学科:数学
教学内容:棱锥
【学习目标】
1.掌握棱锥的定义、性质、表面积和体积公式.
2.掌握正棱锥的性质,并能熟练运用正棱锥的基本元素所构成的直角三角形求解、证明有关问题.
【高考试题剖析】
1.(2003年春季高考·上海)若正三棱锥底面边长为4,体积为1,则侧面和底面所成二面角的大小等于_____.(结果用反三角函数值表示)
【解析】取BC 中点为D ,连SD 、AD ,则SD ⊥BC ,AD ⊥BC . 所以∠SDA 为侧面与底面的二面角的平面角,设为α. 在平面SAD 中,做SO ⊥AD 与AD 交于O .则SO 为棱锥的高. ∵正三棱锥顶点S 在底面ABC 的射影为O ∴O 为△ABC 的重心 ∴AO ∶OD=2∶1
12OD =AD =33∴
11
又V S —ABC = 3·2AB ·BC ·sin60°·h=1.
SO 3
==
DO 28
3∴h=4,∴tan α=.
3
∴α=arctan8
3
【答案】arctan 8
22.当圆锥的侧面积和底面积的比值是3时,圆锥的轴截面顶角是( )
A .120° C .45° 【答案】A
B .90°
D .30°
3.一个正四棱锥的中截面面积是Q ,正四棱锥的底面边长是( )
Q
A .4
B .2
C . Q
D .2Q
【解析】设正棱锥的底面边长为a .
Q 1
=2
4 ∴a=2 则a
【答案】D
4.一个棱锥的所有侧面与底面所成角均为ϕ,底面积为S ,则它的侧面积为_____.
【解析】射影面积定理.
S
【答案】cos ϕ
5.一个圆锥的轴截面顶角为120°,母线长为1 cm,过顶点作圆锥的截面中最大截面面积为_____.
【解析】当截面顶角大于等于90°时,截面的顶角为90°时面积最大
1
【答案】2cm 2.
【典型例题精讲】
[例1]根据下列条件,填写三棱锥P —ABC 顶点P 在底面ABC 内的射影O 的位置:
(1)三条侧棱相等( )
(2)侧棱和底面所成的角相等( ) (3)侧面与底面所成的角相等( )
(4)P 到△ABC 三边距离相等且O 在△ABC 内部( ) (5)三条侧棱两两垂直( ) (6)相对棱互相垂直( )
(7)PA =PB =PC ,∠ACB =90°( )
【解】(1)外心 (2)外心 (3)内心或旁心 (4)内心 (5)垂心 (6)垂心 (7)AB 的中点
[例2]将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使得BD=a,则三棱锥D —ABC 的体积为( )
a 3
A .6
a 3
B .12
3a 3
C .12
2a
3
D .12
图9—63
【分析】∵DB=DA=DC=a
∴D 在面ABC 上的射影为△ABC 的外心即AC 的中点O
1122
∴V D —ABC =3×2a 2×2a=12a 3.
【答案】D
[例3]已知两条异面直线段的长分别为a 、b ,夹角为θ,距离为h ,求证:
1
以此二异面直线段为对棱的四面体的体积为6abhsin θ.
图9—64
【证明】如图9—64,四面体ABCD 中,AB =a ,CD =b ,AB 、CD 夹角为θ,距离为h ,过B 作BE ∥CD ,过C 作CE ∥BD 交BE 于E ,连AE ,则∠ABE =θ或π-θ.因为CD ∥平面ABE ,∴AB 与CD 的距离为h ,即CD 到平面ABE 的距离,即C 到平面ABE 的距离,即棱锥C —ABE 底面ABE 上的高,显然V C —ABE =V A —BCE =V A —BCD ,V C —ABE
111
=32·AB ·BE ·hsin θ=6abhsin θ
1
∴V A —BCD =6abhsin θ.
【评述】锥体的体积求解常常利用“等积变形”.
[例4]如图9—65,设三棱锥S —ABC 的三个侧棱与底面ABC 所成角都是60°,又∠BAC =60°,且SA ⊥BC .
图9—65
(1)求证S —ABC 为正三棱锥; (2)已知SA =a ,求S —ABC 的全面积.
(1)【证明】正棱锥的定义中,底面是正多边形;顶点在底面上射影是底面的中心,两个条件缺一不可.作三棱锥S —ABC 的高SO ,O 为垂足,连结AO 并延长交BC 于D .
因为SA ⊥BC ,所以AD ⊥BC ,又侧棱与底面所成的角都相等, 从而O 为△ABC 的外心, OD 为BC 的垂直平分线, 所以AB =AC .又∠BAC =60°,
故△ABC 为正三角形,且O 为其中心,所以S -ABC 为正三棱锥. (2)【解】只要求出正三棱锥S —ABC 的侧高SD 与底面边长,则问题易于
1解决.在Rt △SAO 中,由于SA =a ,∠SAO =60°,所以SO =2a ,AO =2a ,3313
因O 为重心,所以AD =2AO =4a ,BC =2BD =2ADcot60°=2a ,OD =3AD =1
4a .
1133在Rt △SOD 中,SD 2=SO 2+OD 2=(2a )2+(4a )2=16,则SD =4a . 1133(+39) 3
⋅(a ) 2
16于是,S S -ABC 全=22sin60°+3·2·4a ·2a =a 2.
【评述】 (1)求正棱锥的侧面积或全面积还可以利用公式S 正棱锥底=cos α·S
132
a
,S △ABC =16,正棱锥侧(α为侧面与底面所成的二面角),就本题cos α=1333
所以S S -ABC 侧=16a 2÷=16a 2,于是也可求出全面积.
33
(2)注意到高SO =2a ,底面边长BC =2a 是相等的,因此这类正三棱
锥还有高与底面边长相等的性质,反之亦真.
(3)正三棱柱中,若侧棱与底面边长相等,则变成四个面都是正三角形的三棱锥,这时可称为正四面体,因此正四面体是特殊的正三棱锥,但正三棱锥不一定是正四面体.正方体沿相邻三个面上的对角线切割就形成正四面体.正四面体内对应元素相等.
[例5]四棱锥P —ABCD 中,底面是一个矩形,AB =3,AD =1,又PA ⊥AB ,PA =4,∠PAD =60°.
(1)求四棱锥P —ABCD 的侧面积; (2)求二面角P —BC —D 的大小.
【分析】这是一道非常规的四棱锥作为载体的解答题.必须从题设所提供的条件中,挖掘出判定各侧面三角形形状的信息,才能进入具体计算,绝不能直觉认定.首先分析题设中给出的定性条件.
信息1 从PA ⊥AB 及底面是一个矩形,可判定AB ⊥平面PAD ,从而平面PAD ⊥平面ABCD .
信息2 从CD ∥AB ,AB ⊥平面PAD ,可判定CD ⊥平面PAD .
信息3 从AB 、CD 垂直平面PAD ,利用线面垂直性质,知AB ⊥PA ,CD ⊥PD ,
11
于是△PAB 、△PDC 分别是直角三角形,于是S △PAB =2×4×3=6,S △PDC =2PD ×3
3=2PD .
信息4 从平面PAD ⊥平面ABCD ,且AD =平面PAD ∩平面ABCD ,所以从面面垂直性质知,若作PE ⊥AD 于E ,当然PE ⊥平面ABCD .问题是射影E 点究竟在
1
何处? 从AE =PAcos60°=2>1=AD ,∴S △PAD =2×1×2=.
信息5 在△PAD 中,运用余弦定理知 PD 2=12+42-2×1×4cos60°=13
3则PD =,∴S △PDC =2.
至此只剩下△PBC 的面积还未求出.
从上述信息,利用勾股定理可算出PB =5,PC =22,又BC =1,则S △PBC =
212,
21312+2+21+3+
322=∴S P -ABCD 侧=6++2.
对于(2)中只要在平面ABCD 中,作EF ∥DC 交BC 延长线于F ,连PF . 则从EF ⊥BF 知PF ⊥BC ,
所以∠PFE 就是二面角P —BC —D 的平面角.
23
易算出其大小为arctan 3.
【达标训练】
1.若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是( ) A .三棱锥 C .五棱锥
B .四棱锥 D .六棱锥
【解析】各侧面为正三角形,若为六棱锥则不能构成空间图形
【答案】D
2.如图9—66,在正三棱锥A —BCD 中,E 、F 是AB 、BC 的中点,EF ⊥DE ,若BC =a ,则正三棱锥A —BCD 的体积为( )
图9—66
2
A .12a 3
23
a 24B .
33
a
C .12
3a
D .24
【解析】∵EF ∥AC 、EF ⊥DE ∴AC ⊥DE 又∵AC ⊥DB ∴AC ⊥面ABD
2
∴V A —BCD =VC —ABD =24a 3
【答案】B
3.正三棱锥底面边长为8,侧棱长为4,如果过底面一条边作截面,与相对的侧棱有交点,则截面面积的最小值为_____.
【解析】当DE 为AB 、SC 的公垂线段时S △ABD 面积最小.
16【答案】5
4.若四面体一条棱长为x ,其余棱长都是2 cm,当四面体体积最大时,x 取值是_____.
1x ⨯
【解析】设BC=x,D 为BC 中点,V=2VB —SAD =2×32·S △SAD
x 2x 2
2(4-) -42-
44=2x x 2
2(4-) 4-
44 在△SAD 中,cos ∠ADS=
x 2
2-
1x 2) 2=1-x 2(4-
) ⋅1-(
x 22424-
4∴S △SAD =
x 112112
⨯-x 2=x (12-x 2) ≤⨯
662=1 ∴V=32
当且仅当x 2=12-x 2即x=6取等号. 【答案】cm
5.三棱锥一条侧棱长16 cm,和这条棱相对的棱长是18 cm,其余四条棱长都是17 cm,求棱锥的体积.
【解】如图取AD 的中点E ,连结CE 、BE , ∵AC =CD =17,DE =8,
∴CE 2=172-82=225,∴BE =CE =15,
∴取BC 的中点F ,连结EF ,EF 为BC 边上的高,
2222
∴EF =CE -CF =-9=12,
∴S △BCE =108.
∵AC =CD =17 cm,E 为AD 的中点,CE ⊥AD , 同理BE ⊥AD , ∴DA ⊥平面BCE ,
∴三棱锥可分为以底面BCE 为底,以AE 、DE 为高的两个三棱锥V A -BCE 和V D -
BCE
,
11
∴V A -BCD =2·3S △BCE ·AE =2×3×108×8=576(cm 3)
1
【评述】 此题若按一般体积公式V =3×底面积×高,计算体积甚为繁
琐.采用分割法则较易.此题若观察到三棱锥的两组对棱相等,将这相等的四条棱放在直平行六面体的四个全等的侧面内,两条不等的棱分放在上下底面内,转化到易求体积的图形内加以解决也可.若此题改为组对棱相等,则可作三棱锥的外接长方体,若改成六条棱均相等,则可作三棱锥的外接正方体.
6.在三棱锥S —ABC 中,侧面SAC ⊥底面ABC ,△SAC 是边长为4的正三角形,△ACB 为直角三角形,∠ACB =90°,BC =42.
(1)求证:侧面ASC ⊥侧面BSC ; (2)求SB 与底面ABC 所成的角; (3)求二面角S —AB —C 的正切值.
(1)【证明】∵侧面SAC ⊥底面ABC ,且BC ⊥AC , ∴BC ⊥平面SAC , ∴侧面SAC ⊥侧面BSC
(2)【解】过S 点作SD ⊥AC 于D ,连结BD .因为侧面SAC ⊥底面ABC ,所以SD ⊥底面ABC ,∠SBD 为SB 与底面ABC 所成的角,易知∠SBD =30°.
(3)【解】过S 作SE ⊥AB 于E ,连结DE ,可证得,∠SED 即为二面角S —AB —C 的平面角,
43先求直角三角形ABC 的高CF =,
12
23由于D 为AC 的中点,所以DE =CF =,
SD 32=
32. 又SD =2,于是tan ∠SED =DE
7.正三棱锥P —ABC 中,AB =a ,相邻两个侧面所成的二面角为θ.
图9—67
(1)若BD ⊥PC ,求BD 的长; (2)求这棱锥的侧面积.
【解】(1)连AD ,在△BCD 和△ACD 中, BC =AC ,∠BCD =∠ACD ,CD =CD , ∴△BCD ≌△ACD . ∴AD ⊥PC ,AD =BD ,
∴∠BDA 为侧面PBC 和PAC 所成二面角的平面角,∠BDA =θ.(0<θ<π). 在△ABD 中,由余弦定理得AB 2=BD 2+AD 2-2BD ·ADcos θ.
a 2
∴BD 2=2(1-cos θ) .
a a θ
=csc
2. 于是BD =2(1-cos ) 2
(2)取BC 的中点M ,连PM ,则PM ⊥BC .PM 为正三棱锥的斜高.
a 2
PC 2=PM 2+CM 2=PM 2+4
①
又PC ·BD =PM ·BC ,
PM 2⋅a 2
a 2
∴PC 2=2(1-cos θ) =2PM 2(1-cos θ)
②
a 2
a 2=22从①,②中消去PC ,得PM =1-2cos θ4(1-2cos θ) ,
a
即PM =2-2cos θ.
1a 3a 2
⋅3a ⋅=2-2cos θ4-2cos θ. ∴S 侧=2
【解题指导】
三棱锥的等(体)积变换是解决点到面的距离的常见方法之一,同时也是使计算简化的灵活手法;“割”“补”是解决体积问题常用技巧.正棱锥的四个“特征”直角三角形,是将“空间问题”转化为“平面问题”的桥梁.
【拓展练习】
备选题
1.(2001年春季高考·上海)
用一块钢锭浇铸一个厚度均匀,且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图),设容器的高为h 米,盖子边长为a 米.
(1)求a 关于h 的函数解析式;
(2)设容器的容积为V 立方米,则当h 为何值时,V 最大? 求出V 的最大值. (求解本题时,不计容器的厚度)
b
【解】(1)设h ′为正四棱锥的斜高.由已知
11
1
等式当且仅当h=h ,即h=1时取得.
1
故当h=1米时,V 有最大值,V 的最大值为6立方米.
12
学科:数学
教学内容:棱锥
【学习目标】
1.掌握棱锥的定义、性质、表面积和体积公式.
2.掌握正棱锥的性质,并能熟练运用正棱锥的基本元素所构成的直角三角形求解、证明有关问题.
【高考试题剖析】
1.(2003年春季高考·上海)若正三棱锥底面边长为4,体积为1,则侧面和底面所成二面角的大小等于_____.(结果用反三角函数值表示)
【解析】取BC 中点为D ,连SD 、AD ,则SD ⊥BC ,AD ⊥BC . 所以∠SDA 为侧面与底面的二面角的平面角,设为α. 在平面SAD 中,做SO ⊥AD 与AD 交于O .则SO 为棱锥的高. ∵正三棱锥顶点S 在底面ABC 的射影为O ∴O 为△ABC 的重心 ∴AO ∶OD=2∶1
12OD =AD =33∴
11
又V S —ABC = 3·2AB ·BC ·sin60°·h=1.
SO 3
==
DO 28
3∴h=4,∴tan α=.
3
∴α=arctan8
3
【答案】arctan 8
22.当圆锥的侧面积和底面积的比值是3时,圆锥的轴截面顶角是( )
A .120° C .45° 【答案】A
B .90°
D .30°
3.一个正四棱锥的中截面面积是Q ,正四棱锥的底面边长是( )
Q
A .4
B .2
C . Q
D .2Q
【解析】设正棱锥的底面边长为a .
Q 1
=2
4 ∴a=2 则a
【答案】D
4.一个棱锥的所有侧面与底面所成角均为ϕ,底面积为S ,则它的侧面积为_____.
【解析】射影面积定理.
S
【答案】cos ϕ
5.一个圆锥的轴截面顶角为120°,母线长为1 cm,过顶点作圆锥的截面中最大截面面积为_____.
【解析】当截面顶角大于等于90°时,截面的顶角为90°时面积最大
1
【答案】2cm 2.
【典型例题精讲】
[例1]根据下列条件,填写三棱锥P —ABC 顶点P 在底面ABC 内的射影O 的位置:
(1)三条侧棱相等( )
(2)侧棱和底面所成的角相等( ) (3)侧面与底面所成的角相等( )
(4)P 到△ABC 三边距离相等且O 在△ABC 内部( ) (5)三条侧棱两两垂直( ) (6)相对棱互相垂直( )
(7)PA =PB =PC ,∠ACB =90°( )
【解】(1)外心 (2)外心 (3)内心或旁心 (4)内心 (5)垂心 (6)垂心 (7)AB 的中点
[例2]将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使得BD=a,则三棱锥D —ABC 的体积为( )
a 3
A .6
a 3
B .12
3a 3
C .12
2a
3
D .12
图9—63
【分析】∵DB=DA=DC=a
∴D 在面ABC 上的射影为△ABC 的外心即AC 的中点O
1122
∴V D —ABC =3×2a 2×2a=12a 3.
【答案】D
[例3]已知两条异面直线段的长分别为a 、b ,夹角为θ,距离为h ,求证:
1
以此二异面直线段为对棱的四面体的体积为6abhsin θ.
图9—64
【证明】如图9—64,四面体ABCD 中,AB =a ,CD =b ,AB 、CD 夹角为θ,距离为h ,过B 作BE ∥CD ,过C 作CE ∥BD 交BE 于E ,连AE ,则∠ABE =θ或π-θ.因为CD ∥平面ABE ,∴AB 与CD 的距离为h ,即CD 到平面ABE 的距离,即C 到平面ABE 的距离,即棱锥C —ABE 底面ABE 上的高,显然V C —ABE =V A —BCE =V A —BCD ,V C —ABE
111
=32·AB ·BE ·hsin θ=6abhsin θ
1
∴V A —BCD =6abhsin θ.
【评述】锥体的体积求解常常利用“等积变形”.
[例4]如图9—65,设三棱锥S —ABC 的三个侧棱与底面ABC 所成角都是60°,又∠BAC =60°,且SA ⊥BC .
图9—65
(1)求证S —ABC 为正三棱锥; (2)已知SA =a ,求S —ABC 的全面积.
(1)【证明】正棱锥的定义中,底面是正多边形;顶点在底面上射影是底面的中心,两个条件缺一不可.作三棱锥S —ABC 的高SO ,O 为垂足,连结AO 并延长交BC 于D .
因为SA ⊥BC ,所以AD ⊥BC ,又侧棱与底面所成的角都相等, 从而O 为△ABC 的外心, OD 为BC 的垂直平分线, 所以AB =AC .又∠BAC =60°,
故△ABC 为正三角形,且O 为其中心,所以S -ABC 为正三棱锥. (2)【解】只要求出正三棱锥S —ABC 的侧高SD 与底面边长,则问题易于
1解决.在Rt △SAO 中,由于SA =a ,∠SAO =60°,所以SO =2a ,AO =2a ,3313
因O 为重心,所以AD =2AO =4a ,BC =2BD =2ADcot60°=2a ,OD =3AD =1
4a .
1133在Rt △SOD 中,SD 2=SO 2+OD 2=(2a )2+(4a )2=16,则SD =4a . 1133(+39) 3
⋅(a ) 2
16于是,S S -ABC 全=22sin60°+3·2·4a ·2a =a 2.
【评述】 (1)求正棱锥的侧面积或全面积还可以利用公式S 正棱锥底=cos α·S
132
a
,S △ABC =16,正棱锥侧(α为侧面与底面所成的二面角),就本题cos α=1333
所以S S -ABC 侧=16a 2÷=16a 2,于是也可求出全面积.
33
(2)注意到高SO =2a ,底面边长BC =2a 是相等的,因此这类正三棱
锥还有高与底面边长相等的性质,反之亦真.
(3)正三棱柱中,若侧棱与底面边长相等,则变成四个面都是正三角形的三棱锥,这时可称为正四面体,因此正四面体是特殊的正三棱锥,但正三棱锥不一定是正四面体.正方体沿相邻三个面上的对角线切割就形成正四面体.正四面体内对应元素相等.
[例5]四棱锥P —ABCD 中,底面是一个矩形,AB =3,AD =1,又PA ⊥AB ,PA =4,∠PAD =60°.
(1)求四棱锥P —ABCD 的侧面积; (2)求二面角P —BC —D 的大小.
【分析】这是一道非常规的四棱锥作为载体的解答题.必须从题设所提供的条件中,挖掘出判定各侧面三角形形状的信息,才能进入具体计算,绝不能直觉认定.首先分析题设中给出的定性条件.
信息1 从PA ⊥AB 及底面是一个矩形,可判定AB ⊥平面PAD ,从而平面PAD ⊥平面ABCD .
信息2 从CD ∥AB ,AB ⊥平面PAD ,可判定CD ⊥平面PAD .
信息3 从AB 、CD 垂直平面PAD ,利用线面垂直性质,知AB ⊥PA ,CD ⊥PD ,
11
于是△PAB 、△PDC 分别是直角三角形,于是S △PAB =2×4×3=6,S △PDC =2PD ×3
3=2PD .
信息4 从平面PAD ⊥平面ABCD ,且AD =平面PAD ∩平面ABCD ,所以从面面垂直性质知,若作PE ⊥AD 于E ,当然PE ⊥平面ABCD .问题是射影E 点究竟在
1
何处? 从AE =PAcos60°=2>1=AD ,∴S △PAD =2×1×2=.
信息5 在△PAD 中,运用余弦定理知 PD 2=12+42-2×1×4cos60°=13
3则PD =,∴S △PDC =2.
至此只剩下△PBC 的面积还未求出.
从上述信息,利用勾股定理可算出PB =5,PC =22,又BC =1,则S △PBC =
212,
21312+2+21+3+
322=∴S P -ABCD 侧=6++2.
对于(2)中只要在平面ABCD 中,作EF ∥DC 交BC 延长线于F ,连PF . 则从EF ⊥BF 知PF ⊥BC ,
所以∠PFE 就是二面角P —BC —D 的平面角.
23
易算出其大小为arctan 3.
【达标训练】
1.若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是( ) A .三棱锥 C .五棱锥
B .四棱锥 D .六棱锥
【解析】各侧面为正三角形,若为六棱锥则不能构成空间图形
【答案】D
2.如图9—66,在正三棱锥A —BCD 中,E 、F 是AB 、BC 的中点,EF ⊥DE ,若BC =a ,则正三棱锥A —BCD 的体积为( )
图9—66
2
A .12a 3
23
a 24B .
33
a
C .12
3a
D .24
【解析】∵EF ∥AC 、EF ⊥DE ∴AC ⊥DE 又∵AC ⊥DB ∴AC ⊥面ABD
2
∴V A —BCD =VC —ABD =24a 3
【答案】B
3.正三棱锥底面边长为8,侧棱长为4,如果过底面一条边作截面,与相对的侧棱有交点,则截面面积的最小值为_____.
【解析】当DE 为AB 、SC 的公垂线段时S △ABD 面积最小.
16【答案】5
4.若四面体一条棱长为x ,其余棱长都是2 cm,当四面体体积最大时,x 取值是_____.
1x ⨯
【解析】设BC=x,D 为BC 中点,V=2VB —SAD =2×32·S △SAD
x 2x 2
2(4-) -42-
44=2x x 2
2(4-) 4-
44 在△SAD 中,cos ∠ADS=
x 2
2-
1x 2) 2=1-x 2(4-
) ⋅1-(
x 22424-
4∴S △SAD =
x 112112
⨯-x 2=x (12-x 2) ≤⨯
662=1 ∴V=32
当且仅当x 2=12-x 2即x=6取等号. 【答案】cm
5.三棱锥一条侧棱长16 cm,和这条棱相对的棱长是18 cm,其余四条棱长都是17 cm,求棱锥的体积.
【解】如图取AD 的中点E ,连结CE 、BE , ∵AC =CD =17,DE =8,
∴CE 2=172-82=225,∴BE =CE =15,
∴取BC 的中点F ,连结EF ,EF 为BC 边上的高,
2222
∴EF =CE -CF =-9=12,
∴S △BCE =108.
∵AC =CD =17 cm,E 为AD 的中点,CE ⊥AD , 同理BE ⊥AD , ∴DA ⊥平面BCE ,
∴三棱锥可分为以底面BCE 为底,以AE 、DE 为高的两个三棱锥V A -BCE 和V D -
BCE
,
11
∴V A -BCD =2·3S △BCE ·AE =2×3×108×8=576(cm 3)
1
【评述】 此题若按一般体积公式V =3×底面积×高,计算体积甚为繁
琐.采用分割法则较易.此题若观察到三棱锥的两组对棱相等,将这相等的四条棱放在直平行六面体的四个全等的侧面内,两条不等的棱分放在上下底面内,转化到易求体积的图形内加以解决也可.若此题改为组对棱相等,则可作三棱锥的外接长方体,若改成六条棱均相等,则可作三棱锥的外接正方体.
6.在三棱锥S —ABC 中,侧面SAC ⊥底面ABC ,△SAC 是边长为4的正三角形,△ACB 为直角三角形,∠ACB =90°,BC =42.
(1)求证:侧面ASC ⊥侧面BSC ; (2)求SB 与底面ABC 所成的角; (3)求二面角S —AB —C 的正切值.
(1)【证明】∵侧面SAC ⊥底面ABC ,且BC ⊥AC , ∴BC ⊥平面SAC , ∴侧面SAC ⊥侧面BSC
(2)【解】过S 点作SD ⊥AC 于D ,连结BD .因为侧面SAC ⊥底面ABC ,所以SD ⊥底面ABC ,∠SBD 为SB 与底面ABC 所成的角,易知∠SBD =30°.
(3)【解】过S 作SE ⊥AB 于E ,连结DE ,可证得,∠SED 即为二面角S —AB —C 的平面角,
43先求直角三角形ABC 的高CF =,
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23由于D 为AC 的中点,所以DE =CF =,
SD 32=
32. 又SD =2,于是tan ∠SED =DE
7.正三棱锥P —ABC 中,AB =a ,相邻两个侧面所成的二面角为θ.
图9—67
(1)若BD ⊥PC ,求BD 的长; (2)求这棱锥的侧面积.
【解】(1)连AD ,在△BCD 和△ACD 中, BC =AC ,∠BCD =∠ACD ,CD =CD , ∴△BCD ≌△ACD . ∴AD ⊥PC ,AD =BD ,
∴∠BDA 为侧面PBC 和PAC 所成二面角的平面角,∠BDA =θ.(0<θ<π). 在△ABD 中,由余弦定理得AB 2=BD 2+AD 2-2BD ·ADcos θ.
a 2
∴BD 2=2(1-cos θ) .
a a θ
=csc
2. 于是BD =2(1-cos ) 2
(2)取BC 的中点M ,连PM ,则PM ⊥BC .PM 为正三棱锥的斜高.
a 2
PC 2=PM 2+CM 2=PM 2+4
①
又PC ·BD =PM ·BC ,
PM 2⋅a 2
a 2
∴PC 2=2(1-cos θ) =2PM 2(1-cos θ)
②
a 2
a 2=22从①,②中消去PC ,得PM =1-2cos θ4(1-2cos θ) ,
a
即PM =2-2cos θ.
1a 3a 2
⋅3a ⋅=2-2cos θ4-2cos θ. ∴S 侧=2
【解题指导】
三棱锥的等(体)积变换是解决点到面的距离的常见方法之一,同时也是使计算简化的灵活手法;“割”“补”是解决体积问题常用技巧.正棱锥的四个“特征”直角三角形,是将“空间问题”转化为“平面问题”的桥梁.
【拓展练习】
备选题
1.(2001年春季高考·上海)
用一块钢锭浇铸一个厚度均匀,且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图),设容器的高为h 米,盖子边长为a 米.
(1)求a 关于h 的函数解析式;
(2)设容器的容积为V 立方米,则当h 为何值时,V 最大? 求出V 的最大值. (求解本题时,不计容器的厚度)
b
【解】(1)设h ′为正四棱锥的斜高.由已知
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1
等式当且仅当h=h ,即h=1时取得.
1
故当h=1米时,V 有最大值,V 的最大值为6立方米.
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