用直
一． 目的
1. 掌握用直接积分法计算电流线圈的磁场的方法和步骤。
2. 编制计算机程序，计算螺线管线圈的磁场，并绘制磁力线分布场图。
二． 方法原理
这里以恒定磁场问题为例，介绍直接积分法。它是将连续场源效应的叠加予以等值代替，最终解得待求场量的离散解。换句话说，将连续函数的积分运算用求和的方法来近似逼近，是直接积分法的关键。
1. 轴对称磁场中沿轴线的磁场
2. 当空间磁场的分布具有轴对称性质，则被称为轴对称磁场。真空中一载电流I. 半径为 r 0 的环形回路，如图5.3-1所示，就是轴对称磁场的基本计算模型。不难求得，沿此环形电流回路轴线上任一场点P 的磁感应强度为
图5.3-1 环形电流回路
图5.3-2 场源的离散化 B=
μ0Ir 0
20
2' 2
3/2
2[r +(z -z ) ]
（1）
磁感应强度B 的方向是沿z 轴的正方向的。
对于由多匝环形线圈组成的载流螺线管线圈磁场的分析，应用叠加原理，这时待求磁场可由各个环形载流线圈各自产生的效应叠加求解。即将各匝线圈内的电流I 视作集中在截面中心的“电流丝”，但这在导体较粗的情形下会带来一定的误差。因此，较理想的场源离散化处理方法是：如图5.3-2所示，取载流线圈的外轮廓线为场源周界，且认为场源截面S 内电流分布均匀，即J=NI/S (2)
式中，N 是螺线管线圈的总匝数。然后，将截面离散成n 个小面积，第i 个小面积∆S i （i=1,2,…n ）内的电流为
∆I i =J ∆S i （3）把此电流视作集中在∆I i 中心的电流丝。这样，当截面离散为足够数量的小面积∆S i 时，就能保证计算结果具有满意的精度。
需要指出的是：场源离散化的网格的几何形状应力求规格化，以便可由计算机程序自动生成。
对于电流分布不均匀的场源，离散时应使每一网格内的电流尽可能均匀。
场源离散完成后，利用叠加原理和式（1），就可计算出轴线上任一场点P 处的磁感应强度值为
n
B=∑
i =1
μ0∆I i r i
2
2
2
3/2
2[r i +(z p -z i ) ]
（4）
2. 轴对称磁场中任意场点的磁场
容易导出，单个环形载流回路（图5.3-1所示）在任意点处磁感应强度各个分量的计算公式为 B r =和 B Z =
μ0I
1
[
r 0-r -(z -z ) (r 0-r ) +(z -z )
'
2
2
' 22
μ0I
z -z
2
'
2
1/2
2πr [(r 0+r ) +z ]
[
r 0+r +(z -z ) (r 0-r ) +(z -z )
'
22' 22
E (k ) -K (k )]
2π[(r 0+r ) 2+(z -z ' ) 2]
E (k ) +K (k )] （5）
这里,K(k)和E(k)分别为第一类和第二类椭圆积分。它们可分别由以下无穷级数计算：
1221*3241*3*5π6
) k +() k +….] K(k ) =[1+(() k +(
2
2
2*4
2*4*6
和 K(k ) =
π
2
[1-(() k -()
22*4
1
22
1*3
2
k
4
3
-(
)
2*4*65
1*3*5k
6
-….] (6)
式中k 值取决于环形回路的几何尺寸与场点位置 k
2
=
4r 0r
(r 0+r ) +(z -z )
2
' 2
对于载流螺线管磁场的分析，如前所述，它可看作N 匝环形载流回路的组合，显然，其磁场分布具有同样的轴对称特征。取过对称轴平面为分析场域。首先，按照上面所述方法，将场源网格离散化（离散成n 根电流丝），然后，应用叠加原理和式（5），求得待求场点处磁感应强度的各个分量分别为
n
B r =∑
i =1
μ0∆I i
2π
z P -z i
1
⨯[[
r i +r p +(z P -z i ) (r i -r p ) +(z P -z i )
2222
E (k ) -K (k )]
r P [(r i +r P ) +(z P -z i ) ]2
22
和
n
B r =∑
i =1
μ0∆I i
2π
2
1
1
⨯[
r i -r p -(z P -z i ) (r i -r p ) +(z P -z i )
2222
E (k ) +K (k )]
[(r i +r P ) +(z P -z i ) ]2
4r i r P
2
其中k
2
=
(r i +r P ) +(z i -z P )
22
式中：r P , z P 为场点的r 和z 方向的坐标；r i , z i 为离散后的第i 个环形电流丝的半径与z 坐标，并设环形电流丝的轴线与轴重合。如直接根据式（8）编制程序，就可求得待求场点处的磁感应强度的解答。 3. 轴对称磁场中场图的绘制
利用计算机直接绘制磁力线分布图，原则上可行，但工作量较大。然而，在轴对称磁场的情况下，通过磁矢位A 的数值解却提供了较方便地绘制图的途径。 容易证明，在轴对称磁场中， A r =常数 （10）
该式表明，A r 等于定值的轨迹即为B 线。很明显，依此描述B 线自然方便得多。但必须指出的是，为使B 线分布符合定性乃至定量地分析磁场的需要，在作图时，应按∆( A r ) =C
r 1
（某一指定值）的原则，描绘相应的B 线。
为了利用式（10）所示的关系绘制场图，必须求出磁矢位A 的数值解。单个环形载流回路（图5.3-1所示）在任意点处的磁矢位的计算公式为 A =
μ0I πk r 0⎡12⎤
式中的K(k).E(k)和k 分别由式（6）和（7）给出。 (1-k ) K (k ) -E (k ) ⎢⎥r ⎣2⎦
对于载流螺线管的磁矢位的计算，可把其看作是N 匝环形载流回路的组合。按照上述计算
磁感应强度的方法，线将场源离散成n 根电流丝，然后，应用叠加原理和式(10),求得待求场点处磁矢位的值为
n
A =
∑
i =1
μ0∆I i πk
r i ⎡12⎤
(1-k ) K (k ) -E (k ) 这里，k 可由式（9）算得。式中：, r P , z P 为⎢⎥r P ⎣2⎦
场点的r 与z 方向的坐标，r i , z i 为离散后的第i 个环形电流丝的半径与z 坐标，并设环形电流丝的轴线与z 轴重合。
三．上机作业
题5.3-1图所示为一载流螺线管线圈的剖面图。该线圈总匝数N=1995匝，通有电流I=0.5 A ，线圈的内外半径分别为R 1=2.7 cm和R 2=3.26 cm,高度为h=22.8 cm。根据本节给出的计算方法，制定框图和编制计算程序，且：
（1） 应用积分公式式（4），计算载流螺线管线圈轴线上的磁场分布，并与实测值进行比
较。、 （2） 用计算机描绘出载流螺线管轴线上的变化曲线B(z)。（令线圈的中心为坐标原点）
用直
一． 目的
1. 掌握用直接积分法计算电流线圈的磁场的方法和步骤。
2. 编制计算机程序，计算螺线管线圈的磁场，并绘制磁力线分布场图。
二． 方法原理
这里以恒定磁场问题为例，介绍直接积分法。它是将连续场源效应的叠加予以等值代替，最终解得待求场量的离散解。换句话说，将连续函数的积分运算用求和的方法来近似逼近，是直接积分法的关键。
1. 轴对称磁场中沿轴线的磁场
2. 当空间磁场的分布具有轴对称性质，则被称为轴对称磁场。真空中一载电流I. 半径为 r 0 的环形回路，如图5.3-1所示，就是轴对称磁场的基本计算模型。不难求得，沿此环形电流回路轴线上任一场点P 的磁感应强度为
图5.3-1 环形电流回路
图5.3-2 场源的离散化 B=
μ0Ir 0
20
2' 2
3/2
2[r +(z -z ) ]
（1）
磁感应强度B 的方向是沿z 轴的正方向的。
对于由多匝环形线圈组成的载流螺线管线圈磁场的分析，应用叠加原理，这时待求磁场可由各个环形载流线圈各自产生的效应叠加求解。即将各匝线圈内的电流I 视作集中在截面中心的“电流丝”，但这在导体较粗的情形下会带来一定的误差。因此，较理想的场源离散化处理方法是：如图5.3-2所示，取载流线圈的外轮廓线为场源周界，且认为场源截面S 内电流分布均匀，即J=NI/S (2)
式中，N 是螺线管线圈的总匝数。然后，将截面离散成n 个小面积，第i 个小面积∆S i （i=1,2,…n ）内的电流为
∆I i =J ∆S i （3）把此电流视作集中在∆I i 中心的电流丝。这样，当截面离散为足够数量的小面积∆S i 时，就能保证计算结果具有满意的精度。
需要指出的是：场源离散化的网格的几何形状应力求规格化，以便可由计算机程序自动生成。
对于电流分布不均匀的场源，离散时应使每一网格内的电流尽可能均匀。
场源离散完成后，利用叠加原理和式（1），就可计算出轴线上任一场点P 处的磁感应强度值为
n
B=∑
i =1
μ0∆I i r i
2
2
2
3/2
2[r i +(z p -z i ) ]
（4）
2. 轴对称磁场中任意场点的磁场
容易导出，单个环形载流回路（图5.3-1所示）在任意点处磁感应强度各个分量的计算公式为 B r =和 B Z =
μ0I
1
[
r 0-r -(z -z ) (r 0-r ) +(z -z )
'
2
2
' 22
μ0I
z -z
2
'
2
1/2
2πr [(r 0+r ) +z ]
[
r 0+r +(z -z ) (r 0-r ) +(z -z )
'
22' 22
E (k ) -K (k )]
2π[(r 0+r ) 2+(z -z ' ) 2]
E (k ) +K (k )] （5）
这里,K(k)和E(k)分别为第一类和第二类椭圆积分。它们可分别由以下无穷级数计算：
1221*3241*3*5π6
) k +() k +….] K(k ) =[1+(() k +(
2
2
2*4
2*4*6
和 K(k ) =
π
2
[1-(() k -()
22*4
1
22
1*3
2
k
4
3
-(
)
2*4*65
1*3*5k
6
-….] (6)
式中k 值取决于环形回路的几何尺寸与场点位置 k
2
=
4r 0r
(r 0+r ) +(z -z )
2
' 2
对于载流螺线管磁场的分析，如前所述，它可看作N 匝环形载流回路的组合，显然，其磁场分布具有同样的轴对称特征。取过对称轴平面为分析场域。首先，按照上面所述方法，将场源网格离散化（离散成n 根电流丝），然后，应用叠加原理和式（5），求得待求场点处磁感应强度的各个分量分别为
n
B r =∑
i =1
μ0∆I i
2π
z P -z i
1
⨯[[
r i +r p +(z P -z i ) (r i -r p ) +(z P -z i )
2222
E (k ) -K (k )]
r P [(r i +r P ) +(z P -z i ) ]2
22
和
n
B r =∑
i =1
μ0∆I i
2π
2
1
1
⨯[
r i -r p -(z P -z i ) (r i -r p ) +(z P -z i )
2222
E (k ) +K (k )]
[(r i +r P ) +(z P -z i ) ]2
4r i r P
2
其中k
2
=
(r i +r P ) +(z i -z P )
22
式中：r P , z P 为场点的r 和z 方向的坐标；r i , z i 为离散后的第i 个环形电流丝的半径与z 坐标，并设环形电流丝的轴线与轴重合。如直接根据式（8）编制程序，就可求得待求场点处的磁感应强度的解答。 3. 轴对称磁场中场图的绘制
利用计算机直接绘制磁力线分布图，原则上可行，但工作量较大。然而，在轴对称磁场的情况下，通过磁矢位A 的数值解却提供了较方便地绘制图的途径。 容易证明，在轴对称磁场中， A r =常数 （10）
该式表明，A r 等于定值的轨迹即为B 线。很明显，依此描述B 线自然方便得多。但必须指出的是，为使B 线分布符合定性乃至定量地分析磁场的需要，在作图时，应按∆( A r ) =C
r 1
（某一指定值）的原则，描绘相应的B 线。
为了利用式（10）所示的关系绘制场图，必须求出磁矢位A 的数值解。单个环形载流回路（图5.3-1所示）在任意点处的磁矢位的计算公式为 A =
μ0I πk r 0⎡12⎤
式中的K(k).E(k)和k 分别由式（6）和（7）给出。 (1-k ) K (k ) -E (k ) ⎢⎥r ⎣2⎦
对于载流螺线管的磁矢位的计算，可把其看作是N 匝环形载流回路的组合。按照上述计算
磁感应强度的方法，线将场源离散成n 根电流丝，然后，应用叠加原理和式(10),求得待求场点处磁矢位的值为
n
A =
∑
i =1
μ0∆I i πk
r i ⎡12⎤
(1-k ) K (k ) -E (k ) 这里，k 可由式（9）算得。式中：, r P , z P 为⎢⎥r P ⎣2⎦
场点的r 与z 方向的坐标，r i , z i 为离散后的第i 个环形电流丝的半径与z 坐标，并设环形电流丝的轴线与z 轴重合。
三．上机作业
题5.3-1图所示为一载流螺线管线圈的剖面图。该线圈总匝数N=1995匝，通有电流I=0.5 A ，线圈的内外半径分别为R 1=2.7 cm和R 2=3.26 cm,高度为h=22.8 cm。根据本节给出的计算方法，制定框图和编制计算程序，且：
（1） 应用积分公式式（4），计算载流螺线管线圈轴线上的磁场分布，并与实测值进行比
较。、 （2） 用计算机描绘出载流螺线管轴线上的变化曲线B(z)。（令线圈的中心为坐标原点）