含参不等式恒成立问题的求解策略

含参不等式恒成立问题的求解策略含参不等式的求解是高考、竞赛中的热点问题，而这类习题中含参数不等式恒成立的问题，方法灵活多样，令不少同学望而生畏，束手无策。本文将结合事例，谈谈这类习题的常见求解策略。

一、利用一次函数的性质

对于一次函数f(x)=kx+b(k≠0),x∈[m,n]有

f(x)>0 恒成立 f(m)0f(m)0;f(x)

对于一次函数f(x)=kx+b(k≠0),x∈(m,n)有

f(x)>0恒成立f(m)0f(m)0;f(x)

例1、已知不等式x2+(t-4)x+(4-2t)>0对满足t∈(-1,1)的所有t都成立，求x取值范围。分析：若直接解关于x的不等式，再由t的范围求出x的范围，不仅过程繁杂，而且也不易得出正确结论，然而，换一个角度，反客为主，整理成关于t的形式: (x-2)t+(x-2)2>0（显然有x≠2）

令f(t)=(x-2)t+(x-2)2,则f(t)是t的一次函数。由于f(t)>0对t∈(-1,1)恒成立，则有

x25x60f(1)02 x≥3或x≤1 f(1)0x3x20

二、利用二次函数的判别式

对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0,x∈R),有

f(x)>0对x∈R恒成立a0; 0

a0. 0f(x)

例2、已知二次函数f(x)满足f(-2)=0，且3x+5≤f(x)≤2x2+7x+7对一切实数x都成立.

(1)求f(-1)的值;(2)求f(x)的解析式

分析:(1) ∵2≤f(-1)≤2 ∴f(-1)=2

(2)设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)则由f(-2)=0及f(-1)=2,得

4a2bc0b3a2 abc2c2a4

∴有3x+5≤ax2+(3a+2)x+(2a+4)≤2x2+7x+7对x∈R恒成立

即ax2+(3a-1)x+(2a-1)≥0且(a-2)x2+(3a-5)x+(2a-3)≤0恒成立

a0a2(显然a2)且 22(3a1)4a(2a1)0(3a5)4(a2)(2a3)012

a2a0a1 且22(a1)0a3a10

∴f(x)=x2+5x+6

点评：此题第（2）问条件较隐蔽，但最终转化成了含参数a的两个不等式恒成立问题得到了解决。

三、转化为求函数的最值

此法是把不等式中的参数t与未知数x分离出来，得到t>f(x)或t＜f（x）.

t>f(x)恒成立t>[f(x)]max;

例3、已知函数f(x)= -x3+px2+qx+r且p2+3q

分析：此题的特点是含的字母多，但是欲求m的范围首先要判断f(x)的单调性. 由f ' (x)=-3x2+2px+q,而=4p2+12q=4(p2+3q)

∴f(x)在R上是单调减函数.

f(m2-sinx)≥f(m+ 2 +cosx) m2-sinx≤m+2 +cosx对x∈R恒成立

m2-m-

 m2-m- 2≤(sinx+cosx)min(x∈R) 2 ≤- 2  0≤m≤1.

四、数形结合

此法的解题思路是作出符合题意的图形，依据图形，列出等价条件。

例4、设f(x)= x24x ,g(x)= 4x+1-a,若恒有f(x)≤g(x)成立,求实数a的取值范围. 3

分析：在同一直角坐标系中作出f(x)及g(x)

的图象

如图所示，f(x)

(x+2)2+y2=4(y≥0)

g(x)的图象是

平行的直线系

4x-3y+(3-3a)=0.

要使f(x)≤g(x)恒成立，

则圆心(-2,0)到直线4x-3y+3-3a=0的距离满足d= 833a

5≥2解得a≤ - 5(a≥5

舍去)

以上几种解法虽然方法表现得不同，但其实质却都与求函数的最值是等价的，这也正体现了数学中的“统一美”。