线面垂直与面面垂直垂直练习题

2.3线面垂直和面面垂直 线面垂直专题练习

一、定理填空： 1.直线和平面垂直

如果一条直线和 ，就说这条直线和这个平面垂直. 2.线面垂直判定定理和性质定理 线面垂直判定定理：

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 判定定理1：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么 判定定理2：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么 . 线面垂直性质定理：

垂直于同一个平面的两条直线互相平行.

性质定理1：垂直于同一条直线的两个平面互相平行。 二、精选习题：

1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题：

①

a//baMaMa//M

② ③b∥M ④bMa//bb⊥M.

abaMbMab

其中正确的命题是 ( )

A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④ 2.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必有 ( )

第3题图

A.DP⊥平面PEF B.DM⊥平面PEF C.PM⊥平面DEF D.PF⊥平面DEF 3.设a、b是异面直线，下列命题正确的是 ( )

A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交 B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直 C.过a一定可以作一个平面与b垂直 D.过a一定可以作一个平面与b平行

4.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,mα和m⊥γ,那么必有 ( )

A.α⊥γ且l⊥m B.α⊥γ且m∥β C.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥γ 5.有三个命题：

①垂直于同一个平面的两条直线平行；

②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；

③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直

其中正确命题的个数为 ( )A.0 B.1 C.2 D.3 6.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题

① 若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α， 其中真命题的序号是 ( ) ．．．A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④

7.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的高.

求证:VC⊥AB;

8.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.

(1)求证：MN∥平面PAD.

(2)求证：MN⊥CD. (3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.

9.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M．

10.如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.

(1)求证：NP⊥平面ABCD.

(2)求平面PNC与平面CC′D′D所成的角.

11.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面. 解：已知a∥b，a⊥α.求证：b⊥α.

12. 已知点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥AC.

13.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.

14.如图，四面体A—BCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC所成的角的正弦值.

15.如图11(1)，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中， 已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC. (1)求证：D1C⊥AC1；

（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD， 并说明理由.

16.如图12，在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1的中点，

O为底面ABCD的中心. 求证：A1O⊥平面GBD.

17.如图，已知a、b是两条相互垂直的异面直线，线段AB与两异面直线a、b垂直且相交，线段AB的长为定值m，定长为n（n＞m）的线段PQ的两个端点分别在a、b上移动，M、N分别是AB、PQ的中点. 求证：（1）AB⊥MN； （2）MN的长是定值.

18.如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC—A1B1C1中, AC=3，AB=5，BC=4,AA1=4,点D是AB的中点. （1）求证：AC⊥BC1;

（2）求证：AC1∥平面CDB1.

面面垂直专题练习

一、定理填空

面面垂直的判定定理： 面面垂直的性质定理： 二、精选习题

1、正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后，AB与CD所成的角等于2、三棱锥PABC的三条侧棱相等，则点P在平面ABC上的射影是△ABC的____心. 3、一条直线与两个平面所成角相等，那么这两个平面的位置关系为______________ 4、在正三棱锥中，相邻两面所成二面角的取值范围为___________________

5、已知l是直二面角，A,B,A、Bl，设直线AB与成30角，AB=2，B



到A在l上的射影N

，则AB与所成角为______________. 6、在直二面角AB棱AB上取一点P，过P分别在,平面内作与棱成 45°角的斜线PC、PD，则∠CPD的大小是_____________

7、正四面体中相邻两侧面所成的二面角的余弦值为___________________. 8. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中. 求证：平面ACD1 ⊥ 平面BB1D1D

DA1

D

1

C1

C

A

B

10、如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求证：平面PAC⊥平面PBC．

BA C

11、如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．问△ABC是否为直角三角形，若是，请给出证明；若不是，请举出反例．

A

C

B

2.3线面垂直和面面垂直 线面垂直专题练习

一、定理填空： 1.直线和平面垂直

如果一条直线和 ，就说这条直线和这个平面垂直. 2.线面垂直判定定理和性质定理 线面垂直判定定理：

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 判定定理1：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么 判定定理2：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么 . 线面垂直性质定理：

垂直于同一个平面的两条直线互相平行.

性质定理1：垂直于同一条直线的两个平面互相平行。 二、精选习题：

1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题：

①

a//baMaMa//M

② ③b∥M ④bMa//bb⊥M.

abaMbMab

其中正确的命题是 ( )

A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④ 2.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必有 ( )

第3题图

A.DP⊥平面PEF B.DM⊥平面PEF C.PM⊥平面DEF D.PF⊥平面DEF 3.设a、b是异面直线，下列命题正确的是 ( )

A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交 B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直 C.过a一定可以作一个平面与b垂直 D.过a一定可以作一个平面与b平行

4.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,mα和m⊥γ,那么必有 ( )

A.α⊥γ且l⊥m B.α⊥γ且m∥β C.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥γ 5.有三个命题：

①垂直于同一个平面的两条直线平行；

②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；

③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直

其中正确命题的个数为 ( )A.0 B.1 C.2 D.3 6.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题

① 若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α， 其中真命题的序号是 ( ) ．．．A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④

7.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的高.

求证:VC⊥AB;

8.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.

(1)求证：MN∥平面PAD.

(2)求证：MN⊥CD. (3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.

9.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M．

10.如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.

(1)求证：NP⊥平面ABCD.

(2)求平面PNC与平面CC′D′D所成的角.

11.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面. 解：已知a∥b，a⊥α.求证：b⊥α.

12. 已知点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥AC.

13.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.

14.如图，四面体A—BCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC所成的角的正弦值.

15.如图11(1)，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中， 已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC. (1)求证：D1C⊥AC1；

（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD， 并说明理由.

16.如图12，在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1的中点，

O为底面ABCD的中心. 求证：A1O⊥平面GBD.

17.如图，已知a、b是两条相互垂直的异面直线，线段AB与两异面直线a、b垂直且相交，线段AB的长为定值m，定长为n（n＞m）的线段PQ的两个端点分别在a、b上移动，M、N分别是AB、PQ的中点. 求证：（1）AB⊥MN； （2）MN的长是定值.

18.如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC—A1B1C1中, AC=3，AB=5，BC=4,AA1=4,点D是AB的中点. （1）求证：AC⊥BC1;

（2）求证：AC1∥平面CDB1.

面面垂直专题练习

一、定理填空

面面垂直的判定定理： 面面垂直的性质定理： 二、精选习题

1、正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后，AB与CD所成的角等于2、三棱锥PABC的三条侧棱相等，则点P在平面ABC上的射影是△ABC的____心. 3、一条直线与两个平面所成角相等，那么这两个平面的位置关系为______________ 4、在正三棱锥中，相邻两面所成二面角的取值范围为___________________

5、已知l是直二面角，A,B,A、Bl，设直线AB与成30角，AB=2，B



到A在l上的射影N

，则AB与所成角为______________. 6、在直二面角AB棱AB上取一点P，过P分别在,平面内作与棱成 45°角的斜线PC、PD，则∠CPD的大小是_____________

7、正四面体中相邻两侧面所成的二面角的余弦值为___________________. 8. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中. 求证：平面ACD1 ⊥ 平面BB1D1D

DA1

D

1

C1

C

A

B

10、如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求证：平面PAC⊥平面PBC．

BA C

11、如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．问△ABC是否为直角三角形，若是，请给出证明；若不是，请举出反例．

A

C

B