一元二次方程与二次函数综合题

第四讲一元二次方程与二次函数

第一部分真题精讲

【1】已知：关于x的方程mx23(m1)x2m30．

⑴、求证：m取任何实数时，方程总有实数根；

⑵、若二次函数y1mx23(m1)x2m3的图象关于y轴对称．

①求二次函数y1的解析式；

②已知一次函数y22x2，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立；

0)，且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应⑶、在⑵条件下，若二次函数y3ax2bxc的图象经过点(5，

的函数值y1≥y3≥y2，均成立，求二次函数y3ax2bxc的解析式．

【2】关于x的一元二次方程(m21)x22(m2)x10.

（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；

1是抛物线y(m21)x22(m2)x1上的点，求抛物线的解析式；（2）点A1，

（3）在（2）的条件下，若点B与点

解析式；若不存在，请说明理由.

A关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B的直线，若存在，请求出直线的

【3】已知P（3,m)和Q（1，m）是抛物线

（1）求b的值；

（2）判断关于x的一元二次方程2x2

（3）将抛物线

y2x2bx1上的两点． bx1=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由； y2x2bx1的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的最小值．

【4】已知抛物线yax24ax4a2，其中a是常数．

（1）求抛物线的顶点坐标；

（2）若a

【5】已知：关于x的一元二次方程m1xm2x10（m为实数） 22，且抛物线与x轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式． 5

（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；

（2）在（1）的条件下，求证：无论m取何值，抛物线ym1xm2x1总过x轴上的一个固定点； 2

2（3）若m是整数，且关于x的一元二次方程m1xm2有两个不相等的整数根，把抛物线x10

ym1x2m2x1向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．

第二部分发散思考

【思考1】已知关于x的一元二次方程2x2

（1）求k的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数

解析式；

（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线

【思考2】已知：关于x的一元二次方程x24xk10有实数根，k为正整数. y2x24xk1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的y1xbbk与此图象有两个公共点时，b的取值范围. 22(2m3)x4m214m80

（1）若m0,求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若12＜m＜40的整数，且方程有两个整数根，求m的值．

【思考3】已知: 关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax2－bx+kc（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1.

（1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；

(kc)2b2ab（2）求代数式的值； akc

（3）求证: 关于x的一元二次方程ax2－bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根.

【思考4】. 已知：关于x的一元二次方程x2(2m1)xm2m20．

（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1x21m2，求m的值． m1