第7节 常系数齐次线性微分方程
教学目的：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法
教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程通解的求法
教学难点：二阶常系数齐次线性微分方程通解的求法
教学方法：讲授为主，互动为辅
教学课时：2
教学内容：
二阶常系数线性微分方程的一般形式为
y ''+p y '+qy =f (x ) ．
这里p 、q 是常数，f (x ) 是x 的已知函数．当f (x ) 恒等于零时，称为二阶常系数齐次线性微分方程，否则称为二阶常系数非齐次线性微分方程．
1．二阶常系数齐次线性微分方程
定理1 设y =y 1(x ) 与y =y 2(x ) 为二阶常系数齐次线性微分方程
y ''+p y '+qy =0
(1)
的相互独立的两个特解(即y 2(x ) y 1(x ) 不恒等于常数) ，则y =C 1y 1+C 2y 2为方程
(1)的通解，这里C 1与C 2为任意常数．
证 按假设y 1(x ) 与y 2(x ) 为方程(1)的解，所以有下式成立
''+p y 1'+qy 1=0，y 2''+p y 2'+qy 2=0． y 1
'+C 2y 2'， y ''=C 1y 1''+C 2y 2''． 又 y =C 1y 1+C 2y 2， y '=C 1y 1
代入(1)式左端，得
''+C 2y 2'')+p (C 1y 1'+C 2y 2')+q (C 1y 1+C 2y 2) y ''+p y '+qy =(C 1y 1
''+p y 1'+qy 1) +C 2(y 2''+p y 2'+qy 2) =0． =C 1(y 1
即y =C 1y 1+C 2y 2为方程(1)的解． 在y 2(x ) y 1(x ) 不恒等于常数的条件下，y =C 1y 1+C 2y 2中含有两个相互独立
的任意常数C 1和C 2，所以y =C 1y 1+C 2y 2是方程(1)的通解．
由此定理可知，求方程(1)的通解问题，归结为求(1)的两个相互独立的特解．为了寻找这两个特解，注意到当r 为常数时，指数函数y =e rx 和它的各阶导数只相差一个常数因子，因此不妨用y =e rx 来尝试．
设y =e rx 为方程(1)的解，则y '=r e rx ，y ''=r 2e rx ，代入方程(1)得
(r 2+pr +q ) e rx =0.
由于e rx ≠0，所以有
r 2+pr +q =0. (2) 只要r 满足(2)式，函数y =e rx 就是微分方程(1)的解．我们把代数方程(2)称为微分方程(1)的特征方程，特征方程的根称为特征根．由于特征方程是一元二次方程，故其特征根有三种不同的情况，相应地可得到微分方程(1)的三种不同形式的通解．
(ⅰ) 当p 2-4q >0时，特征方程(8-23)有两个不相等的实根r 1和r 2，此时可
得方程(1)的两个特解：
y 1=e r 1x ， y 2=e r 2x ，
且y 2/y 1=e (r 2-r 1) x ≠常数，故y =C 1e r 1x +C 2e r 2x 是方程(1)的通解．
(ⅱ) 当p 2-4q =0时，特征方程(8-23)有两个相等的实根r 1=r 2，此时得微分方程(1)的一个特解
y 1=e r 1x ．
为求(1)的通解，还需求出与e r 1x 相互独立的另一解y 2．不妨设y 2/y 1=u (x ) ，则
'=e r 1x (u '+r 1u ) ， y 2''=e r 1x (u ''+2r 1u '+r 12u ) ． y 2=e r 1x u (x ) ， y 2
'及y 2''代入方程(1)，得 将y 2, y 2
e r 1x [(u ''+2r 1u '+r 12u ) +p (u '+r 1u ) +qu ]=0．
将上式约去e r 1x 并合并同类项，得
u ''+(2r 1+p ) u '+(r 12+pr 1+q ) u =0．
由于r 1是特征方程(2)的二重根，因此，r 12+pr 1+p =0，于是得 1+q =0，且2r
u ''=0．
不妨取u =x ，由此得到微分方程(1)的另一个特解
y 2=x e r 1x ，
且y 2/y 1=x ≠常数，从而得到微分方程(1)的通解为
y =C 1e r 1x +C 2x e r 1x ，
即
y =e r 1x (C 1+C 2x ) ．
(ⅲ) 当p 2-4q
r 1=α+i β，r 2=α-i β．
于是得到微分方程(1)的两个特解
1=e (α+i β) x ，2=e (α-i β) x ．
但它们是复数形式，为应用方便，利用欧拉公式e i θ=cos θ+i sin θ将1和2改写成
1=e αx (cosβx +i sin βx ) ，
2=e αx (cosβx -i sin βx ) ．
于是得到两个新的实函数
1y 1=(1+2) =e αx cos βx ， 2
1y 2=(1-2) =e αx sin βx ． 2i
可以验证它们仍是(1)的解，且y 2/y 1=tan βx ≠常数，故微分方程(1)的通解为
y =e αx (C 1cos βx +C 2sin βx ) ．
综上所述，求微分方程(1)通解的步骤可归纳如下：
第一步 写出微分方程(1)的特征方程r 2+pr +q =0，求出特征根； 第二步 根据特征根的不同形式，按照下表写出微分方程(1)的通解： 表1
特征方程r 2+pr +q =0的根r 1, r 2 微分方程y ' ' +py ' +qy =0的通解
两个不等实根r 1≠r 2 y =C 1e r 1x +C 2e r 2x
两个相等实根r 1=r 2 y =(C 1+C 2x ) e r 1x
一对共轭复根r 1, 2=α±i β y =e αx (C 1c o βs x +C 2s i n βx )
例 1 求微分方程y ''+3y '-4y =0的通解．
解 所给微分方程的特征方程为
r 2+3r -4=0．
特征根为r 1=1, r 2=-4. 于是，所求微分方程的通解为
y =C 1e x +C 2e -4x ．
例 2 求微分方程y ''-4y '+4y =0的满足初始条件y |x =0=1, y '|x =0=1的特解．
解 所给微分方程的特征方程为
r 2-4r +4=0．
特征根r 1=r 2=2．故所求微分方程的通解为
y =e 2x (C 1+C 2x ) ．
求导得
y '=2e 2x (C 1+C 2x ) +C 2e 2x ．
将初始条件y |x =0=1及y '|x =0=1代入以上两式求得C 1=1, C 2=-1. 故所求特解为
y =e 2x (1-x ) ．
例 3 设函数f (x ) 可导，且满足
f (x ) =1+2x +⎰tf (t ) d t -x ⎰f (t ) d t ． 00x x
试求函数f (x ) .
解 由上述方程知f (0)=1．方程两边对x 求导得
f '(x ) =2-⎰f (t ) d t ． 0x
由此可得f '(0)=2．上式两边再对x 求导得
f ''(x ) =-f (x ) ．
这是二阶常系数齐次线性方程，其特征方程为
r 2+1=0,
特征根r 1=-i , r 2=i . 于是，所求微分方程的通解为
f (x ) =C 1cos x +C 2sin x .
由此得f '(x ) =-C 1sin x +C 2cos x . 由f (0)=1，f '(0)=2得C 1=1, C 2=2. 所以
f (x ) =cos x +2sin x .
本节介绍的求二阶常系数齐次线性微分方程通解的原理和方法，也可以用于求解更高阶的常系数齐次线性方程．
例 4 求四阶微分方程y (4) +8y '=0的通解．
解 所给微分方程的特征方程为r 4+8r =0，即
r (r +2)(r 2-2r +4) =0, 其特征根为r 1=0, r 2-2, r 3, 4=1±i 3. 于是得方程的通解
y =C 1+C 2e -2x +e x (C 3cos x +C 4sin 3x ).
小结：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程及根的情况，熟记通解公式．
作业：P 340习题7-7 1（4）（6）（8）（9）、2（1）（2）（5）（6）．
第7节 常系数齐次线性微分方程
教学目的：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法
教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程通解的求法
教学难点：二阶常系数齐次线性微分方程通解的求法
教学方法：讲授为主，互动为辅
教学课时：2
教学内容：
二阶常系数线性微分方程的一般形式为
y ''+p y '+qy =f (x ) ．
这里p 、q 是常数，f (x ) 是x 的已知函数．当f (x ) 恒等于零时，称为二阶常系数齐次线性微分方程，否则称为二阶常系数非齐次线性微分方程．
1．二阶常系数齐次线性微分方程
定理1 设y =y 1(x ) 与y =y 2(x ) 为二阶常系数齐次线性微分方程
y ''+p y '+qy =0
(1)
的相互独立的两个特解(即y 2(x ) y 1(x ) 不恒等于常数) ，则y =C 1y 1+C 2y 2为方程
(1)的通解，这里C 1与C 2为任意常数．
证 按假设y 1(x ) 与y 2(x ) 为方程(1)的解，所以有下式成立
''+p y 1'+qy 1=0，y 2''+p y 2'+qy 2=0． y 1
'+C 2y 2'， y ''=C 1y 1''+C 2y 2''． 又 y =C 1y 1+C 2y 2， y '=C 1y 1
代入(1)式左端，得
''+C 2y 2'')+p (C 1y 1'+C 2y 2')+q (C 1y 1+C 2y 2) y ''+p y '+qy =(C 1y 1
''+p y 1'+qy 1) +C 2(y 2''+p y 2'+qy 2) =0． =C 1(y 1
即y =C 1y 1+C 2y 2为方程(1)的解． 在y 2(x ) y 1(x ) 不恒等于常数的条件下，y =C 1y 1+C 2y 2中含有两个相互独立
的任意常数C 1和C 2，所以y =C 1y 1+C 2y 2是方程(1)的通解．
由此定理可知，求方程(1)的通解问题，归结为求(1)的两个相互独立的特解．为了寻找这两个特解，注意到当r 为常数时，指数函数y =e rx 和它的各阶导数只相差一个常数因子，因此不妨用y =e rx 来尝试．
设y =e rx 为方程(1)的解，则y '=r e rx ，y ''=r 2e rx ，代入方程(1)得
(r 2+pr +q ) e rx =0.
由于e rx ≠0，所以有
r 2+pr +q =0. (2) 只要r 满足(2)式，函数y =e rx 就是微分方程(1)的解．我们把代数方程(2)称为微分方程(1)的特征方程，特征方程的根称为特征根．由于特征方程是一元二次方程，故其特征根有三种不同的情况，相应地可得到微分方程(1)的三种不同形式的通解．
(ⅰ) 当p 2-4q >0时，特征方程(8-23)有两个不相等的实根r 1和r 2，此时可
得方程(1)的两个特解：
y 1=e r 1x ， y 2=e r 2x ，
且y 2/y 1=e (r 2-r 1) x ≠常数，故y =C 1e r 1x +C 2e r 2x 是方程(1)的通解．
(ⅱ) 当p 2-4q =0时，特征方程(8-23)有两个相等的实根r 1=r 2，此时得微分方程(1)的一个特解
y 1=e r 1x ．
为求(1)的通解，还需求出与e r 1x 相互独立的另一解y 2．不妨设y 2/y 1=u (x ) ，则
'=e r 1x (u '+r 1u ) ， y 2''=e r 1x (u ''+2r 1u '+r 12u ) ． y 2=e r 1x u (x ) ， y 2
'及y 2''代入方程(1)，得 将y 2, y 2
e r 1x [(u ''+2r 1u '+r 12u ) +p (u '+r 1u ) +qu ]=0．
将上式约去e r 1x 并合并同类项，得
u ''+(2r 1+p ) u '+(r 12+pr 1+q ) u =0．
由于r 1是特征方程(2)的二重根，因此，r 12+pr 1+p =0，于是得 1+q =0，且2r
u ''=0．
不妨取u =x ，由此得到微分方程(1)的另一个特解
y 2=x e r 1x ，
且y 2/y 1=x ≠常数，从而得到微分方程(1)的通解为
y =C 1e r 1x +C 2x e r 1x ，
即
y =e r 1x (C 1+C 2x ) ．
(ⅲ) 当p 2-4q
r 1=α+i β，r 2=α-i β．
于是得到微分方程(1)的两个特解
1=e (α+i β) x ，2=e (α-i β) x ．
但它们是复数形式，为应用方便，利用欧拉公式e i θ=cos θ+i sin θ将1和2改写成
1=e αx (cosβx +i sin βx ) ，
2=e αx (cosβx -i sin βx ) ．
于是得到两个新的实函数
1y 1=(1+2) =e αx cos βx ， 2
1y 2=(1-2) =e αx sin βx ． 2i
可以验证它们仍是(1)的解，且y 2/y 1=tan βx ≠常数，故微分方程(1)的通解为
y =e αx (C 1cos βx +C 2sin βx ) ．
综上所述，求微分方程(1)通解的步骤可归纳如下：
第一步 写出微分方程(1)的特征方程r 2+pr +q =0，求出特征根； 第二步 根据特征根的不同形式，按照下表写出微分方程(1)的通解： 表1
特征方程r 2+pr +q =0的根r 1, r 2 微分方程y ' ' +py ' +qy =0的通解
两个不等实根r 1≠r 2 y =C 1e r 1x +C 2e r 2x
两个相等实根r 1=r 2 y =(C 1+C 2x ) e r 1x
一对共轭复根r 1, 2=α±i β y =e αx (C 1c o βs x +C 2s i n βx )
例 1 求微分方程y ''+3y '-4y =0的通解．
解 所给微分方程的特征方程为
r 2+3r -4=0．
特征根为r 1=1, r 2=-4. 于是，所求微分方程的通解为
y =C 1e x +C 2e -4x ．
例 2 求微分方程y ''-4y '+4y =0的满足初始条件y |x =0=1, y '|x =0=1的特解．
解 所给微分方程的特征方程为
r 2-4r +4=0．
特征根r 1=r 2=2．故所求微分方程的通解为
y =e 2x (C 1+C 2x ) ．
求导得
y '=2e 2x (C 1+C 2x ) +C 2e 2x ．
将初始条件y |x =0=1及y '|x =0=1代入以上两式求得C 1=1, C 2=-1. 故所求特解为
y =e 2x (1-x ) ．
例 3 设函数f (x ) 可导，且满足
f (x ) =1+2x +⎰tf (t ) d t -x ⎰f (t ) d t ． 00x x
试求函数f (x ) .
解 由上述方程知f (0)=1．方程两边对x 求导得
f '(x ) =2-⎰f (t ) d t ． 0x
由此可得f '(0)=2．上式两边再对x 求导得
f ''(x ) =-f (x ) ．
这是二阶常系数齐次线性方程，其特征方程为
r 2+1=0,
特征根r 1=-i , r 2=i . 于是，所求微分方程的通解为
f (x ) =C 1cos x +C 2sin x .
由此得f '(x ) =-C 1sin x +C 2cos x . 由f (0)=1，f '(0)=2得C 1=1, C 2=2. 所以
f (x ) =cos x +2sin x .
本节介绍的求二阶常系数齐次线性微分方程通解的原理和方法，也可以用于求解更高阶的常系数齐次线性方程．
例 4 求四阶微分方程y (4) +8y '=0的通解．
解 所给微分方程的特征方程为r 4+8r =0，即
r (r +2)(r 2-2r +4) =0, 其特征根为r 1=0, r 2-2, r 3, 4=1±i 3. 于是得方程的通解
y =C 1+C 2e -2x +e x (C 3cos x +C 4sin 3x ).
小结：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程及根的情况，熟记通解公式．
作业：P 340习题7-7 1（4）（6）（8）（9）、2（1）（2）（5）（6）．