函数讲义
一、考试内容
映射、函数、函数的单调性、函数的奇偶性；反函数、互为反函数的函数图象间的关系；指数概念的扩充、有理指数幂的运算性质、指数函数；对数、对数的运算性质、对数函数的应用举例。 二、主要内容
1. 函数的单调性
单一函数：（1）设x 1⋅x 2∈[a , b ], x 1≠x 2那么 (x 1-x 2) [f (x 1) -f (x 2) ]>0⇔
f (x 1) -f (x 2)
x 1-x 2f (x 1) -f (x 2)
x 1-x 2
>0⇔f (x ) 在[a , b ]上是增函数；
(x 1-x 2) [f (x 1) -f (x 2) ]
(2)设函数y =f (x ) 在某个区间内可导，如果f '(x ) >0，则f (x ) 为增函数；如果
f '(x )
复合函数：
如果函数f (x ) 和g (x ) 都是减函数, 则在公共定义域内, 和函数f (x ) +g (x ) 也是减函数; 如果函数y =f (u ) 和u =g (x ) 在其对应的定义域上都是减函数, 则复合函数
y =f [g (x )]是增函数.
2. 奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称; 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．
若函数y =f (x ) 是偶函数，则ƒ(x)=ƒ(-x),若函数y =f (x ) 是奇函数，则
ƒ(x)=-ƒ(-x)
注：若函数y =f (x ) 是偶函数，则f (x +a ) =f (-x -a ) ；若函数y =f (x +a ) 是偶函数，则f (x +a ) =f (-x +a ) .
对称性
对于函数y =f (x ) (x ∈R ), f (x +a ) =f (b -x ) 恒成立, 则函数f (x ) 的对称轴是函数x =
若f (x ) =-f (-x +a ) , 则函数y =f (x ) 的图象关于点(则函数y =f (x ) 为周期为2a 的周期函数.
n n -1
3. 多项式函数P (x ) =a n x +a n -1x + +a 0的奇偶性
a +b 2
。
a 2
, 0) 对称; 若f (x ) =-f (x +a ) ,
多项式函数P (x ) 是奇函数⇔P (x ) 的偶次项(即奇数项) 的系数全为零. 多项式函数P (x ) 是偶函数⇔P (x ) 的奇次项(即偶数项) 的系数全为零.
23. 函数y =f (x ) 的图象的对称性
(1)函数y =f (x ) 的图象关于直线x =a 对称⇔f (a +x ) =f (a -x )
⇔f (2a -x ) =f (x ) .
(2)函数y =f (x ) 的图象关于直线x =
⇔f (a +b -mx ) =f (mx ) .
a +b 2
对称⇔f (a +mx ) =f (b -mx )
4. 两个函数图象的对称性
(1)函数y =f (x ) 与函数y =f (-x ) 的图象关于直线x =0(即y 轴) 对称. (2)函数y =f (mx -a ) 与函数y =f (b -mx ) 的图象关于直线x =(3)函数y =f (x ) 和y =f
-1
a +b 2m
对称.
(x ) 的图象关于直线y=x对称.
25. 若将函数y =f (x ) 的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数y =f (x -a ) +b 的图象；若将曲线f (x , y ) =0的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线f (x -a , y -b ) =0的图象.
5. 互为反函数的两个函数的关系
f (a ) =b ⇔f
-1
(b ) =a .
27. 若函数y =f (kx +b ) 存在反函数, 则其反函数为y =
y =[f
-1
1k
[f
-1
(x ) -b ], 并不是
(kx +b ) , 而函数y =[f
-1
(kx +b ) 是y =
1k
[f (x ) -b ]的反函数.
6. 几个常见的函数方程
(1)正比例函数f (x ) =cx , f (x +y ) =f (x ) +f (y ), f (1)=c . (2)指数函数f (x ) =a x , f (x +y ) =f (x ) f (y ), f (1)=a ≠0.
(3)对数函数f (x ) =log a x , f (xy ) =f (x ) +f (y ), f (a ) =1(a >0, a ≠1) . (4)幂函数f (x ) =x α, f (xy ) =f (x ) f (y ), f ' (1)=α.
(5)余弦函数f (x ) =cos x , 正弦函数g (x ) =sin x ，f (x -y ) =f (x ) f (y ) +g (x ) g (y ) ， f (0)=1, lim
g (x ) x
=1.
x →0
7. 几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）f (x ) =f (x +a ) ，则f (x ) 的周期T=a； （2）f (x ) =f (x +a ) =0，
1f (x ) 1f (x )
或f (x +a ) =(f (x ) ≠0) ，
或f (x +a ) =-
12
(f (x ) ≠0) ,
或+
=f (x +a ), (f (x ) ∈[0,1]) , 则f (x ) 的周期T=2a；
(3)f (x ) =1-
1f (x +a )
(f (x ) ≠0) ，则f (x ) 的周期T=3a；
(4)f (x 1+x 2) =
f (x ) 的周期T=4a；
f (x 1) +f (x 2) 1-f (x 1) f (x 2)
且f (a ) =1(f (x 1) ⋅f (x 2) ≠1, 0
(5)f (x ) +f (x +a ) +f (x +2a ) f (x +3a ) +f (x +4a )
=f (x ) f (x +a ) f (x +2a ) f (x +3a ) f (x +4a ) , 则f (x ) 的周期T=5a；
(6)f (x +a ) =f (x ) -f (x +a ) ，则f (x ) 的周期T=6a. 8. 分数指数幂
m
(1)a n =
（a >0, m , n ∈N ，且n >1）.
*
(2)a
-
m n
=
1
m
（a >0, m , n ∈N *，且n >1）.
a
n
9. 根式的性质
（1
）n =a .
（2）当n
=a ； 当n
=|a |=⎨10. 有理指数幂的运算性质
(1)a r ⋅a s =a r +s (a >0, r , s ∈Q ) . (2)(a r ) s =a rs (a >0, r , s ∈Q ) . (3)(ab ) r =a r b r (a >0, b >0, r ∈Q ) .
注：若a ＞0，p 是一个无理数，则a 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.
33. 指数式与对数式的互化式
b
log a N =b ⇔a =N (a >0, a ≠1, N >0) .
p
⎧a , a ≥0⎩-a , a
.
34. 对数的换底公式
log a N =
log m N log m a
(a >0, 且a ≠1, m >0, 且m ≠1, N >0). n m
推论 log a m b n =
log a b (a >0, 且a >1, m , n >0, 且m ≠1, n ≠1, N >0).
11. 对数的四则运算法则
若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log a (M N ) =log a M +log a N ; (2)log a
M N
n
=log a M -log a N ; =n log a M (n ∈R ) .
(ax
2
(3)log a M
注：设函数f (x ) =log
m
+bx +c )(a ≠0) , 记∆=b -4ac . 若f (x ) 的定义域为
2
R , 则a >0，且∆0，且∆≥0. 对于a =0的情形, 需要
单独检验.
12. 对数换底不等式及其推论
若a >0, b >0, x >0, x ≠
1a 1
, 则函数y =log ax (bx )
1
(1)当a >b 时, 在(0,) 和(, +∞) 上y =log ax (bx ) 为增函数.
a a
11
(2)(2)当a
a a
推论:设n >m >1，p >0，a >0，且a ≠1，则 （1）log m +p (n +p )
2
m +n 2
.
三、主要问题
1、定义域 普通函数 1．函数
的定义域是R ，则k 的取值范围是（ ）。
A 、k ≤0或k ≥1 B 、k ≥1 C 、0≤k ≤1 D 、0
f (x ) =log
x -1
(-2
x
2
+5x -3) , 则x 的取值范围是__________
4．f (x ) =(x -x )
, 则x 的取值范围是__________
抽象函数
1、若函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]，则y=f(2x-1)的定义域是（ ）。A 、
[-1，4] C 、[-5，5] D 、[-3，7]
2、已知函数的定义域为[-1，1]，求ƒ（2x-1）的定义域
B 、
3、已知f (x ) 的定义域是[-2，4]，则g(x)=f (x ) +ƒ(-x)的定义域是_________________ 4、已知ƒ（x +1）的定义域为[0，3]，求f (x ) 的定义域 与一元二次函数的联系
1、f (x ) =ax -1
a
x
2
2
-4ax +2
的定义域为R ，求a 得取值范围
2、2、f (x ) =m
x
-6mx +m +8的定义域为R ，求m 得取值范围
总结：求函数的定义域，就要把含有所求变量的每一个定义域都求出来；注意强化整体意识。
2、值域
y =x
2
函数配方法：求
-2x +5, x ∈[-1, 2]
的值域。
y =
1+x +x 1+x
2
2
函数判别式法 ：1、求
（1）当y ≠1时，x ∈R
2
2
的值域。
(y -1) x +(y -1) x =0
∆=(-1) -4(y -1)(y -1) ≥0
1
解得：2
≤y ≤
32
⎡13⎤
1∈⎢, ⎥
（2）当y=1时，x =0，而⎣22⎦
⎡13⎤
⎢2, 2⎥
⎦故函数的值域为⎣
求函数
y =x +x (2-x )
的值域。
∵0≤x ≤2
∴y =x +
x (2-x ) ≥0
∴y min =0, y =1+
2
代入方程（1）
4
x 1=
2+2-222-22
4
2
∈[0, 2]
解得：即当
x 1=
2+
2
时，
2]
原函数的值域为：
小tips
用判别式法求定义域时，应首先判断自变量的取值范围
反函数法：直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数
[0, 1+
3x +4
求函数5x +6值域。
函数有界性法
cos x
sin x -3的值域。
求函数
y =
解：由原函数式可得：y sin x -cos x =3y ，可化为：
y
2
+1sin x (x +β) =3y
3y y
2
sin x (x +β) =
即∵x ∈R
+1
∴sin x (x +β) ∈[-1, 1]
-1≤
3y y -
2
≤1+1
即
2
2
4 解得：4换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
≤y ≤
求函数y =x +
x -1
的值域。
解：令x -1=t ，(t ≥0)
2
则x =t +1
y =t
2
+t +1=(t +
12
) +
2
34
∵
=1i 当t =0时，y m n
又t ≥0，由二次函数的性质可知 当t →0时，y →+∞ 故函数的值域为[1, +∞)
数形结合法
求函数求函数性3、单调
(1)判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性 1、根据函数单调性的定义证明函数f(x)=-x3+1在R 上是减函数
y =(x -2)
2
+(x +8)
2
的值域
+4x +5
y =x
2
-6x +13+x
2
的值域。
2、若f (x ) 为奇函数，且在(0，+∞) 内是增函数，又f (－3)=0,则xf (x )
2
3、已知奇函数f (x ) 是定义在(－3，3) 上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x －3)
(1) 讨论(2) 试求
f (x ) =x +y =
x +
1x
在区间1
(0, +∞) 上的单调性
x +3
+1的最小值
复合函数 求函数y =
-x -2x +3的单调区间.
2132
求函数y =log x +log
13
x 的单调区间.
定义在R +上的函数f(x)满足①f(2)=1，②f(xy)=f(x)+f(y) ③当x>y时，有f(x)>f(y)，如果f(x)+f(x-3)≤2，求x 的取值范围．
4、奇偶性与周期性
1、已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（ ） A ．a =
13
，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0
2、若ϕ(x ) ，g （x ）都是奇函数，f (x ) =a ϕ+bg (x ) +2在（0，＋∞）上有最大值5， 则f （x ）在（－∞，0）上有（ ）
A ．最小值－5 B ．最大值－5 C ．最小值－1 D ．最大值－3
3、f （x ）是定义在（－∞，－5］ ［5，＋∞）上的奇函数，且f （x ）在［5，＋∞）上
单调递减，试判断f （x ）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．
4、设函数y ＝f （x ）（x ∈R 且x ≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2），求证f （x ）是偶函数．
5、对称性与周期性
1、已知定义在R 上的奇函数f (x ) 满足f (x +2) =-f (x ) ，则f (6)的值为 A . -1 B . 0 C . 1 D . 2
2、设f (x ) 是定义在R 上以6为周期的函数，f (x ) 在(0,3) 内单调递减，
且y =f (x ) 的图像关于直线x =3对称，则下面正确的结论是
A . f (1.5)
C . f (6.5)
3、已知函数f (x ) 是以2为周期的周期函数，且当x ∈(0,1)时，f (x ) =2-1，则
x
f (log210) 的值为
4、设f (x ) 在R 上是奇函数，当x>0时，f (x ) =2-3，则ƒ（-2)=_____
f (x ) =
x
5、已知定义域为R 的偶函数f (x ) 满足 ƒ（x+1)=ƒ(x-1),x∈[0,1]时，f (x ) =x，则
log
3
x 的实数解的个数有————————
6、抽象函数
1. 已知函数y = f (x )(x ∈R ，x ≠0) 对任意的非零实数x 1，x 2，恒有f (x 1x 2)=f (x 1)+f (x 2), 试判断f (x ) 的奇偶性。
2、设函数f (x ) 对任意x 1, x 2∈[0,], 都有f (x +x ) =12
21
f (1x ) ⋅, ) f (x ) =2 f (2x
已知f (1)=2，求f () , f () 的值.
2
4
11
3、 设f （x ）是定义R 在上的函数，对任意x ，y ∈R ，有 f（x+y）+f（x-y ）=2f（x ）f （y ）且f （0）≠0.
（1）求证f （0）=1；（2）求证：y=f（x ）为偶函数.
4、已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。
5、函数f (x ) 对于x>0有意义，且满足条件f (2)=1, f (xy ) =f (x ) +f (y ), f (x ) 是减函数。证明：f (1)=0；（2）若f (x ) +f (x -3) ≥2成立，求x 的取值范围。
6、函数图象 1、
3、. 函数y ＝1－
1x -1
的图象是(
)
已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图像如图，求b 的范围
7、指数函数与对数函数的考查
1、以下四个数中的最大者是（ ） A ．（ln2）2 B ．ln （ln2） C ．ln 2 D ．ln2
2、设f (x ) =lg(2
1-x +a ) 是奇函数，则使f (x )
A ．(-1, 0) B ．(0,1) C ．(-∞, 0) D ．(-∞, 0) (1,+∞)
⎧4x -4, x ≤1()f x =3、函数的图象和函数g (x )=log ⎨2x -4x +3, x >1⎩2 x 的图象的交点个数是（ ）
A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
4、函数y =e
|lnx |-|x -1|的图象大致是（ ）
5、将函数y =log 2x 的图象向左平移一个单位，得到图象C 1，再将C 1向上平移一个单位得到图象C 2，则C 2的解析式为________。
6、若关于x 的方程25-|x +1|-4∙5-|x +1|=m 有实根，则实数m 的取值范围是________。
7、根据函数y =|2x -1|的图象判断：当实数m 为何值时，方程|2x -1|=m 无解？有一解？有两解？
8、函数图象的变换
π1、要得到函数y ＝sin (2x －的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( ) 3
ππ (A)向左平移 个单位 (B)向右平移 个单位 33
ππ(C)向左平移 个单位 (D)向右平移个单位 66
2、设函数f (x ) ＝11－x 2 (-1≤x ≤0) ，则函数y ＝f －1(x ) 的图象是( )
3、将y ＝2x 的图象( )
(A)先向左平行移动1个单位 (B)先向右平行移动1个单位
(C)先向上平行移动1个单位 (D)先向下平行移动1个单位
再作关于直线y ＝x 对称的图象，可得到y ＝log 2(x +1)的图象。
4、已知函数y ＝f(x)的图象如图2(甲) 所示，y ＝g(x)的图象如图2(乙) 所示，则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是图3中的 ( )
5、已知图4(1)中的图象对应的函数为y ＝f(x)，则图4(2)中的图象对应的函数在下列给出的四式中，只可能是(
)
(A)y＝f(|x|) (B)y=|f(x)| (C)y＝f(-|x|) (D)y＝-f(|x|)
6、：已知函数f(x)＝ax 3+bx2+cx+d的图象如图5，则 ( )
(A)b∈(-∞，0) (B)b∈(0，1) (C)b∈(1，2) (D)b∈(2，+∞)
9、函数综合大题
1、已知f (x ) =2x -1的反函数为f
(1)若f -1-1(x ) ，g (x ) =log 4(3x +1) . (x ) ≤g (x ) ，求x 的取值范围D ；
1
2f -1(2)设函数H (x ) =g (x ) -(x ) ，当x ∈D 时，求函数H (x ) 的值域.
2、设二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a , b , c ∈R ) 满足下列条件：
①当x ∈R 时，f (x ) 的最小值为0，且f (x －1)=f (－x －1) 成立；
②当x ∈(0,5)时，x ≤f (x ) ≤2x -1+1恒成立。
（1）求f (1)的值；
（2）求f (x ) 的解析式；
（3）求最大的实数m(m>1),使得存在实数t, 只要当x ∈[1, m ]时，就有f (x +t ) ≤x 成立。
3、对于函数f (x )= a -2
2+1x (a ∈R ) ：
（1）探索函数的单调性；（2）是否存在实数a 使函数f (x ) 为奇函数？
4、设a 为实数，函数f (x ) =2x +(x -a ) |x -a |. (1)若f (0)≥1，求a 的取值范围；(2)求f (x ) 的最小值；(3)设函数h (x ) =f (x ), x ∈(a , +∞) ，直接写出(不需给出演算 ．．．．
步骤) 不等式h (x ) ≥1的解集.
5、已知定义域为R 的函数f (x ) =
（1）求a,b 的值；
（2）若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2-2t ) +f (2t 2-k )
-2+b 2x +1x 2+a 是奇函数.
函数讲义
一、考试内容
映射、函数、函数的单调性、函数的奇偶性；反函数、互为反函数的函数图象间的关系；指数概念的扩充、有理指数幂的运算性质、指数函数；对数、对数的运算性质、对数函数的应用举例。 二、主要内容
1. 函数的单调性
单一函数：（1）设x 1⋅x 2∈[a , b ], x 1≠x 2那么 (x 1-x 2) [f (x 1) -f (x 2) ]>0⇔
f (x 1) -f (x 2)
x 1-x 2f (x 1) -f (x 2)
x 1-x 2
>0⇔f (x ) 在[a , b ]上是增函数；
(x 1-x 2) [f (x 1) -f (x 2) ]
(2)设函数y =f (x ) 在某个区间内可导，如果f '(x ) >0，则f (x ) 为增函数；如果
f '(x )
复合函数：
如果函数f (x ) 和g (x ) 都是减函数, 则在公共定义域内, 和函数f (x ) +g (x ) 也是减函数; 如果函数y =f (u ) 和u =g (x ) 在其对应的定义域上都是减函数, 则复合函数
y =f [g (x )]是增函数.
2. 奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称; 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．
若函数y =f (x ) 是偶函数，则ƒ(x)=ƒ(-x),若函数y =f (x ) 是奇函数，则
ƒ(x)=-ƒ(-x)
注：若函数y =f (x ) 是偶函数，则f (x +a ) =f (-x -a ) ；若函数y =f (x +a ) 是偶函数，则f (x +a ) =f (-x +a ) .
对称性
对于函数y =f (x ) (x ∈R ), f (x +a ) =f (b -x ) 恒成立, 则函数f (x ) 的对称轴是函数x =
若f (x ) =-f (-x +a ) , 则函数y =f (x ) 的图象关于点(则函数y =f (x ) 为周期为2a 的周期函数.
n n -1
3. 多项式函数P (x ) =a n x +a n -1x + +a 0的奇偶性
a +b 2
。
a 2
, 0) 对称; 若f (x ) =-f (x +a ) ,
多项式函数P (x ) 是奇函数⇔P (x ) 的偶次项(即奇数项) 的系数全为零. 多项式函数P (x ) 是偶函数⇔P (x ) 的奇次项(即偶数项) 的系数全为零.
23. 函数y =f (x ) 的图象的对称性
(1)函数y =f (x ) 的图象关于直线x =a 对称⇔f (a +x ) =f (a -x )
⇔f (2a -x ) =f (x ) .
(2)函数y =f (x ) 的图象关于直线x =
⇔f (a +b -mx ) =f (mx ) .
a +b 2
对称⇔f (a +mx ) =f (b -mx )
4. 两个函数图象的对称性
(1)函数y =f (x ) 与函数y =f (-x ) 的图象关于直线x =0(即y 轴) 对称. (2)函数y =f (mx -a ) 与函数y =f (b -mx ) 的图象关于直线x =(3)函数y =f (x ) 和y =f
-1
a +b 2m
对称.
(x ) 的图象关于直线y=x对称.
25. 若将函数y =f (x ) 的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数y =f (x -a ) +b 的图象；若将曲线f (x , y ) =0的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线f (x -a , y -b ) =0的图象.
5. 互为反函数的两个函数的关系
f (a ) =b ⇔f
-1
(b ) =a .
27. 若函数y =f (kx +b ) 存在反函数, 则其反函数为y =
y =[f
-1
1k
[f
-1
(x ) -b ], 并不是
(kx +b ) , 而函数y =[f
-1
(kx +b ) 是y =
1k
[f (x ) -b ]的反函数.
6. 几个常见的函数方程
(1)正比例函数f (x ) =cx , f (x +y ) =f (x ) +f (y ), f (1)=c . (2)指数函数f (x ) =a x , f (x +y ) =f (x ) f (y ), f (1)=a ≠0.
(3)对数函数f (x ) =log a x , f (xy ) =f (x ) +f (y ), f (a ) =1(a >0, a ≠1) . (4)幂函数f (x ) =x α, f (xy ) =f (x ) f (y ), f ' (1)=α.
(5)余弦函数f (x ) =cos x , 正弦函数g (x ) =sin x ，f (x -y ) =f (x ) f (y ) +g (x ) g (y ) ， f (0)=1, lim
g (x ) x
=1.
x →0
7. 几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）f (x ) =f (x +a ) ，则f (x ) 的周期T=a； （2）f (x ) =f (x +a ) =0，
1f (x ) 1f (x )
或f (x +a ) =(f (x ) ≠0) ，
或f (x +a ) =-
12
(f (x ) ≠0) ,
或+
=f (x +a ), (f (x ) ∈[0,1]) , 则f (x ) 的周期T=2a；
(3)f (x ) =1-
1f (x +a )
(f (x ) ≠0) ，则f (x ) 的周期T=3a；
(4)f (x 1+x 2) =
f (x ) 的周期T=4a；
f (x 1) +f (x 2) 1-f (x 1) f (x 2)
且f (a ) =1(f (x 1) ⋅f (x 2) ≠1, 0
(5)f (x ) +f (x +a ) +f (x +2a ) f (x +3a ) +f (x +4a )
=f (x ) f (x +a ) f (x +2a ) f (x +3a ) f (x +4a ) , 则f (x ) 的周期T=5a；
(6)f (x +a ) =f (x ) -f (x +a ) ，则f (x ) 的周期T=6a. 8. 分数指数幂
m
(1)a n =
（a >0, m , n ∈N ，且n >1）.
*
(2)a
-
m n
=
1
m
（a >0, m , n ∈N *，且n >1）.
a
n
9. 根式的性质
（1
）n =a .
（2）当n
=a ； 当n
=|a |=⎨10. 有理指数幂的运算性质
(1)a r ⋅a s =a r +s (a >0, r , s ∈Q ) . (2)(a r ) s =a rs (a >0, r , s ∈Q ) . (3)(ab ) r =a r b r (a >0, b >0, r ∈Q ) .
注：若a ＞0，p 是一个无理数，则a 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.
33. 指数式与对数式的互化式
b
log a N =b ⇔a =N (a >0, a ≠1, N >0) .
p
⎧a , a ≥0⎩-a , a
.
34. 对数的换底公式
log a N =
log m N log m a
(a >0, 且a ≠1, m >0, 且m ≠1, N >0). n m
推论 log a m b n =
log a b (a >0, 且a >1, m , n >0, 且m ≠1, n ≠1, N >0).
11. 对数的四则运算法则
若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log a (M N ) =log a M +log a N ; (2)log a
M N
n
=log a M -log a N ; =n log a M (n ∈R ) .
(ax
2
(3)log a M
注：设函数f (x ) =log
m
+bx +c )(a ≠0) , 记∆=b -4ac . 若f (x ) 的定义域为
2
R , 则a >0，且∆0，且∆≥0. 对于a =0的情形, 需要
单独检验.
12. 对数换底不等式及其推论
若a >0, b >0, x >0, x ≠
1a 1
, 则函数y =log ax (bx )
1
(1)当a >b 时, 在(0,) 和(, +∞) 上y =log ax (bx ) 为增函数.
a a
11
(2)(2)当a
a a
推论:设n >m >1，p >0，a >0，且a ≠1，则 （1）log m +p (n +p )
2
m +n 2
.
三、主要问题
1、定义域 普通函数 1．函数
的定义域是R ，则k 的取值范围是（ ）。
A 、k ≤0或k ≥1 B 、k ≥1 C 、0≤k ≤1 D 、0
f (x ) =log
x -1
(-2
x
2
+5x -3) , 则x 的取值范围是__________
4．f (x ) =(x -x )
, 则x 的取值范围是__________
抽象函数
1、若函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]，则y=f(2x-1)的定义域是（ ）。A 、
[-1，4] C 、[-5，5] D 、[-3，7]
2、已知函数的定义域为[-1，1]，求ƒ（2x-1）的定义域
B 、
3、已知f (x ) 的定义域是[-2，4]，则g(x)=f (x ) +ƒ(-x)的定义域是_________________ 4、已知ƒ（x +1）的定义域为[0，3]，求f (x ) 的定义域 与一元二次函数的联系
1、f (x ) =ax -1
a
x
2
2
-4ax +2
的定义域为R ，求a 得取值范围
2、2、f (x ) =m
x
-6mx +m +8的定义域为R ，求m 得取值范围
总结：求函数的定义域，就要把含有所求变量的每一个定义域都求出来；注意强化整体意识。
2、值域
y =x
2
函数配方法：求
-2x +5, x ∈[-1, 2]
的值域。
y =
1+x +x 1+x
2
2
函数判别式法 ：1、求
（1）当y ≠1时，x ∈R
2
2
的值域。
(y -1) x +(y -1) x =0
∆=(-1) -4(y -1)(y -1) ≥0
1
解得：2
≤y ≤
32
⎡13⎤
1∈⎢, ⎥
（2）当y=1时，x =0，而⎣22⎦
⎡13⎤
⎢2, 2⎥
⎦故函数的值域为⎣
求函数
y =x +x (2-x )
的值域。
∵0≤x ≤2
∴y =x +
x (2-x ) ≥0
∴y min =0, y =1+
2
代入方程（1）
4
x 1=
2+2-222-22
4
2
∈[0, 2]
解得：即当
x 1=
2+
2
时，
2]
原函数的值域为：
小tips
用判别式法求定义域时，应首先判断自变量的取值范围
反函数法：直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数
[0, 1+
3x +4
求函数5x +6值域。
函数有界性法
cos x
sin x -3的值域。
求函数
y =
解：由原函数式可得：y sin x -cos x =3y ，可化为：
y
2
+1sin x (x +β) =3y
3y y
2
sin x (x +β) =
即∵x ∈R
+1
∴sin x (x +β) ∈[-1, 1]
-1≤
3y y -
2
≤1+1
即
2
2
4 解得：4换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
≤y ≤
求函数y =x +
x -1
的值域。
解：令x -1=t ，(t ≥0)
2
则x =t +1
y =t
2
+t +1=(t +
12
) +
2
34
∵
=1i 当t =0时，y m n
又t ≥0，由二次函数的性质可知 当t →0时，y →+∞ 故函数的值域为[1, +∞)
数形结合法
求函数求函数性3、单调
(1)判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性 1、根据函数单调性的定义证明函数f(x)=-x3+1在R 上是减函数
y =(x -2)
2
+(x +8)
2
的值域
+4x +5
y =x
2
-6x +13+x
2
的值域。
2、若f (x ) 为奇函数，且在(0，+∞) 内是增函数，又f (－3)=0,则xf (x )
2
3、已知奇函数f (x ) 是定义在(－3，3) 上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x －3)
(1) 讨论(2) 试求
f (x ) =x +y =
x +
1x
在区间1
(0, +∞) 上的单调性
x +3
+1的最小值
复合函数 求函数y =
-x -2x +3的单调区间.
2132
求函数y =log x +log
13
x 的单调区间.
定义在R +上的函数f(x)满足①f(2)=1，②f(xy)=f(x)+f(y) ③当x>y时，有f(x)>f(y)，如果f(x)+f(x-3)≤2，求x 的取值范围．
4、奇偶性与周期性
1、已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（ ） A ．a =
13
，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0
2、若ϕ(x ) ，g （x ）都是奇函数，f (x ) =a ϕ+bg (x ) +2在（0，＋∞）上有最大值5， 则f （x ）在（－∞，0）上有（ ）
A ．最小值－5 B ．最大值－5 C ．最小值－1 D ．最大值－3
3、f （x ）是定义在（－∞，－5］ ［5，＋∞）上的奇函数，且f （x ）在［5，＋∞）上
单调递减，试判断f （x ）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．
4、设函数y ＝f （x ）（x ∈R 且x ≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2），求证f （x ）是偶函数．
5、对称性与周期性
1、已知定义在R 上的奇函数f (x ) 满足f (x +2) =-f (x ) ，则f (6)的值为 A . -1 B . 0 C . 1 D . 2
2、设f (x ) 是定义在R 上以6为周期的函数，f (x ) 在(0,3) 内单调递减，
且y =f (x ) 的图像关于直线x =3对称，则下面正确的结论是
A . f (1.5)
C . f (6.5)
3、已知函数f (x ) 是以2为周期的周期函数，且当x ∈(0,1)时，f (x ) =2-1，则
x
f (log210) 的值为
4、设f (x ) 在R 上是奇函数，当x>0时，f (x ) =2-3，则ƒ（-2)=_____
f (x ) =
x
5、已知定义域为R 的偶函数f (x ) 满足 ƒ（x+1)=ƒ(x-1),x∈[0,1]时，f (x ) =x，则
log
3
x 的实数解的个数有————————
6、抽象函数
1. 已知函数y = f (x )(x ∈R ，x ≠0) 对任意的非零实数x 1，x 2，恒有f (x 1x 2)=f (x 1)+f (x 2), 试判断f (x ) 的奇偶性。
2、设函数f (x ) 对任意x 1, x 2∈[0,], 都有f (x +x ) =12
21
f (1x ) ⋅, ) f (x ) =2 f (2x
已知f (1)=2，求f () , f () 的值.
2
4
11
3、 设f （x ）是定义R 在上的函数，对任意x ，y ∈R ，有 f（x+y）+f（x-y ）=2f（x ）f （y ）且f （0）≠0.
（1）求证f （0）=1；（2）求证：y=f（x ）为偶函数.
4、已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。
5、函数f (x ) 对于x>0有意义，且满足条件f (2)=1, f (xy ) =f (x ) +f (y ), f (x ) 是减函数。证明：f (1)=0；（2）若f (x ) +f (x -3) ≥2成立，求x 的取值范围。
6、函数图象 1、
3、. 函数y ＝1－
1x -1
的图象是(
)
已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图像如图，求b 的范围
7、指数函数与对数函数的考查
1、以下四个数中的最大者是（ ） A ．（ln2）2 B ．ln （ln2） C ．ln 2 D ．ln2
2、设f (x ) =lg(2
1-x +a ) 是奇函数，则使f (x )
A ．(-1, 0) B ．(0,1) C ．(-∞, 0) D ．(-∞, 0) (1,+∞)
⎧4x -4, x ≤1()f x =3、函数的图象和函数g (x )=log ⎨2x -4x +3, x >1⎩2 x 的图象的交点个数是（ ）
A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
4、函数y =e
|lnx |-|x -1|的图象大致是（ ）
5、将函数y =log 2x 的图象向左平移一个单位，得到图象C 1，再将C 1向上平移一个单位得到图象C 2，则C 2的解析式为________。
6、若关于x 的方程25-|x +1|-4∙5-|x +1|=m 有实根，则实数m 的取值范围是________。
7、根据函数y =|2x -1|的图象判断：当实数m 为何值时，方程|2x -1|=m 无解？有一解？有两解？
8、函数图象的变换
π1、要得到函数y ＝sin (2x －的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( ) 3
ππ (A)向左平移 个单位 (B)向右平移 个单位 33
ππ(C)向左平移 个单位 (D)向右平移个单位 66
2、设函数f (x ) ＝11－x 2 (-1≤x ≤0) ，则函数y ＝f －1(x ) 的图象是( )
3、将y ＝2x 的图象( )
(A)先向左平行移动1个单位 (B)先向右平行移动1个单位
(C)先向上平行移动1个单位 (D)先向下平行移动1个单位
再作关于直线y ＝x 对称的图象，可得到y ＝log 2(x +1)的图象。
4、已知函数y ＝f(x)的图象如图2(甲) 所示，y ＝g(x)的图象如图2(乙) 所示，则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是图3中的 ( )
5、已知图4(1)中的图象对应的函数为y ＝f(x)，则图4(2)中的图象对应的函数在下列给出的四式中，只可能是(
)
(A)y＝f(|x|) (B)y=|f(x)| (C)y＝f(-|x|) (D)y＝-f(|x|)
6、：已知函数f(x)＝ax 3+bx2+cx+d的图象如图5，则 ( )
(A)b∈(-∞，0) (B)b∈(0，1) (C)b∈(1，2) (D)b∈(2，+∞)
9、函数综合大题
1、已知f (x ) =2x -1的反函数为f
(1)若f -1-1(x ) ，g (x ) =log 4(3x +1) . (x ) ≤g (x ) ，求x 的取值范围D ；
1
2f -1(2)设函数H (x ) =g (x ) -(x ) ，当x ∈D 时，求函数H (x ) 的值域.
2、设二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a , b , c ∈R ) 满足下列条件：
①当x ∈R 时，f (x ) 的最小值为0，且f (x －1)=f (－x －1) 成立；
②当x ∈(0,5)时，x ≤f (x ) ≤2x -1+1恒成立。
（1）求f (1)的值；
（2）求f (x ) 的解析式；
（3）求最大的实数m(m>1),使得存在实数t, 只要当x ∈[1, m ]时，就有f (x +t ) ≤x 成立。
3、对于函数f (x )= a -2
2+1x (a ∈R ) ：
（1）探索函数的单调性；（2）是否存在实数a 使函数f (x ) 为奇函数？
4、设a 为实数，函数f (x ) =2x +(x -a ) |x -a |. (1)若f (0)≥1，求a 的取值范围；(2)求f (x ) 的最小值；(3)设函数h (x ) =f (x ), x ∈(a , +∞) ，直接写出(不需给出演算 ．．．．
步骤) 不等式h (x ) ≥1的解集.
5、已知定义域为R 的函数f (x ) =
（1）求a,b 的值；
（2）若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2-2t ) +f (2t 2-k )
-2+b 2x +1x 2+a 是奇函数.