再谈椭圆及其标准方程的教学
郑新春
）（北京丰台二中 １０００７１
１ 问题提出
椭圆是解析几何中最重要的概念之一，长期以来，针对它的教学，同行们进行了深入的研究，很多文献对我们都有重要的启示意义，但仍然还存在一些问题不尽人意．
首先是椭圆情境的创设，大多只注重椭圆外
１］
，观察装形的直观，例如，观察圆锥的截面形状［２］，想象圆有水的圆柱形水杯倾斜后水面的形状［
［３］４］
，等等，被压扁后的形状［难以让学生触及椭圆
不够连贯，不能一气呵成．
针对这些问题，笔者在同行研究的基础上，对椭圆教学进行了大胆的改进，即引领学生课前探究动点轨迹，课上操作引出椭圆定义；然后充分调动学生的几何直觉，合理建立坐标系，设出特殊点的坐标，并反复利用椭圆定义，顺利解决了方程建立及化简中的上述问题，不仅取得了理想的教学效果，还为双曲线、抛物线的教学奠定了坚实基础．２ 教学实践
２．１ 椭圆定义的引出
为课上研究奠基２．１．１ 课前探究，
（见人教Ａ版３在学习了“４２．１曲线与方程”页）之后，笔者给学生留了如下两个问题，作为探究作业：
定点Ｆ问题１ 在平面内，已知定点Ｆ１，２和动点Ｍ．
则动点Ｍ的轨迹是ＭＦ１｜＝｜ＭＦ２｜，①若｜
什么？
则动点Ｍ的轨迹是ＭＦ１｜＝２ＭＦ２｜，｜②若｜
什么？
问题２ 改变题１中的条件，探究动点的轨，尝迹．请将改变后的条件写出来（至少写出三组）试探究你所给的每一组条件下的动点轨迹（可以用Ｇ或建立动点轨迹的方程．ｅｏｅｂｒａ软件）ｇ
浏览学生作业，发现对于问题１中的①，学生可从已有的几何经验中知道点Ｍ的轨迹为线段对于②，学生对阿婆罗尼斯圆ＡＢ的垂直平分线；知之甚少，但不少人通过求轨迹方程，发现点Ｍ的轨迹是圆．对于问题２的解答，同学间差异较大，现把大家改变后的条件归纳如下：
（）定点Ｆ且在平面内，定点Ｆ１１，２和动点Ｍ，
本质，使随后按定义画椭圆的教学，有从天而降的感觉．有的老师试图矫正这一弊端，通过折纸得椭
２］
，但知情者明白，圆，进而分析其中的几何关系［
这仅是教师利用椭圆定义玩的一个游戏而已，学生却必生“为什么要如此折纸”的困惑．更有甚者，
２］
，本意还有的老师利用丹德林球发现椭圆定义［
甚好，把椭圆情境创设与定义揭示融为一体，但这“奇巧”的发现，却往往不符合大多学生的思维起点，除了生拉硬拽，几乎别无它途．
其次是在获得椭圆的定义之后，为什么要将有通过说明设动点到两定点的距离之和设为２ａ．
［］
但要让学生真而需修正为２为ａ不方便，ａ的１，
正体会到不方便，需要亲自化简方程，这冗长、繁复的运演，囿于课堂时空，委实得不偿失．有通过演示“动点到两定点距离相等时的状态”而得到
４］
，，但更多“必然对“的［距离不等的时刻”常数为
的设法形成干扰．ａ”２
２２２
所见文献的再次是为什么要令ｂ＝ａ－ｃ．
处理方式基本相同，即在推导出椭圆的方程为
２２
，２＋２２＝１之后引导学生观察动点运动到ａａ－ｃ
椭圆与ｙ轴的交点时，利用直角三角形中的勾股定理得到，但这被迫的节外生枝，使整个教学过程
ＭＦ１ＭＦ２｜＋｜｜＝常数；｜
（）在平面内，定点Ｆ且定点Ｆ２１，２和动点Ｍ，
能保证画出椭圆”的追问下，学生一句“让绳长松一点”的生活用语，揭示了椭圆定义．于是，随着教“平面内，师一句句步步紧逼的追问，到两定点的距离之和是常数，且大于两定点间距离的动点轨迹是椭圆”由学生顺利概括，甚至“到两定点的距离之和等于两定点间的距离时，动点轨迹是线段小于两定点间的距离时，不存在任何轨Ｆ１Ｆ２，
，这两个相对绕口的问题也轻松化解．迹”
随后，教师展示一组椭圆形状的ＰＰＴ图片，包括椭圆形菜盘、首饰、商标、建筑、天体运行轨道等，请同学们直观感知，在自然界、生活、生产、科研中，椭圆的重要地位，以帮助产生进一步研究椭圆的心理需求．２．２ 椭圆方程的建立
此教学环节，是椭圆教学的核心，也体现了我们着意设计．为方便读者了解课堂原貌，我们将行文改为实录方式．
初探椭圆性质２．２．１ 操作确认，
问题１ 在画椭圆的过程中，你发现了椭圆的哪些几何性质？
生：轴对称，中心对称．
师：对称轴又是什么？对称中心是什么？生：对称轴是直线ＦＦ２和线段Ｆ１Ｆ２的垂直１
（师生在平分线，对称中心是线段ＦＦ２的中点．１黑板上的“椭圆”中画出这两条对称轴，标出对称）中心，如图３．
ＭＦ１ＭＦ２｜｜－｜｜＝常数；
（）定点Ｆ且在平面内，定点Ｆ３１，２和动点Ｍ，ＭＦ１ＭＦ２｜｜＝常数；｜｜（）定点Ｆ且在平面内，定点Ｆ４１，２和动点Ｍ，ＭＦ１常数；＝ＭＦ２｜｜
（）定直线ｌ和动点Ｍ，且在平面内，定点Ｆ，５
ＭＦ｜＋ｄＭ－ｌ＝常数；｜
（）定直线ｌ和动点Ｍ，且在平面内，定点Ｆ，６常数。＝ｄＭ－ｌ
……
应该说，同学们能在问题１的启发下，对问题是令人惊喜的，因为上述情形已２做出上述解答，
然涉及到了椭圆、双曲线、抛物线等曲线的本质。虽然很少有人画出自己所给条件的动点轨迹，即使有学生建立了动点轨迹方程，一般也没能化简，但经历了这个过程，已经为进一步的学习研究，奠定了预期的心理基础．特别是教师以欣赏的口吻，在上课伊始，用ＰＰＴ展示了同学们的课前成果，共享之余，大家纷纷跃跃欲试，兴趣盎然，一致同意先从探究“平面内，满足｜ＭＦ１ＭＦ２｜＋｜｜＝常数的点Ｍ的轨迹”开始．
直觉椭圆本质２．１．２ 先画后展，
在教师的引导下，学生利用所带的道具（纸板或木板，图钉，细线，笔等）按照“动点到两定点的距离之和为常数”画动点的轨迹．他们的画法有两，二是类，一是｜如图１）ＭＦ１｜＋｜ＭＦ２｜为绳长（如图２）后者ＭＦ１ＭＦ２｜＋｜Ｆ１Ｆ２｜为绳长（．｜＋｜｜
进行了适当的转化，比较容易操作，可以一笔画成，前者需要先画直线Ｆ再画Ｆ２上方的半部分，１直线ＦＦ２下方的半部分
．１
图３
师：以后我们称Ｆ还有Ｆ２为椭圆的焦点，１，其它性质吗？
（）默然无语．生：
师：如果想知道更多的性质，怎么办？生：建立方程，从方程的角度研究．
图２
图１
推导椭圆方程２．２．２ 建系设点，
问题２ 怎样建立椭圆的方程？
生：建立直角坐标系，设相关点的坐标，找到等量关系，用坐标表示等量关系，化简，最后说明
有趣的是，学生对椭圆的形状并不陌生，问及形状时，都认为自己所画为椭圆．在教师“怎样才
２３
以方程的解为坐标的点都在椭圆上．
师：怎样建立直角坐标系？
数学通报 ２０１５年 第５４卷 第２期
是直角三角形，Ｂ２Ｆ１｜＝｜Ｂ２Ｆ２｜＝ａ，Ｂ２Ｏｂ，｜｜＝｜
２２２
由勾股定理可得ｂＯｃ，＋ｃ＝ａ．Ｆ２｜＝｜
这一段对话，反复运用椭圆的定义，自然地发２２２
，使得将焦现｜ＭＦ１ＭＦ２｜＝２ａ和ｂ＋ｃ＝ａ｜＋｜
“水到渠成，距离和等于２距设为２为方程的ｃ，ａ”
线段Ｆ生：以直线ＦＦ２为ｘ轴，Ｆ２的中垂１１
线为ｙ轴；
师：怎么设点？
，（，动点生：设ＦＦ２（ｃ，ｃ＞０）－ｃ，０）０）１（（）
如图４Ｍ（ｘ，．ｙ）
建立及化简设下了伏笔，然后督促同学们据此建立并化简椭圆的方程．
学生活动：全体学生动笔写出方程并化简，请一学生板演．（在前一节课已涉及
２２２２
ｘ＋３＋ｘ－３＋０化简策略ｙ＋ｙ＝１的讨论，此时只需巡视，对有困难的学生进行必要）的指导即可．
２
全班学生化简结果有三种情形，一是（ａ－２２
２２２２２２ ２
）（），，二是ｃｘ＋ａ＝ａａ－ｃ＋ｙ２２２＝１ａａ－ｃ２２
三是２＋２＝１．ａｂ
：师（问得第三种结果的学生）你化简的结果
图４
师：还有哪些点值得关注？生：椭圆与坐标轴的交点．
师：椭圆与坐标轴的交点坐标怎么设？，，，生：Ａ１（Ａ２（ａ，Ｂ１（ｂ）Ｂ２（－ａ，０）０）０，－０，）（（）如图４ｂ）ａ＞０，ｂ＞０．
师：Ａ１Ｆ１Ａ１Ｆ２｜＋｜｜＝？｜生：是２ａ，
师：为什么？
生：因为｜Ａ１ＦＡ１Ｆ２｜＝｜Ａ１Ｆ１｜＋１｜＋｜而｜Ａ１ＯＯＯＯＦ２Ｆ２Ｆ１｜｜＋｜｜，｜＝｜｜，
所以｜Ａ１Ｆ１Ａ１Ｆ２｜＝｜Ａ１Ｆ１｜＋｜Ａ１Ｏ｜＋｜｜＋
为什么与前两者不同？
２２２２
，也就是ａ生：刚才讨论到了ａ＝ｂ＋ｃ－２２２２２
，只要把ａ用ｂ替换即可．ｃ＝ｂ－ｃ最后，引导学生注意以化简后方程的解为坐
标的点都在椭圆上，旋即得到焦点在ｘ轴上的椭
２
２）（圆的方程ａ＞ｂ＞０．１２＋２＝ａｂ
椭圆方程各异２．２．３ 建系不同，
问题３ 如果我们建立直角坐标系时，让直线段Ｆ线ＦＦ２为ｙ轴，Ｆ２的垂直平分线为ｘ轴１１建立直角坐标系，那么得到的方程是怎样的呢？
引导学生发现整个推导过程只不过是将ｘ，ｙ的位置进行了交换而已，于是，得到焦点在ｙ轴上
２２
）（的椭圆的方程２＋２＝１ａ＞ｂ＞０．ｂａ
师：焦点在ｘ轴上和焦点在ｙ轴上的方程有
ＯＡ１Ｏａ．Ｆ１｜＝２｜＝２｜｜
师：ＡＦＡＦＢＦＢＦ＋＝？＝？｜｜｜｜｜｜＋｜｜２１２２１１１２＋＝？＋＝？ＢＦＢＦＭＦＭＦ｜｜｜｜｜｜｜｜２１２２１２生：都是２ａ，
师：为什么？
生：因为椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和都相等．
））（，，总结性的）我们设Ａ１（师：ａ，Ａ２（ａ，－００竟得到椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和这是一个非常有意义的发现。进一是常数２ａ，步，我们设出的相关点的坐标，涉及三个正数ａ，它们之间有怎样的数量关系？ｂ，ｃ，
２２２
生：ａ＝ｂ＋ｃ．
师：为什么？
（七嘴八舌，生：给出代表性意见）Ｆ２△Ｂ２Ｏ
何不同？
生：焦点在ｘ轴上时，焦点在ｙｘ的分母大，轴上时，ｙ的分母大．
师：好，这是一个很直观的记忆方法．但有一点值得注意，如果不取椭圆的对称轴作为坐标轴，我们依然可以根据椭圆定义，得到不同的方程，显
２２２
，，然要复杂的多所以我们称２＋２＝１或２＋ａｂｂ
２０１５年 第５４卷 第２期 数学通报
３３
按照教材的编排，我们研究椭圆往往沿着“定
）（为椭圆的标准方程．ａ＞ｂ＞０１２＝ａ
２．３ 椭圆定义及其标准方程的应用
点Ａ例 已知Ｂ，Ｃ是两个定点，ＢＣ｜＝６，｜是动点，求顶点Ａ的轨迹且△ＡＢＣ的周长为１６，方程．
所以生：我发现｜ＡＡＢＢＣ０＞｜Ｃ｜＋｜｜＝１｜，点Ａ的轨迹是以｜如果Ｂ、ＢＣＣ｜为焦点的椭圆，
２２在ｘ轴上，如果Ｂ、则其方程为＋＝１，Ｃ在ｙ
２５１６２２
轴上，则其方程为＋＝１．１６２５
师：还有补充吗？
２
义—方程—性质”的顺序展开，所以很多老师都在根据定义画出椭圆图形后，迅速转入建系、设点、方程的推导，而我们立足已有成果，根据图形，让学生直观感知椭圆对称性的存在，继而根据定义，甚至反复运用定义，使学生发现椭圆与ｘ轴交点，使间的距离即为“椭圆上点到两焦点距离之和”
２２
、得为什么设“为什么要令“常数为２ａ”ｂ＝ａ－２
”这样长期困扰于心的问题，一招破解．ｃ
椭圆方程的化简，对于学生而言是困难的，但
不管怎么困难，教师也不可越俎代庖．为了突破这个难点，我们在曲线与方程的教学过程中，引导学生讨论了文中提到方程的化简策略，并进行了实际操作．在课堂上，督促学生运用既有策略进行独立的推导化简，通过巡视，指导仍有困难者，训练学生的代数运算能力．相信多数教师都会这样做，之所以笔者还要谈，是因为学生在日后的课程中，面临这样的困难将成为常态，此处的训练对于增强学生的自信和毅力有着重要的意义．
也许，我们的教学过程，没有拘泥于教材，没有完全遵循数学发展史，但难能可贵的是，我们充分尊重了学生的认知心理和认知规律，使一切教学活动服从于知识的合理延伸，服务于学生思维，更返璞的步步深入．这样做，也许更“接地气”归真．
参考文献
，———以《“方能“椭圆及其标准自然生成”优质高效”１ 高伟洪．
］方程》一课为例［教育研究与评论·中学教育教学，０１４，２Ｊ．２基于范希尔几何水平理论的“椭圆及标准方程”教学２ 贺明荣．
，］设计［中小学数学（高中）０１４，４２Ｊ．
——以“椭圆的概念及标准沈亚．研究教材用好教材—３ 俞永锋，
，］方程”课为例［中学教研（数学）０１４，１０２Ｊ．
］椭圆定义教学实践与思考［数学通报，０１１，１０４ 李振雷．２Ｊ．“章建跃．椭圆及其标准方程”课堂实录、反思与点评５ 宫海静，
，［］中小学数学（高中）０１３，１１２Ｊ．
］谈课堂教学中“逻辑链”与“思维链”的契合［数学６ 连春兴．Ｊ．
通报，０１１，５２
苏］维果茨基．思维与语言［李维译．杭州：浙江教育出７ ［Ｍ］．
版社，９９７１
学科教育心理［北京：北京师范大学出版社，Ｍ］．８ 齐建芳．
０１２，１０２
（焦点多数学生）生：焦点在ｘ轴上时，ｘ≠０；在ｙ轴上时，ｙ≠０．
师：我们是要写出两个来呢，还是只写一个就行了？
学生有两种意见．
缺少两点的椭圆）依题设师：顶点Ａ的轨迹（而定，不依坐标系位置不同而改变，所以，通常我们只需选Ｂ、Ｃ所在直线为ｘ轴，ＢＣ的中垂线为写出一个标准方程即可，但要注意格式，要ｙ轴，
２２２２
所以ａ说明２ａ＝１ｃ＝６，＝２ｂ＝ａ－ｃ＝０，２５，
２２
）（所以顶点Ａ的轨迹方程为＋＝１１．６．ｙ≠０２５１６
最后引导学生从知识、技能、思想方法等方面
进行总结，在总结交流中结束本课．３ 课后反思
任何概念的学习，如有可能，我们当然希望学生在问题情境中，在解决问题的过程中，成为催生新知的主力军．限于椭圆概念的特殊性，我们对问题情境的创设，一反源于生产实际的惯例，而是让学生在改变动点运动变化条件的探究中产生，实现了由学生催生新知的初衷．
特别是，学生在不知满足“ＭＡＭＢ｜＋｜｜＝｜常数的点的轨迹”是椭圆的情况下，画出椭圆轨迹，完全是意外的惊喜．与课堂伊始就展示椭圆形象的传统做法相比，我们在教学中，采用根据定义“先画后展”的处理方式，突显了知识主题，符合学生认知规律，推动了课堂发展，优化了课堂用时，是一目了然的收获．
再谈椭圆及其标准方程的教学
郑新春
）（北京丰台二中 １０００７１
１ 问题提出
椭圆是解析几何中最重要的概念之一，长期以来，针对它的教学，同行们进行了深入的研究，很多文献对我们都有重要的启示意义，但仍然还存在一些问题不尽人意．
首先是椭圆情境的创设，大多只注重椭圆外
１］
，观察装形的直观，例如，观察圆锥的截面形状［２］，想象圆有水的圆柱形水杯倾斜后水面的形状［
［３］４］
，等等，被压扁后的形状［难以让学生触及椭圆
不够连贯，不能一气呵成．
针对这些问题，笔者在同行研究的基础上，对椭圆教学进行了大胆的改进，即引领学生课前探究动点轨迹，课上操作引出椭圆定义；然后充分调动学生的几何直觉，合理建立坐标系，设出特殊点的坐标，并反复利用椭圆定义，顺利解决了方程建立及化简中的上述问题，不仅取得了理想的教学效果，还为双曲线、抛物线的教学奠定了坚实基础．２ 教学实践
２．１ 椭圆定义的引出
为课上研究奠基２．１．１ 课前探究，
（见人教Ａ版３在学习了“４２．１曲线与方程”页）之后，笔者给学生留了如下两个问题，作为探究作业：
定点Ｆ问题１ 在平面内，已知定点Ｆ１，２和动点Ｍ．
则动点Ｍ的轨迹是ＭＦ１｜＝｜ＭＦ２｜，①若｜
什么？
则动点Ｍ的轨迹是ＭＦ１｜＝２ＭＦ２｜，｜②若｜
什么？
问题２ 改变题１中的条件，探究动点的轨，尝迹．请将改变后的条件写出来（至少写出三组）试探究你所给的每一组条件下的动点轨迹（可以用Ｇ或建立动点轨迹的方程．ｅｏｅｂｒａ软件）ｇ
浏览学生作业，发现对于问题１中的①，学生可从已有的几何经验中知道点Ｍ的轨迹为线段对于②，学生对阿婆罗尼斯圆ＡＢ的垂直平分线；知之甚少，但不少人通过求轨迹方程，发现点Ｍ的轨迹是圆．对于问题２的解答，同学间差异较大，现把大家改变后的条件归纳如下：
（）定点Ｆ且在平面内，定点Ｆ１１，２和动点Ｍ，
本质，使随后按定义画椭圆的教学，有从天而降的感觉．有的老师试图矫正这一弊端，通过折纸得椭
２］
，但知情者明白，圆，进而分析其中的几何关系［
这仅是教师利用椭圆定义玩的一个游戏而已，学生却必生“为什么要如此折纸”的困惑．更有甚者，
２］
，本意还有的老师利用丹德林球发现椭圆定义［
甚好，把椭圆情境创设与定义揭示融为一体，但这“奇巧”的发现，却往往不符合大多学生的思维起点，除了生拉硬拽，几乎别无它途．
其次是在获得椭圆的定义之后，为什么要将有通过说明设动点到两定点的距离之和设为２ａ．
［］
但要让学生真而需修正为２为ａ不方便，ａ的１，
正体会到不方便，需要亲自化简方程，这冗长、繁复的运演，囿于课堂时空，委实得不偿失．有通过演示“动点到两定点距离相等时的状态”而得到
４］
，，但更多“必然对“的［距离不等的时刻”常数为
的设法形成干扰．ａ”２
２２２
所见文献的再次是为什么要令ｂ＝ａ－ｃ．
处理方式基本相同，即在推导出椭圆的方程为
２２
，２＋２２＝１之后引导学生观察动点运动到ａａ－ｃ
椭圆与ｙ轴的交点时，利用直角三角形中的勾股定理得到，但这被迫的节外生枝，使整个教学过程
ＭＦ１ＭＦ２｜＋｜｜＝常数；｜
（）在平面内，定点Ｆ且定点Ｆ２１，２和动点Ｍ，
能保证画出椭圆”的追问下，学生一句“让绳长松一点”的生活用语，揭示了椭圆定义．于是，随着教“平面内，师一句句步步紧逼的追问，到两定点的距离之和是常数，且大于两定点间距离的动点轨迹是椭圆”由学生顺利概括，甚至“到两定点的距离之和等于两定点间的距离时，动点轨迹是线段小于两定点间的距离时，不存在任何轨Ｆ１Ｆ２，
，这两个相对绕口的问题也轻松化解．迹”
随后，教师展示一组椭圆形状的ＰＰＴ图片，包括椭圆形菜盘、首饰、商标、建筑、天体运行轨道等，请同学们直观感知，在自然界、生活、生产、科研中，椭圆的重要地位，以帮助产生进一步研究椭圆的心理需求．２．２ 椭圆方程的建立
此教学环节，是椭圆教学的核心，也体现了我们着意设计．为方便读者了解课堂原貌，我们将行文改为实录方式．
初探椭圆性质２．２．１ 操作确认，
问题１ 在画椭圆的过程中，你发现了椭圆的哪些几何性质？
生：轴对称，中心对称．
师：对称轴又是什么？对称中心是什么？生：对称轴是直线ＦＦ２和线段Ｆ１Ｆ２的垂直１
（师生在平分线，对称中心是线段ＦＦ２的中点．１黑板上的“椭圆”中画出这两条对称轴，标出对称）中心，如图３．
ＭＦ１ＭＦ２｜｜－｜｜＝常数；
（）定点Ｆ且在平面内，定点Ｆ３１，２和动点Ｍ，ＭＦ１ＭＦ２｜｜＝常数；｜｜（）定点Ｆ且在平面内，定点Ｆ４１，２和动点Ｍ，ＭＦ１常数；＝ＭＦ２｜｜
（）定直线ｌ和动点Ｍ，且在平面内，定点Ｆ，５
ＭＦ｜＋ｄＭ－ｌ＝常数；｜
（）定直线ｌ和动点Ｍ，且在平面内，定点Ｆ，６常数。＝ｄＭ－ｌ
……
应该说，同学们能在问题１的启发下，对问题是令人惊喜的，因为上述情形已２做出上述解答，
然涉及到了椭圆、双曲线、抛物线等曲线的本质。虽然很少有人画出自己所给条件的动点轨迹，即使有学生建立了动点轨迹方程，一般也没能化简，但经历了这个过程，已经为进一步的学习研究，奠定了预期的心理基础．特别是教师以欣赏的口吻，在上课伊始，用ＰＰＴ展示了同学们的课前成果，共享之余，大家纷纷跃跃欲试，兴趣盎然，一致同意先从探究“平面内，满足｜ＭＦ１ＭＦ２｜＋｜｜＝常数的点Ｍ的轨迹”开始．
直觉椭圆本质２．１．２ 先画后展，
在教师的引导下，学生利用所带的道具（纸板或木板，图钉，细线，笔等）按照“动点到两定点的距离之和为常数”画动点的轨迹．他们的画法有两，二是类，一是｜如图１）ＭＦ１｜＋｜ＭＦ２｜为绳长（如图２）后者ＭＦ１ＭＦ２｜＋｜Ｆ１Ｆ２｜为绳长（．｜＋｜｜
进行了适当的转化，比较容易操作，可以一笔画成，前者需要先画直线Ｆ再画Ｆ２上方的半部分，１直线ＦＦ２下方的半部分
．１
图３
师：以后我们称Ｆ还有Ｆ２为椭圆的焦点，１，其它性质吗？
（）默然无语．生：
师：如果想知道更多的性质，怎么办？生：建立方程，从方程的角度研究．
图２
图１
推导椭圆方程２．２．２ 建系设点，
问题２ 怎样建立椭圆的方程？
生：建立直角坐标系，设相关点的坐标，找到等量关系，用坐标表示等量关系，化简，最后说明
有趣的是，学生对椭圆的形状并不陌生，问及形状时，都认为自己所画为椭圆．在教师“怎样才
２３
以方程的解为坐标的点都在椭圆上．
师：怎样建立直角坐标系？
数学通报 ２０１５年 第５４卷 第２期
是直角三角形，Ｂ２Ｆ１｜＝｜Ｂ２Ｆ２｜＝ａ，Ｂ２Ｏｂ，｜｜＝｜
２２２
由勾股定理可得ｂＯｃ，＋ｃ＝ａ．Ｆ２｜＝｜
这一段对话，反复运用椭圆的定义，自然地发２２２
，使得将焦现｜ＭＦ１ＭＦ２｜＝２ａ和ｂ＋ｃ＝ａ｜＋｜
“水到渠成，距离和等于２距设为２为方程的ｃ，ａ”
线段Ｆ生：以直线ＦＦ２为ｘ轴，Ｆ２的中垂１１
线为ｙ轴；
师：怎么设点？
，（，动点生：设ＦＦ２（ｃ，ｃ＞０）－ｃ，０）０）１（（）
如图４Ｍ（ｘ，．ｙ）
建立及化简设下了伏笔，然后督促同学们据此建立并化简椭圆的方程．
学生活动：全体学生动笔写出方程并化简，请一学生板演．（在前一节课已涉及
２２２２
ｘ＋３＋ｘ－３＋０化简策略ｙ＋ｙ＝１的讨论，此时只需巡视，对有困难的学生进行必要）的指导即可．
２
全班学生化简结果有三种情形，一是（ａ－２２
２２２２２２ ２
）（），，二是ｃｘ＋ａ＝ａａ－ｃ＋ｙ２２２＝１ａａ－ｃ２２
三是２＋２＝１．ａｂ
：师（问得第三种结果的学生）你化简的结果
图４
师：还有哪些点值得关注？生：椭圆与坐标轴的交点．
师：椭圆与坐标轴的交点坐标怎么设？，，，生：Ａ１（Ａ２（ａ，Ｂ１（ｂ）Ｂ２（－ａ，０）０）０，－０，）（（）如图４ｂ）ａ＞０，ｂ＞０．
师：Ａ１Ｆ１Ａ１Ｆ２｜＋｜｜＝？｜生：是２ａ，
师：为什么？
生：因为｜Ａ１ＦＡ１Ｆ２｜＝｜Ａ１Ｆ１｜＋１｜＋｜而｜Ａ１ＯＯＯＯＦ２Ｆ２Ｆ１｜｜＋｜｜，｜＝｜｜，
所以｜Ａ１Ｆ１Ａ１Ｆ２｜＝｜Ａ１Ｆ１｜＋｜Ａ１Ｏ｜＋｜｜＋
为什么与前两者不同？
２２２２
，也就是ａ生：刚才讨论到了ａ＝ｂ＋ｃ－２２２２２
，只要把ａ用ｂ替换即可．ｃ＝ｂ－ｃ最后，引导学生注意以化简后方程的解为坐
标的点都在椭圆上，旋即得到焦点在ｘ轴上的椭
２
２）（圆的方程ａ＞ｂ＞０．１２＋２＝ａｂ
椭圆方程各异２．２．３ 建系不同，
问题３ 如果我们建立直角坐标系时，让直线段Ｆ线ＦＦ２为ｙ轴，Ｆ２的垂直平分线为ｘ轴１１建立直角坐标系，那么得到的方程是怎样的呢？
引导学生发现整个推导过程只不过是将ｘ，ｙ的位置进行了交换而已，于是，得到焦点在ｙ轴上
２２
）（的椭圆的方程２＋２＝１ａ＞ｂ＞０．ｂａ
师：焦点在ｘ轴上和焦点在ｙ轴上的方程有
ＯＡ１Ｏａ．Ｆ１｜＝２｜＝２｜｜
师：ＡＦＡＦＢＦＢＦ＋＝？＝？｜｜｜｜｜｜＋｜｜２１２２１１１２＋＝？＋＝？ＢＦＢＦＭＦＭＦ｜｜｜｜｜｜｜｜２１２２１２生：都是２ａ，
师：为什么？
生：因为椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和都相等．
））（，，总结性的）我们设Ａ１（师：ａ，Ａ２（ａ，－００竟得到椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和这是一个非常有意义的发现。进一是常数２ａ，步，我们设出的相关点的坐标，涉及三个正数ａ，它们之间有怎样的数量关系？ｂ，ｃ，
２２２
生：ａ＝ｂ＋ｃ．
师：为什么？
（七嘴八舌，生：给出代表性意见）Ｆ２△Ｂ２Ｏ
何不同？
生：焦点在ｘ轴上时，焦点在ｙｘ的分母大，轴上时，ｙ的分母大．
师：好，这是一个很直观的记忆方法．但有一点值得注意，如果不取椭圆的对称轴作为坐标轴，我们依然可以根据椭圆定义，得到不同的方程，显
２２２
，，然要复杂的多所以我们称２＋２＝１或２＋ａｂｂ
２０１５年 第５４卷 第２期 数学通报
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按照教材的编排，我们研究椭圆往往沿着“定
）（为椭圆的标准方程．ａ＞ｂ＞０１２＝ａ
２．３ 椭圆定义及其标准方程的应用
点Ａ例 已知Ｂ，Ｃ是两个定点，ＢＣ｜＝６，｜是动点，求顶点Ａ的轨迹且△ＡＢＣ的周长为１６，方程．
所以生：我发现｜ＡＡＢＢＣ０＞｜Ｃ｜＋｜｜＝１｜，点Ａ的轨迹是以｜如果Ｂ、ＢＣＣ｜为焦点的椭圆，
２２在ｘ轴上，如果Ｂ、则其方程为＋＝１，Ｃ在ｙ
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轴上，则其方程为＋＝１．１６２５
师：还有补充吗？
２
义—方程—性质”的顺序展开，所以很多老师都在根据定义画出椭圆图形后，迅速转入建系、设点、方程的推导，而我们立足已有成果，根据图形，让学生直观感知椭圆对称性的存在，继而根据定义，甚至反复运用定义，使学生发现椭圆与ｘ轴交点，使间的距离即为“椭圆上点到两焦点距离之和”
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、得为什么设“为什么要令“常数为２ａ”ｂ＝ａ－２
”这样长期困扰于心的问题，一招破解．ｃ
椭圆方程的化简，对于学生而言是困难的，但
不管怎么困难，教师也不可越俎代庖．为了突破这个难点，我们在曲线与方程的教学过程中，引导学生讨论了文中提到方程的化简策略，并进行了实际操作．在课堂上，督促学生运用既有策略进行独立的推导化简，通过巡视，指导仍有困难者，训练学生的代数运算能力．相信多数教师都会这样做，之所以笔者还要谈，是因为学生在日后的课程中，面临这样的困难将成为常态，此处的训练对于增强学生的自信和毅力有着重要的意义．
也许，我们的教学过程，没有拘泥于教材，没有完全遵循数学发展史，但难能可贵的是，我们充分尊重了学生的认知心理和认知规律，使一切教学活动服从于知识的合理延伸，服务于学生思维，更返璞的步步深入．这样做，也许更“接地气”归真．
参考文献
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，］设计［中小学数学（高中）０１４，４２Ｊ．
——以“椭圆的概念及标准沈亚．研究教材用好教材—３ 俞永锋，
，］方程”课为例［中学教研（数学）０１４，１０２Ｊ．
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］谈课堂教学中“逻辑链”与“思维链”的契合［数学６ 连春兴．Ｊ．
通报，０１１，５２
苏］维果茨基．思维与语言［李维译．杭州：浙江教育出７ ［Ｍ］．
版社，９９７１
学科教育心理［北京：北京师范大学出版社，Ｍ］．８ 齐建芳．
０１２，１０２
（焦点多数学生）生：焦点在ｘ轴上时，ｘ≠０；在ｙ轴上时，ｙ≠０．
师：我们是要写出两个来呢，还是只写一个就行了？
学生有两种意见．
缺少两点的椭圆）依题设师：顶点Ａ的轨迹（而定，不依坐标系位置不同而改变，所以，通常我们只需选Ｂ、Ｃ所在直线为ｘ轴，ＢＣ的中垂线为写出一个标准方程即可，但要注意格式，要ｙ轴，
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所以ａ说明２ａ＝１ｃ＝６，＝２ｂ＝ａ－ｃ＝０，２５，
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）（所以顶点Ａ的轨迹方程为＋＝１１．６．ｙ≠０２５１６
最后引导学生从知识、技能、思想方法等方面
进行总结，在总结交流中结束本课．３ 课后反思
任何概念的学习，如有可能，我们当然希望学生在问题情境中，在解决问题的过程中，成为催生新知的主力军．限于椭圆概念的特殊性，我们对问题情境的创设，一反源于生产实际的惯例，而是让学生在改变动点运动变化条件的探究中产生，实现了由学生催生新知的初衷．
特别是，学生在不知满足“ＭＡＭＢ｜＋｜｜＝｜常数的点的轨迹”是椭圆的情况下，画出椭圆轨迹，完全是意外的惊喜．与课堂伊始就展示椭圆形象的传统做法相比，我们在教学中，采用根据定义“先画后展”的处理方式，突显了知识主题，符合学生认知规律，推动了课堂发展，优化了课堂用时，是一目了然的收获．