圆弧法岩坡稳定分析
对于均质的以有及没有断裂面的岩坡，在一定条件下可看作平面问题，用圆弧法进行稳定分析。圆弧法是最简单的分析方法之一。
在用圆弧法进行分析时，首先假定滑动面为一圆弧(图9-7) ，把滑动岩体看作为刚体，求滑动面上的滑动力及抗滑力，再求这两个力对滑动圆心的力矩。滑动力矩M S 和抗滑力矩M R 之比，即为该岩坡的稳定安全系数F s ：
F s =抗滑力矩M R =滑动力矩M S
如果F S >1，则沿着这个计算滑动面是稳定的；如果F S ≤1，则是不稳定的；如果F S =1，则说明这个计算滑动面处于极限平衡状态。
由于假定计算滑动面上的各点覆盖岩石重量各不相同，因此，由岩石重量引起在滑动面上各点的法向压力也不同。抗滑力中的摩擦力与法向应力的大小有关，所以应当计算出假定滑动面上各点的法向应力。为此可以把滑弧内的岩石分条，用所谓条分法进行分析。
如图9-7，把滑体分为n 条，其中第i 条传给滑动面上的重量为W i ，它可以分解为二个力：一是垂直于圆弧的法向力N i ，另一是切于圆弧的切向力T i 。由图可见：
N i =W i cos θi ⎫⎬T i =W i sin θi ⎭ (9-3)
N i 力通过圆心，其本身对岩坡滑动不起作用。但是N i 可使岩条滑动面上产生摩擦力N i tg ϕi (ϕi 为该弧所在的岩体的内摩擦角) ，其作用方向与岩体滑动方向相反，故对岩坡起着抗滑作用。此外，滑动面上的凝聚力c 也是起抗滑作用的，所以第i 条岩条滑弧上的抗滑力为：
因此第i 条产生的抗滑力矩为： c i l i +N i tg ϕi
(M R )i =(c i l i +N i tg ϕi )R
式中 c i 第i 条滑弧所在岩层的凝聚力；
ϕi 第i 条滑弧所在岩层的内摩擦角
l i i 条岩条的滑弧长度。
同样，对每一岩条进行类似分析，可以得到总的抗滑力矩为：
n ⎛n ⎫M R = ∑c i l i +∑N i tg ϕi ⎪R
1⎝1⎭ 式中 n 分条数目，图9-6中等于6。
而滑动面上总的滑动力矩为：
M R =∑T i R
1n (9-4)
将式(9-4) 及式(9-5) 代入安全系数公式，得到假定滑动面上的安全系数为
F S =∑c l +∑N tg ϕi i i
11n n i
∑T
1n i (9-5)
由于圆心和滑动面是任意假定的，因此要假定多个圆心和相应的滑动面作类似的分析，进行试算，从中找到最小的安全系数，即为真正的安全系数，其对应的圆心和滑动面即为最危险的圆心和滑动面。
根据用圆弧法的大量计算结果，有人已经绘制了如图9-8所示的曲线，该曲线表示当一定的任何物理力学性质时坡高与坡角的关系。在图上，横轴表示坡角a ，纵轴表示坡高系数H '，H 90表示均质垂直岩坡的极限高度，亦即坡顶张裂缝的最大深度，用下式计算：
H 90=2c ϕ⎫⎛tg 45 +⎪γ⎝2⎭ (9-6)
利用这些曲线可以很快地决定坡高或坡角，其计算步骤如下：
1) 根据岩体的性质指标(c 、ϕ、γ) 按(9-6) 式确定H 90；
（1）滑动面的走向必须与坡面平行或接近平行(约在±20 的范围内) ；
（2）滑动面必须在边坡面露出，即滑动面的倾角β必小于坡面的倾角α，即β
（3）滑动面的倾角β必大于该平面的摩擦角ϕJ ，即β>ϕj ；
以定出滑动的侧面边界。
如图9-9所示。张裂
Z ω；
张裂缝底与(如图9-9所
V 三均通过滑体这时，安全系数等于总 (9-8)
式中 L 滑动面长度(每单位宽度内的面积) ，它等于：
L =
U =F s =c i L +(W cos β-U -V sin β)tg ϕj W sin β+V cos βH -Z sin β (9-9) 1γωZ ωL 2 (9-10)
12γωZ ω2 (9-11) V =
W 按下列公式计算，当张裂缝位于坡顶面时：
W =1γH 21-(Z H )2ctg β-ctg α2 (9-12) {[]}
当张裂缝位于坡面上时：
W =1γH 2(1-Z H )2ctg β(ctg βtg α-1)2 (9-13) []
当边坡的几何要素和张裂缝内的水深为已知时，用上列这些公式计算安全系数很简单。但有时需要对不同的边坡几何要素、水深、不同抗剪强度的影响进行比较，这时用上述方程式计算就相当麻烦。为了简化起见，可以将方程式(9-8) 重新整理为下列的无量纲的形式：
F s =(2c H )P +[Qctg β-R (P +S )]tg ϕj
Q +RSctg β (9-14)
式中
P =(1-Z H )csc β (9-15)
当张裂缝在坡顶面上时：
Q ={[1-(Z /H ) 2]ctg β-ctg α}sin β (9-16)
当张裂缝在坡面上时：
Q =[1-(Z /H ) 2]cos β(ctg βctg α-1})] (9-17)
R =
S =r ωZ ωZ ⋅r Z H (9-18) Z ωZ ⋅sin βZ H (9-19)
P 、Q 、R 、S 均为无量纲的，即它们只取决于边坡的几何要素，而不取决于边坡尺寸。因此，当凝聚力c =0时，安全系数 不取决于边坡的具体尺寸。 图9-10、图9-11、图9-12分别表示各种几何要素的边坡的P 、S 、Q 的值，可供计算使用，两种张裂缝的位置都包括在Q 比值的图解曲线中，所以不论边坡外形如何，都不需检查张裂缝的位置，就能求得Q 值。但应注意，张裂缝的深度一律从坡顶面算起。
例题 9-2 设有一岩石边坡，高30.5米，坡角α=60，坡内有一层面穿过，
层面的倾角为β=30。在边坡坡顶面线8.8米处有一条张裂缝，其深度为Z =15.2米。岩石块体密度为γ=25. 6千牛顿/米3。层面的凝聚力c i =48. 6千帕，内摩擦角ϕj =30 ，求水深Z ω对边坡安全系数F s 的影响。
解 当Z/H=0.5时，由图9-10和图9-12查得P =1.0和Q =0.36。 对于不同的Z ωZ ，R(从式(9-17))和S (从图9-10) 的值为：
1.0 0.5 0 Z ωZ R 0.195 0.098 0
S 0.26 0.13 0
又知2H =2⨯48. 6/25. 6⨯30. 5=0. 125。
所以，当张裂缝中水深不同时，根据式(9-14) 式计算的安全系数变化如下：
1.0 0.5 0 Z ωZ
0.77 1.10 1.34 F s
将这些值绘成图9-13的曲线，可见张裂缝中的水深对岩坡安全系数的影响很大。因此，采取措施防止水从顶部进入张裂缝，是提高安全系数的有效办法。
圆弧法岩坡稳定分析
对于均质的以有及没有断裂面的岩坡，在一定条件下可看作平面问题，用圆弧法进行稳定分析。圆弧法是最简单的分析方法之一。
在用圆弧法进行分析时，首先假定滑动面为一圆弧(图9-7) ，把滑动岩体看作为刚体，求滑动面上的滑动力及抗滑力，再求这两个力对滑动圆心的力矩。滑动力矩M S 和抗滑力矩M R 之比，即为该岩坡的稳定安全系数F s ：
F s =抗滑力矩M R =滑动力矩M S
如果F S >1，则沿着这个计算滑动面是稳定的；如果F S ≤1，则是不稳定的；如果F S =1，则说明这个计算滑动面处于极限平衡状态。
由于假定计算滑动面上的各点覆盖岩石重量各不相同，因此，由岩石重量引起在滑动面上各点的法向压力也不同。抗滑力中的摩擦力与法向应力的大小有关，所以应当计算出假定滑动面上各点的法向应力。为此可以把滑弧内的岩石分条，用所谓条分法进行分析。
如图9-7，把滑体分为n 条，其中第i 条传给滑动面上的重量为W i ，它可以分解为二个力：一是垂直于圆弧的法向力N i ，另一是切于圆弧的切向力T i 。由图可见：
N i =W i cos θi ⎫⎬T i =W i sin θi ⎭ (9-3)
N i 力通过圆心，其本身对岩坡滑动不起作用。但是N i 可使岩条滑动面上产生摩擦力N i tg ϕi (ϕi 为该弧所在的岩体的内摩擦角) ，其作用方向与岩体滑动方向相反，故对岩坡起着抗滑作用。此外，滑动面上的凝聚力c 也是起抗滑作用的，所以第i 条岩条滑弧上的抗滑力为：
因此第i 条产生的抗滑力矩为： c i l i +N i tg ϕi
(M R )i =(c i l i +N i tg ϕi )R
式中 c i 第i 条滑弧所在岩层的凝聚力；
ϕi 第i 条滑弧所在岩层的内摩擦角
l i i 条岩条的滑弧长度。
同样，对每一岩条进行类似分析，可以得到总的抗滑力矩为：
n ⎛n ⎫M R = ∑c i l i +∑N i tg ϕi ⎪R
1⎝1⎭ 式中 n 分条数目，图9-6中等于6。
而滑动面上总的滑动力矩为：
M R =∑T i R
1n (9-4)
将式(9-4) 及式(9-5) 代入安全系数公式，得到假定滑动面上的安全系数为
F S =∑c l +∑N tg ϕi i i
11n n i
∑T
1n i (9-5)
由于圆心和滑动面是任意假定的，因此要假定多个圆心和相应的滑动面作类似的分析，进行试算，从中找到最小的安全系数，即为真正的安全系数，其对应的圆心和滑动面即为最危险的圆心和滑动面。
根据用圆弧法的大量计算结果，有人已经绘制了如图9-8所示的曲线，该曲线表示当一定的任何物理力学性质时坡高与坡角的关系。在图上，横轴表示坡角a ，纵轴表示坡高系数H '，H 90表示均质垂直岩坡的极限高度，亦即坡顶张裂缝的最大深度，用下式计算：
H 90=2c ϕ⎫⎛tg 45 +⎪γ⎝2⎭ (9-6)
利用这些曲线可以很快地决定坡高或坡角，其计算步骤如下：
1) 根据岩体的性质指标(c 、ϕ、γ) 按(9-6) 式确定H 90；
（1）滑动面的走向必须与坡面平行或接近平行(约在±20 的范围内) ；
（2）滑动面必须在边坡面露出，即滑动面的倾角β必小于坡面的倾角α，即β
（3）滑动面的倾角β必大于该平面的摩擦角ϕJ ，即β>ϕj ；
以定出滑动的侧面边界。
如图9-9所示。张裂
Z ω；
张裂缝底与(如图9-9所
V 三均通过滑体这时，安全系数等于总 (9-8)
式中 L 滑动面长度(每单位宽度内的面积) ，它等于：
L =
U =F s =c i L +(W cos β-U -V sin β)tg ϕj W sin β+V cos βH -Z sin β (9-9) 1γωZ ωL 2 (9-10)
12γωZ ω2 (9-11) V =
W 按下列公式计算，当张裂缝位于坡顶面时：
W =1γH 21-(Z H )2ctg β-ctg α2 (9-12) {[]}
当张裂缝位于坡面上时：
W =1γH 2(1-Z H )2ctg β(ctg βtg α-1)2 (9-13) []
当边坡的几何要素和张裂缝内的水深为已知时，用上列这些公式计算安全系数很简单。但有时需要对不同的边坡几何要素、水深、不同抗剪强度的影响进行比较，这时用上述方程式计算就相当麻烦。为了简化起见，可以将方程式(9-8) 重新整理为下列的无量纲的形式：
F s =(2c H )P +[Qctg β-R (P +S )]tg ϕj
Q +RSctg β (9-14)
式中
P =(1-Z H )csc β (9-15)
当张裂缝在坡顶面上时：
Q ={[1-(Z /H ) 2]ctg β-ctg α}sin β (9-16)
当张裂缝在坡面上时：
Q =[1-(Z /H ) 2]cos β(ctg βctg α-1})] (9-17)
R =
S =r ωZ ωZ ⋅r Z H (9-18) Z ωZ ⋅sin βZ H (9-19)
P 、Q 、R 、S 均为无量纲的，即它们只取决于边坡的几何要素，而不取决于边坡尺寸。因此，当凝聚力c =0时，安全系数 不取决于边坡的具体尺寸。 图9-10、图9-11、图9-12分别表示各种几何要素的边坡的P 、S 、Q 的值，可供计算使用，两种张裂缝的位置都包括在Q 比值的图解曲线中，所以不论边坡外形如何，都不需检查张裂缝的位置，就能求得Q 值。但应注意，张裂缝的深度一律从坡顶面算起。
例题 9-2 设有一岩石边坡，高30.5米，坡角α=60，坡内有一层面穿过，
层面的倾角为β=30。在边坡坡顶面线8.8米处有一条张裂缝，其深度为Z =15.2米。岩石块体密度为γ=25. 6千牛顿/米3。层面的凝聚力c i =48. 6千帕，内摩擦角ϕj =30 ，求水深Z ω对边坡安全系数F s 的影响。
解 当Z/H=0.5时，由图9-10和图9-12查得P =1.0和Q =0.36。 对于不同的Z ωZ ，R(从式(9-17))和S (从图9-10) 的值为：
1.0 0.5 0 Z ωZ R 0.195 0.098 0
S 0.26 0.13 0
又知2H =2⨯48. 6/25. 6⨯30. 5=0. 125。
所以，当张裂缝中水深不同时，根据式(9-14) 式计算的安全系数变化如下：
1.0 0.5 0 Z ωZ
0.77 1.10 1.34 F s
将这些值绘成图9-13的曲线，可见张裂缝中的水深对岩坡安全系数的影响很大。因此，采取措施防止水从顶部进入张裂缝，是提高安全系数的有效办法。