《数学广角—鸡兔同笼》课堂教学实录及点评 授课人：月河中心小学 曾庆玲
点评人：镇安县教研室 张鹏航
教学内容：人教版第11册112—123页《数学广角—鸡兔同笼》
课时安排：1课时
教学目标：
1、学生初步认识“鸡兔同笼”此类数学趣题
2、学生通过合作探究，能够运用“列表举例法”、“假设法”、列方程等方法解决“鸡兔同笼”此类问题。
课堂教学实录及点评
一、游戏激趣，巧妙导课
师：同学们，你好喜欢小动物吗？
生：喜欢!
师：请交流一下你喜欢的动物。
生：喜欢小狗、小兔、小鸡„„
师：谁上台来扮演兔与鸡。
学生兴致盎然，跃跃欲试。师随意让部分学生扮演。
师：三头六足。
学生随着教师的要求上台扮演。
师：有几只鸡？几只兔？
生：3只全是鸡，没有兔。
师： 3头8足
三个学生扮演：1学生把双手拎起做兔前腿状，其余学生垂手站立。台下学生明白：台上同学扮演的是1只兔，2只鸡。
师：5头10足、8头24足。（变换题型）
部分学生在讲台按教师的不同要求，进行不同的游戏，其它学生则在观看的同时，指出扮演同学的失误。
师：其实上述游戏蕴含着一类数学问题——“鸡兔同笼”问题。
师板书课题：“鸡兔同笼”
【点评】导课部分独具匠心，看似是扮演小动物游戏，实质是解决鸡兔同笼问题的智力热身活动，为鸡兔同笼问题的揭示做好了巧妙的铺垫。学生在此游戏活动中，初步感知了生活中的鸡兔同笼趣题，通过模拟知道了鸡、兔的头数与鸡、兔脚的只数之间的繁杂关系。游戏是小学生最喜爱的活动，扮演鸡兔活动一下子把学生带入了一个新奇的场景，学生带着期待进入新课。好的开端是成功的一半，这是教学过程中产生的第一个智力活动高潮。
二、尝试探究，妙揭算理。
师：“鸡兔同笼”问题是我国古代三大趣题之一，记载于《孙子算经》一书中，距今约有1500年。用课件出示：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”
师：这道题的意思就是：“笼子里有若干鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚，鸡兔各有几只？”同学们，这个问题你能解决吗？
生做思考后，均有疑惑不解状。
师：要解决这个问题，我们可以从简单的问题入手。课件出示：“笼子里有若干鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚，鸡兔各有几只？”请同学们尝试做这道题。
【点评】学生认知的规律是：由易到难。此题有效降低了问题的难度，为解决《孙子算经》中的较难“鸡兔同笼”问题搭好了桥，做了巧妙引领。
生尝试后做交流展示:
1、生甲（在讲台上便画图便讲解自己的算法）：我是用画图的方法等出来的。1只兔子有4只脚，1只鸡有2只脚。而它们的头一共有8只，所以我就尝试着画。结果尝试的结果是，兔子5只，鸡3只。（画图法）
师：很好，谁还有其它的方法。
【点评】生甲第一个用的画图法是打开其他学生发散思维的钥匙。画图法直观形象，对其他学生的启发作用很大。此法貌似画图法，其实质仍然是列举法。
2、生乙：我用8÷2=4。
师：等等。为什么用8÷2？
生乙：因为有8只头，我假设一半是鸡，一半是兔。所以用8÷2，结果是有4只鸡，4只兔。那么4只鸡8只脚，4只兔16只脚，一共是24只脚。题上要求是26只脚，所以鸡少算了1只。所以鸡应该是5只。
师：等等，为什么鸡少算了1只？
生乙：因为按照假设，有4只鸡，4只兔，一共是24只脚，题上要求是26只脚，与题的要求比，我少算了2只脚。1只鸡有2只脚，恰恰少算了1只鸡。所以应该给假设的4只鸡再加上1只，就是5只。（假设法）
生乙的算理说清楚了，可是大部分同学还是不明白，
【点评】生乙用的是假设法中的“尝试取中法”。思路非常清晰。老师两个“等等，为什么„„”环节处理的非常巧妙，欲扬先抑，既让学生说清了自己的算理，又让其他学生明白了假设法的关键步骤，此教学艺术值得赞许。不过此环节有一点遗憾：如果能够在学生说出为什么在假设中用“8÷2”的原因时，能够不失时机地点拨一句：“看来，假设时采用居中取数，则运算是最简便的。”就能起到画龙点睛的作用、可惜教者错失了此良机，学生最富智慧的思维火花就这样悄悄地熄灭了，如果让生乙的这点火花去点燃其他学生的思维火花，最后燃成熊熊大火，让生乙的创新思维更进一步，让其他学生明白“居中取数”的奥妙，教学的效果应该更好。看来教学真是遗憾的艺术。
3、师：我们用例举法来做一做。
师生共同探究鸡、兔的头数与脚的总数的关系，得出结论。
兔 8 7 6 5
鸡 0 1 2 3
脚 32 30 28 26
师：我们通过列举，也就是尝试的办法，得出了鸡有5只，兔有3只的答案。（列举法）
师：大家比较一下，用例举法与生甲的画图法比较，哪个更简便一些？
生通过比较，得出了例举法比画图法简便的结论。
【点评】列举法是学生最容易掌握的运算方法，虽然麻烦，但比较直观，它是掌握假设法的前提，本教学环节是下一教学环节的巧妙过渡。
4、生丙：
我假设8只全是兔。4×8=32.。（师在32后添加只脚）32－26=6（只脚）。（师：多了6只脚）。4－2=2（只脚）
师：为什么用4－2？
生丙：因为兔子多了，兔子有4只脚，鸡有2只脚。6÷2=3（只鸡）
师：等等，老师又不懂了！为什么用6÷2。
生丙：因为我多假设了兔，多了6只脚，这6只脚是鸡的。所以用6÷2=3（只鸡）
师：我还是没有听明白。请哪位同学给我再说说。
生丁自愿起来说清算理。
师故作明白状：哦—原来是多假设了兔的只数，所以多出来的脚应该是鸡的，所以要这样。
生丙继续：8－3=5（只）。因为兔子多算了3只，所以用8减去3等于5，答案是兔子有5只，鸡有3只。（假设法A）
【点评】假设法是本节课教学的难点。曾老师在突破教学难点方面给我们提供了一个成功的范例。她在学生丙讲述假设法A时，不疾不徐、环环相扣，层次剥笋，故布疑团，循循善诱，把学生丙的思考方法与过程准确无误地呈现在全体学生面前，在展示关键步骤时，她更是一位高超的导演，“我还是没有听明白。请哪位同学给我再说说。”把教者需要给学生重点强调的地方，假借学生的口再重点反馈给其他学生。师故作明白状：“哦—原来是多假设了兔的只数，所以多出来的脚应该是鸡的，所以要这样。”看似是教师的自言自语，其实是把此种方法的关键强调给学生，引起学生的注意。教师没有一句是在讲解，都是学生在思考展示、相互启发、自我教育。这就是曾老师的教学艺术！此处精要的提示与神来之笔的“自言自语”胜过教师的千万句提醒与讲解。
师：那么我们再来试一试。假设8只全是鸡，请同学们试着做。
生：8×2=16（只）脚
师：题意要求一共有26只脚。
生：26－16=10（只）脚。
师：少了10脚。那么少的是谁的脚呢？
生：少了兔的脚。
生：4－2=2（只）脚。10÷2=5（只）兔。
生：8－5=3（只）鸡。（假设法B）
【点评】通过生丙的讲解与老师的精要提示，大部分学生肯定已经初步掌握了假设法，但是所有的学生都准确掌握方法且明白算理，还需要一个强化的过程。所以此步骤就是对学生掌握运用假设法的再一次强化，让所有的学生都掌握方法，并明白算理。教师的用心可谓精深。
师：你们从以上两种假设法中发现了什么？
生戊：假设全是鸡，先得到兔子的只数。
生己：假鸡先得兔，假兔先得鸡。
师总结：假甲先得乙，假乙先得甲。
【点评】学生结合具体算法，先初步归纳总结出运用假设法解决鸡兔同笼问题的一般规律，教师再将之完善，归纳升华为运用解决决鸡兔同笼这一类问题的一般规律。此处教学可圈可点！
师：我刚才看到还有一个同学有不同的算法。
生庚：我是用方程的方法解的。
解：设有x只兔，则有（8－x）只鸡。
4x
师：别急！“4x”表示什么意思呀？指名一学生回答。
生庚继续：4x+2×（8－x）=26。
师：2×（8－x）表示什么意思呀？再指名一学生回答。请同学们检验方程成立吗？
学生通过检验，得出了方程成立的结论。生庚解方程并得出答案。
【点评】此处与处理假设法A的做法有异曲同工之妙。学生又轻而易举地掌握了解决鸡兔同笼问题的另一种方法—列方程。学生完全是教学地主体，教师是教学的引导者、点拨者。达到了不教而教的目的。老师应该留出时间，让学生说出其它所列方程。
三、巩固练习，顺利迁移。
1、师：请学生们用自己喜欢的方法解决《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题。
一学生上黑板演算。其它同学独立完成。
师（在学生运用假设法、例举法及列方程解决问题之后）：解决“鸡兔同笼”，哪种方法比较简便？
生：假设法和列方程比较简便，例举法比较麻烦。
【点评】与教学最初设置的悬念遥相呼应，在学生进一步运用学习的新方法解决问题后，引导学生通过比较，找出最简便的解决问题的方法，这是曾老师教学的又一精彩之笔。用最简单的方法解决数学问题，永远是数学教学的真谛。
2、拓展：
师：我国古代的“鸡兔同笼”问题流传到日本，就演变成了“龟鹤同笼”问题。课件出示一龟兔同笼问题。启发学生“龟”相当于“兔”，“鹤”相当于“鸡”。学生独立练习。
师（在学生全部得出完成后）：其实，我们月河当地生活中也有很多类似的“鸡兔同笼”问题。相继用课件出示：
⑴板凳木马三十三，一百条腿地上站，板凳木马各几何。
⑵一对猎手一对狗，两队并成一对走，数头一共三百六，数足一共八百九。多少猎手多少狗？
师让学生观察，这两个问题与前面的鸡兔同笼、龟鹤同笼问题有什么不同。做题的思路是什么。在学生有了充分的思考后，让学生课后练习此两题。
【点评】学习的目的是为了应用。此环节有两个妙处：一是让数学知识来源于生活，又运用于生活，提高学生的应用能力与学习数学的兴趣；二是让学生能够认识“鸡兔同笼”这一类问题，掌握“鸡兔同笼”问题的变式，达到举一反三的目的。
【听课后记】2010年1月5日，我在月河中心小学进行优质课验收时，有幸听了被誉为“月河才女”的曾庆玲老师的这节数学广角—“鸡兔同笼”课程。这节课是探究活动课，我在其它地方也听了这节课，觉得这节课教学难度很大，教师不容易上成功。曾庆玲老师的这节课的成功让我出乎意料，深受启发。整节课都是学生在紧紧张张地进行探究活动，老师在课堂中巧妙启发、适时点拨，相机诱导。一节课学生探究解决问题的方法比教材中提供列举的方法还要多，师生在很轻松地完成了探究任务的同时，似乎还不满足，还在游刃有余地探究日本的“金鸡独立”解法。这是我听到的成功的数学探究课之一。
曾庆玲老师是一位善于思考、有思想的数学老师，在教后反思时她说：“本节课给我最深的感受是：充分的课前准备、恰到好处的点拨引导、广阔的探究空间、学生创新性的灵动思维，是上好一节探究活动课的关键。”她富有哲理的反思也许能给我们数学老师开展探究活动以崭新的启迪。
我觉得这节课是活动探究课的成功范例，所以将其实录下来供大家参考，希望能够对全县数学老师的探究活动课有所帮助。由于自己在数学教研方面是个外行，所谓的“点评”可能是乱点乱评。有不妥之处敬请数学老师及曾庆玲批评指正。
《数学广角—鸡兔同笼》课堂教学实录及点评 授课人：月河中心小学 曾庆玲
点评人：镇安县教研室 张鹏航
教学内容：人教版第11册112—123页《数学广角—鸡兔同笼》
课时安排：1课时
教学目标：
1、学生初步认识“鸡兔同笼”此类数学趣题
2、学生通过合作探究，能够运用“列表举例法”、“假设法”、列方程等方法解决“鸡兔同笼”此类问题。
课堂教学实录及点评
一、游戏激趣，巧妙导课
师：同学们，你好喜欢小动物吗？
生：喜欢!
师：请交流一下你喜欢的动物。
生：喜欢小狗、小兔、小鸡„„
师：谁上台来扮演兔与鸡。
学生兴致盎然，跃跃欲试。师随意让部分学生扮演。
师：三头六足。
学生随着教师的要求上台扮演。
师：有几只鸡？几只兔？
生：3只全是鸡，没有兔。
师： 3头8足
三个学生扮演：1学生把双手拎起做兔前腿状，其余学生垂手站立。台下学生明白：台上同学扮演的是1只兔，2只鸡。
师：5头10足、8头24足。（变换题型）
部分学生在讲台按教师的不同要求，进行不同的游戏，其它学生则在观看的同时，指出扮演同学的失误。
师：其实上述游戏蕴含着一类数学问题——“鸡兔同笼”问题。
师板书课题：“鸡兔同笼”
【点评】导课部分独具匠心，看似是扮演小动物游戏，实质是解决鸡兔同笼问题的智力热身活动，为鸡兔同笼问题的揭示做好了巧妙的铺垫。学生在此游戏活动中，初步感知了生活中的鸡兔同笼趣题，通过模拟知道了鸡、兔的头数与鸡、兔脚的只数之间的繁杂关系。游戏是小学生最喜爱的活动，扮演鸡兔活动一下子把学生带入了一个新奇的场景，学生带着期待进入新课。好的开端是成功的一半，这是教学过程中产生的第一个智力活动高潮。
二、尝试探究，妙揭算理。
师：“鸡兔同笼”问题是我国古代三大趣题之一，记载于《孙子算经》一书中，距今约有1500年。用课件出示：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”
师：这道题的意思就是：“笼子里有若干鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚，鸡兔各有几只？”同学们，这个问题你能解决吗？
生做思考后，均有疑惑不解状。
师：要解决这个问题，我们可以从简单的问题入手。课件出示：“笼子里有若干鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚，鸡兔各有几只？”请同学们尝试做这道题。
【点评】学生认知的规律是：由易到难。此题有效降低了问题的难度，为解决《孙子算经》中的较难“鸡兔同笼”问题搭好了桥，做了巧妙引领。
生尝试后做交流展示:
1、生甲（在讲台上便画图便讲解自己的算法）：我是用画图的方法等出来的。1只兔子有4只脚，1只鸡有2只脚。而它们的头一共有8只，所以我就尝试着画。结果尝试的结果是，兔子5只，鸡3只。（画图法）
师：很好，谁还有其它的方法。
【点评】生甲第一个用的画图法是打开其他学生发散思维的钥匙。画图法直观形象，对其他学生的启发作用很大。此法貌似画图法，其实质仍然是列举法。
2、生乙：我用8÷2=4。
师：等等。为什么用8÷2？
生乙：因为有8只头，我假设一半是鸡，一半是兔。所以用8÷2，结果是有4只鸡，4只兔。那么4只鸡8只脚，4只兔16只脚，一共是24只脚。题上要求是26只脚，所以鸡少算了1只。所以鸡应该是5只。
师：等等，为什么鸡少算了1只？
生乙：因为按照假设，有4只鸡，4只兔，一共是24只脚，题上要求是26只脚，与题的要求比，我少算了2只脚。1只鸡有2只脚，恰恰少算了1只鸡。所以应该给假设的4只鸡再加上1只，就是5只。（假设法）
生乙的算理说清楚了，可是大部分同学还是不明白，
【点评】生乙用的是假设法中的“尝试取中法”。思路非常清晰。老师两个“等等，为什么„„”环节处理的非常巧妙，欲扬先抑，既让学生说清了自己的算理，又让其他学生明白了假设法的关键步骤，此教学艺术值得赞许。不过此环节有一点遗憾：如果能够在学生说出为什么在假设中用“8÷2”的原因时，能够不失时机地点拨一句：“看来，假设时采用居中取数，则运算是最简便的。”就能起到画龙点睛的作用、可惜教者错失了此良机，学生最富智慧的思维火花就这样悄悄地熄灭了，如果让生乙的这点火花去点燃其他学生的思维火花，最后燃成熊熊大火，让生乙的创新思维更进一步，让其他学生明白“居中取数”的奥妙，教学的效果应该更好。看来教学真是遗憾的艺术。
3、师：我们用例举法来做一做。
师生共同探究鸡、兔的头数与脚的总数的关系，得出结论。
兔 8 7 6 5
鸡 0 1 2 3
脚 32 30 28 26
师：我们通过列举，也就是尝试的办法，得出了鸡有5只，兔有3只的答案。（列举法）
师：大家比较一下，用例举法与生甲的画图法比较，哪个更简便一些？
生通过比较，得出了例举法比画图法简便的结论。
【点评】列举法是学生最容易掌握的运算方法，虽然麻烦，但比较直观，它是掌握假设法的前提，本教学环节是下一教学环节的巧妙过渡。
4、生丙：
我假设8只全是兔。4×8=32.。（师在32后添加只脚）32－26=6（只脚）。（师：多了6只脚）。4－2=2（只脚）
师：为什么用4－2？
生丙：因为兔子多了，兔子有4只脚，鸡有2只脚。6÷2=3（只鸡）
师：等等，老师又不懂了！为什么用6÷2。
生丙：因为我多假设了兔，多了6只脚，这6只脚是鸡的。所以用6÷2=3（只鸡）
师：我还是没有听明白。请哪位同学给我再说说。
生丁自愿起来说清算理。
师故作明白状：哦—原来是多假设了兔的只数，所以多出来的脚应该是鸡的，所以要这样。
生丙继续：8－3=5（只）。因为兔子多算了3只，所以用8减去3等于5，答案是兔子有5只，鸡有3只。（假设法A）
【点评】假设法是本节课教学的难点。曾老师在突破教学难点方面给我们提供了一个成功的范例。她在学生丙讲述假设法A时，不疾不徐、环环相扣，层次剥笋，故布疑团，循循善诱，把学生丙的思考方法与过程准确无误地呈现在全体学生面前，在展示关键步骤时，她更是一位高超的导演，“我还是没有听明白。请哪位同学给我再说说。”把教者需要给学生重点强调的地方，假借学生的口再重点反馈给其他学生。师故作明白状：“哦—原来是多假设了兔的只数，所以多出来的脚应该是鸡的，所以要这样。”看似是教师的自言自语，其实是把此种方法的关键强调给学生，引起学生的注意。教师没有一句是在讲解，都是学生在思考展示、相互启发、自我教育。这就是曾老师的教学艺术！此处精要的提示与神来之笔的“自言自语”胜过教师的千万句提醒与讲解。
师：那么我们再来试一试。假设8只全是鸡，请同学们试着做。
生：8×2=16（只）脚
师：题意要求一共有26只脚。
生：26－16=10（只）脚。
师：少了10脚。那么少的是谁的脚呢？
生：少了兔的脚。
生：4－2=2（只）脚。10÷2=5（只）兔。
生：8－5=3（只）鸡。（假设法B）
【点评】通过生丙的讲解与老师的精要提示，大部分学生肯定已经初步掌握了假设法，但是所有的学生都准确掌握方法且明白算理，还需要一个强化的过程。所以此步骤就是对学生掌握运用假设法的再一次强化，让所有的学生都掌握方法，并明白算理。教师的用心可谓精深。
师：你们从以上两种假设法中发现了什么？
生戊：假设全是鸡，先得到兔子的只数。
生己：假鸡先得兔，假兔先得鸡。
师总结：假甲先得乙，假乙先得甲。
【点评】学生结合具体算法，先初步归纳总结出运用假设法解决鸡兔同笼问题的一般规律，教师再将之完善，归纳升华为运用解决决鸡兔同笼这一类问题的一般规律。此处教学可圈可点！
师：我刚才看到还有一个同学有不同的算法。
生庚：我是用方程的方法解的。
解：设有x只兔，则有（8－x）只鸡。
4x
师：别急！“4x”表示什么意思呀？指名一学生回答。
生庚继续：4x+2×（8－x）=26。
师：2×（8－x）表示什么意思呀？再指名一学生回答。请同学们检验方程成立吗？
学生通过检验，得出了方程成立的结论。生庚解方程并得出答案。
【点评】此处与处理假设法A的做法有异曲同工之妙。学生又轻而易举地掌握了解决鸡兔同笼问题的另一种方法—列方程。学生完全是教学地主体，教师是教学的引导者、点拨者。达到了不教而教的目的。老师应该留出时间，让学生说出其它所列方程。
三、巩固练习，顺利迁移。
1、师：请学生们用自己喜欢的方法解决《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题。
一学生上黑板演算。其它同学独立完成。
师（在学生运用假设法、例举法及列方程解决问题之后）：解决“鸡兔同笼”，哪种方法比较简便？
生：假设法和列方程比较简便，例举法比较麻烦。
【点评】与教学最初设置的悬念遥相呼应，在学生进一步运用学习的新方法解决问题后，引导学生通过比较，找出最简便的解决问题的方法，这是曾老师教学的又一精彩之笔。用最简单的方法解决数学问题，永远是数学教学的真谛。
2、拓展：
师：我国古代的“鸡兔同笼”问题流传到日本，就演变成了“龟鹤同笼”问题。课件出示一龟兔同笼问题。启发学生“龟”相当于“兔”，“鹤”相当于“鸡”。学生独立练习。
师（在学生全部得出完成后）：其实，我们月河当地生活中也有很多类似的“鸡兔同笼”问题。相继用课件出示：
⑴板凳木马三十三，一百条腿地上站，板凳木马各几何。
⑵一对猎手一对狗，两队并成一对走，数头一共三百六，数足一共八百九。多少猎手多少狗？
师让学生观察，这两个问题与前面的鸡兔同笼、龟鹤同笼问题有什么不同。做题的思路是什么。在学生有了充分的思考后，让学生课后练习此两题。
【点评】学习的目的是为了应用。此环节有两个妙处：一是让数学知识来源于生活，又运用于生活，提高学生的应用能力与学习数学的兴趣；二是让学生能够认识“鸡兔同笼”这一类问题，掌握“鸡兔同笼”问题的变式，达到举一反三的目的。
【听课后记】2010年1月5日，我在月河中心小学进行优质课验收时，有幸听了被誉为“月河才女”的曾庆玲老师的这节数学广角—“鸡兔同笼”课程。这节课是探究活动课，我在其它地方也听了这节课，觉得这节课教学难度很大，教师不容易上成功。曾庆玲老师的这节课的成功让我出乎意料，深受启发。整节课都是学生在紧紧张张地进行探究活动，老师在课堂中巧妙启发、适时点拨，相机诱导。一节课学生探究解决问题的方法比教材中提供列举的方法还要多，师生在很轻松地完成了探究任务的同时，似乎还不满足，还在游刃有余地探究日本的“金鸡独立”解法。这是我听到的成功的数学探究课之一。
曾庆玲老师是一位善于思考、有思想的数学老师，在教后反思时她说：“本节课给我最深的感受是：充分的课前准备、恰到好处的点拨引导、广阔的探究空间、学生创新性的灵动思维，是上好一节探究活动课的关键。”她富有哲理的反思也许能给我们数学老师开展探究活动以崭新的启迪。
我觉得这节课是活动探究课的成功范例，所以将其实录下来供大家参考，希望能够对全县数学老师的探究活动课有所帮助。由于自己在数学教研方面是个外行，所谓的“点评”可能是乱点乱评。有不妥之处敬请数学老师及曾庆玲批评指正。