Nnn
设dj是单期量子二项式市场((B0,B1),(S0,S0(1+aj)))的风险中性态。则易证 dj是j=1N-期二项式市场(B,S)的风险中性态。因此,对于N-期二项式市场(B,S)的欧式看涨期权
++(SN-K),由风险中性定价原理,(SN-K)的价值为
+CN=tr( dj(SN-K))j=1N
nN-nqn(1-q)N-n[S0(1+λ2)(1+λ1)-K]+,(5.1)(1+r)n=0n!(N-n)!
整理后即得Cox-Ross-Rubinstein期权定价公式
-)-K(1+r)-NH(fCN=S0H(f;N,q;N,q),(5.2)
12nN-n-=q其中q=,q,f=min{n:S0(1+λ2)(1+λ1)>K}以及λ1-λ21+r
nH(m;n,p)=∑pj(1-p)n-j.j=mj!(n-j)!
上面我们用来推出Cox-Ross-Rubinstein期权定价公式的模型是可分辨粒子模型。因此,经典的Cox-Ross-Rubinstein期权定价公式的N-期二项式市场遵从Maxwell-Boltzmann统计。这样,我们就赋予了Cox-Ross-Rubinstein期权定价公式以明确的物理意义。
在物理中除了可分辨粒子模型外,还有不可分辨粒子模型,即所谓的全同粒子体系。我们用对称全同粒子体系来描述N-期二项式市场(B,S)(反对称全同粒子体系对多期二项式市场没有意义),则有
∧λ1+λ2SN=S0(1+a) N,a=I2+x0ex+y0ey+z0ez.2
因此,对这个N-期二项式市场(B,S)的欧式看涨期权(SN-K)+,由风险中性定价原理,其价值为=N∑
CN=tr(d(SN-K))
=(1+r)N
N∧+∑knN-nnN-n[S0(1+λ2)(1+λ1)-K]+,(5.3)n=0∑q(1-
k=0q)N-k
1.λ2-λ1
公式(5.3)是N-期二项式市场(B,S)遵从Bose-Einstein统计(不可分辨粒子模型)的期权定价公式。这是一个新的期权定价公式[11]。由于Bose-Einstein统计(不可分辨粒子模型nn()这里d是满足(4.13)的任意一个态,q=
128数学物理学报 Vol.23A子模型,我们可以预见期权定价公式(5.3)如同Cox-Ross-Rubinstein期权定价公式(5.2)一样将在金融市场的理论与实践中起基本的作用。
参 考 文 献
[1] ChenZeqian.Quantumtheoryforthebinomialmodelinfinancetheory.www.arxiv.org/quant-ph/0112156
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TheMeaningofQuantumFinance
ChenZeqian
(WuhanInstituteofPhysicsandMathematics,ChineseAcademyofSciences,Wuhan430071,zqchen@wipm.ac.cn)Abstract:Thispaperisthesequeloftheauthor'spapers[1],[2],and[3].Quantummechanicsisinvolvedtopresentanewversionofhedgingcontingentclaims.Thefinancialmeaningofsomeresultsobtainedinthesenseofquantumtheoryisstudied.Finally,butnotatlast,theauthortrieshisbesttoexplain,insomedetails,whyweshouldusequantumfinancialmodelsinreal-worldfinancialmarkets.
Keywords:Self-adjointoperators;Quantumstates;Financialmarkets;Quantumtradingstrategies;Hedgingcontingentclaims;Assetpricing.
MR(2000)SubjectClassification:91B28;46L53