第一节 回归模型 回归分析是研究随机现象中变量之间关系的一种数理统计方法。 它的 主要内容是：从一组数据出发，确定这些变量间的关系式，对这些关系式 的可信程度进行统计检验，从影响一个量的许多变量中，判断哪些变量的 影响是显著的，哪些是不显著的，寻找具有较好统计性质的回归设计，利 用所求得的关系式进行预报和控制。 一、一元线性回归模型 一元回归分析是处理随机变量 y 和变量 x 之间关系的一种方法， 即通 过分析数据，找出变量 x 和 y 间的一种关系。如果两个变量的关系是线性 的，那就是一元线性回归分析所研究问题。
那么，怎样建立一元线性回归的数学模型呢？ 首先，把观察得到的 n 对数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)表示 在平面直角坐标系(图 5－1)中，考察这些点的大致分布情况，如果这些 点之间近似存在着线性关系 y＝a＋bx，那么，由最小二乘法可得
量 x 和 y 之间的规律，即 y 和 x 是否显著地存在线性关系呢？这可以用 F
方和 为 S 剩， 则
如果在给定显著性水平α下，有 P｛F≤Fα(1，n－2)｝＝1－α， 于是有 1－α的把握确定回归直线的显著性。否则，在给定显著性水 平α下，回归不显著，即变量 x 和 y 的线性关系不显著。 二、多元线性回归模型
对于一元以上的线性回归，这里先讨论二元线性回归。设随机变量 y 和另外两个变量 x1 和 x2 近似存在线性关系 y＝a＋b1x1＋b2x2，
同样可以讨论二元以上的线性回归。为了书写简便，可以用矩阵的形 式来表示回归系数。设随机变量 y 与另外 p 个变量 x1，x2，x3，…，xp 近 似存在线性关系 y＝β0＋β1x1＋β2x2＋…＋βpxp， 经过 n 次试验，得到数据组(yi，xi1，xi2，…，xip)(i＝1，2，…，n)。 这就有
上述方程组就可以写成 Y＝Xβ。经过矩阵的运算，并运用最小二乘 法，
(XTX)-1是 XTX 的逆矩阵。 二元线性回归也可以用矩阵的形式来表示。设 y＝β0＋β1x1＋β2x2，
于是
在数据处理过程中，两个或两个以上变量之间的回归关系，并非总是 线性的。这时，选择恰当类型的曲线比直线更符合实际情况。但在许多情 况下， 非线性回归可以通过某些简单的变量变换， 转化为线性回归。 例如， eβx 假设变量 y 和 x 之间有关系式 y＝β0 ， 只要两边取对数， 并令 y′＝lny， β′0＝lnβ0，就可以将上述非线性回归问题转化为线性回归问题。 三、回归模型在教学评估中的应用举例 1．同一学科成绩的一元线性回归分析 从一组学生某学科的平时成绩与期中考试成绩或两次不同考试的成 绩，分析这组学生学习该学科的水平状况，便是一元线性回归模型在教学 评估中的一个应用。
例如，从某班随机抽取 15 名学生两个学期的数学期末考试成绩如表 5－1(x、y 分别表示第一学期、第二学期的期末成绩)，下面用一元线性回 归进行分析。
所以，这组学生的成绩相关。根据一元线性回归计算方法，得
lxy＝1117，lyy＝1365.6，
下面用 F 检验进行方差分析，检验回归的显著性。
查表得 F0.01(1，13)＝9.07，可见 F＞F0.01(1，13)，于是我们有 99% 的把握认为回归是显著的，即 x 和 y 之间存在线性关系。 如果把第二次考试成绩作为基础， 根据上面得到的一元线性回归方程 预测第三次考试学生的成绩，可以把第三次考试的成绩填入表 5－2(x 表 示预测成绩，y 表示实际的考试成绩)。
同样，用第三次考试成绩作为基础，又可以预测第四次考试成绩，依 此类推。当然，每一次的预测都应该与实际分数进行比较，判断预测的准 确性，并加以修正。 在不需要较为精确地对学生学习水平作出预测的情况下， 为避免较大 的计算量，也可以采用比较简单的“平均数”法，粗略地对学生的学习状 况作出回归分析。具体地可以按下面步骤完成。 第一步，分组。把 n 个测验数据点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)分成大致 均匀的两组。若 n 为偶数，则平分成两组；若 n 为奇数，可
第二步，求平均数。分别求出这两组数据的各个平均数，并组成新
第三步，求过 P、Q 两点的直线
可以认为，这条直线是过这 n 个点的一元线性回归直线。 对上面提到的 15 名学生的数学成绩，按照前 8 名为一组，后 7 名为 另一组，分成两组，然后用表 5－3(x、y 分别表示第一学期、第二学期期 末成绩)的数据计算。
因此，得到 P(79.3， 76.5)， Q(73.7， 70.1)，而通过 P，Q 的直 线
这样，我们也可以用这条回归直线来预测这 15 名学生的学习成绩。
2．同一学科成绩的二元线性回归分析 利用二元线性回归，可以从一组学生某学科更多的测验数据(如平时 成绩，考试成绩)中，预测这组学生该学科的成绩。现在对上述 15 名学生 三个学期数学期末成绩(在表 5－4 中， 1、 2 和 y 分别表示高一第一学期、 x x 第二学期和高二第一学期期末成绩)进行二元线性回归分析．
由二元线性回归计算方法，得到：
解得
b1＝0.282，b2＝0.622。
由此可得这组学生的二元线性回归方程是
虽然通过上面回归方法得到了二元线性回归方程，但两个因素 x1 和 x2 对 y 的回归并不一定是显著的。这里存在着以下几种情况：因素 x1 对 y 回归显著，而因素 x2 对 y 回归不显著；因素 x1 对 y 回归不显著，而因素 x2 对 y 回归显著；因素 x1 和 x2 对 y 回归都显著；因素 x1 和 x2 对 y 回归都 不显著。 下面通过表 5－5，对前面的
二元线性回归方程进行检验。
由于 F0.05(2，12)＝3.89＜F，所以得到的回归直线
是显著的。
既然上面回归是显著的，那么，我们可以根据这 15 名学生的两个学 期期末成绩，预测第三个学期的期末成绩，然后，照样可以把第三个学期 的成绩作为一个因素(如因素 x2)，去预测第四个学期的期末成绩。不过， 每一次预测值与实际值都应进行检验，并且加以修正。 如果用 F 检验法检验回归不显著，那么就应该对每个因素进行单独 方差分析，剔除回归不显著的因素。一般来说，凡是偏回归平方和(所谓 偏回归平方和，是指总的回归平方和，减去剔除某因素后所得的回归平方 和的值)大的变量一定是显著的；凡是偏回归平方和小的变量，却并不一 定不显著。 3．同一学科成绩的中位数稳健性回归分析 用最小二乘法求回归直线，对所有的测验数据都是一视同仁的，显然 个别远离数据群体的“离群值”影响了回归的显著性(拟合度)。若用“中 位数”的方法，可以求出一种较为稳健的回归，其步骤是：
第一步，分组。将各数据点按某一变量(例如 x)值从小到大的顺序重 新排列，得 x(1)≤x(2)≤…≤x(n)；另一变量 y 值随之相应地排列。然后将 n 个点大致均匀地分成左(L)，中(M)，右(R)三组，并使左右两组点数尽可 能相等，如遇有相同的 x 值，则应该将相应的点划归为同一组，不可分割 开。 第二步，求中位数、综合点。在按第一步分出的左、中、右三组中各 求出 x 值和 y 值的中位数，分别得到三个组的综合点：L(xL，yL)，M(xM， yM)，R(xR，yR)。这些“综合点”不一定是原始数据点。 第三步，用“中位数”的综合点求回归直线。由综合点先求出斜率的 初始值
再取分别过这三个综合点，且以 b1 为斜率的三条直线的截距的平均数为 截距，即
第四步，求残差及其中位数，迭代。求出各点(xi，yi)(i＝1，2，…， n)与初始回归直线的初始残差：
若δ1＝0 或δ1≈0，迭代结束。否则继续按照上面方法迭代，直到第 k 步出现δk＝0 或δk≈0 为止。这时最终的回归直线为
ak＝a1＋a。 下面对前面提到的 15 名学生的成绩作中位数稳健性回归。 第一步，由表 5－6，左、中、右三组的中位数分别为 xL＝66，yL＝67，xM＝73，yM＝78，xR＝89，yR＝79，
于是，初始的回归直线是
数， 得综合点：L(66，－3.35)，M(73，1.73)，R(89，－2.83)。
由于δ1≈0，所以迭代结束，最终的回归直线是
从表 5－6 中的第五列可以看出(74， 60)、 (97， 98)这两个 “离群点” ， 由于中位数比平均数回归更具有稳健性，所以，在用中位数法求回归直线 的过程中，自然降低了“离群值”的影响。 4．题目难度的回
归分析 题目的难度指数对测验结果反应最敏感。 为了对题目的难度有一个比 较准确，又可操作的定量化估计，可以利用回归分析，根据学生的实际得 分率与决定题目难度的有关因素的赋值建立回归关系，预测题目的难度。 学科专家研究确认， 数学测验题目的难度因素主要取决于测验涉及知识的 广度、运算量、逻辑推理量、失误点、障碍点、综合度、熟悉度等因素。
可以认为通常意义下的难度由这七个因素所确定， 只要对这七个因素客观 地赋值，可以克服主观估计带来的偏差。具体方法是： (1)利用已有测验的数据，求得各题难度指数 pL(l＝1，2，…，k，k 为题目数)。 (2)对各题给出对应的难度因素值 nil。 (3)利用逻辑斯蒂回归模型：
用与 pL 对应的 nil 建立回归方程。由于数学测验一般由三类题型(填空题、 选择题和解答题)组成，它们的测试功能和考查要求各有所异，因此，应 该分别建立三个回归方程
著， 以便判别回归方程本身的优劣。 (5)当新的题目编制完后，通过对每题难度因素 nil 的赋值，代
(6)计算剩余标准差，衡量估计难度值 W L 变差的大小，确定估计难度 与实际得分率的平均误差。 例如，用 1989 年和 1990 年高考数学上海试卷中的数据，分别建立 三类题型的回归方程：
－1.369n4－1.363n5－0.91495n6，
－0.27023n4－0.13013n5－0.29579n6－1.5384n7，
－0.10652n4－1.1799n5＋0.064717n6－1.2517n7。 平 方和之比的算术平方根)分别为 R1＝0.85，R2＝0.91；R3＝0.88。可以认 为估计难度与实际考试结果的拟合度较好， 同时也说明了难度因素的确定 是合理的。对上述三个线性回归方程的方差分析，可分别得到 F1＝5.825＞F0.01(6，13)＝4.62， F2＝7.884＞F0.01(7，12)＝4.64， F3＝5.567＞F0.01(7，11)＝4.89。 可见回归方程是高度显著的。利用上述回归方程对 1992 年高考上海 数学试题(见附件二)进行模拟难度估计，先对各题的难度因素赋值，再通 的大 小，求得剩余标准差分别是 S1＝0.80，S2＝0.55，S3＝0.85。
得到的 p 值表明，共有 28 题落在允许误差的范围内，占整卷题量的 97%
第一节 回归模型 回归分析是研究随机现象中变量之间关系的一种数理统计方法。 它的 主要内容是：从一组数据出发，确定这些变量间的关系式，对这些关系式 的可信程度进行统计检验，从影响一个量的许多变量中，判断哪些变量的 影响是显著的，哪些是不显著的，寻找具有较好统计性质的回归设计，利 用所求得的关系式进行预报和控制。 一、一元线性回归模型 一元回归分析是处理随机变量 y 和变量 x 之间关系的一种方法， 即通 过分析数据，找出变量 x 和 y 间的一种关系。如果两个变量的关系是线性 的，那就是一元线性回归分析所研究问题。
那么，怎样建立一元线性回归的数学模型呢？ 首先，把观察得到的 n 对数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)表示 在平面直角坐标系(图 5－1)中，考察这些点的大致分布情况，如果这些 点之间近似存在着线性关系 y＝a＋bx，那么，由最小二乘法可得
量 x 和 y 之间的规律，即 y 和 x 是否显著地存在线性关系呢？这可以用 F
方和 为 S 剩， 则
如果在给定显著性水平α下，有 P｛F≤Fα(1，n－2)｝＝1－α， 于是有 1－α的把握确定回归直线的显著性。否则，在给定显著性水 平α下，回归不显著，即变量 x 和 y 的线性关系不显著。 二、多元线性回归模型
对于一元以上的线性回归，这里先讨论二元线性回归。设随机变量 y 和另外两个变量 x1 和 x2 近似存在线性关系 y＝a＋b1x1＋b2x2，
同样可以讨论二元以上的线性回归。为了书写简便，可以用矩阵的形 式来表示回归系数。设随机变量 y 与另外 p 个变量 x1，x2，x3，…，xp 近 似存在线性关系 y＝β0＋β1x1＋β2x2＋…＋βpxp， 经过 n 次试验，得到数据组(yi，xi1，xi2，…，xip)(i＝1，2，…，n)。 这就有
上述方程组就可以写成 Y＝Xβ。经过矩阵的运算，并运用最小二乘 法，
(XTX)-1是 XTX 的逆矩阵。 二元线性回归也可以用矩阵的形式来表示。设 y＝β0＋β1x1＋β2x2，
于是
在数据处理过程中，两个或两个以上变量之间的回归关系，并非总是 线性的。这时，选择恰当类型的曲线比直线更符合实际情况。但在许多情 况下， 非线性回归可以通过某些简单的变量变换， 转化为线性回归。 例如， eβx 假设变量 y 和 x 之间有关系式 y＝β0 ， 只要两边取对数， 并令 y′＝lny， β′0＝lnβ0，就可以将上述非线性回归问题转化为线性回归问题。 三、回归模型在教学评估中的应用举例 1．同一学科成绩的一元线性回归分析 从一组学生某学科的平时成绩与期中考试成绩或两次不同考试的成 绩，分析这组学生学习该学科的水平状况，便是一元线性回归模型在教学 评估中的一个应用。
例如，从某班随机抽取 15 名学生两个学期的数学期末考试成绩如表 5－1(x、y 分别表示第一学期、第二学期的期末成绩)，下面用一元线性回 归进行分析。
所以，这组学生的成绩相关。根据一元线性回归计算方法，得
lxy＝1117，lyy＝1365.6，
下面用 F 检验进行方差分析，检验回归的显著性。
查表得 F0.01(1，13)＝9.07，可见 F＞F0.01(1，13)，于是我们有 99% 的把握认为回归是显著的，即 x 和 y 之间存在线性关系。 如果把第二次考试成绩作为基础， 根据上面得到的一元线性回归方程 预测第三次考试学生的成绩，可以把第三次考试的成绩填入表 5－2(x 表 示预测成绩，y 表示实际的考试成绩)。
同样，用第三次考试成绩作为基础，又可以预测第四次考试成绩，依 此类推。当然，每一次的预测都应该与实际分数进行比较，判断预测的准 确性，并加以修正。 在不需要较为精确地对学生学习水平作出预测的情况下， 为避免较大 的计算量，也可以采用比较简单的“平均数”法，粗略地对学生的学习状 况作出回归分析。具体地可以按下面步骤完成。 第一步，分组。把 n 个测验数据点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)分成大致 均匀的两组。若 n 为偶数，则平分成两组；若 n 为奇数，可
第二步，求平均数。分别求出这两组数据的各个平均数，并组成新
第三步，求过 P、Q 两点的直线
可以认为，这条直线是过这 n 个点的一元线性回归直线。 对上面提到的 15 名学生的数学成绩，按照前 8 名为一组，后 7 名为 另一组，分成两组，然后用表 5－3(x、y 分别表示第一学期、第二学期期 末成绩)的数据计算。
因此，得到 P(79.3， 76.5)， Q(73.7， 70.1)，而通过 P，Q 的直 线
这样，我们也可以用这条回归直线来预测这 15 名学生的学习成绩。
2．同一学科成绩的二元线性回归分析 利用二元线性回归，可以从一组学生某学科更多的测验数据(如平时 成绩，考试成绩)中，预测这组学生该学科的成绩。现在对上述 15 名学生 三个学期数学期末成绩(在表 5－4 中， 1、 2 和 y 分别表示高一第一学期、 x x 第二学期和高二第一学期期末成绩)进行二元线性回归分析．
由二元线性回归计算方法，得到：
解得
b1＝0.282，b2＝0.622。
由此可得这组学生的二元线性回归方程是
虽然通过上面回归方法得到了二元线性回归方程，但两个因素 x1 和 x2 对 y 的回归并不一定是显著的。这里存在着以下几种情况：因素 x1 对 y 回归显著，而因素 x2 对 y 回归不显著；因素 x1 对 y 回归不显著，而因素 x2 对 y 回归显著；因素 x1 和 x2 对 y 回归都显著；因素 x1 和 x2 对 y 回归都 不显著。 下面通过表 5－5，对前面的
二元线性回归方程进行检验。
由于 F0.05(2，12)＝3.89＜F，所以得到的回归直线
是显著的。
既然上面回归是显著的，那么，我们可以根据这 15 名学生的两个学 期期末成绩，预测第三个学期的期末成绩，然后，照样可以把第三个学期 的成绩作为一个因素(如因素 x2)，去预测第四个学期的期末成绩。不过， 每一次预测值与实际值都应进行检验，并且加以修正。 如果用 F 检验法检验回归不显著，那么就应该对每个因素进行单独 方差分析，剔除回归不显著的因素。一般来说，凡是偏回归平方和(所谓 偏回归平方和，是指总的回归平方和，减去剔除某因素后所得的回归平方 和的值)大的变量一定是显著的；凡是偏回归平方和小的变量，却并不一 定不显著。 3．同一学科成绩的中位数稳健性回归分析 用最小二乘法求回归直线，对所有的测验数据都是一视同仁的，显然 个别远离数据群体的“离群值”影响了回归的显著性(拟合度)。若用“中 位数”的方法，可以求出一种较为稳健的回归，其步骤是：
第一步，分组。将各数据点按某一变量(例如 x)值从小到大的顺序重 新排列，得 x(1)≤x(2)≤…≤x(n)；另一变量 y 值随之相应地排列。然后将 n 个点大致均匀地分成左(L)，中(M)，右(R)三组，并使左右两组点数尽可 能相等，如遇有相同的 x 值，则应该将相应的点划归为同一组，不可分割 开。 第二步，求中位数、综合点。在按第一步分出的左、中、右三组中各 求出 x 值和 y 值的中位数，分别得到三个组的综合点：L(xL，yL)，M(xM， yM)，R(xR，yR)。这些“综合点”不一定是原始数据点。 第三步，用“中位数”的综合点求回归直线。由综合点先求出斜率的 初始值
再取分别过这三个综合点，且以 b1 为斜率的三条直线的截距的平均数为 截距，即
第四步，求残差及其中位数，迭代。求出各点(xi，yi)(i＝1，2，…， n)与初始回归直线的初始残差：
若δ1＝0 或δ1≈0，迭代结束。否则继续按照上面方法迭代，直到第 k 步出现δk＝0 或δk≈0 为止。这时最终的回归直线为
ak＝a1＋a。 下面对前面提到的 15 名学生的成绩作中位数稳健性回归。 第一步，由表 5－6，左、中、右三组的中位数分别为 xL＝66，yL＝67，xM＝73，yM＝78，xR＝89，yR＝79，
于是，初始的回归直线是
数， 得综合点：L(66，－3.35)，M(73，1.73)，R(89，－2.83)。
由于δ1≈0，所以迭代结束，最终的回归直线是
从表 5－6 中的第五列可以看出(74， 60)、 (97， 98)这两个 “离群点” ， 由于中位数比平均数回归更具有稳健性，所以，在用中位数法求回归直线 的过程中，自然降低了“离群值”的影响。 4．题目难度的回
归分析 题目的难度指数对测验结果反应最敏感。 为了对题目的难度有一个比 较准确，又可操作的定量化估计，可以利用回归分析，根据学生的实际得 分率与决定题目难度的有关因素的赋值建立回归关系，预测题目的难度。 学科专家研究确认， 数学测验题目的难度因素主要取决于测验涉及知识的 广度、运算量、逻辑推理量、失误点、障碍点、综合度、熟悉度等因素。
可以认为通常意义下的难度由这七个因素所确定， 只要对这七个因素客观 地赋值，可以克服主观估计带来的偏差。具体方法是： (1)利用已有测验的数据，求得各题难度指数 pL(l＝1，2，…，k，k 为题目数)。 (2)对各题给出对应的难度因素值 nil。 (3)利用逻辑斯蒂回归模型：
用与 pL 对应的 nil 建立回归方程。由于数学测验一般由三类题型(填空题、 选择题和解答题)组成，它们的测试功能和考查要求各有所异，因此，应 该分别建立三个回归方程
著， 以便判别回归方程本身的优劣。 (5)当新的题目编制完后，通过对每题难度因素 nil 的赋值，代
(6)计算剩余标准差，衡量估计难度值 W L 变差的大小，确定估计难度 与实际得分率的平均误差。 例如，用 1989 年和 1990 年高考数学上海试卷中的数据，分别建立 三类题型的回归方程：
－1.369n4－1.363n5－0.91495n6，
－0.27023n4－0.13013n5－0.29579n6－1.5384n7，
－0.10652n4－1.1799n5＋0.064717n6－1.2517n7。 平 方和之比的算术平方根)分别为 R1＝0.85，R2＝0.91；R3＝0.88。可以认 为估计难度与实际考试结果的拟合度较好， 同时也说明了难度因素的确定 是合理的。对上述三个线性回归方程的方差分析，可分别得到 F1＝5.825＞F0.01(6，13)＝4.62， F2＝7.884＞F0.01(7，12)＝4.64， F3＝5.567＞F0.01(7，11)＝4.89。 可见回归方程是高度显著的。利用上述回归方程对 1992 年高考上海 数学试题(见附件二)进行模拟难度估计，先对各题的难度因素赋值，再通 的大 小，求得剩余标准差分别是 S1＝0.80，S2＝0.55，S3＝0.85。
得到的 p 值表明，共有 28 题落在允许误差的范围内，占整卷题量的 97%