二次函数与一元二次方程根的分布
1. 二次函数的解析式的三种形式
2b b 4ac -b 一般式:y =ax +bx +c (a ≠0) ；对称轴方程是x =-；顶点为(-, ) ；
2a 2a 4a
2
两点式：
y =a (x -x 1)(x -x 2) ；对称轴方程是；与x 轴的交点为； y =a (x -k ) 2+h ；对称轴方程是；
，求f （x ）的表达式
顶点式：
例1. 设二次函数f （x ）满足f （x －2）=f （－x －2），且图象在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为
2. 一元二次函数的单调性： 当a
>0时：在为减函数；当a
在区间
；
C.
上是减函数，那么 （ ）
；
D.
.
；
B.
例2. 如果二次函数
A.
例3 二次函数f （x ）的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f （2+x ）=f （2－x ），若f （1－2x ）
（1）f(x)=ax+bx+c（a ≠0）的图像与x 轴交点的横坐标是方程_______________的实根 （2）若
2
22
x 1x 2为f(x)=0的实根，则f(x)在x 轴上截得的线段长应为|x 1-x 2|=_________________________
(3)当_________________时，恒有f(x)>0;当____________________时，恒有f(x)
例4已知f (x ) 是二次函数，不等式f (x )
1
4. 常见的实根分布情况
况分
两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0，一 布情大
致图象（a >0）
得出的结论
（
a
）
大
致图象
得出的结论
（
不讨论综a 合）结 论
布
情况
大致图象（
a >0
）得
出的结论
(x 10⎪⎪⎨-
b
⎪2a ⎪⎩f (0)>0
⎧⎪∆>0⎪
⎨-b 0⎪⎨
-b a 0
两根都小于k 即
x 1
⎧⎪∆>0⎪
⎨-b 0
(x 1>0, x 2>0) 个大于0
(x 1
⎧⎪∆>0
f (0)
⎪
⎨-b >0 ⎪2a ⎪⎩f (0)>0
⎧⎪∆>0
f (0)>0
⎪
⎨-b 2a >0 ⎪⎪⎩f (0)0a ⋅f (0)
⎪⎨
-b >0 ⎪2a ⎪⎩a ⋅f (0)>0
一个根小于k ，一个大于
两根都大于k 即
k 即
x 1>k , x 2>k
x 1
k
k
⎧⎪∆>0
⎪
⎨-b 2a >k f ⎪(k )
⎪⎩f (k )>0
2
大致图象（
a
）
得出的结论
⎧∆>0⎪b ⎪
0⎪b ⎪
0
⎧∆>0
⎪b ⎪
>k ⎨-2a ⎪⎪⎩f (k )0⎪b ⎪
>k ⎨-2a ⎪⎪⎩a ⋅f (k )>0
f (k )>0
综
）合
结论（不讨论
a
表三：
分布情况
大致图象（
a >0
）
得出的结论
大致图象（
a
）
3
a ⋅f (k )
两根有且仅有一根在
两根都在
(m , n )内
种）
(m , n )内
一根在
(m , n )内，另一根在
（图象有两种情况，只画了一
(p , q )内，m
⎧∆>0⎪
⎪f (m )>0⎪
⎨f (n )>0 ⎪b ⎪m
2a ⎪⎩
f (m )⋅f (n )
⎧f (m )>0
⎪
⎪f (n )
⎪f (m )f (n )
f p 0⎩
得出的结论
⎧∆>0⎪
⎪f (m )
⎨f (n )
2a ⎪⎩
f (m )⋅f (n )
⎧f (m )
⎪
⎪f (n )>0⎧⎪f (m )f (n )
或 ⎨⎨f p >0f p f q
⎧f (m )f (n )
⎨
⎪⎩f (p )f (q )
综
）合
结论（不讨论
a
例5. 对于关于x 的方程x +（2m-1）x+4-2m=0 求满足下列条件的m 的取值范围
（1） 两个正根 （2）有两个负根 （3） 两个根都小于-1
（4） 两个根都大于1/2 （5）一个根大于2，一个根小于2 （6） 两个根都在（0 ， 2）内
（7） 两个根有且仅有一个在（0 . 2）内 （8）一个根在（-2 .0）内，另一个根在（1 . 3）内
（9） 一个正根，一个负根且正根绝对值较大 （10）一个根小于2，一个根大于4
4
——————
f (m )⋅f (n )
2
9.4课后作业一
1. 函数
的图象的对称轴为x ＋2=0，则m ；顶点坐标为 递减区间
为 .
2
2. 已知函数f(x)=ax+2ax+4(a>0),若x 1
A .f(x1)f(x2) D.f(x1) 与f(x2) 的大小不能确定
3一元二次方程ax 2+2x +1=0,(a ≠0) 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（ ） A．a
4已知二次函数
>0 C ．a 1
f (x ) =ax 2+bx +c ，满足条件f (2+x ) =f (2-x ) ，其图象的顶点为A ，又图象与x 轴交于点B 、C ，其中B
点的坐标为(-1,0) ，∆ABC 的面积S =54，试确定这个二次函数的解析式 ．
5⑴关于x 的方程x
⑵关于x 的方程x
⑶关于x 的方程x
⑷关于x 的方程mx
2222
+2(m +3) x +2m +14=0有两实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围；
+2(m +3) x +2m +14=0有两实根在[0, 4)内，求m 的取值范围；
+2(m +3) x +2m +14=0有两实根在[1, 3]外，求m 的取值范围；
+2(m +3) x +2m +14=0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围．
5
课后作业参考答案
1. －2，（－2，3）；（－∞，－2），（－2，+∞） 2.A 3.C 4.5解：令f(x)= x
2
y =2(x -2) 2-18或y =-2(x -2) 2-18
+2(m +3) x +2m +14，
2
⑴ ∵ 对应抛物线开口向上，∴ 方程有两实根，且一个大于1，一个小于1，等价于f(1)
+2(m +3) ∙1+2m +14
21
． 4
⎧f (0) ≥0
⎧2m +14≥0⎪f (4) >0
⎪16+8(m +3) +2m +14>0⎪27⎪⎪⇔⇔-
⎪⎪2⎩m ≤-5或m ≥1⎪∆=4(m +3) -4(2m +14) ≥0⎩
⑶ 由图知，原命题等价于
21⎧m
4⎩f (3)
⎪8⎩
⎧m >0⎧m
或⎨⑷ 令g(x)= mx +2(m +3) x +2m +14 ，据题意 得⎨
g (4) 0⎩⎩
2
可以解得 -
19
例1. 解：∵f （x －2）=f （－x －2） ∴f （x ）的对称轴为x=－2
设f （x ）=a（x +2）+c ∵图象在y 轴上的截距为1∴f （0）=4a+c=1 f （x ）=0即ax +4ax+4a+c=0的两个根为x 1、x 2则|x1－x 2|=又∵x 1+x2=－4，x 1x 2
=解得：a=
c=－1 ∴
2
2
2
2
∴|x1－x 2|=
例3解析：由f （2+x ）=f （2－x ）知x =2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，
∴|1－2x －2|＜|1+2x －x －2|，∴－2＜x ＜0。答案：－2＜x ＜0 例4．解： f (x ) 是二次函数，且
f (x ) 0). ∴f (x ) 在区间[-1, 4]上的最大值
∴a =2,
∴f (x ) =2x (x -5) =2x 2-10x (x ∈R ).
1．已知二次方程
是
得6a =12, f (-1) =6a . 由已知，
(2m +1)x 2-2mx +(m -1)=0有
一正根和一负根，求实数m 的取值范围． 解：由
(2m +1) f (0)
0，从而得-
1
∆=0计算检验，均不复合题意，计算量稍大）
6
二次函数与一元二次方程根的分布
1. 二次函数的解析式的三种形式
2b b 4ac -b 一般式:y =ax +bx +c (a ≠0) ；对称轴方程是x =-；顶点为(-, ) ；
2a 2a 4a
2
两点式：
y =a (x -x 1)(x -x 2) ；对称轴方程是；与x 轴的交点为； y =a (x -k ) 2+h ；对称轴方程是；
，求f （x ）的表达式
顶点式：
例1. 设二次函数f （x ）满足f （x －2）=f （－x －2），且图象在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为
2. 一元二次函数的单调性： 当a
>0时：在为减函数；当a
在区间
；
C.
上是减函数，那么 （ ）
；
D.
.
；
B.
例2. 如果二次函数
A.
例3 二次函数f （x ）的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f （2+x ）=f （2－x ），若f （1－2x ）
（1）f(x)=ax+bx+c（a ≠0）的图像与x 轴交点的横坐标是方程_______________的实根 （2）若
2
22
x 1x 2为f(x)=0的实根，则f(x)在x 轴上截得的线段长应为|x 1-x 2|=_________________________
(3)当_________________时，恒有f(x)>0;当____________________时，恒有f(x)
例4已知f (x ) 是二次函数，不等式f (x )
1
4. 常见的实根分布情况
况分
两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0，一 布情大
致图象（a >0）
得出的结论
（
a
）
大
致图象
得出的结论
（
不讨论综a 合）结 论
布
情况
大致图象（
a >0
）得
出的结论
(x 10⎪⎪⎨-
b
⎪2a ⎪⎩f (0)>0
⎧⎪∆>0⎪
⎨-b 0⎪⎨
-b a 0
两根都小于k 即
x 1
⎧⎪∆>0⎪
⎨-b 0
(x 1>0, x 2>0) 个大于0
(x 1
⎧⎪∆>0
f (0)
⎪
⎨-b >0 ⎪2a ⎪⎩f (0)>0
⎧⎪∆>0
f (0)>0
⎪
⎨-b 2a >0 ⎪⎪⎩f (0)0a ⋅f (0)
⎪⎨
-b >0 ⎪2a ⎪⎩a ⋅f (0)>0
一个根小于k ，一个大于
两根都大于k 即
k 即
x 1>k , x 2>k
x 1
k
k
⎧⎪∆>0
⎪
⎨-b 2a >k f ⎪(k )
⎪⎩f (k )>0
2
大致图象（
a
）
得出的结论
⎧∆>0⎪b ⎪
0⎪b ⎪
0
⎧∆>0
⎪b ⎪
>k ⎨-2a ⎪⎪⎩f (k )0⎪b ⎪
>k ⎨-2a ⎪⎪⎩a ⋅f (k )>0
f (k )>0
综
）合
结论（不讨论
a
表三：
分布情况
大致图象（
a >0
）
得出的结论
大致图象（
a
）
3
a ⋅f (k )
两根有且仅有一根在
两根都在
(m , n )内
种）
(m , n )内
一根在
(m , n )内，另一根在
（图象有两种情况，只画了一
(p , q )内，m
⎧∆>0⎪
⎪f (m )>0⎪
⎨f (n )>0 ⎪b ⎪m
2a ⎪⎩
f (m )⋅f (n )
⎧f (m )>0
⎪
⎪f (n )
⎪f (m )f (n )
f p 0⎩
得出的结论
⎧∆>0⎪
⎪f (m )
⎨f (n )
2a ⎪⎩
f (m )⋅f (n )
⎧f (m )
⎪
⎪f (n )>0⎧⎪f (m )f (n )
或 ⎨⎨f p >0f p f q
⎧f (m )f (n )
⎨
⎪⎩f (p )f (q )
综
）合
结论（不讨论
a
例5. 对于关于x 的方程x +（2m-1）x+4-2m=0 求满足下列条件的m 的取值范围
（1） 两个正根 （2）有两个负根 （3） 两个根都小于-1
（4） 两个根都大于1/2 （5）一个根大于2，一个根小于2 （6） 两个根都在（0 ， 2）内
（7） 两个根有且仅有一个在（0 . 2）内 （8）一个根在（-2 .0）内，另一个根在（1 . 3）内
（9） 一个正根，一个负根且正根绝对值较大 （10）一个根小于2，一个根大于4
4
——————
f (m )⋅f (n )
2
9.4课后作业一
1. 函数
的图象的对称轴为x ＋2=0，则m ；顶点坐标为 递减区间
为 .
2
2. 已知函数f(x)=ax+2ax+4(a>0),若x 1
A .f(x1)f(x2) D.f(x1) 与f(x2) 的大小不能确定
3一元二次方程ax 2+2x +1=0,(a ≠0) 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（ ） A．a
4已知二次函数
>0 C ．a 1
f (x ) =ax 2+bx +c ，满足条件f (2+x ) =f (2-x ) ，其图象的顶点为A ，又图象与x 轴交于点B 、C ，其中B
点的坐标为(-1,0) ，∆ABC 的面积S =54，试确定这个二次函数的解析式 ．
5⑴关于x 的方程x
⑵关于x 的方程x
⑶关于x 的方程x
⑷关于x 的方程mx
2222
+2(m +3) x +2m +14=0有两实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围；
+2(m +3) x +2m +14=0有两实根在[0, 4)内，求m 的取值范围；
+2(m +3) x +2m +14=0有两实根在[1, 3]外，求m 的取值范围；
+2(m +3) x +2m +14=0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围．
5
课后作业参考答案
1. －2，（－2，3）；（－∞，－2），（－2，+∞） 2.A 3.C 4.5解：令f(x)= x
2
y =2(x -2) 2-18或y =-2(x -2) 2-18
+2(m +3) x +2m +14，
2
⑴ ∵ 对应抛物线开口向上，∴ 方程有两实根，且一个大于1，一个小于1，等价于f(1)
+2(m +3) ∙1+2m +14
21
． 4
⎧f (0) ≥0
⎧2m +14≥0⎪f (4) >0
⎪16+8(m +3) +2m +14>0⎪27⎪⎪⇔⇔-
⎪⎪2⎩m ≤-5或m ≥1⎪∆=4(m +3) -4(2m +14) ≥0⎩
⑶ 由图知，原命题等价于
21⎧m
4⎩f (3)
⎪8⎩
⎧m >0⎧m
或⎨⑷ 令g(x)= mx +2(m +3) x +2m +14 ，据题意 得⎨
g (4) 0⎩⎩
2
可以解得 -
19
例1. 解：∵f （x －2）=f （－x －2） ∴f （x ）的对称轴为x=－2
设f （x ）=a（x +2）+c ∵图象在y 轴上的截距为1∴f （0）=4a+c=1 f （x ）=0即ax +4ax+4a+c=0的两个根为x 1、x 2则|x1－x 2|=又∵x 1+x2=－4，x 1x 2
=解得：a=
c=－1 ∴
2
2
2
2
∴|x1－x 2|=
例3解析：由f （2+x ）=f （2－x ）知x =2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，
∴|1－2x －2|＜|1+2x －x －2|，∴－2＜x ＜0。答案：－2＜x ＜0 例4．解： f (x ) 是二次函数，且
f (x ) 0). ∴f (x ) 在区间[-1, 4]上的最大值
∴a =2,
∴f (x ) =2x (x -5) =2x 2-10x (x ∈R ).
1．已知二次方程
是
得6a =12, f (-1) =6a . 由已知，
(2m +1)x 2-2mx +(m -1)=0有
一正根和一负根，求实数m 的取值范围． 解：由
(2m +1) f (0)
0，从而得-
1
∆=0计算检验，均不复合题意，计算量稍大）
6