3.4分式方程(2)

教学方案设计

课题：解分式方程

授课对象：八年级学生

授课教师：张明毅（学号：20093003）

指导教师：黄国君（李冰中学） 授课地点：李冰中学八年级9班

●课 题

§3.4.2 分式方程（二） ●教学目标

（一）教学知识点

1.解分式方程的一般步骤.

2.了解解分式方程验根的必要性. （二）能力训练要求

1.通过具体例子，让学生独立探索方程的解法，经历和体会解分式方程的必要步骤. 2.使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径.

（三）情感与价值观要求

1.培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度.

2.运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信.

●教学重点

1.解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解决. 2.明确解分式方程验根的必要性. ●教学难点

明确分式方程验根的必要性. ●教学方法 探索发现法

学生在教师的引导下，探索分式方程是如何转化为整式方程，并发现解分式方程验根的必要性.

●教具准备 投影片四张

第一张：例1、例2，（记作§3.4.2 A） 第二张：议一议，（记作§3.4.2 B） 第三张：想一想，（记作§3.4.2 C） 第四张：补充练习，（记作§3.4.2 D）. ●教学过程

Ⅰ.提出问题，引入新课

［师］在上节课的几个问题，我们根据题意将具体实际的情境，转化成了数学模型——分式方程.但要使问题得到真正的解决，则必须设法解出所列的分式方程.

这节课，我们就来学习分式方程的解法.我们不妨先来回忆一下我们曾学过的一元一次方程的解法，也许你会从中得到启示，寻找到解分式方程的方法.

解方程

3x15x24x2

+=2－ 236

［师生共解］（1）去分母，方程两边同乘以分母的最小公倍数6，得

3（3x－1）+2（5x+2）=6×2－（4x－2）. （2）去括号，得9x－3+10x+4=12－4x+2, （3）移项，得9x+10x+4x=12+2+3－4, （4）合并同类项，得23x=13,

（5）使x的系数化为1，两边同除以23，x=

13. 23

Ⅱ.讲解新课，探索分式方程的解法

［师］刚才我们一同回忆了一元一次方程的解法步骤.下面我们来看一个分式方程.（出

［生］解这个方程，能不能也像解含有分母的一元一次方程一样去分母呢？ ［师］同学们说他的想法可取吗？ ［生］可取. ［师］同学们可以接着讨论，方程两边同乘以什么样的整式（或数），可以去掉分母呢？ ［生］乘以分式方程中所有分母的公分母.

［生］解一元一次方程，去分母时，方程两边同乘以分母的最小公倍数，比较简单.解分式方程时，我认为方程两边同乘以分母的最简公分母，去分母也比较简单.

［师］我觉得这两位同学的想法都非常好.那么这个分式方程的最简公分母是什么呢？ ［生］x（x－2）.

［师生共析］方程两边同乘以x（x－2）,得x（x－2）·

13

=x（x－2）·, x2x

化简，得x=3（x－2）. （2）

我们可以发现，采用去分母的方法把分式方程转化为整式方程，而且是我们曾学过的一元一次方程.

［生］再往下解，我们就可以像解一元一次方程一样，解出x.即x=3x－6（去括号） 2x=6（移项，合并同类项）. x=3（x的系数化为1）.

［师］x=3是方程（2）的解吗？是方程（1）的解吗？为什么？同学们可以在小组内讨论.

（教师可参与到学生的讨论中，倾听学生的说法）

［生］x=3是由一元一次方程x=3（x－2） （2）解出来的，x=3一定是方程（2）的解.但是不是原分式方程（1）的解，需要检验.把x=3代入方程（1）的左边=

31

=1，右边==1，

332

左边=右边，所以x=3是方程（1）的解.

［师］同学们表现得都很棒！相信同学们也能用同样的方法解出例2.

［例2］解方程：

300480

－=4 x2x

（由学生在练习本上试着完成，然后再共同解答）

解：方程两边同乘以2x，得 600－480=8x

解这个方程，得x=15

检验：将x=15代入原方程，得

左边=4，右边=4，左边=右边,所以x=15是原方程的根.

［师］很好！同学们现在不仅解出了分式方程的解，还有了检验结果的好习惯. 我这里还有一个题，我们再来一起解决一下（出示投影片 §3.4.2 B）（先隐藏小亮的解

（可让学生在练习本上完成，发现有和小亮同样解法的同学，可用实物投影仪显示他的解法，并一块分析）

［师］我们来看小亮同学的解法：

2x1

=－2 x33x

解：方程两边同乘以x－3,得2－x=－1－2（x－3） 解这个方程，得x=3.

［生］小亮解完没检验x=3是不是原方程的解. ［师］检验的结果如何呢？

［生］把x=3代入原方程中，使方程的分母x－3和3－x都为零，即x=3时，方程中的分式无意义，因此x=3不是原方程的根.

［师］它是去分母后得到的整式方程的根吗？ ［生］x=3是去分母后的整式方程的根. ［师］为什么x=3是整式方程的根，它使得最简公分母为零，而不是原分式方程的根呢？同学们可在小组内讨论.

（教师可参与到学生的讨论中，倾听同学们的想法）

［生］在解分式方程时，我们在分式方程两边都乘以最简公分母才得到整式方程.如果整式方程的根使得最简公分母的值为零，那么它就相当于分式方程两边都乘以零，不符合等式变形时的两个基本性质，得到的整式方程的解必将使分式方程中有的分式分母为零，也就不适合原方程了.

［师］很好！分析得很透彻，我们把这样的不适合原方程的整式方程的根，叫原方程的增根.

在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根.那么，是不是就不要这样解？或采用什么方法补救？

［生］还是要把分式方程转化成整式方程来解.解出整式方程的解后可用检验的方法看是不是原方程的解.

［师］怎样检验较简单呢？还需要将整式方程的根分别代入原方程的左、右两边吗？ ［生］不用，产生增根的原因是这个根使去分母时的最简公分母为零造成的.因此最简单的检验方法是：把整式方程的根代入最简公分母.若使最简公分母为零，则是原方程的增根；若使最简公分母不为零，则是原方程的根.是增根，必舍去.

［师］在解一元一次方程时每一步的变形都符合等式的性质，解出的根都应是原方程的根.但在解分式方程时，解出的整式方程的根一定要代入最简公分母检验.小亮就犯了没有检验的错误.

Ⅲ.应用，升华 1.解方程：

（1）

34105=;（2）+=2. x1x2x112x34

= x1x

［分析］先总结解分式方程的几个步骤，然后解题. 解：（1）

去分母，方程两边同乘以x（x－1），得 3x=4（x－1）

解这个方程，得x=4

检验：把x=4代入x（x－1）=4×3=12≠0， 所以原方程的根为x=4.

（2）

105

+=2 2x112x

去分母，方程两边同乘以（2x－1），得 10－5=2（2x－1） 解这个方程，得x=检验：把x=

7 4

775

代入原方程分母2x－1=2×－1=≠0. 442

7

所以原方程的根为x=.

4

2.回顾，总结

［师］同学们可根据例题和练习题的步骤，讨论总结. ［生］解分式方程分三大步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化分式方程为整式方程；

（2）解这个整式方程；

（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，应舍去.使最简公分母不为零的根才是原方程的根.

3.补充练习

出示投影片（§3.4.2 D）

［分析］强调解分式方程的三个步骤：一去分母；二解整式方程；三验根. 解：（1）去分母，方程两边同时乘以x（x+3000）,得9000（x+3000）=15000x 解这个整式方程，得x=4500

检验：把x=4500代入x（x+3000）≠0. 所以原方程的根为4500 （2）

ha=（a，h是常数且都大于零） 2xax

去分母，方程两边同乘以2x（a－x），得 h（a－x）=2ax 解整式方程，得x=检验：把x=x=

ah

（2a+h≠0）

2ah

ah

代入原方程中，最简公分母2x（a－x）≠0，所以原方程的根为

2ah

ah

.

2ah

Ⅳ.课时小结

［师］同学们这节课的表现很活跃，一定收获不小.

［生］我们学会了解分式方程，明白了解分式方程的三个步骤缺一不可. ［生］我明白了分式方程转化为整式方程为什么会产生增根.

［生］我又一次体验到了“转化”在学习数学中的重要作用，但又进一步认识到每一步转化并不一定都那么“完美”，必须经过检验，反思“转化”过程.

„„

Ⅴ.课后作业 习题3.7

Ⅵ.活动与探究

x1m2

若关于x的方程=有增根，则m的值是____________.

x33x9

［过程］首先增根是分式方程转化为整式方程时整式方程的根，但却使最简公分母为零.

x1m2［结果］关于x的方程=有增根，则此增根必使3x－9=3（x－3）=0，所

x33x9

以增根为x=3.去分母，方程两边同乘以3（x－3），得3（x－1）=m2.

根据题意，得x=3是上面整式方程的根，

所以3（3－1）=m2,则m=±6.

教学方案设计

课题：解分式方程

授课对象：八年级学生

授课教师：张明毅（学号：20093003）

指导教师：黄国君（李冰中学） 授课地点：李冰中学八年级9班

●课 题

§3.4.2 分式方程（二） ●教学目标

（一）教学知识点

1.解分式方程的一般步骤.

2.了解解分式方程验根的必要性. （二）能力训练要求

1.通过具体例子，让学生独立探索方程的解法，经历和体会解分式方程的必要步骤. 2.使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径.

（三）情感与价值观要求

1.培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度.

2.运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信.

●教学重点

1.解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解决. 2.明确解分式方程验根的必要性. ●教学难点

明确分式方程验根的必要性. ●教学方法 探索发现法

学生在教师的引导下，探索分式方程是如何转化为整式方程，并发现解分式方程验根的必要性.

●教具准备 投影片四张

第一张：例1、例2，（记作§3.4.2 A） 第二张：议一议，（记作§3.4.2 B） 第三张：想一想，（记作§3.4.2 C） 第四张：补充练习，（记作§3.4.2 D）. ●教学过程

Ⅰ.提出问题，引入新课

［师］在上节课的几个问题，我们根据题意将具体实际的情境，转化成了数学模型——分式方程.但要使问题得到真正的解决，则必须设法解出所列的分式方程.

这节课，我们就来学习分式方程的解法.我们不妨先来回忆一下我们曾学过的一元一次方程的解法，也许你会从中得到启示，寻找到解分式方程的方法.

解方程

3x15x24x2

+=2－ 236

［师生共解］（1）去分母，方程两边同乘以分母的最小公倍数6，得

3（3x－1）+2（5x+2）=6×2－（4x－2）. （2）去括号，得9x－3+10x+4=12－4x+2, （3）移项，得9x+10x+4x=12+2+3－4, （4）合并同类项，得23x=13,

（5）使x的系数化为1，两边同除以23，x=

13. 23

Ⅱ.讲解新课，探索分式方程的解法

［师］刚才我们一同回忆了一元一次方程的解法步骤.下面我们来看一个分式方程.（出

［生］解这个方程，能不能也像解含有分母的一元一次方程一样去分母呢？ ［师］同学们说他的想法可取吗？ ［生］可取. ［师］同学们可以接着讨论，方程两边同乘以什么样的整式（或数），可以去掉分母呢？ ［生］乘以分式方程中所有分母的公分母.

［生］解一元一次方程，去分母时，方程两边同乘以分母的最小公倍数，比较简单.解分式方程时，我认为方程两边同乘以分母的最简公分母，去分母也比较简单.

［师］我觉得这两位同学的想法都非常好.那么这个分式方程的最简公分母是什么呢？ ［生］x（x－2）.

［师生共析］方程两边同乘以x（x－2）,得x（x－2）·

13

=x（x－2）·, x2x

化简，得x=3（x－2）. （2）

我们可以发现，采用去分母的方法把分式方程转化为整式方程，而且是我们曾学过的一元一次方程.

［生］再往下解，我们就可以像解一元一次方程一样，解出x.即x=3x－6（去括号） 2x=6（移项，合并同类项）. x=3（x的系数化为1）.

［师］x=3是方程（2）的解吗？是方程（1）的解吗？为什么？同学们可以在小组内讨论.

（教师可参与到学生的讨论中，倾听学生的说法）

［生］x=3是由一元一次方程x=3（x－2） （2）解出来的，x=3一定是方程（2）的解.但是不是原分式方程（1）的解，需要检验.把x=3代入方程（1）的左边=

31

=1，右边==1，

332

左边=右边，所以x=3是方程（1）的解.

［师］同学们表现得都很棒！相信同学们也能用同样的方法解出例2.

［例2］解方程：

300480

－=4 x2x

（由学生在练习本上试着完成，然后再共同解答）

解：方程两边同乘以2x，得 600－480=8x

解这个方程，得x=15

检验：将x=15代入原方程，得

左边=4，右边=4，左边=右边,所以x=15是原方程的根.

［师］很好！同学们现在不仅解出了分式方程的解，还有了检验结果的好习惯. 我这里还有一个题，我们再来一起解决一下（出示投影片 §3.4.2 B）（先隐藏小亮的解

（可让学生在练习本上完成，发现有和小亮同样解法的同学，可用实物投影仪显示他的解法，并一块分析）

［师］我们来看小亮同学的解法：

2x1

=－2 x33x

解：方程两边同乘以x－3,得2－x=－1－2（x－3） 解这个方程，得x=3.

［生］小亮解完没检验x=3是不是原方程的解. ［师］检验的结果如何呢？

［生］把x=3代入原方程中，使方程的分母x－3和3－x都为零，即x=3时，方程中的分式无意义，因此x=3不是原方程的根.

［师］它是去分母后得到的整式方程的根吗？ ［生］x=3是去分母后的整式方程的根. ［师］为什么x=3是整式方程的根，它使得最简公分母为零，而不是原分式方程的根呢？同学们可在小组内讨论.

（教师可参与到学生的讨论中，倾听同学们的想法）

［生］在解分式方程时，我们在分式方程两边都乘以最简公分母才得到整式方程.如果整式方程的根使得最简公分母的值为零，那么它就相当于分式方程两边都乘以零，不符合等式变形时的两个基本性质，得到的整式方程的解必将使分式方程中有的分式分母为零，也就不适合原方程了.

［师］很好！分析得很透彻，我们把这样的不适合原方程的整式方程的根，叫原方程的增根.

在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根.那么，是不是就不要这样解？或采用什么方法补救？

［生］还是要把分式方程转化成整式方程来解.解出整式方程的解后可用检验的方法看是不是原方程的解.

［师］怎样检验较简单呢？还需要将整式方程的根分别代入原方程的左、右两边吗？ ［生］不用，产生增根的原因是这个根使去分母时的最简公分母为零造成的.因此最简单的检验方法是：把整式方程的根代入最简公分母.若使最简公分母为零，则是原方程的增根；若使最简公分母不为零，则是原方程的根.是增根，必舍去.

［师］在解一元一次方程时每一步的变形都符合等式的性质，解出的根都应是原方程的根.但在解分式方程时，解出的整式方程的根一定要代入最简公分母检验.小亮就犯了没有检验的错误.

Ⅲ.应用，升华 1.解方程：

（1）

34105=;（2）+=2. x1x2x112x34

= x1x

［分析］先总结解分式方程的几个步骤，然后解题. 解：（1）

去分母，方程两边同乘以x（x－1），得 3x=4（x－1）

解这个方程，得x=4

检验：把x=4代入x（x－1）=4×3=12≠0， 所以原方程的根为x=4.

（2）

105

+=2 2x112x

去分母，方程两边同乘以（2x－1），得 10－5=2（2x－1） 解这个方程，得x=检验：把x=

7 4

775

代入原方程分母2x－1=2×－1=≠0. 442

7

所以原方程的根为x=.

4

2.回顾，总结

［师］同学们可根据例题和练习题的步骤，讨论总结. ［生］解分式方程分三大步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化分式方程为整式方程；

（2）解这个整式方程；

（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，应舍去.使最简公分母不为零的根才是原方程的根.

3.补充练习

出示投影片（§3.4.2 D）

［分析］强调解分式方程的三个步骤：一去分母；二解整式方程；三验根. 解：（1）去分母，方程两边同时乘以x（x+3000）,得9000（x+3000）=15000x 解这个整式方程，得x=4500

检验：把x=4500代入x（x+3000）≠0. 所以原方程的根为4500 （2）

ha=（a，h是常数且都大于零） 2xax

去分母，方程两边同乘以2x（a－x），得 h（a－x）=2ax 解整式方程，得x=检验：把x=x=

ah

（2a+h≠0）

2ah

ah

代入原方程中，最简公分母2x（a－x）≠0，所以原方程的根为

2ah

ah

.

2ah

Ⅳ.课时小结

［师］同学们这节课的表现很活跃，一定收获不小.

［生］我们学会了解分式方程，明白了解分式方程的三个步骤缺一不可. ［生］我明白了分式方程转化为整式方程为什么会产生增根.

［生］我又一次体验到了“转化”在学习数学中的重要作用，但又进一步认识到每一步转化并不一定都那么“完美”，必须经过检验，反思“转化”过程.

„„

Ⅴ.课后作业 习题3.7

Ⅵ.活动与探究

x1m2

若关于x的方程=有增根，则m的值是____________.

x33x9

［过程］首先增根是分式方程转化为整式方程时整式方程的根，但却使最简公分母为零.

x1m2［结果］关于x的方程=有增根，则此增根必使3x－9=3（x－3）=0，所

x33x9

以增根为x=3.去分母，方程两边同乘以3（x－3），得3（x－1）=m2.

根据题意，得x=3是上面整式方程的根，

所以3（3－1）=m2,则m=±6.