继续教育课堂笔记姜雪

继续教育课堂笔记学校：清华育才实验学校科目：数学年级：初三教师：姜雪

课题：数形结合在数学中的应用

第一课时

数与形是数学的两大支柱，它们是对立的，也是统一的。数形结合思想，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含以形助数和以数解形两个方面。利用它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长，是一种基本的数学思想。忽视数与形的任何一方面，都会使数学变得残缺不全。正如华罗庚先生所说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。

1、数形结合的作用与地位对于广大学生而言，数形结合思想再熟悉不过。如何将抽象转化为具体，如何让原本复杂的内容变得浅显直观，这是数学研究中的重要内容，也是数形结合思想优势的体现。因此，数形结合方法成为了中学数学中最常用的方法。中学数学的内容极易区分，一部分为代数知识，另一部分则为几何知识。如何把这两个部分找到一个合适的连接点，结合起来，就是数形结合中最为关键的部分。在中学数学的教学中，教会学生解题，学会运用所学的数学知识在考试中取得高分，是教学目标的一部分；同时引导学生积极思考，培养学生发散性思维以及创造性思维，也是新型教学目标的体现。采用数形结合方法来解决问题，既可以开拓解题思路，帮助学生充分开发大脑智力，养成形象思维的习惯，也能够在日常解题及考试中找到简便方法，节约时间，可谓是一举两得。

2、数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合或形数结合。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”，“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我认为，数形结合主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

3、作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种基本形式，一是“形”的问题转化为用数量关系去解决，运用代数、三角知识进行讨论，它往往把技巧性极强的推理论证转化可具体操作的代数运算，很好的起到化难为易的作用。在解析几何中就常常利用数量关系去解决图形问题。二是“数”的问题转化为形状的性质去解决，它往往具有直观性，易于理解与接受的优点。数形结合在解题过程中应用十分广泛，如在解决集合问题，求函数的值域和最值问题，解方程和解不等式问题，三角函数问题，解决线性规划问题，解决数列问题，解决解析几何问题中都有体现，运用数形结合思想解题，不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程。

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课题：数形结合在数学中的应用

第二课时

1、数形结合与一元二次方程解的意义：

ax2+bx+c=0(a≠0)是一元二次方程。它的解可以理解为函数y= ax2+bx+c的图象与常值函数y=0，即x轴的交点的横坐标。那么当公共点有两个时,对应的一元二次方程有两个不相等的实数解；当公共点只有一个时,对应的一元二次方程有两个相等的实数解；当没有公共点时,对应的一元二次方程没有实数解。

例1：①x2-x-6=0，x1=-2，x2=3，y=x2-x-6与x轴的公共点

A(-2,0),B(3,0)。

②x2-2x+1=0，x1=x2=1，y= x2-2x+1与x轴的公共点A(1,0)。

③x2+1=0，没有实数解，y= x2+1与x轴没有公共点。

图① 图② 图③

2、数形结合与二元一次方程组的解的意义：

二元一次方程组

a1xb1yc10的解有三种情况： a2xb2yc20

① 无解；②无数个解；③ 只有一个解。

这三种情况可以转化为两条直线a1x+b1y+c1=0、a2x+b2y+c2=0的三

种位置关系：①平行；②重合；③ 相交。方程组的解转化为两条直线的交点。

当a1：a2=b1：b2≠c1：c2时，两条直线的斜率相同，y轴上的截距

不同。此时两条直线平行，无交点，因而方程组无解。

当a1：a2=b1：b2=c1：c2时，两条直线的斜率相同，y轴上的截距相

同。此时两条直线重合，有无数个公共点，因而方程组有无数个解。

当a1：a2≠b1：b2时，两条直线的斜率不相同，两条直线相交，只

有一个交点，因而方程组只有一个解。

例2：①302xy，方程组无解。两条直线2x+y+3=0、4x+2y+1=04y104x

的位置关系如图：平行。

②2xy10，方程组只有一个解。两条直线2x+y+1=0、x+2y=0的x2y0

位置关系如图：相交。

2x4y0③，方程组有无数个解。两条直线2x+4y=0、x+2y=0的位x2y0

置关系如图：重合。

（1）

x x （3）（2）

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课题：数形结合在数学中的应用

第三课时

3、数形结合与集合问题

在集合运算中常常借助于数轴、文氏图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。

例 3: 已知集合 A=[0,4],B=[-2,3], 求 A∩B。

分析: 对于这两个有限集合, 我们可以将它们在数轴上表示出来, 就可以很清楚的知道结果。如图 1, 由图我们不难得出A∩B=[0,3]。

4、数形结合与图形隐含条件：

例4：在数轴上的位置如图，化简：|a-b|-|b-c|+2|a+c|。

解：∵bc,a>b,|c|>|a|∴a-b>0,b-c>0,a+c

=-a-2b-c。

例5：教师任意写出一个关于a和b的二次式，此二次式能分解成两个一次式的乘积，且各项系数都是正整数，如： a+2ab+b, 22

2a+5ab+2b等。

a 22

b a

学生根据教师给出的二次式，选取相应种类和数量的卡片，尝试拼成一个矩形，讨论矩形的代数意义

学生在这一活动中能很好地体会代数与几何的联系，实现数量关系和图形性质的相应转化，这一活动达到了让学生手脑并用的目的，无疑对启迪学生的智慧起到助推器的作用。

例6、完成下列计算，

1+2=?

1+2+3=?

1+2+3+4=?

如果以1+2+3+4为例，

如图：由此可知，

（15）5152

（1100）10050502

（首项末项）项数

1+2+3+4=10=

（14）由此可知，1+2+3+4=10= 4

1+2+3+4+5=?

1+2+3+ „+100=?

1+2+3+„+n=?

教师先让学生思考，让学生经历观察、比较、归纳、提出猜想的过程后提供以上图形，运用图形的直观性帮助学生理解，使学生从数与形的联系中发现规律，让学生了解这两个代数知识的几何背景，感受数学的神奇魅力。

在“数与代数”的教学中，教师应强调数与形的结合，让学生建立由数想到形，由形想倒数的思想，这样可以加深学生对“数与代数”的理解和认识，如利用图形理解完全平方公式、平方差公式，利用函数图像理解函数的变化趋势等都是培养学生数形结合思想的极好的方法。

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课题：数形结合在数学中的应用

第四课时

5、空间与图形”中的数形结合

新课程中的几何内容做了较大的删改，削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明，降低了论证过程形式化的要求和证明的难度。我想，这无疑给了教师充分脱脂的空间。教师要把握好数学思想方法在整个教学发展中的地位，对于“数形结合”，教师要善于挖掘教材和生活中的素材，从形到数，揭示“形”中“数”的本质。

例7、如图，是连接在一起的两个正方形，大正方形的边长是小正方形边长的2倍。问：若只许剪两刀应如何裁剪，使之能拼成一个新的大正方形？

）

对于这一问题学生往往采取实验的方法，这里裁一刀，那里试一剪，但却极少有人能在短时间内拼凑好。如果对题目认真加以分析，我们不难发现，从已知到结论，图形虽然变了，但其中却还有没变的东西——面积，若设小正方形的面积为1，则其边长就是1，这样一来，我们仅需沿着图4中边长为的线段去考虑裁剪即可，而图中这样的线段没有几条，于是很快就能找到答案。

问题之所以能很快解决，关键是我们从问题“变”中看到了“不变”，从“形”的表面找到了“数”这一实质。一个似乎是纯几何的问题，在“数”的引导下获得了最好的解决方式，这种由表及里，形中有数的思想方法，正是数学中“数形结合”的思想方法。

例8、（1）如图，用长30m的篱笆与一堵墙围一方土地，求篱笆能包围的土地的最大面积。

(2）如图，用长30m的篱笆与两堵墙（两堵墙成120°角）围一方土地，求篱笆能包围的土地的最大面积。

(3)如图8，用长12m的木方，做一个有一条横档的矩形窗子，围使透进的阳光最多，应选择窗子的长宽各为多少m？

在教学中，教师应该不失时机的让学生透过形的外表，触及其内在的数量关系，探索由形到数的联系与规律。

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课题：数形结合在数学中的应用

第五课时

6、统计与概率”中的数形结合

新课标中的统计与概率，在内部编排和内容要求上却由所加强，真正让学生经历统计的全过程，发现并提出问题，运用适当的方法，收集和整理数据，运用合适的统计表统计图来展示数据做出决策。例9如图 4

-1

4 3 2 1 0 -1

概率是新增加的内容，其抽象性使它成为教学的难点，在计算简单事件的概率时，采用画树状图的方法，树形结合，能收到化难为易的效果。

例10、一布袋中方有黄、白两种球，其中一个黄球，两个白球，它们除颜色外其它都一样，小亮从布袋中摸出一个球后放回去摇匀，再摸出一个球，求两次都摸到白球的概率。

黄白白白白黄白白黄

知识间的联系，活跃课堂气氛，开阔学生的思路，发展学生的潜能，提高学生的创造思维能力和开拓精神，使学生充分张扬个性，充分发挥潜能，真正实现个体的最优化发展都有很大帮助。

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课题：数形结合在数学中的应用

第六课时

7、以数助形（一）

“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中，包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一

种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位．例11．已知平面直角坐标系中任意两点A(x1，y1)和B(x2，y2)之间

的距离可以用公式AB利用这个公式计算原点到直线y2x10的距离．

解：设P(x， 2x10)是直线y2x10上的任意一点，它到原点的距离是

OP当x

4时，OP最小

所以原点到直线y2x

10的距离为

【说明】建立坐标系，利用坐标及相关公式处理一些几何问题，有时可以避免添加辅助线（这是平面几何的一大难点）．在高中“解析几何”里，我们将专门学习利用坐标将几何问题代数化．

例12．已知ABC的三边长分别为m2n2、2mn和m2n2（m、n为正整数，且mn）．求ABC的面积（用含m、n的代数式表示）．

【分析】已知三角形三边求面积一般称为“三斜求积”问题，可用“海伦公式”计算，但运用“海伦公式”一般计算比较繁，能避免最好不用．本题能不能避免用“海伦公式”，这要看所给的三角形有没有特殊之处．代数运算比较过硬的人可能利用平方差公式就可以心算出来：(m2n2)2(m2n2)2(2m2)(2n2)(2mn)2，也就是说，ABC的三边满足勾股定理，即ABC是一个直角三角形．

“海伦公式”：三角形三边长为a、b、c，p为周长的一半，则三角形的面积S为：

S

解：由三边的关系：(m2n2)2(2mn)2(m2n2)2．

所以ABC是直角三角形．

所以ABC的面积(m2n2)(2mn)mn(m2n2)．

【说明】利用勾股定理证明垂直关系是比较常用的“以数助形”的手法．另外，熟练的代数运算在这道题中起到了比较重要的作用．代数运算是学好数学的一个基本功，就像武侠小说中所说的“内功”，没有一定的内功，单单依靠所谓的“武林秘笈”是起不了多少作用的．

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课题：数形结合在数学中的应用

第七课时

7、以数助形（二）

要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：

（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等．

例13．直线ybxc与抛物线yax2相交，两交点的横坐标分别为x1、x2，直线ybxc与x轴的交点的横坐标为x3．求证：

12111． x3x1x2

【分析】本题是研究抛物线和直线相交的相关问题，只是由于a、b、c的符号不确定，导致抛物线和直线在坐标系中位置不确定，考虑问题需要进行分类讨论，比较麻烦．如果将问题代数化，看成有关方程的问题，进行相关的计算，就省去了分类的麻烦．

解：∵直线ybxc与x轴的交点的横坐标为x3，

∴bx3c0． ∴x3．

1b． x3ccb

∵直线ybxc与抛物线yax2两交点的横坐标分别为x1、x2， ∴x1、x2为关于x的一元二次方程ax2bxc0的两个不等实根． ∴x1x2，x1x2． b

11xxb∴12． x1x2x1x2cabaca

∴111． x3x1x2

例14．将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形．

【分析】这是一类很常见的问题．如果单单从“形”

的角度来思考，恐怕除了试验，没有其它更好的办法

了．但是如果我们先不忙考虑怎样剪裁，而是先从

“数”的角度来算一下，我们不难利用面积算出剪拼

，我们就不难设计出各种剪裁方法了．

【说明】有人把这种方法叫做“面积法”，其实“面积法”这个名字并没有揭示这类方法的所有本质．“面积”是剪拼问题中的一个“不变量”，几乎所有的剪拼问题，都可以先抓住“面积”这个不变量来进行“数”的计算．另一方面，“面积”本身就是从“数”的角度来刻画“图形”的大小特征的一个概念．因此，所谓“面积法”，实际上就是“数形结合”这种数学思想的一种具体体现．

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课题：数形结合在数学中的应用

第八课时

8、以形助数（一）

几何图形具有直观易懂的特点，所以在谈到“数形结合”时，更多的老师和学生更偏好于“以形助数”，利用几何图形解决代数问题，

常常会产生“出奇制胜”的效果，使人愉悦．几何直观运用于代数主

要有以下几个方面：

（1）利用几何图形帮助记忆代数公式，例如：

正方形的分割图可以用来记忆完全平方公式；

将两个全等的梯形拼成一个平行四边形可以用来记忆梯形面积公式；等等．

（2）利用数轴或坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，依靠直观帮助解决代数问题，或者简化代数运算．比如：

绝对值的几何意义就是数轴上两点之间的距离；

数的大小关系就是数轴上点的左右关系，可以用数轴上的线段表示实数的取值范围；

互为相反数在数轴上关于原点对称（更一般地：实数a与b在数轴上关于

2ba）； ab对称，换句话说，数轴上实数a关于b的对称点为2

利用函数图像的特点把握函数的性质：一次函数的斜率（倾斜程度）、截距，二次函数的对称轴、开口、判别式、两根之间的距离，等等；

一元二次方程的根的几何意义是二次函数图像与x轴的交点；函数解析式中常数项的几何意义是函数图像与y轴的交点（函数在x0时有意义）；

锐角三角函数的意义就是直角三角形中的线段比例．

例15．已知正实数x

，求y

分

析：可以

把2整(0

理

1为) (2)即看作是坐标系中一动点(x， 0)到两点（0，2）和

（2，1）的距离之和，于是本问题转化为求最短距离问题．

解

：y 令P(x，，则yPAPB． 0)、A（0，2）和B（2，1）

作B点关于x轴的对称点B'(2， 1)，则y的最小值

为AB'

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课题：数形结合在数学中的应用

第九课时

8、以形助数（二）

利用函数图象解决不等式问题是一种比较常见的数形结合的方法，这种方法的要点是把不等式变形成两个可以画出图象的函数（值）比较．

例16．已知tan，tan，求证：45．

【分析】根据正切函数的意义不难构造出满足条件的角、（如图），怎样构造这两个角的和是解决这个问题的关键．将图（1）中下面的图翻转到上图的下面，就形成了如图（2）的图形，角也就构成了．

证明：如图（2），连接BC，易证：ABD≌CBE，从而ABC是等腰直角三角形，于是：45．

1213

图（1）图（2）

例17．求函数yx1x2x3的最小值．

【分析】如图，设数轴上表示数－1、2、3、x的点分别为A、B、C、P（P为动点），则表示P到A、B、C三点之间的距离之和，即yPAPBPC． A

容易看出：当且仅当点P和点B重合时，

PAPBPC最小，所以y最小ABBC4．例18．若关于x的方程x22kx3k0的两根都在

－1和3之间，求k的取值范围．

【分析】令f(x)x22kx3k，其图象与x轴的横坐标就是方程f(x)0的解．由yf(x)的图象可知，要使两根都在－1和3之间，只须：

f(1)0，f(3)0，f(b)f(k)0同时成立，由此即可解得2a

1k0或k3．

其中，f(1)表示x1时的函数值．

解：令f(x)x22kx3k，由题意及二次函数的图象可知：

(1)22k(1)3k0f(1)02f(3)0即 32k33k0

f(k)0(k)22k(k)3k0

解得：1k0或k3．

【说明】一元二次方程，一元二次不等式均与二次函数有密切的关系，有关二次方程、二次不等式中较繁难的问题运用二次函数的图象来解决常常会起到意想不到的效果．

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课题：数形结合在数学中的应用

第十课时

8、以形助数（三）

例19．若a0，且bac，求证：方程ax2bxc0有两个相异实数根．

【分析】首先可以想到的思路当然是证明b24ac0，但这并不容易．注意到二次方程与二次函数的关系，把“二次方程有两个相异的实根”这个代数命题“翻译”成几何命题就是“二次函数的图象与x轴有两个交点”．考虑到此时a0，抛物线开口向上，这个几何命题可以进一步等价转化成“二次函数的图象有一部分位于x轴的下方，再把它翻译成代数命题就是“二次函数至少在某一点上的函数值小于0”．

证明：考查函数yax2bxc，

∵a0，

∴此抛物线开口向上．又∵bac，即abc0，

∴当x1时，二次函数的值f(1)0．

故抛物线与x轴有两个交点，从而方程有两个不等实根．例20．已知：对于满足0p4的所有实数p，不等式x2px4xp3恒成立，求x的取值范围．

【分析】不等式x2px4xp3可以变形为x24x3p(x1)．考查二次函数y1x24x3(x2)21和一次函数y2p(x1)．原不等式的几何意义是“二次函数y1的图象在一次函数y2的图象的上方”．原题条件的几何意义是“无论实数p取0p4之内的什么实数，二次函数y1的图象总是在一次函数y2的图象的上方”．

把原题所求的问题重新表述一下，就是：当x取那些实数时，可以保证“无论实数p取0p4之内的什么实数，二次函数y1的图象

总是在一次函数y2的图象的上方”这个命题正确．

现在我们研究这两个函数的图象（如图）：

二次函数y1的图象是一条固定不变的抛物线．但是一次函数y2的图象随之p的变化绕（1，0）旋转，当p0，y20时，是与x轴重合的一条直线；当p4，y24x4是一条截距为4的直线，它与抛物线y1的交点坐标为（－1，8）．当实数q取遍0p4之内的所有实数时，直线y2所过了图中的阴影区域．

结合图形，我们再一次把原问题重新表述一下：当x取哪些实数时，可以保证“二次函数y1的图象总是在图中的阴影区域的上方”．观察图象，我们不难得到x1或x3，所以原问题的结论就是：x的取值范围是x1或x3．

继续教育课堂笔记学校：清华育才实验学校科目：数学年级：初三教师：姜雪课题：数形结合在数学中的应用第十一课时

数学思想就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。数学思想、数学方法是密不可分的，对于数学方法来说，

思想是其相应的方法的精神实质和理论基础，方法则是实施有关思想的技术手段。中学数学中出现的数学观点和各种数学方法，都体现着一定的数学思想。

在数学思想中，有一类思想是体现基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想。中学阶段的基本数学思想包括：分类讨论的思想、数形结合的思想、变换与转化的思想、整体思想、函数与方程的思想、抽样统计思想、极限思想等等。中学数学教学中处处渗透着基本数学思想，如果能使它落实到学生学习和运用数学的思维活动上，它就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能。在这些数学思想方法中数形结合思想是一种很重要的方法，它贯穿于整个中学数学的教学课程。 1、解决函数问题

利用图形的直观性来讨论函数的值域(或最值)，求解变量的取值范围，运用数形结合思想考查化归转化能力、逻辑思维能力，是函数教学中的一项重要内容。

例 1: 对于 xR, y 取 4 - x, x + 1，(5 - x)三个值的最小值。求y 与x 的函数关系及最大值。

分析：在分析此题时, 要引导学生利用数形结合思想, 在同一坐标系中, 先分别画出 y = 4 - x, y = x + 1, y = (5 - x)的图像，如图1。易得:A (1, 2) ，B (3, 1) , 分段观察函数的最低点，故y与x 的函数关系式是:

x1(x

1)1

y=2(5x) (1 3)4x

图1

它的图像是图形中的实线部分。结合图像很快可以求得,当x= 1 时, y 的最大值是 2。

例 2 :若函数 f(x)是定义在R上的偶函数,在(- ∞,0]上是减函数，且f(2)= 0 ,求 f(x)

解:由偶函数的性质,y = f(x)关于y轴对称,由y = f(x)在(- ∞,0 )上为减函数,且 f(-2) = f(2) = 0 ,做出图3,由图像可知f(x)

0 ，所以x（- 2，2) 继续教育课堂笔记学校：清华育才实验学校科目：数学年级：初三教师：姜雪课题：数形结合在数学中的应用第十二课时

2、解决方程与不等式的问题

处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问

题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。

例 3: 已知关于x 的方程(x24x3)2=px，有 4个不同的实根, 求实数p 的取值范围。

分析: 设y =(x24x3)2=x24x3与y=px这两个函数在同一坐标系内, 画出这两个函数的图像, 如图4。可知：

图4

(1)直线y= px 与y= -(x2- 4x+ 3) , x[ 1, 3 ]相切时原方程有3个根。

(2) y= px 与 x 轴重合时, 原方程有两个解, 故满足条件的直线y= px 应介于这两者之间,

y(x24x3)由:

ypx

得

x2+ (p - 4)x+ 3= 0, 再由△=0 得, p = 4±2 , 当p= 4+ 23时, x= -  [1, 3 ]舍去, 所以实数p的取值范围是 0

例 4: 若不等式 x2- ㏒ax

取值范围是什么?

分析: 原不等式可化为x2

x2 =，显然, 当x（0,)时，y1

241

①当a >1 时, 在（0,)上y2= ㏒ax图像( 如图5 )在y1= x2的

214

图像下方, 不合题意。

图5

②当 0

图6

故㏒a

11111

，㏒1a4，所以a（）4= , 综上有a∈,1 。

24216162

把方程不等式转化为函数, 利用函数图像解决问题是数形结合的一种重要渠道。

继续教育课堂笔记学校：清华育才实验学校科目：数学年级：初三教师：姜雪课题：数形结合在数学中的应用第十三课时

3、解决三角函数问题

有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图像来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。



例 5：设 x，求证: cscx - cotx2 - 1 42

分析: 由条件联想等腰三角形,不妨构造一个等腰直角三角形ABC, 如图7，设∠CDB=x, 利用 AD+DBAB=2，可得cscx - cotx2 - 1。

图7

例

6：已知0

证:+2sinxcosy+2sinycosz>sin2x+sin2y+sin2z。

证明: 如图8,在单位圆中,设∠AOD=x, ∠BOD=y, ∠COD=z,则 A,B,C点的坐标分别为(cosx,sinx),(cosy,siny),(cosz,sinz) 。

图中三个矩形面积分别为2sinx(cosx-siny),2siny(cosy-sinz), 2sinzcosz。

显然，这三个矩形面积之和小于半圆面积，即有

+2sinxcosy+2sinycosz >sin2x+sin2y+sin2z。 2

图8

4、解决线性规划问题

线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。

例7：已知1x - y2且2x + y4,求 4x - 2y 的范围。解此题可直接利用代数方法用换元法去求解, 这里用数形结合法来解决。

在平面坐标系中作出直线 x + y = 2 ，x + y = 4 , x - y = 1 , x - y = 2 ,则 1x - y2和2x + y4表示平面上的阴影部分(包括边界) ,如图9所示，令4x - 2y = m ,则y = 2x -

，显然 m 为2

直线系4x - 2y = m 在y轴上截距2倍的相反数,易看出,直线4 x - 2 y = m 过阴影最左边的点 A（,) 时, m 取最小值 5 ；过阴影最右边的点 C(3 ,1) 时, m 取最大值10。即 4 x - 2 y 的范围是[5，10]。

3122

图9

该题是用线性规划的思想,数形结合解决了具有约束条件的函数的最值问题。

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科目：数学年级：初三教师：姜雪课题：数形结合在数学中的应用第十四课时 5、解决数列问题

数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图像进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。

例8：等差数列{ an}中,前m项的和Sm= Sn( mn) ,求 Smn的值。

解：代入等差数列的求和公式,则由Sm= Sn，得ma1 + = na1 + a1 +

m（m1）

d 2

n（n1）mn1

d,因为mn，所以a1 + d = 0，Smn=（m+n）22

(mn（)mn1)(mn1)

d = (m+n)a1d= 0。

22

这种解法易上手,但繁琐。若能利用数列求和公式的二次函数式,其解法又将进一步简化。

由Sn=An2+Bn，Sm=Am2+Bm 。因为mn，所以Smn= A(m+n)2+B（m+n）（m+n）A(mn)B = (m+n)

SmSn

= 0 。若再进一步利用mn

Sn=An2+Bn的二次函数图像就可产生如下解法：由Sn=An2+Bn，不妨设A

mn

，易知,抛2

物线和x轴的一个交点是原点,另一交点的横坐标是(m + n)，故Smn=0 。

这个问题的第二种解法用到了数形结合,培养了学生由数列联想到函数图像,二者之间相互映证、转化,使学生感到一种数学变化的快乐。

6、解决解析几何问题

解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。例 9：如图10 ,矩形ABCD，AD = a ，DC = b ,在 AB上找一点 E,使 E点与 C，D的连线将矩形分成的3个三角形相似。设AE = x，问: 这样的E点是否存在,若存在,这样的点E有几个?请说明理由。

解：假设在AB上存在点 E，使得3个三角形相似,所以△ECD一定是直角三角形。

∴Rt△ADE ∽ Rt△ECD ∽ Rt△BEC. ∵AD = a，DC = b , AE = x , ∴BE = b - x 于是

ADAEax

= ,得 =，即x2- bx + a2 = 0 BEBCbxa

∴Δ = b2- 4a2 = (b + 2a) ( b - 2a) ∵b + 2a > 0,a > 0,b > 0

∴ ①当 b - 2a

②当 b - 2a = 0 ,即 b = 2a时,Δ= 0 ,方程有两个相等的

正实数根,E点只有一个；

③当 b - 2a > 0 ,即 b > 2a时,Δ> 0 ,方程有两个不相等

的正实数根, E点有两个。

图10

说明：本题是一道几何问题,其几何量之间的关系运用代数式

及方程来表示,并根据方程的理论进行了由数到形的探究。

数形结合是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，发挥数与形两种信息的转换及其优势互补与整合，巧妙应用数形结合的思想方法,不仅能直观地发现解题的途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化解题的过程。“数无形时不直观, 形无数时难入微” 。华罗庚先生恰当地指出了 “数” 与 “形” 的相互依赖、相互制约的辩证关系, 是对数形结合方法最通俗的、最深刻的剖析。

总之，在教学中要注重数形结合思想方法的培养，在培养学生数形结合思想的过程中, 要充分挖掘教材内容, 将数形结合思想渗透于具体的问题中, 在解决问题中让学生正确理解 “数”与 “形” 的相对性, 使之有机地结合起来。当然, 要掌握好数形结合的思想方法并能灵活运用, 就要熟悉某些问题的图形背景, 熟悉有关数学式中各参数的几何意义, 建立结合图形思考问题的习惯, 在学习中不断摸索, 积累经验, 加深和加强对数形结合思想方法的理解和运用。用

数学思想指导知识，方法的灵活运用，培养思维的深刻性、抽象性；通过组织引导对解法的简洁性的反思评估、不断优化思维品质、培养思维的严谨性、批判性。丰富的合理的联想，是对知识的深刻理解及类比、转化、数形结合、函数与方程等数学思想运用的必然。数学方法、数学思想的自学运用往往使我们运算简捷、推理机敏，是提高数学能力的必由之路。“授之以鱼 ,不如授之以渔” ，方法的掌握、思想的形成 ,才能最终使学生受益终生。

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科目：数学年级：初三教师：姜雪课题：数形结合在数学中的应用第十五课时

数形结合思想在解题中的应用典型例题归纳举例

1、数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

如等式(x2)2(y1)24

3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优

越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。

例1.若关于x的方程x22kx3k0的两根都在1和3之间，求k的取值范围。分析：令f(x)x22kx3k，其图象与x轴交点的横坐标就是方程f(x)0 的解，由yf(x)的图象可知，要使二根都在13，之间，只需f(1)0，f(3)0，

f(

)f(k)0同时成立，解得1k0，故k(1，0)

例2. 解不等式x2x 解：法一、常规解法：

x0

原不等式等价于(I)x20

x2x2

x0

或(II)

x20

解(I)，得0x2；解(II)，得2x0

综上可知，原不等式的解集为{x|2x0或0x2}{x|2x2}

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科目：数学年级：初三教师：姜雪课题：数形结合在数学中的应用第十六课时

法二、数形结合解法：

令y1x2，y2x，则不等式x2x的解，就是使y1x2的图象

在y2x的上方的那段对应的横坐标，如下图，不等式的解集为{x|xAxxB}

而xB可由x2x，解得，xB2，xA2，

故不等式的解集为{x|2x2}。

例3. 已知0a1，则方程a|x||logax|的实根个数为(

)

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 1个或2个或3个分析判断方程的根的个数就是判断图象ya|x|与y|logax|的交点个数，画出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B）。

例4. 如果实数x、y满足(x2)2y23，则的最大值为(

A.1

)

分析等式(x2)2y23有明显的几何意义，它表坐标平面上的一个圆，

圆心为(2，0)，半径r3，(如图)，而

yy0则表示圆上的点(x，y)与坐 xx0

标原点(0，0)的连线的斜率。如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点A

在以(2，0)为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值，由图

可见，当∠A在第一象限，且与圆相切时，OA的斜率最大，经简单计算，得最

大值为tg60°

继续教育课堂笔记学校：清华育才实验学校科目：数学年级：初三教师：姜雪课题：数形结合在数学中的应用第十七课时

x2y2

例5. 已知x，y满足1，求y3x的最大值与最小值

1625

x2y2

分析：对于二元函数y3x在限定条件1下求最值问题，常采用

1625

构造直线的截距的方法来求之。

令y3xb，则y3xb，

x2y2

原问题转化为：在椭圆1上求一点，使过该点的直线斜率为3，

1625

且在y轴上的截距最大或最小，

x2y2

由图形知，当直线y3xb与椭圆1相切时，有最大截距与最小

1625

截距。

y3xb 169x296bx16b24000 x2y2

16251

由0，得b±13，故y3x的最大值为13，最小值为13。

x3cos

若集合M(x，y)(0) 例6. ，集合N{(x，y)|yxb}

y3sin

且MN≠，则b的取值范围为

。

分析：M{(x，y)|x2y29，0y1}，显然，M表示以(0，0)为圆心，以3为半径的圆在x轴上方的部分，（如图），而N则表示一条直线，其斜率k=1，纵截

距为b，由图形易知，欲使MN≠，即是使直线yxb与半圆有公共点，显然b的最小逼近值为3，最大值为2，即3b2

x2y2

例7. 点M是椭圆1上一点，它到其中一个焦点F1的距离为2，N为

2516

MF1的中点，O表示原点，则|ON|=（） A.

B.2

C.4

D.8

分析：①设椭圆另一焦点为F2，（如图），则|MF1||MF2|2a，而a5 |MF1|2，∴|MF2|8 又注意到N、O各为MF1、F1F2的中点， ∴ON是△MF1F2的中位线， ∴|ON||MF2|³84

②若联想到第二定义，可以确定点M的坐标，进而求MF1中点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出|ON|，但这样就增加了计算量，方法较之①显得有些复杂。

212

继续教育课堂笔记学校：清华育才实验学校科目：数学年级：初三教师：姜雪课题：数形结合在数学中的应用第十八课时

例8. 已知复数z满足|z22i|2，求z的模的最大值、最小值的范围。分析：由于|z22i||z(22i)|，有明显的几何意义，它表示复数z对应的

点到复数2+2i对应的点之间的距离，因此满足|z(22i)|的复数z对应点 Z，在以(2，2)为圆心，半径为2的圆上，(如下图)，而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离，显然，当点Z、圆心C、点O三点共线时，|z|取得最值， |z|min，|z|max2，

∴|z|的取值范围为[，2]

sinx2

的值域。

cosx2

sinx2

得ycosx2ysinx2，解法一（代数法）：则y

cosx2

例9. 求函数y

sinxycosx2y2，y21sin(x)2y2 ∴sin(x) ∴|

2y2y21

2y2y1

，而|sin(x)|1

474y 33

|1，解不等式得

∴函数的值域为[

4747

，] 33

yy1sinx2

的形式类似于斜率公式y2

cosx2x2x1

解法二（几何法）：y y

sinx2

表示过两点P0(2，2)，P(cosx，sinx)的直线斜率

cosx2

由于点P在单位圆x2y21上，如图, 显然，kPAykPB 设过P0的圆的切线方程为y2k(x2) 则有

|2k2|k21

1，解得k

4±73

即kP0A

4747

，kP0B

∴

44447

∴函数值域为[y，]

3333

科目：数学年级：初三教师：姜雪课题：数形结合在数学中的应用第十九课时

例10. 求函数u2t4t的最值。

分析：由于等号右端根号内t同为t的一次式，故作简单换元2t4m，无法转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。

解：设xt4，y6t，则uxy 且x22y216(0x4，0y22)

所给函数化为以u为参数的直线方程yxu，它与椭圆x22y216在第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图）

umin22

相切于第一象限时，u取最大值

yxu22 23x4ux2u160 2

x2y16

解，得u±26，取u26 ∴umax26

科目：数学年级：初三教师：姜雪课题：数形结合在数学中的应用第二十课时

例11 设x∈R,求函数f(x)=x2x1﹣x2x1的值域。: 解

|f(x)| =| |PA|-|PB| |

点评本例显著的特征是把式子理解为距离之差，从而巧妙的解决了问题。

解法2 f(x)= (x)21313

(x)2(x)2

2424

=11(x)(x)

234=

x2x1xx1

11(x)(x)

所以将f(x)看作两点的斜率，可得如下做法：设C(x+,x2x1), D(x－,x2x1)则f(x)=kcd

1212

且CD两点都在等轴双曲线y2x2 的上半支上，直线必与双曲线的两条渐近线y=x,y=―x相交于上方。所以CD倾斜角的取值范围为{0, }（



3

,)）所以f(x)=Kcd∈(-1,1) 4

C 1 34

解法3 x2x1=x212*x=x2122xcos1206021

x2x1x212*xx2122xcos60 2

所以与正弦定理联系可在三角形中解决问题有如下做法：由于f(x)为奇函数且f(x)=0只需研究x>0时即可获得f(x)的值域，如图四边形ABCD中AB=x,∠BAD=60△ADC是边长为1的等边三角形。由余弦定理，得：BC=x2x1,BD=x2x1在△BCD中，由|BC-CD|

继续教育课堂笔记学校：清华育才实验学校科目：数学年级：初三教师：姜雪课题：数形结合在数学中的应用第二十一课时

x22x

|例12 函数y=2的值域为（）

x2x2

x22x 2是一分式，能不能把它看 x2x2

作两点连线的斜率呢?能,它实际上点P(

x22x,与点A(-2,0)连线的斜率,由于x2+2x=(x+1)2-1≥-1所以点P(x22x,x22x)在射线y=x(x≥-1)上移动.因此问题变为:射线y=x(x≥-1)上的点与A(-2,0)点连线的斜率的取值范围是什摸?如图,显然当P移动到点B(-1,-1)(射线的端点)时AP的斜率最小,最小值为-1;P点越向斜上方移动AP的斜率越大,其值越来越接近于数值1(但不能取1)

所以AP斜率的取值范围是[-1,1]即函数的值域为[-1,1]

本例巧妙的利用了数形结合求了分式函数(分子分母都是二次的)的值域,把分式看作是两点连线的斜率,往往收到意想不到的效果,另外

x22x把2看作是点M(x2+2x+2,x2+2x)与原点连线的斜率也可以x2x2

解决问题.

函数的图象也是实现代数与图形联系的一个通道,很多函数方程不等式的问题应用数形结合,可对数学知识和问题加深认识,理解透彻,思路的获得也就容易了.

例13 方程㏒10x=sinx的实数根的个的个数是( )

A 1 个 B 2个 C 3个 D 4个

方程㏒10x=sinx的解是函数y=㏒10x与y=sinx

图象的交点的横坐标。在同一坐标系里作出y=㏒10x与y=sinx的图象，如图，不难看出，这两个图象有三个交点，所方程有三个解所以正确选项为C。方程与函数是密切联系着的两个数学概念，方程的解是相应函数图象交点的横坐标，因此对一些解起来很困难的方程，用数形结合的方法求解是很重要的方法特别是判断方程解的个数（而不是求方程的具体解）时。

例 14 对于每个实数x设f(x)是4x+1,x+2,-2x+4中的最小值，则f(x)最大值为（）

4x+1,x+2,-2x+4中谁最小呢？这于x在同一坐标系里作出函数y=4x+1,y=x+2,y=－如图所示，可以很明显的看出；x为何值时4x+1x为何值时x+2最小;以及x为何值时-2x+4最小并由此得出f(x)的图象（不必列出分段函数易见f(x)的最大值是y=x+2与y=－2x+4交点的纵坐标。

解方程组y=-2x+4 得y=

所以f(x)的最大值是。

借助函数的图象，不仅很好的理解了题意，而且轻而易举的得出了

f(x)的最大值。否则需要解不等式组的方程求得f(x)的分段表达式，并求出每段上的最大值，从中选出最大值，那将是很烦琐的，环节很多，出错的可能也大大增加。

继续教育课堂笔记学校：清华育才实验学校科目：数学年级：初三教师：姜雪课题：数形结合在数学中的应用第二十二课时

例15求函数u=2t4t的最值由于等号右端根号内t是同次，故作简单换元m=2t4无法转换出一元二次函数求极值。若平方处理式子将会复杂化，因此该问题用常规解法较复杂难解，注意到两根号同为t的根式，故可采用两步换元。解令x=2t4,y=t 则x2+2y2=16

(0≤x≤4,0≤y≤22) 所给函数化为以 u为参数的直线y=－x+u它与椭圆x2+2y2=16 在第一象限的部分（包括端点）有公共点，如图

un\min=22相切于第一象限时u－x+u 2+2y2=16 得 3x－4ux+2u2－16=0解△=0，得 u=26或 u=－26，又直线在第一象限，故umax=26

该题为一道用常规解法较难求解的题，但运用数形结合法则起到了事半功倍的效果运用了逻辑思维，计算与迁移能力以及化归与转化的思想。

一些几何问题，如果运用数与形结合的观点去考虑形向数转化。即用代数、三角、解析几何的方法去解决，解题方法变得容易寻找。这是因为某些几何问题，虽然图形较直观，但其已知条件和结论之间相距甚远，解题途径不易找到。特别是需要添加辅助线才能解决的那些问题。

例16如图⊙O的半径R=5，A（10、0）是圆外的x轴上的一点，AB

是⊙O的切线，B是切点，求AB的长和B

解：AB是切线，0BA90，由勾股定理可得，AB=53，过B作BOx轴于D在RtOBA0BA90

BDOAOD553552,DB2B(2,2

)

继续教育课堂笔记学校：清华育才实验学校科目：数学年级：初三教师：姜雪

课题：数形结合在数学中的应用

第一课时

继续教育课堂笔记学校：清华育才实验学校科目：数学年级：初三教师：姜雪

课题：数形结合在数学中的应用

第二课时

1、数形结合与一元二次方程解的意义：

例1：①x2-x-6=0，x1=-2，x2=3，y=x2-x-6与x轴的公共点

A(-2,0),B(3,0)。

②x2-2x+1=0，x1=x2=1，y= x2-2x+1与x轴的公共点A(1,0)。

③x2+1=0，没有实数解，y= x2+1与x轴没有公共点。

图① 图② 图③

2、数形结合与二元一次方程组的解的意义：

二元一次方程组

a1xb1yc10的解有三种情况： a2xb2yc20

① 无解；②无数个解；③ 只有一个解。

这三种情况可以转化为两条直线a1x+b1y+c1=0、a2x+b2y+c2=0的三

种位置关系：①平行；②重合；③ 相交。方程组的解转化为两条直线的交点。

当a1：a2=b1：b2≠c1：c2时，两条直线的斜率相同，y轴上的截距

不同。此时两条直线平行，无交点，因而方程组无解。

当a1：a2=b1：b2=c1：c2时，两条直线的斜率相同，y轴上的截距相

同。此时两条直线重合，有无数个公共点，因而方程组有无数个解。

当a1：a2≠b1：b2时，两条直线的斜率不相同，两条直线相交，只

有一个交点，因而方程组只有一个解。

例2：①302xy，方程组无解。两条直线2x+y+3=0、4x+2y+1=04y104x

的位置关系如图：平行。

②2xy10，方程组只有一个解。两条直线2x+y+1=0、x+2y=0的x2y0

位置关系如图：相交。

2x4y0③，方程组有无数个解。两条直线2x+4y=0、x+2y=0的位x2y0

置关系如图：重合。

（1）

x x （3）（2）

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课题：数形结合在数学中的应用

第三课时

3、数形结合与集合问题

在集合运算中常常借助于数轴、文氏图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。

例 3: 已知集合 A=[0,4],B=[-2,3], 求 A∩B。

分析: 对于这两个有限集合, 我们可以将它们在数轴上表示出来, 就可以很清楚的知道结果。如图 1, 由图我们不难得出A∩B=[0,3]。

4、数形结合与图形隐含条件：

例4：在数轴上的位置如图，化简：|a-b|-|b-c|+2|a+c|。

解：∵bc,a>b,|c|>|a|∴a-b>0,b-c>0,a+c

=-a-2b-c。

例5：教师任意写出一个关于a和b的二次式，此二次式能分解成两个一次式的乘积，且各项系数都是正整数，如： a+2ab+b, 22

2a+5ab+2b等。

a 22

b a

学生根据教师给出的二次式，选取相应种类和数量的卡片，尝试拼成一个矩形，讨论矩形的代数意义

例6、完成下列计算，

1+2=?

1+2+3=?

1+2+3+4=?

如果以1+2+3+4为例，

如图：由此可知，

（15）5152

（1100）10050502

（首项末项）项数

1+2+3+4=10=

（14）由此可知，1+2+3+4=10= 4

1+2+3+4+5=?

1+2+3+ „+100=?

1+2+3+„+n=?

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课题：数形结合在数学中的应用

第四课时

5、空间与图形”中的数形结合

例7、如图，是连接在一起的两个正方形，大正方形的边长是小正方形边长的2倍。问：若只许剪两刀应如何裁剪，使之能拼成一个新的大正方形？

）

例8、（1）如图，用长30m的篱笆与一堵墙围一方土地，求篱笆能包围的土地的最大面积。

(2）如图，用长30m的篱笆与两堵墙（两堵墙成120°角）围一方土地，求篱笆能包围的土地的最大面积。

(3)如图8，用长12m的木方，做一个有一条横档的矩形窗子，围使透进的阳光最多，应选择窗子的长宽各为多少m？

在教学中，教师应该不失时机的让学生透过形的外表，触及其内在的数量关系，探索由形到数的联系与规律。

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课题：数形结合在数学中的应用

第五课时

6、统计与概率”中的数形结合

-1

4 3 2 1 0 -1

概率是新增加的内容，其抽象性使它成为教学的难点，在计算简单事件的概率时，采用画树状图的方法，树形结合，能收到化难为易的效果。

黄白白白白黄白白黄

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课题：数形结合在数学中的应用

第六课时

7、以数助形（一）

种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位．例11．已知平面直角坐标系中任意两点A(x1，y1)和B(x2，y2)之间

的距离可以用公式AB利用这个公式计算原点到直线y2x10的距离．

解：设P(x， 2x10)是直线y2x10上的任意一点，它到原点的距离是

OP当x

4时，OP最小

所以原点到直线y2x

10的距离为

例12．已知ABC的三边长分别为m2n2、2mn和m2n2（m、n为正整数，且mn）．求ABC的面积（用含m、n的代数式表示）．

“海伦公式”：三角形三边长为a、b、c，p为周长的一半，则三角形的面积S为：

S

解：由三边的关系：(m2n2)2(2mn)2(m2n2)2．

所以ABC是直角三角形．

所以ABC的面积(m2n2)(2mn)mn(m2n2)．

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课题：数形结合在数学中的应用

第七课时

7、以数助形（二）

要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：

例13．直线ybxc与抛物线yax2相交，两交点的横坐标分别为x1、x2，直线ybxc与x轴的交点的横坐标为x3．求证：

12111． x3x1x2

解：∵直线ybxc与x轴的交点的横坐标为x3，

∴bx3c0． ∴x3．

1b． x3ccb

∵直线ybxc与抛物线yax2两交点的横坐标分别为x1、x2， ∴x1、x2为关于x的一元二次方程ax2bxc0的两个不等实根． ∴x1x2，x1x2． b

11xxb∴12． x1x2x1x2cabaca

∴111． x3x1x2

例14．将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形．

【分析】这是一类很常见的问题．如果单单从“形”

的角度来思考，恐怕除了试验，没有其它更好的办法

了．但是如果我们先不忙考虑怎样剪裁，而是先从

“数”的角度来算一下，我们不难利用面积算出剪拼

，我们就不难设计出各种剪裁方法了．

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课题：数形结合在数学中的应用

第八课时

8、以形助数（一）

几何图形具有直观易懂的特点，所以在谈到“数形结合”时，更多的老师和学生更偏好于“以形助数”，利用几何图形解决代数问题，

常常会产生“出奇制胜”的效果，使人愉悦．几何直观运用于代数主

要有以下几个方面：

（1）利用几何图形帮助记忆代数公式，例如：

正方形的分割图可以用来记忆完全平方公式；

将两个全等的梯形拼成一个平行四边形可以用来记忆梯形面积公式；等等．

（2）利用数轴或坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，依靠直观帮助解决代数问题，或者简化代数运算．比如：

绝对值的几何意义就是数轴上两点之间的距离；

数的大小关系就是数轴上点的左右关系，可以用数轴上的线段表示实数的取值范围；

互为相反数在数轴上关于原点对称（更一般地：实数a与b在数轴上关于

2ba）； ab对称，换句话说，数轴上实数a关于b的对称点为2

利用函数图像的特点把握函数的性质：一次函数的斜率（倾斜程度）、截距，二次函数的对称轴、开口、判别式、两根之间的距离，等等；

一元二次方程的根的几何意义是二次函数图像与x轴的交点；函数解析式中常数项的几何意义是函数图像与y轴的交点（函数在x0时有意义）；

锐角三角函数的意义就是直角三角形中的线段比例．

例15．已知正实数x

，求y

分

析：可以

把2整(0

理

1为) (2)即看作是坐标系中一动点(x， 0)到两点（0，2）和

（2，1）的距离之和，于是本问题转化为求最短距离问题．

解

：y 令P(x，，则yPAPB． 0)、A（0，2）和B（2，1）

作B点关于x轴的对称点B'(2， 1)，则y的最小值

为AB'

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课题：数形结合在数学中的应用

第九课时

8、以形助数（二）

利用函数图象解决不等式问题是一种比较常见的数形结合的方法，这种方法的要点是把不等式变形成两个可以画出图象的函数（值）比较．

例16．已知tan，tan，求证：45．

证明：如图（2），连接BC，易证：ABD≌CBE，从而ABC是等腰直角三角形，于是：45．

1213

图（1）图（2）

例17．求函数yx1x2x3的最小值．

【分析】如图，设数轴上表示数－1、2、3、x的点分别为A、B、C、P（P为动点），则表示P到A、B、C三点之间的距离之和，即yPAPBPC． A

容易看出：当且仅当点P和点B重合时，

PAPBPC最小，所以y最小ABBC4．例18．若关于x的方程x22kx3k0的两根都在

－1和3之间，求k的取值范围．

【分析】令f(x)x22kx3k，其图象与x轴的横坐标就是方程f(x)0的解．由yf(x)的图象可知，要使两根都在－1和3之间，只须：

f(1)0，f(3)0，f(b)f(k)0同时成立，由此即可解得2a

1k0或k3．

其中，f(1)表示x1时的函数值．

解：令f(x)x22kx3k，由题意及二次函数的图象可知：

(1)22k(1)3k0f(1)02f(3)0即 32k33k0

f(k)0(k)22k(k)3k0

解得：1k0或k3．

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课题：数形结合在数学中的应用

第十课时

8、以形助数（三）

例19．若a0，且bac，求证：方程ax2bxc0有两个相异实数根．

证明：考查函数yax2bxc，

∵a0，

∴此抛物线开口向上．又∵bac，即abc0，

∴当x1时，二次函数的值f(1)0．

故抛物线与x轴有两个交点，从而方程有两个不等实根．例20．已知：对于满足0p4的所有实数p，不等式x2px4xp3恒成立，求x的取值范围．

把原题所求的问题重新表述一下，就是：当x取那些实数时，可以保证“无论实数p取0p4之内的什么实数，二次函数y1的图象

总是在一次函数y2的图象的上方”这个命题正确．

现在我们研究这两个函数的图象（如图）：

继续教育课堂笔记学校：清华育才实验学校科目：数学年级：初三教师：姜雪课题：数形结合在数学中的应用第十一课时

例 1: 对于 xR, y 取 4 - x, x + 1，(5 - x)三个值的最小值。求y 与x 的函数关系及最大值。

x1(x

1)1

y=2(5x) (1 3)4x

图1

它的图像是图形中的实线部分。结合图像很快可以求得,当x= 1 时, y 的最大值是 2。

例 2 :若函数 f(x)是定义在R上的偶函数,在(- ∞,0]上是减函数，且f(2)= 0 ,求 f(x)

解:由偶函数的性质,y = f(x)关于y轴对称,由y = f(x)在(- ∞,0 )上为减函数,且 f(-2) = f(2) = 0 ,做出图3,由图像可知f(x)

0 ，所以x（- 2，2) 继续教育课堂笔记学校：清华育才实验学校科目：数学年级：初三教师：姜雪课题：数形结合在数学中的应用第十二课时

2、解决方程与不等式的问题

处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问

题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。

例 3: 已知关于x 的方程(x24x3)2=px，有 4个不同的实根, 求实数p 的取值范围。

分析: 设y =(x24x3)2=x24x3与y=px这两个函数在同一坐标系内, 画出这两个函数的图像, 如图4。可知：

图4

(1)直线y= px 与y= -(x2- 4x+ 3) , x[ 1, 3 ]相切时原方程有3个根。

(2) y= px 与 x 轴重合时, 原方程有两个解, 故满足条件的直线y= px 应介于这两者之间,

y(x24x3)由:

ypx

得

x2+ (p - 4)x+ 3= 0, 再由△=0 得, p = 4±2 , 当p= 4+ 23时, x= -  [1, 3 ]舍去, 所以实数p的取值范围是 0

例 4: 若不等式 x2- ㏒ax

取值范围是什么?

分析: 原不等式可化为x2

x2 =，显然, 当x（0,)时，y1

241

①当a >1 时, 在（0,)上y2= ㏒ax图像( 如图5 )在y1= x2的

214

图像下方, 不合题意。

图5

②当 0

图6

故㏒a

11111

，㏒1a4，所以a（）4= , 综上有a∈,1 。

24216162

把方程不等式转化为函数, 利用函数图像解决问题是数形结合的一种重要渠道。

继续教育课堂笔记学校：清华育才实验学校科目：数学年级：初三教师：姜雪课题：数形结合在数学中的应用第十三课时

3、解决三角函数问题



例 5：设 x，求证: cscx - cotx2 - 1 42

分析: 由条件联想等腰三角形,不妨构造一个等腰直角三角形ABC, 如图7，设∠CDB=x, 利用 AD+DBAB=2，可得cscx - cotx2 - 1。

图7

例

6：已知0

证:+2sinxcosy+2sinycosz>sin2x+sin2y+sin2z。

证明: 如图8,在单位圆中,设∠AOD=x, ∠BOD=y, ∠COD=z,则 A,B,C点的坐标分别为(cosx,sinx),(cosy,siny),(cosz,sinz) 。

图中三个矩形面积分别为2sinx(cosx-siny),2siny(cosy-sinz), 2sinzcosz。

显然，这三个矩形面积之和小于半圆面积，即有

+2sinxcosy+2sinycosz >sin2x+sin2y+sin2z。 2

图8

4、解决线性规划问题

线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。

例7：已知1x - y2且2x + y4,求 4x - 2y 的范围。解此题可直接利用代数方法用换元法去求解, 这里用数形结合法来解决。

，显然 m 为2

3122

图9

该题是用线性规划的思想,数形结合解决了具有约束条件的函数的最值问题。

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科目：数学年级：初三教师：姜雪课题：数形结合在数学中的应用第十四课时 5、解决数列问题

例8：等差数列{ an}中,前m项的和Sm= Sn( mn) ,求 Smn的值。

解：代入等差数列的求和公式,则由Sm= Sn，得ma1 + = na1 + a1 +

m（m1）

d 2

n（n1）mn1

d,因为mn，所以a1 + d = 0，Smn=（m+n）22

(mn（)mn1)(mn1)

d = (m+n)a1d= 0。

22

这种解法易上手,但繁琐。若能利用数列求和公式的二次函数式,其解法又将进一步简化。

由Sn=An2+Bn，Sm=Am2+Bm 。因为mn，所以Smn= A(m+n)2+B（m+n）（m+n）A(mn)B = (m+n)

SmSn

= 0 。若再进一步利用mn

Sn=An2+Bn的二次函数图像就可产生如下解法：由Sn=An2+Bn，不妨设A

mn

，易知,抛2

物线和x轴的一个交点是原点,另一交点的横坐标是(m + n)，故Smn=0 。

这个问题的第二种解法用到了数形结合,培养了学生由数列联想到函数图像,二者之间相互映证、转化,使学生感到一种数学变化的快乐。

6、解决解析几何问题

解：假设在AB上存在点 E，使得3个三角形相似,所以△ECD一定是直角三角形。

∴Rt△ADE ∽ Rt△ECD ∽ Rt△BEC. ∵AD = a，DC = b , AE = x , ∴BE = b - x 于是

ADAEax

= ,得 =，即x2- bx + a2 = 0 BEBCbxa

∴Δ = b2- 4a2 = (b + 2a) ( b - 2a) ∵b + 2a > 0,a > 0,b > 0

∴ ①当 b - 2a

②当 b - 2a = 0 ,即 b = 2a时,Δ= 0 ,方程有两个相等的

正实数根,E点只有一个；

③当 b - 2a > 0 ,即 b > 2a时,Δ> 0 ,方程有两个不相等

的正实数根, E点有两个。

图10

说明：本题是一道几何问题,其几何量之间的关系运用代数式

及方程来表示,并根据方程的理论进行了由数到形的探究。

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科目：数学年级：初三教师：姜雪课题：数形结合在数学中的应用第十五课时

数形结合思想在解题中的应用典型例题归纳举例

如等式(x2)2(y1)24

3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。

f(

)f(k)0同时成立，解得1k0，故k(1，0)

例2. 解不等式x2x 解：法一、常规解法：

x0

原不等式等价于(I)x20

x2x2

x0

或(II)

x20

解(I)，得0x2；解(II)，得2x0

综上可知，原不等式的解集为{x|2x0或0x2}{x|2x2}

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科目：数学年级：初三教师：姜雪课题：数形结合在数学中的应用第十六课时

法二、数形结合解法：

令y1x2，y2x，则不等式x2x的解，就是使y1x2的图象

在y2x的上方的那段对应的横坐标，如下图，不等式的解集为{x|xAxxB}

而xB可由x2x，解得，xB2，xA2，

故不等式的解集为{x|2x2}。

例3. 已知0a1，则方程a|x||logax|的实根个数为(

)

例4. 如果实数x、y满足(x2)2y23，则的最大值为(

A.1

)

分析等式(x2)2y23有明显的几何意义，它表坐标平面上的一个圆，

圆心为(2，0)，半径r3，(如图)，而

yy0则表示圆上的点(x，y)与坐 xx0

标原点(0，0)的连线的斜率。如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点A

在以(2，0)为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值，由图

可见，当∠A在第一象限，且与圆相切时，OA的斜率最大，经简单计算，得最

大值为tg60°

继续教育课堂笔记学校：清华育才实验学校科目：数学年级：初三教师：姜雪课题：数形结合在数学中的应用第十七课时

x2y2

例5. 已知x，y满足1，求y3x的最大值与最小值

1625

x2y2

分析：对于二元函数y3x在限定条件1下求最值问题，常采用

1625

构造直线的截距的方法来求之。

令y3xb，则y3xb，

x2y2

原问题转化为：在椭圆1上求一点，使过该点的直线斜率为3，

1625

且在y轴上的截距最大或最小，

x2y2

由图形知，当直线y3xb与椭圆1相切时，有最大截距与最小

1625

截距。

y3xb 169x296bx16b24000 x2y2

16251

由0，得b±13，故y3x的最大值为13，最小值为13。

x3cos

若集合M(x，y)(0) 例6. ，集合N{(x，y)|yxb}

y3sin

且MN≠，则b的取值范围为

。

分析：M{(x，y)|x2y29，0y1}，显然，M表示以(0，0)为圆心，以3为半径的圆在x轴上方的部分，（如图），而N则表示一条直线，其斜率k=1，纵截

距为b，由图形易知，欲使MN≠，即是使直线yxb与半圆有公共点，显然b的最小逼近值为3，最大值为2，即3b2

x2y2

例7. 点M是椭圆1上一点，它到其中一个焦点F1的距离为2，N为

2516

MF1的中点，O表示原点，则|ON|=（） A.

B.2

C.4

D.8

212

继续教育课堂笔记学校：清华育才实验学校科目：数学年级：初三教师：姜雪课题：数形结合在数学中的应用第十八课时

例8. 已知复数z满足|z22i|2，求z的模的最大值、最小值的范围。分析：由于|z22i||z(22i)|，有明显的几何意义，它表示复数z对应的

∴|z|的取值范围为[，2]

sinx2

的值域。

cosx2

sinx2

得ycosx2ysinx2，解法一（代数法）：则y

cosx2

例9. 求函数y

sinxycosx2y2，y21sin(x)2y2 ∴sin(x) ∴|

2y2y21

2y2y1

，而|sin(x)|1

474y 33

|1，解不等式得

∴函数的值域为[

4747

，] 33

yy1sinx2

的形式类似于斜率公式y2

cosx2x2x1

解法二（几何法）：y y

sinx2

表示过两点P0(2，2)，P(cosx，sinx)的直线斜率

cosx2

由于点P在单位圆x2y21上，如图, 显然，kPAykPB 设过P0的圆的切线方程为y2k(x2) 则有

|2k2|k21

1，解得k

4±73

即kP0A

4747

，kP0B

∴

44447

∴函数值域为[y，]

3333

科目：数学年级：初三教师：姜雪课题：数形结合在数学中的应用第十九课时

例10. 求函数u2t4t的最值。

解：设xt4，y6t，则uxy 且x22y216(0x4，0y22)

所给函数化为以u为参数的直线方程yxu，它与椭圆x22y216在第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图）

umin22

相切于第一象限时，u取最大值

yxu22 23x4ux2u160 2

x2y16

解，得u±26，取u26 ∴umax26

科目：数学年级：初三教师：姜雪课题：数形结合在数学中的应用第二十课时

例11 设x∈R,求函数f(x)=x2x1﹣x2x1的值域。: 解

|f(x)| =| |PA|-|PB| |

点评本例显著的特征是把式子理解为距离之差，从而巧妙的解决了问题。

解法2 f(x)= (x)21313

(x)2(x)2

2424

=11(x)(x)

234=

x2x1xx1

11(x)(x)

所以将f(x)看作两点的斜率，可得如下做法：设C(x+,x2x1), D(x－,x2x1)则f(x)=kcd

1212

且CD两点都在等轴双曲线y2x2 的上半支上，直线必与双曲线的两条渐近线y=x,y=―x相交于上方。所以CD倾斜角的取值范围为{0, }（



3

,)）所以f(x)=Kcd∈(-1,1) 4

C 1 34

解法3 x2x1=x212*x=x2122xcos1206021

x2x1x212*xx2122xcos60 2

继续教育课堂笔记学校：清华育才实验学校科目：数学年级：初三教师：姜雪课题：数形结合在数学中的应用第二十一课时

x22x

|例12 函数y=2的值域为（）

x2x2

x22x 2是一分式，能不能把它看 x2x2

作两点连线的斜率呢?能,它实际上点P(

所以AP斜率的取值范围是[-1,1]即函数的值域为[-1,1]

本例巧妙的利用了数形结合求了分式函数(分子分母都是二次的)的值域,把分式看作是两点连线的斜率,往往收到意想不到的效果,另外

x22x把2看作是点M(x2+2x+2,x2+2x)与原点连线的斜率也可以x2x2

解决问题.

例13 方程㏒10x=sinx的实数根的个的个数是( )

A 1 个 B 2个 C 3个 D 4个

方程㏒10x=sinx的解是函数y=㏒10x与y=sinx

例 14 对于每个实数x设f(x)是4x+1,x+2,-2x+4中的最小值，则f(x)最大值为（）

解方程组y=-2x+4 得y=

所以f(x)的最大值是。

借助函数的图象，不仅很好的理解了题意，而且轻而易举的得出了

继续教育课堂笔记学校：清华育才实验学校科目：数学年级：初三教师：姜雪课题：数形结合在数学中的应用第二十二课时

(0≤x≤4,0≤y≤22) 所给函数化为以 u为参数的直线y=－x+u它与椭圆x2+2y2=16 在第一象限的部分（包括端点）有公共点，如图

un\min=22相切于第一象限时u－x+u 2+2y2=16 得 3x－4ux+2u2－16=0解△=0，得 u=26或 u=－26，又直线在第一象限，故umax=26

该题为一道用常规解法较难求解的题，但运用数形结合法则起到了事半功倍的效果运用了逻辑思维，计算与迁移能力以及化归与转化的思想。

例16如图⊙O的半径R=5，A（10、0）是圆外的x轴上的一点，AB

是⊙O的切线，B是切点，求AB的长和B

解：AB是切线，0BA90，由勾股定理可得，AB=53，过B作BOx轴于D在RtOBA0BA90

BDOAOD553552,DB2B(2,2

)

继续教育课堂笔记姜雪

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