——习题课
题型一：与指数有关的复合函数的定义域和值域
1、 含指数函数的复合函数的定义域
（1） 由于指数函数y =a x (a >0, 且a ≠1)的定义域是R ，所以函数y =a f (x )的定义域与f (x )的定义域相同.
（2） 对于函数y =f a x (a >0, 且a ≠1)的定义域，关键是找出t =a 的值域哪些部分y =f (t )的定义域中. x ()
2、 含指数函数的复合函数的定义域
（1） 在求形如y =a f (x )(a >0, 且a ≠1)的函数值域时，先求得f (x )的值域（即t =f (x )中t 的范围），再根
据y =a t 的单调性列出指数不等式，得出a 的范围，即y =a f (x )的值域. t
（2） 在求形如y =f a x ()(a >0, 且a ≠1)的函数值域时，易知a
x x >0（或根据y =f a x 对x 限定的更加具()体的范围列指数不等式，得出a 的具体范围），然后再t ∈(0, +∞)上，求y =f (t )的值域即可.
【例】求下列函数的定义域和值域.
（1）y =0. 4
1x -1； （2）y =3； （3）y =-a x .
题型二：利用指数函数的单调性解指数不等式
解题步骤：（1）利用指数函数的单调性解不等式，首先要将不等式两端都凑成底数相同的指数式.
（2）a f (x )>a g (x )⇔⎨⎧f (x )>g (x ), a >1 ⎩f (x )>g (x ), 0
2⎛1⎫【例】（1）解不等式 ⎪⎝2⎭
3x -1≤2； （2）已知a x -3x +10, a ≠1)，求x 的取值范围.
题型三：指数函数的最值问题
解题思路：指数函数在定义域R 上是单调函数，因此在R 的某一闭区间子集上也是单调函数，因此在区间的两个端点处分别取到最大值和最小值. 需要注意的是，当底数未知时，要对底数分情况讨论.
【例】函数f (x )=a x (a >0, a ≠1)在[1, 2]上的最大值比最小值大
a ，求a 的值. 2
题型四：与指数函数有关的单调性
1、研究形如y =a f (x )(a >0, 且a ≠1)的函数的单调性时，有如下结论：
（1）当a >1时，函数y =a f (x )的单调性与f (x )的单调性相同；
f (x )（2）当0
2、研究形如y =ϕa ()(a >0, 且a ≠1)的函数的单调性时，有如下结论： x
x （1）当a >1时，函数y =ϕa 的单调性与y =ϕ(t )的单调性相同；
x （2）当0
注意：做此类题时，一定要考虑复合函数的定义域.
【例】1. 已知a >0, 且a ≠1，讨论f (x )=a -x
2+3x +2的单调性.
2. 求下列函数的单调区间.
（1）y =a x
2+2x -3； （2）y =10. 2-1x
题型五：指数函数与函数奇偶性的综合应用
虽然指数函数不具有奇偶性，但一些指数型函数可能具有奇偶性，对于此类问题可利用定义进行判断或证明.
1+a 为奇函数，则a 的值为 . x 3+1
1(x ∈R )是奇函数，则实数a 的值为 . 2. 已知函数f (x )=a -1+2x
11+(a >0, a ≠1)，判断函数f (x )的奇偶性. 3. 已知函数f (x )=x a -12【例】1. 已知函数f (x )=
题型六：图像变换的应用
1、平移变换：若已知y =a 的图像，
（1）把y =a 的图像向左平移b 个单位，则得到y =a
（2）把y =a 的图像向右平移b 个单位，则得到y =a
x x x x +b x 的图像； 的图像； x -b （3）把y =a 的图像向上平移b 个单位，可得到y =a +b 的图像；
（4）把y =a 的图像向下平移b 个单位，则得到y =a -b 的图像. x x x
2、对称变换：若已知y =a x 的图像，
（1）函数y =a x 的图像与y =a -x 的图像关于y 轴对称；
（2）函数y =a x 的图像与y =-a x 的图像关于x 轴对称；
（3）函数y =a x 的图像与y =-a -x 的图像关于坐标原点对称.
【例】1. 画出下列函数的图象，并说明它们是由函数y =2x 的图像经过怎样的变换得到的.
x ①y =2x -1；②y =2x +1；③y =2；④y =2-；⑤y =-2x ；⑥y =-2-x x
2. 函数y =x +a 与y =a x (a >0, 且a ≠1)的图像可能是（ ）
A B C D
x 3. 若直线y =2a 与函数y =a -1+1(a >0, 且a ≠1)的图像有两个公共点，则a 的取值范围
是 .
——习题课
题型一：与指数有关的复合函数的定义域和值域
1、 含指数函数的复合函数的定义域
（1） 由于指数函数y =a x (a >0, 且a ≠1)的定义域是R ，所以函数y =a f (x )的定义域与f (x )的定义域相同.
（2） 对于函数y =f a x (a >0, 且a ≠1)的定义域，关键是找出t =a 的值域哪些部分y =f (t )的定义域中. x ()
2、 含指数函数的复合函数的定义域
（1） 在求形如y =a f (x )(a >0, 且a ≠1)的函数值域时，先求得f (x )的值域（即t =f (x )中t 的范围），再根
据y =a t 的单调性列出指数不等式，得出a 的范围，即y =a f (x )的值域. t
（2） 在求形如y =f a x ()(a >0, 且a ≠1)的函数值域时，易知a
x x >0（或根据y =f a x 对x 限定的更加具()体的范围列指数不等式，得出a 的具体范围），然后再t ∈(0, +∞)上，求y =f (t )的值域即可.
【例】求下列函数的定义域和值域.
（1）y =0. 4
1x -1； （2）y =3； （3）y =-a x .
题型二：利用指数函数的单调性解指数不等式
解题步骤：（1）利用指数函数的单调性解不等式，首先要将不等式两端都凑成底数相同的指数式.
（2）a f (x )>a g (x )⇔⎨⎧f (x )>g (x ), a >1 ⎩f (x )>g (x ), 0
2⎛1⎫【例】（1）解不等式 ⎪⎝2⎭
3x -1≤2； （2）已知a x -3x +10, a ≠1)，求x 的取值范围.
题型三：指数函数的最值问题
解题思路：指数函数在定义域R 上是单调函数，因此在R 的某一闭区间子集上也是单调函数，因此在区间的两个端点处分别取到最大值和最小值. 需要注意的是，当底数未知时，要对底数分情况讨论.
【例】函数f (x )=a x (a >0, a ≠1)在[1, 2]上的最大值比最小值大
a ，求a 的值. 2
题型四：与指数函数有关的单调性
1、研究形如y =a f (x )(a >0, 且a ≠1)的函数的单调性时，有如下结论：
（1）当a >1时，函数y =a f (x )的单调性与f (x )的单调性相同；
f (x )（2）当0
2、研究形如y =ϕa ()(a >0, 且a ≠1)的函数的单调性时，有如下结论： x
x （1）当a >1时，函数y =ϕa 的单调性与y =ϕ(t )的单调性相同；
x （2）当0
注意：做此类题时，一定要考虑复合函数的定义域.
【例】1. 已知a >0, 且a ≠1，讨论f (x )=a -x
2+3x +2的单调性.
2. 求下列函数的单调区间.
（1）y =a x
2+2x -3； （2）y =10. 2-1x
题型五：指数函数与函数奇偶性的综合应用
虽然指数函数不具有奇偶性，但一些指数型函数可能具有奇偶性，对于此类问题可利用定义进行判断或证明.
1+a 为奇函数，则a 的值为 . x 3+1
1(x ∈R )是奇函数，则实数a 的值为 . 2. 已知函数f (x )=a -1+2x
11+(a >0, a ≠1)，判断函数f (x )的奇偶性. 3. 已知函数f (x )=x a -12【例】1. 已知函数f (x )=
题型六：图像变换的应用
1、平移变换：若已知y =a 的图像，
（1）把y =a 的图像向左平移b 个单位，则得到y =a
（2）把y =a 的图像向右平移b 个单位，则得到y =a
x x x x +b x 的图像； 的图像； x -b （3）把y =a 的图像向上平移b 个单位，可得到y =a +b 的图像；
（4）把y =a 的图像向下平移b 个单位，则得到y =a -b 的图像. x x x
2、对称变换：若已知y =a x 的图像，
（1）函数y =a x 的图像与y =a -x 的图像关于y 轴对称；
（2）函数y =a x 的图像与y =-a x 的图像关于x 轴对称；
（3）函数y =a x 的图像与y =-a -x 的图像关于坐标原点对称.
【例】1. 画出下列函数的图象，并说明它们是由函数y =2x 的图像经过怎样的变换得到的.
x ①y =2x -1；②y =2x +1；③y =2；④y =2-；⑤y =-2x ；⑥y =-2-x x
2. 函数y =x +a 与y =a x (a >0, 且a ≠1)的图像可能是（ ）
A B C D
x 3. 若直线y =2a 与函数y =a -1+1(a >0, 且a ≠1)的图像有两个公共点，则a 的取值范围
是 .