热流问题的数值计算
Numerical Simulations of Thermal & Fluid Problems
第三章多维导热问题
主讲陶文铨
西安交通大学能源与动力工程学院热流中心CFD-NHT-EHT CENTER
2007年11月20日,西安
2. 解决的一种方案
为写出适合于三种坐标系中系数的通用表达式，特引进两个辅助变量：离表示成为sx i δ
（1）x –方向标尺因子，scaling factor，x-方向的距（2）y-方向引入一个名义半径，R 。对直角坐标R ＝1，对圆柱与极坐标R ＝r 。
据此，东西导热距离为：sx i δ
x 。对直角、圆柱坐标规定sx ≡1;
x
东西导热面积为：R Δy /sx
3.1.3
三种二维正交坐标系中离散方程的统一表达式
3.2附加源项法
3.2.1第二、三类边界条件的处理方法
1. 补充以边界节点代数方程的方法
2. 附加源项法
3.2.2附加源项法的实施细则
1. 处理第二类边界条件的附加源项法
2. 处理第三类边界条件的附加源项法
3. 附加源项法的实施步骤
3.2.3 附加源项法与补充节点法的对比
缺点：对多维问题显著增加了求解的节点数目。对20X20的二维区域，增加了内点的23％。
寻找不增加结点数目而又能使内节点的代数方程封闭的方法对多维问题具有重要意义。
2. 附加源项法（additional source term method,ASTM)
将由第二类、第三类边界条件所规定的进入计算区域的热量折算成与边界相邻的第一个控制容积的源项；切断内点与边界点的联系，从而将未知的边界点温度从内点离散方程中排除。
(2)令该边界上的导热系数为零；
(3)按常规方法建立内接点的离散方程，并在内接点
区域求解方程组；(4)在内点区域求解方程组; 获得收敛解后按Newton 冷却公式或Fourier 定律确定边界温度。3.2.3 附加源项法与补充节点法的对比
采用附加源项法后三类边界条件均可按第一类处理；采用附加源项法后求解区域仅限于内节点。采用FVM 及方法B 离散区域时，所有第二，三类边界条件均可用ASTM 进行处理，比补充节点方程的方法收敛速度可有一个数量级的增加。
a E
a N a a S
S
a W
W P E N
二维问题离散方程系数矩阵为五对角阵
3.3.2代数方程组的一般求解方法1. 直接解法(direct method)
通过有限次运算可以获得代数方程组的精确解的求解方法；如TDMA ，没有舍入误差就得精确解。2. 迭代法(iterative method)
通过一组假定的初场，由代数方程组本身不断加以改进以获得近似解的求解方法。
工程流动与传热计算代数方程求解大多采用迭代法：因为问题多为非线性的，在获得收敛解之前，各层次代数方程的系数均是临时的，不必求出其真解。
3.3.3求解代数方程组的迭代方法（iteration) 1. 迭代解法的基本思想及关键问题
通过一组假定的初场，由代数方程组本身不断加以改进以获得近似解的求解方法。1) 怎样组织迭代？2) 迭代方式是否收敛？3) 怎样加快迭代收敛速度？2. 点迭代法
每一步计算只能改进求解区域中一点之值；将求解区域中各点之值都更新一次的计算过程称为一轮迭代。每一点上被更新之值均与其它各点之值显式相关。
1）Jakob 迭代
未知值的更新均用上一轮计算的邻点之值－收敛速度与迭代方向无关。2）Gauss －Seidel 迭代
未知值的更新均用邻点的最新值来进行。3）SOR/SUR迭代
φ
(k +1)
=φ
(k )
+α(φ
(k +1)
−φ)
(k )
2. 块迭代法1) 基本思想
将求解区域分为若干块，每一块内各点采用直接解
法，块与块间的推进采用迭代法，又称隐式迭代法。
3.3.5 区分两种意义上的迭代
(1)求解代数方程的迭代：
迭代过程中代数方
程系数保持不变；
(2)求解非线性问题的迭代：
迭代过程中代数方
程系数不断更新。
一般文献中所指的
迭代次数均为外迭代。
计算区域边界与网格的等值线相适应的坐标系，采用数值方法生成这种坐标系。
将ξ−η看成是计算平面上一个直角坐标的两个轴，则物理平面的不规则计算区域立即转换为计算平面的矩形区域；在计算平面上进行计算，再将结果传递到物理平面上
同舟共济渡彼岸! People in the same boat help each other to cross to the other bank, where….
热流问题的数值计算
Numerical Simulations of Thermal & Fluid Problems
第三章多维导热问题
主讲陶文铨
西安交通大学能源与动力工程学院热流中心CFD-NHT-EHT CENTER
2007年11月20日,西安
2. 解决的一种方案
为写出适合于三种坐标系中系数的通用表达式，特引进两个辅助变量：离表示成为sx i δ
（1）x –方向标尺因子，scaling factor，x-方向的距（2）y-方向引入一个名义半径，R 。对直角坐标R ＝1，对圆柱与极坐标R ＝r 。
据此，东西导热距离为：sx i δ
x 。对直角、圆柱坐标规定sx ≡1;
x
东西导热面积为：R Δy /sx
3.1.3
三种二维正交坐标系中离散方程的统一表达式
3.2附加源项法
3.2.1第二、三类边界条件的处理方法
1. 补充以边界节点代数方程的方法
2. 附加源项法
3.2.2附加源项法的实施细则
1. 处理第二类边界条件的附加源项法
2. 处理第三类边界条件的附加源项法
3. 附加源项法的实施步骤
3.2.3 附加源项法与补充节点法的对比
缺点：对多维问题显著增加了求解的节点数目。对20X20的二维区域，增加了内点的23％。
寻找不增加结点数目而又能使内节点的代数方程封闭的方法对多维问题具有重要意义。
2. 附加源项法（additional source term method,ASTM)
将由第二类、第三类边界条件所规定的进入计算区域的热量折算成与边界相邻的第一个控制容积的源项；切断内点与边界点的联系，从而将未知的边界点温度从内点离散方程中排除。
(2)令该边界上的导热系数为零；
(3)按常规方法建立内接点的离散方程，并在内接点
区域求解方程组；(4)在内点区域求解方程组; 获得收敛解后按Newton 冷却公式或Fourier 定律确定边界温度。3.2.3 附加源项法与补充节点法的对比
采用附加源项法后三类边界条件均可按第一类处理；采用附加源项法后求解区域仅限于内节点。采用FVM 及方法B 离散区域时，所有第二，三类边界条件均可用ASTM 进行处理，比补充节点方程的方法收敛速度可有一个数量级的增加。
a E
a N a a S
S
a W
W P E N
二维问题离散方程系数矩阵为五对角阵
3.3.2代数方程组的一般求解方法1. 直接解法(direct method)
通过有限次运算可以获得代数方程组的精确解的求解方法；如TDMA ，没有舍入误差就得精确解。2. 迭代法(iterative method)
通过一组假定的初场，由代数方程组本身不断加以改进以获得近似解的求解方法。
工程流动与传热计算代数方程求解大多采用迭代法：因为问题多为非线性的，在获得收敛解之前，各层次代数方程的系数均是临时的，不必求出其真解。
3.3.3求解代数方程组的迭代方法（iteration) 1. 迭代解法的基本思想及关键问题
通过一组假定的初场，由代数方程组本身不断加以改进以获得近似解的求解方法。1) 怎样组织迭代？2) 迭代方式是否收敛？3) 怎样加快迭代收敛速度？2. 点迭代法
每一步计算只能改进求解区域中一点之值；将求解区域中各点之值都更新一次的计算过程称为一轮迭代。每一点上被更新之值均与其它各点之值显式相关。
1）Jakob 迭代
未知值的更新均用上一轮计算的邻点之值－收敛速度与迭代方向无关。2）Gauss －Seidel 迭代
未知值的更新均用邻点的最新值来进行。3）SOR/SUR迭代
φ
(k +1)
=φ
(k )
+α(φ
(k +1)
−φ)
(k )
2. 块迭代法1) 基本思想
将求解区域分为若干块，每一块内各点采用直接解
法，块与块间的推进采用迭代法，又称隐式迭代法。
3.3.5 区分两种意义上的迭代
(1)求解代数方程的迭代：
迭代过程中代数方
程系数保持不变；
(2)求解非线性问题的迭代：
迭代过程中代数方
程系数不断更新。
一般文献中所指的
迭代次数均为外迭代。
计算区域边界与网格的等值线相适应的坐标系，采用数值方法生成这种坐标系。
将ξ−η看成是计算平面上一个直角坐标的两个轴，则物理平面的不规则计算区域立即转换为计算平面的矩形区域；在计算平面上进行计算，再将结果传递到物理平面上
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