最小机会损失的组合预测模型精度评价
王丰效
（喀什师范学院数学系，新疆喀什844000）
摘要：文章研究了组合预测模型预测精度的评价问题。一组单项预测模型在不同的准则下，建立的组合
预测模型一般是不同的。为了比较这些组合预测模型的预测精度，提出了基于最小机会损失准则进行综合评价的方法。该方法运用最小机会损失原则处理各个组合预测模型的拟合值，用组合机会损失值到最小机会损失值距离最小的思想，确定出权重，从而可以将各个组合预测模型的预测精度进行排序，进而可得到最优组合预测模型。
关键词：最小机会损失；组合预测模型；预测精度；评价中图分类号：O242.1文献标识码：A 文章编号：1002-6487（2013）21-0037-03
最小机会损失决策法是一种根据机会成本进行决策
0引言
组合预测问题的关键是选择组合模型的形式以及确定组合权系数[1-5]。一般地，对于同样一组单项预测模型，不同的优化准则会得到不同的组合预测模型，这些组合预测模型各有优势。比如，有些组合模型的平均相对误差最小，有些组合预测模型的误差平方和最小。那么，如何对这些组合模型的优化准则进行综合考虑，进一步给出这些组合预测模型的优劣排序。
关于不同组合预测模型预测精度的比较和评价问题，目前文献中很少涉及。为了解决不同组合预测模型优劣的评价问题，本文将最小机会损失准则[6]应用于这些组合预测模型的预测精度评价。该方法是将各个组合预测模型预测精度的评价值利用权重组合起来，从而进行综合评价。这种方法建立的评价模型能够使每个组合预测模型的预测精度值尽可能的接近多个组合预测模型中的最小机会损失值，从而达到每个组合预测模型都尽可能地减少了自己失去最好排序的风险损失。最后给出了一个仿真应用实例说明了该方法的可行性和有效性。2组合预测精度评价及仿真算法
假设{x (k ) , k =1,2,⋯,n }为某原始数据序列，对该原始数据序列按照不同的准则或者方法建立了多个单项预测模型，利用这些单项预测模型和不同的准则通常可以建立多种不同的组合预测模型。不同的组合预测模型一般是按照不同准则最优。假定按照这些单项预测方法建立(i =1,2,⋯,m ) 。
的方法，它以各方案机会损失大小来判断方案的优劣。机会损失值是指当某种自然状态出现时，决策者由于从若干方案中选优时没有采取能够获得最大收益的方案，而采取了其他方案，以致在收益上产生的某种损失。2.2
组合预测模型精度评价模型
为了进行综合评价，本文采用最小机会损失准则的建立评价模型，该模型是基于使各单一组合预测模型点预测精度的组合期望损失值到最小损失值的距离最小的思想建立评价模型，然后求解该模型，从而确定模型的权重。进一步可得到评价优劣的排序结果。
假定f ij 表示第i 种组合预测模型在时刻j 的点预测精度（i =1,2,⋯,m ，，其中j =1,2,⋯,n ）
f ij =
|x (j ) -i (j ) |
从而得到了综合评价结果矩阵F =(f ij ) m ×n 。如果各个组合预测模型在不同时刻点预测精度的权系数向量为则第i 种组合预测模型的综合评价值W =(w 1, w 2,⋯,w n ) T ，为
F i =w 1f i 1+w 2f i 2+⋯+w n f in
(1)
其中权系数向量W =(w 1, w 2,⋯,w n ) T 可以通过最小机会损失准则确定，进而把各个组合预测模型的评价结果进行排序，从而得到最优的组合预测模型。
根据最小机会损失准则的基本原理，将各个组合预测模型的点预测精度作为收益矩阵，求出各个单一组合预测模型的评价值所对应的机会损失值，即
i =1,⋯,m ，j =1,⋯,n f ′ij =max (f ij ) -f ij ，
i
了m 个组合预测模型，y i (k ) 表示第i 种组合预测模型2.1
最小机会损失准则
基金项目：国家社会科学基金西部项目（11XTJ001）
那么，用权系数向量W =(w 1, w 2,⋯,w n ) T 对矩阵就得到组合机会损失值为F ′=(f ′ij ) m ×n 进行组合，
其中第i 个组合预测模型的组合Y =F ′W =(y 1, y 2,⋯,y n ) ，
统计与决策２０13年第21期·总第393
期
37
机会损失值为
′′′
y i =w 1f i 1+w 2f i 2+⋯+w n f in 其中，i =1,⋯,m 。
为了说明本文所建立的基于最小机会损失组合预测
(2)
模型预测精度评价方法的有效性和可行性，这里采用文献中的应用实例予以说明。
例1本文选取我国1989~2009年21年的能源总产量为原始数据(数据均来源于中国统计年鉴，单位：亿吨标准煤)，相关数据见表1[5]。为了建立我国能源总产量的组合
预测模型，分别利用灰色预测方法（记该模型为x 1(t ) ），移动平均法（记该模型为x 2(t ) ）和三次多项式方法（记该模型为x 3(t ) ）建立3个单项预测模型，这三个单项预测方法的预测结果见表1。三种单项预测模型的拟合结果以及原始数据实际值见图1。
表1
年份[***********][***********][***********]022003
T
2.3评价模型权系数的确定
为了求得权重，本文提出使各单一组合预测模型评价
值的组合期望损失值到最小损失值的距离最小的思想建立的模型，即使组合期望损失值尽可能接近各个单一组合预测模型的最小损失值，从而实现各决策方案都能尽可能地靠近决策所带来的损失。
单一组合预测模型的最小机会损失值min f ′ij 的距离，
j
设d i 表示第i 个组合预测模型的组合机会损失值y i 与
则有i =1,⋯,m ，
′öçi -min f ij ÷d i =æy j èø
因而所有单个组合预测模型的组合机会损失值y i 与
2
能源总产量实际值和预测值实际值10.163910.392210.484410.725611.105911.872912.903413.261613.241012.425012.593512.900013.744514.380916.384118.734120.587622.105623.541526.000027.4618
灰色预测10.16399.329010.098011.254210.052011.520312.140012.793113.481414.206614.970915.776316.625017.519418.461919.455120.501721.604722.767023.991725.2842
移动平均10.163910.278110.438310.605010.915811.489412.388213.082513.251312.833012.509312.746813.322314.062715.382517.559119.660921.346622.823624.770826.7309
多项式10.013610.478310.849211.149711.403211.633111.862812.115712.415212.784713.247613.827314.547215.430716.501217.782119.296821.068723.121225.477728.1616
单一组合预测模型的最小机会损失值的距离之和为
′öçi -min f ij ÷D =∑d i =∑æy j øi =1i =1è
i
m
m
2
由于机会损失值f ′ij =max (f ij ) -f ij ，所以单一组合预测模型的最小机会损失值一定为零，即就是min f ′ij =0，于
j
是
D =∑d i =∑y i 2
i =1
i =1
m
m
利用Y =F ′W =(y 1, y 2,⋯,y n ) T 可得
′
T
′
T
′T
′
D =(F W ) F W =W (F F ) W =W HW
[***********]082009
这里，H =F ′T F ′是实对称矩阵。从而权系数向量的确定归结为求解下列规划模型
min D =W HW
T
W T W =1, W >0
(3)
2.4最小机会损失组合预测评价仿真算法
根据以上模型分析以及最小机会损失准则，表明利用
最小机会损失准则评价组合预测模型是可行的。进一步可归纳总结出该综合评价方法的仿真算法步骤如下：
（1）针对所建立的m 个组合预测模型，分别计算各个组合预测模型在时刻j 的点预测精度f ij ，i =1,2,⋯,m ，j =1,2,⋯,n 。进一步计算各个单一组合预测模型的评
价值所对应的机会损失值f ′ij =max (f ij ) -f ij ，从而得到矩
i
图1单项预测方法误差
阵F ′，并计算H =F ′T F ′。
（2）利用Matlab 软件求解规划问题（3），从而确定权系数向量W =(w 1, w 2,⋯,w n ) T 。
（3）计算第i 种组合预测模型的综合评价值F i =w 1f i 1+w 2f i 2+⋯+w n f in
利用上面建立的三个单项预测模型（灰色预测模型，移动平均模型，三次多项式模型），分别利用不同的优化准则建立三个组合预测模型，其权系数分别采用简单算术平均（组合模型1），误差平方和最小（组合模型2），最大灰色关联度（组合模型3）确定。这样组合模型1为
y 1(t ) =(x 1(t ) +x 2(t ) +x 3(t ))/3
如果按照误差平方和最小准则建立线性组合预测模型，则组合模型2为
y 2(t ) =0.1771x 1(t ) +0.3924x 2(t ) +0.4305x 3(t ) 如果按
并确定F k =max F i ，从而可知第k 种组合预测模型为最优组合预测模型。3仿真实例
38
统计与决策２０13年第21期·总第393
期
照灰色关联度最大准则建立线性组合预测模型，则组合模型3为y 2(t ) =0.4024x 2(t)+0.3215x 2(t)+0.2761x 2(t)这三个组合预测方法的拟合结果见表2。
表2
年份[***********][***********][***********][***********][1**********]9
实际值10.163910.392210.484410.725611.105911.872912.903413.261613.241012.425012.593512.900013.744514.380916.384118.734120.587622.105623.541526.000027.4618
组合110.113810.028510.461811.003010.790311.547612.130312.663813.049313.274813.575914.116814.831515.670916.781918.265419.819821.340022.903924.746726.7256
能源总产量组合预测值
组合210.099210.196210.5549310.9544710.9726511.5567412.1180612.6150412.9321113.0554713.2630913.7484814.4345315.2638116.4094617.9908819.6530621.2726722.9416924.9371427.09061
组合310.12249.951510.414811.016610.702811.541512.143312.699113.113013.372413.703714.264214.989515.831416.930518.383619.898721.373722.883024.652526.5438
F 1=0.0587，F 2=0.0450，F 3=0.0642
由于F 3>F 1>F 2，表明组合预测模型3是三种组合预另外，从三种组合预测模型的误差平方和，平均相对
测模型中最优的一种。
误差指标也可以看出组合预测模型3要优于另外两种组合预测模型。图2的拟合结果也表明同样的结论。4结论
本文把经济学中最小机会损失准则用到组合预测模型的预测精度的综合评价中，提出了基于最小机会损失决策准则的组合预测精度评价方法。该组合评价方法用使组合机会损失价值到每个单一评价方法中最小的机会损失值距离最小的思想建立模型，从而确定各单一评价方法的权重，用权重求得组合评价的最终评价值，并进行排序。本文建立的模型能够使各方案的组合评价值尽可能地接近多个单一评价方法中最小的机会损失值，从而达到每个方案都尽可能地减少了自己失去最高排序的风险损失。该方法概念清晰，算法简单，并用实例证明了其在处理多属性决策经济问题时效果良好，从而具有一定的实用价值。
参考文献：
[1]王丰效. 组合GM(1，1) 幂模型及其应用[J].数学的实践与认识，[2]王丰效. 基于反向变换和遗传算法的GM(1，1) 模型优化[J].统计与决策，2011，(16).
[3]唐小我. 组合预测误差信息矩阵研究[J].电子科技大学学报，1992，[4]陈华友. 基于相关系数的优性组合预测模型研究[J].系统工程学报，2006，21(4).
[5]王应明. 基于相关性的组合预测方法研究[J].预测，2002，21(2).21(4).2011，41（20）.
按照表2给出的三种组合预测模型的拟合数据，计算组合预测模型在各个时刻的预测点精度，进一步得到收益矩阵F 以及F ，再计算矩阵H ，利用Matlab 软件编程求解规划模型（3）得到综合评价权系数向量，最后计算各种组合预测模型的基于最小机会损失综合评价值，
计算结果为
′
[6]《运筹学》教材编写组. 运筹学[Ｍ].北京：清华大学出版社，2005.
图2能源总产量的实际值及组合预测值
(责任编辑/亦民)
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最小机会损失的组合预测模型精度评价
王丰效
（喀什师范学院数学系，新疆喀什844000）
摘要：文章研究了组合预测模型预测精度的评价问题。一组单项预测模型在不同的准则下，建立的组合
预测模型一般是不同的。为了比较这些组合预测模型的预测精度，提出了基于最小机会损失准则进行综合评价的方法。该方法运用最小机会损失原则处理各个组合预测模型的拟合值，用组合机会损失值到最小机会损失值距离最小的思想，确定出权重，从而可以将各个组合预测模型的预测精度进行排序，进而可得到最优组合预测模型。
关键词：最小机会损失；组合预测模型；预测精度；评价中图分类号：O242.1文献标识码：A 文章编号：1002-6487（2013）21-0037-03
最小机会损失决策法是一种根据机会成本进行决策
0引言
组合预测问题的关键是选择组合模型的形式以及确定组合权系数[1-5]。一般地，对于同样一组单项预测模型，不同的优化准则会得到不同的组合预测模型，这些组合预测模型各有优势。比如，有些组合模型的平均相对误差最小，有些组合预测模型的误差平方和最小。那么，如何对这些组合模型的优化准则进行综合考虑，进一步给出这些组合预测模型的优劣排序。
关于不同组合预测模型预测精度的比较和评价问题，目前文献中很少涉及。为了解决不同组合预测模型优劣的评价问题，本文将最小机会损失准则[6]应用于这些组合预测模型的预测精度评价。该方法是将各个组合预测模型预测精度的评价值利用权重组合起来，从而进行综合评价。这种方法建立的评价模型能够使每个组合预测模型的预测精度值尽可能的接近多个组合预测模型中的最小机会损失值，从而达到每个组合预测模型都尽可能地减少了自己失去最好排序的风险损失。最后给出了一个仿真应用实例说明了该方法的可行性和有效性。2组合预测精度评价及仿真算法
假设{x (k ) , k =1,2,⋯,n }为某原始数据序列，对该原始数据序列按照不同的准则或者方法建立了多个单项预测模型，利用这些单项预测模型和不同的准则通常可以建立多种不同的组合预测模型。不同的组合预测模型一般是按照不同准则最优。假定按照这些单项预测方法建立(i =1,2,⋯,m ) 。
的方法，它以各方案机会损失大小来判断方案的优劣。机会损失值是指当某种自然状态出现时，决策者由于从若干方案中选优时没有采取能够获得最大收益的方案，而采取了其他方案，以致在收益上产生的某种损失。2.2
组合预测模型精度评价模型
为了进行综合评价，本文采用最小机会损失准则的建立评价模型，该模型是基于使各单一组合预测模型点预测精度的组合期望损失值到最小损失值的距离最小的思想建立评价模型，然后求解该模型，从而确定模型的权重。进一步可得到评价优劣的排序结果。
假定f ij 表示第i 种组合预测模型在时刻j 的点预测精度（i =1,2,⋯,m ，，其中j =1,2,⋯,n ）
f ij =
|x (j ) -i (j ) |
从而得到了综合评价结果矩阵F =(f ij ) m ×n 。如果各个组合预测模型在不同时刻点预测精度的权系数向量为则第i 种组合预测模型的综合评价值W =(w 1, w 2,⋯,w n ) T ，为
F i =w 1f i 1+w 2f i 2+⋯+w n f in
(1)
其中权系数向量W =(w 1, w 2,⋯,w n ) T 可以通过最小机会损失准则确定，进而把各个组合预测模型的评价结果进行排序，从而得到最优的组合预测模型。
根据最小机会损失准则的基本原理，将各个组合预测模型的点预测精度作为收益矩阵，求出各个单一组合预测模型的评价值所对应的机会损失值，即
i =1,⋯,m ，j =1,⋯,n f ′ij =max (f ij ) -f ij ，
i
了m 个组合预测模型，y i (k ) 表示第i 种组合预测模型2.1
最小机会损失准则
基金项目：国家社会科学基金西部项目（11XTJ001）
那么，用权系数向量W =(w 1, w 2,⋯,w n ) T 对矩阵就得到组合机会损失值为F ′=(f ′ij ) m ×n 进行组合，
其中第i 个组合预测模型的组合Y =F ′W =(y 1, y 2,⋯,y n ) ，
统计与决策２０13年第21期·总第393
期
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机会损失值为
′′′
y i =w 1f i 1+w 2f i 2+⋯+w n f in 其中，i =1,⋯,m 。
为了说明本文所建立的基于最小机会损失组合预测
(2)
模型预测精度评价方法的有效性和可行性，这里采用文献中的应用实例予以说明。
例1本文选取我国1989~2009年21年的能源总产量为原始数据(数据均来源于中国统计年鉴，单位：亿吨标准煤)，相关数据见表1[5]。为了建立我国能源总产量的组合
预测模型，分别利用灰色预测方法（记该模型为x 1(t ) ），移动平均法（记该模型为x 2(t ) ）和三次多项式方法（记该模型为x 3(t ) ）建立3个单项预测模型，这三个单项预测方法的预测结果见表1。三种单项预测模型的拟合结果以及原始数据实际值见图1。
表1
年份[***********][***********][***********]022003
T
2.3评价模型权系数的确定
为了求得权重，本文提出使各单一组合预测模型评价
值的组合期望损失值到最小损失值的距离最小的思想建立的模型，即使组合期望损失值尽可能接近各个单一组合预测模型的最小损失值，从而实现各决策方案都能尽可能地靠近决策所带来的损失。
单一组合预测模型的最小机会损失值min f ′ij 的距离，
j
设d i 表示第i 个组合预测模型的组合机会损失值y i 与
则有i =1,⋯,m ，
′öçi -min f ij ÷d i =æy j èø
因而所有单个组合预测模型的组合机会损失值y i 与
2
能源总产量实际值和预测值实际值10.163910.392210.484410.725611.105911.872912.903413.261613.241012.425012.593512.900013.744514.380916.384118.734120.587622.105623.541526.000027.4618
灰色预测10.16399.329010.098011.254210.052011.520312.140012.793113.481414.206614.970915.776316.625017.519418.461919.455120.501721.604722.767023.991725.2842
移动平均10.163910.278110.438310.605010.915811.489412.388213.082513.251312.833012.509312.746813.322314.062715.382517.559119.660921.346622.823624.770826.7309
多项式10.013610.478310.849211.149711.403211.633111.862812.115712.415212.784713.247613.827314.547215.430716.501217.782119.296821.068723.121225.477728.1616
单一组合预测模型的最小机会损失值的距离之和为
′öçi -min f ij ÷D =∑d i =∑æy j øi =1i =1è
i
m
m
2
由于机会损失值f ′ij =max (f ij ) -f ij ，所以单一组合预测模型的最小机会损失值一定为零，即就是min f ′ij =0，于
j
是
D =∑d i =∑y i 2
i =1
i =1
m
m
利用Y =F ′W =(y 1, y 2,⋯,y n ) T 可得
′
T
′
T
′T
′
D =(F W ) F W =W (F F ) W =W HW
[***********]082009
这里，H =F ′T F ′是实对称矩阵。从而权系数向量的确定归结为求解下列规划模型
min D =W HW
T
W T W =1, W >0
(3)
2.4最小机会损失组合预测评价仿真算法
根据以上模型分析以及最小机会损失准则，表明利用
最小机会损失准则评价组合预测模型是可行的。进一步可归纳总结出该综合评价方法的仿真算法步骤如下：
（1）针对所建立的m 个组合预测模型，分别计算各个组合预测模型在时刻j 的点预测精度f ij ，i =1,2,⋯,m ，j =1,2,⋯,n 。进一步计算各个单一组合预测模型的评
价值所对应的机会损失值f ′ij =max (f ij ) -f ij ，从而得到矩
i
图1单项预测方法误差
阵F ′，并计算H =F ′T F ′。
（2）利用Matlab 软件求解规划问题（3），从而确定权系数向量W =(w 1, w 2,⋯,w n ) T 。
（3）计算第i 种组合预测模型的综合评价值F i =w 1f i 1+w 2f i 2+⋯+w n f in
利用上面建立的三个单项预测模型（灰色预测模型，移动平均模型，三次多项式模型），分别利用不同的优化准则建立三个组合预测模型，其权系数分别采用简单算术平均（组合模型1），误差平方和最小（组合模型2），最大灰色关联度（组合模型3）确定。这样组合模型1为
y 1(t ) =(x 1(t ) +x 2(t ) +x 3(t ))/3
如果按照误差平方和最小准则建立线性组合预测模型，则组合模型2为
y 2(t ) =0.1771x 1(t ) +0.3924x 2(t ) +0.4305x 3(t ) 如果按
并确定F k =max F i ，从而可知第k 种组合预测模型为最优组合预测模型。3仿真实例
38
统计与决策２０13年第21期·总第393
期
照灰色关联度最大准则建立线性组合预测模型，则组合模型3为y 2(t ) =0.4024x 2(t)+0.3215x 2(t)+0.2761x 2(t)这三个组合预测方法的拟合结果见表2。
表2
年份[***********][***********][***********][***********][1**********]9
实际值10.163910.392210.484410.725611.105911.872912.903413.261613.241012.425012.593512.900013.744514.380916.384118.734120.587622.105623.541526.000027.4618
组合110.113810.028510.461811.003010.790311.547612.130312.663813.049313.274813.575914.116814.831515.670916.781918.265419.819821.340022.903924.746726.7256
能源总产量组合预测值
组合210.099210.196210.5549310.9544710.9726511.5567412.1180612.6150412.9321113.0554713.2630913.7484814.4345315.2638116.4094617.9908819.6530621.2726722.9416924.9371427.09061
组合310.12249.951510.414811.016610.702811.541512.143312.699113.113013.372413.703714.264214.989515.831416.930518.383619.898721.373722.883024.652526.5438
F 1=0.0587，F 2=0.0450，F 3=0.0642
由于F 3>F 1>F 2，表明组合预测模型3是三种组合预另外，从三种组合预测模型的误差平方和，平均相对
测模型中最优的一种。
误差指标也可以看出组合预测模型3要优于另外两种组合预测模型。图2的拟合结果也表明同样的结论。4结论
本文把经济学中最小机会损失准则用到组合预测模型的预测精度的综合评价中，提出了基于最小机会损失决策准则的组合预测精度评价方法。该组合评价方法用使组合机会损失价值到每个单一评价方法中最小的机会损失值距离最小的思想建立模型，从而确定各单一评价方法的权重，用权重求得组合评价的最终评价值，并进行排序。本文建立的模型能够使各方案的组合评价值尽可能地接近多个单一评价方法中最小的机会损失值，从而达到每个方案都尽可能地减少了自己失去最高排序的风险损失。该方法概念清晰，算法简单，并用实例证明了其在处理多属性决策经济问题时效果良好，从而具有一定的实用价值。
参考文献：
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[5]王应明. 基于相关性的组合预测方法研究[J].预测，2002，21(2).21(4).2011，41（20）.
按照表2给出的三种组合预测模型的拟合数据，计算组合预测模型在各个时刻的预测点精度，进一步得到收益矩阵F 以及F ，再计算矩阵H ，利用Matlab 软件编程求解规划模型（3）得到综合评价权系数向量，最后计算各种组合预测模型的基于最小机会损失综合评价值，
计算结果为
′
[6]《运筹学》教材编写组. 运筹学[Ｍ].北京：清华大学出版社，2005.
图2能源总产量的实际值及组合预测值
(责任编辑/亦民)
统计与决策２０13年第21期·总第393
期
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