山东卷历年高考圆锥曲线部分汇总
13、 设O 是坐标原点，F 是抛物线y =2px (p >0) 的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角
︒
为60，则OA 为________.
2
【2007年】
【答案】
:
：过A 作AD ⊥x 轴于D ，令FD =m ，则FA =2m ，p +m =2m ，m =
p 。p 【分析】
2
∴OA ==p .
2
15、与直线x +y -2=0和曲线x +y -12x -12y +54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是_________. 【答案】:. (x -2) +(y -2) =2【分析】：曲线化为(x -6) +(y -6) =18，其圆心到直线x +y -2=0的距
离为d =
2
2
2
2
2
2
22
准方程为(x -2) +(y -2) =2。
=所求的最小圆的圆心在直线y =
x ，圆心坐标为(2,2).标
(21)、（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点, 焦点在x 轴上, 椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3, 最小值为1.
(I)求椭圆C 的标准方程;
(II)若直线l :y =kx +m 与椭圆C 相交于A,B 两点(A,B不是左右顶点), 且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点. 求证:直线l 过定点, 并求出该定点的坐标.
x 2y 2
解：(I)由题意设椭圆的标准方程为2+2=1(a >b >0)
a b
a +c =3, a -c =1，a =2, c =1, b 2=3 x 2y 2∴+=1. 43
⎧y =kx +m
⎪
(II)设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，由⎨x 2y 2得
=1⎪+3⎩4
(3+4k 2) x 2+8mkx +4(m 2-3) =0，
∆=64m 2k 2-16(3+4k 2)(m 2-3) >0，3+4k 2-m 2>0.
8mk 4(m 2-3)
x 1+x 2=-, x 1⋅x 2=.
3+4k 23+4k 2
3(m 2-4k 2)
y 1⋅y 2=(kx 1+m ) ⋅(kx 2+m ) =k x 1x 2+mk (x 1+x 2) +m =. 2
3+4k
以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D (2,0),k AD ⋅k BD =-1，
y y
∴1⋅2=-1，y 1y 2+x 1x 2-2(x 1+x 2) +4=0， x 1-2x 2-2
2
2
3(m 2-4k 2) 4(m 2-3) 16mk
+++4=0， 222
3+4k 3+4k 3+4k 22
7m +16mk +4k =0，解得
2k
m 1=-2k , m 2=-，且满足3+4k 2-m 2>0.
7
当m =-2k 时，l :y =k (x -2) ，直线过定点(2,0),与已知矛盾；
2k 22时，l :y =k (x -) ，直线过定点(,0).
777
2
综上可知，直线l 过定点，定点坐标为(,0).
7
当m =-
【2008年】
5
(10)设椭圆C1的离心率为13，焦点在x 轴上且长轴长为26. 若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的
差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为
x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2
-2=1-2=1-2=1-2=[**************]4（A ） (B) (C) (D)
【解析】本题考查椭圆、双曲线的标准方程。对于椭圆
C C 1a =13, c =5,
，曲线2为双曲线，c =5, a =4，b =3,
x 2y 2
-2=1. 243标准方程为：
（11）已知圆的方程为x2+y2-6x-8y＝0. 设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为
（A ）106 （B ）206 （C ）306 （D ）406
【解析】本题考查直线与圆的位置关系。(x -3) +(y -4) =25，过点(3,5)的最长弦为AC =
10, 最短弦为
2
2
BD =
=S =
1
AC ⋅BD =2
(22)(本小题满分14分)
如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M 为 直线y=-2p上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B.
（Ⅰ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列； （Ⅱ）已知当M 点的坐标为（2，-2p
）时，
AB =线的方程；
（Ⅲ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线
x 2=2py (p ＞0) 上，其中，点C 满足OC =OA +OB （O 为坐标原点）.
若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（Ⅰ）证明：
2
x 12x 2
A (x 1, ), B (x 2, ), x 1＜x 2, M (x 0, -2p ).
2p 2p 由题意设
x 2x
'y =y =
, 2
x =2py 2p p 由得，则
k MA =
所以
x 1x , k MB =2. p p
y +2p =
x 1x
(x -x 0), y +2p =2(x -x 0). p p 直线MB 的方程为
因此直线MA 的方程为
x 12x
+2p =1(x 1-x 0),
p 所以2p
2
x 2x
+2p =2(x 2-x 0). 2p p
①
②
22
x 1+x 2x 1+x 2
=x 1+x 2-x 0, x 0=22，即2x 0=x 1+x 2. 由①、②得 因此
所以A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x0=2时，将其代入①、②并整理得：
x 12-4x 1-4p 2=0,
2x 2-4x 2-4p 2=0,
所以 x1、x2是方程
x 2-4x -4p 2=0
的两根， 因此
x 1+x 2=4, x 1x 2=-4p 2,
k AB
又
2
x 2x 12
-
2p 2p x 1+x 2x 02===, k AB =. x 2-x 12p p 所以p
由弦长公式得
AB ==
又
AB =p=1或p=2，
22
x =2y x 因此所求抛物线方程为或=4y .
Q (
（Ⅲ）解：设D(x3,y3)，由题意得C(x1+ x2, y1+ y2), 则CD 的中点坐标为
x 1+x 2+x 3y 1+y 2+y 3
, ), 22
y -y 1=
设直线AB 的方程为
x 0
(x -x 1), p 由点Q 在直线AB 上，
x x 1+x 2y 1+y 2
y 3=0x 3. , )
p 22并注意到点也在直线AB 上，代入得
(
若D （x3,y3）在抛物线上，则
2
x 3=2py 3=2x 0x 3,
2
2x 0
D (2x 0, ).
p 因此 x3=0或x3=2x0. 即D(0，0) 或
（1）当x0=0时，则
x 1+x 2=2x 0=0
，此时，点M(0,-2p)适合题意.
2
x 12+x 2
2
x 12+x 22p
==,
2x 04px 0
2
x 12+x 2
C (2x 0, ), k CD
x ≠02p （2）当0，对于D(0，0) ，此时
k AB =
又
x 0
,
p AB ⊥CD ，
k AB k CD
所以
22
x 0x 12+x 2x 12+x 2===-1, 22
x 12+x 2=-4p 2, p 4px 04p 即矛盾.
22
2x 0x 12+x 2
D (2x 0, ), C (2x 0, ),
p 因为2p 对于此时直线CD 平行于y 轴，
k AB =
又所以
x 0
≠0, p 所以直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾，
时，不存在符合题意的M 点.
x 0≠0
综上所述，仅存在一点M(0，-2p) 适合题意.
【2009年】
x 2y 2
-2=122y =x +1只有一个公共点，则双曲线的离心率为 a b （9）设双曲线的一条渐近线与抛物线5
（A ）4 (B) 5 (C)
2
(D)
b ⎧
y =x ⎪
a ⎨x 2y 2b b 22-=1y =x x -x +1=0⎪22y =x +1⎩a a a b 【解析】:双曲线的一条渐近线为, 由方程组, 消去y, 得有唯一解, c b 2b
=2=() -4=0=
2e ==
a 所以△=a , 所以a ,
（22）（本小题满分14分）
x 2y 2
+2=
1(a , b >0) 2M N ，O 为坐标原点 a b 设椭圆E ：
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒在两个交点A ，B 且
−−→⊥−−→OA OB
？若存在，写出该圆的方程，关求
AB
的取值范围；若不存在，说明理由。
x 2y 2
+2=12
b 解:（1）因为椭圆E: a （a,b>0）过M （2
） ，
,1) 两点, ⎧42⎧11
+=1=222⎪⎪⎪a b ⎪a 8
2⎨⎨22⎧a =8x y ⎪6+1=1⎪1=1⎨2+=1222b =4⎪⎪a b b 4⎩⎩⎩84所以解得所以椭圆E 的方程为
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B, 且OA ⊥OB , 设该圆的切⎧y =kx +m ⎪2⎨x y 2
=122222⎪+x +2(kx +m ) =8(1+2k ) x +4kmx +2m -8=0, y =kx +m 84⎩线方程为解方程组得, 即
222222
16k m -4(1+2k )(2m -8) =8(8k -m +4) >0, 即8k 2-m 2+4>0 则△=
4km ⎧x +x =-12⎪⎪1+2k 2⎨2
⎪x x =2m -8
12⎪1+2k 2⎩
,
2
2
k 2(2m 2-8) 4k 2m 2m 2-8k 22y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m ) =k x 1x 2+km (x 1+x 2) +m =-+m =
1+2k 21+2k 21+2k 2
2222
2m -8m -8k 3m -82
+=0k =≥02222x 1x 2+y 1y 2=0OA ⊥OB 3m -8k -8=01+2k 1+2k 8要使, 需使, 即, 所以, 所以
⎧m 2>282⎨m ≥
m ≤m ≥2223m ≥8或, 因为直线y =kx +m 为圆心在原点3,
即又8k -m +4>0, 所以⎩, 所以
r =
的圆的一条切线,
所以圆的半径为
m 2
r ==
1+k 2
2
m 28
=
83m 2-83r =x 2+y 2=1+
, 所求的圆为3, 8,
此时圆的切线y =kx +
m 都满足
m ≥
m ≤-x =±3或3,
而当切线的斜率不存在时切线为3与椭圆
x 2y 2
(+=
1
或满足OA ⊥OB , 84的两个交点为x 2+y 2=
综上, 存在圆心在原点的圆
8 3，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B, 且OA ⊥OB .
4km ⎧
x +x =-12⎪⎪1+2k 2⎨2
⎪x x =2m -8⎪121+2k 2, 因为⎩
4km 22m 2-88(8k 2-m 2+4)
(x 1-x 2) =(x 1+x 2) -4x 1x 2=(-) -4⨯=2222
1+2k 1+2k (1+2k ) 所以,
2
2
|AB |=
==
==,
|AB |=
①当k ≠
0时
4k 2+
因为
1
+4≥8k 2所以
0
11
≤4k 2+2+48
k ,
32321
332
4k +2+4
k 所以,
k =±
|AB |≤2时取”=”. 当k =
0时,
|AB |=
3.
(|AB |=
或,
所以此时, 当AB 的斜率不存在时,
两个交点为≤|AB |≤|AB |∈综上, |AB |
:
【2010年】
（16）已知圆C 过点（1，0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l :y =x -1被圆C 所截得的弦长为22，则过
圆心且与直线l 垂直的直线的方程为 。
（21）（本小题满分12分）
2x 2y 2
如图，已知椭圆2+2=1(a >b >0) 的离心率为，以该椭圆上
2a b
的点和椭圆的左、右焦点F 1, F 2为顶点的三角形的周长为4(2+1) ， 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于项点 的任一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D.
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，证明：k 1⋅k 2=1；
（Ⅲ）是否存在常数λ，使得AB +CD =λAB ⋅CD 恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理
由.
本小题主要考查椭圆、双曲线的基本概念和基本性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查坐标第、定值和存在性问题，考查数形结合思想和探求问题的能力。
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c
，由题意知
c =2a +2c =+1) a
x 2y 2
所以a =c =2，又a =b +c ，因此b =2. 故椭圆的标准方程为+=1
84
2
2
2
x 2y 2
由题意设等轴双曲线的标准方程为2-2=1(m >0) ，
m m
x 2y 2
因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m =2，因此双曲线的标准方程为-=1
44
y 0y 0
, k 2= x 0+2x 0-2
（Ⅱ）设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), P (x 0, y 0) 则k 1=
2
2
因为点P 在双曲线x -y =4上，所以x 0-y 0=4. 因此k 1k 2=
22
y 0y y
⋅0=20=1 即k 1k 2=1. x 0+2x 0-2x 0-4
（Ⅲ）由于PF 1的方程为y =k 1(x +2) ，将其代入椭圆方程得
8k 128k 12-8
, x 1x 2=2(2k +1) x -8k x +8k -8=0，由违达定理得x 1+x 2=2
2k 1+12k 1+1
2
1
2
21
21
所以|AB |=
=
=
同理可得|CD |=122
+1112k 12+12k 2
+=2+2) 又k 1k 2=1 则
|AB ||CD |k 1+1k 2+1
2+1
112k 12+1k 122k 12+1k 12+2+=2+) =(2+2) =所以
1|AB ||CD |k 1+18k 1+1k 1+18+1k 12
故|AB |+|CD |=
|AB |⋅|CD |
因此，存在λ=【2011年】
，使|AB |+|CD |=λ|AB |⋅|CD |恒成立。 8
x 2y 222
（8）已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的两条渐近线均和圆C :x +y -6x +5=0相切，且双曲线的右焦
a b
点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为
x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2
A. -=1 B. -=1 C. -=1 D. -=1 54453663
解析：圆C :(x -3) +y =4，c =3, 而
2
2
3b
=2，则b =2, a 2=5，答案应选A 。 c
x 2y 2
22. （本小题满分12分）已知动直线l 与椭圆C ：+=1交于P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2)两不同点，且∆OPQ 的
32
面积S ∆OPQ =
O 为坐标原点． 2
2
2
2
（Ⅰ）证明：x 1+x 2和y 1+y 2均为定值；
（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求OM ⋅PQ 的最大值；
（Ⅲ）椭圆C 上是否存在三点D , E , G
，使得S ∆ODE =S ∆ODG =S ∆OEG =若不存在，请说明理由．
？若存在，判断∆DEG 的形状；2
解析：（Ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，P , Q 两点关于x 轴对称，则x 1=x 2, y 1=-y 2，
x 12y 12
y 1=1 +=
1，而S ∆OPQ =x 1y 1=
由P (x 1, y 1)在椭圆上，则，则x 1=
2232
于是x 1+x 2=3，y 1+y 2=2.
2
2
2
2
x 2y 2
+=1可得 当直线l 的斜率存在，设直线l 为y =kx +m ，代入32
2x 2+3(kx +m ) 2=6，即(2+3k 2) x 2+6km +3m 2-6=0，∆>0，即3k 2+2>m 2
6km 3m 2-6
x 1+x 2=-, x 1x 2=
2+3k 22+
3k 2PQ =1-x 2=
=
d =
2
S ∆POQ
2
11=⋅d ⋅PQ == 22则3k +2=2m ，满足∆>0
6km 23(m 2-2)
x +x 2=(x 1+x 2) -2x 1x 2=(-) -2⨯=3， 22
2+3k 2+3k
2
1
2
2
222
y 12+y 22=(3-x 12) +(3-x 22) =4-(x 12+x 22) =2，
333
综上可知x 1+x 2=3，y 1+y 2=2.
（Ⅱ）当直线l
的斜率不存在时，由（Ⅰ）知OM =x 1⋅PQ =当直线l 的斜率存在时，由（Ⅰ）知
2
2
2
2
2= 2
x 1+x 23k
， =-
22m
y 1+y 2x 1+x 23k 21
=k () +m =-+m =， 222m m
x 1+x 22y 1+y 229k 2111om =() +() =+=(3-) 222
224m m 2m
2
24(3k 2+2-m 2) 2(2m 2+1) 1
PQ =(1+k ) ==2(2+) 2222
(2+3k ) m m
2
2
OM
112511
，当且仅当，即m =时等号成立，综上可知)(2+) ≤3-=2+
m 2m 24m 2m 2
5
OM ⋅的最大值为。
2
2
PQ =(3-
2
（Ⅲ）假设椭圆上存在三点D , E , G
，使得S ∆ODE =S ∆ODG =S ∆OEG =由（Ⅰ）知x D +x E =3, x E +x G =3, x G +x D =3，
2
2
2
2
2
2
， 2
y D 2+y E 2=2, y E 2+y G 2=2, y G 2+y D 2=2.
解得x D =x E =x G =
2
2
2
3222
, y D =y E =y G =1， 2
中选取，y D , y E , y G 只能从±1中选取， 因此x D , x E , x
G 只能从
因此D , E , G 只能
从(中选取三个不同点，而这三点的两两连线必有一个过原点，这
与, ±1)
相矛盾， 2
。 2
S ∆O D E =S ∆=S ∆O D G O E 故椭圆上不存在三点D , E , G
，使得S ∆ODE =S ∆ODG =S ∆OEG =【2012年】 （10）已知椭圆C ：
的离心率为
，双曲线x ²-y ²＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这
四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c 的方程为
解析：双曲线x ²-y ²＝1的渐近线方程为y =±x ，代入
a 2b 22
, S =4x =16，可得x =2
2
a +b
2
3x 2y 22242
则a b =4(a +b ) ，又由e =可得a =2b ，则b =5b ，于是b =5, a =20。椭圆方程为+=1
2205
2
2
2
2
（16）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P 的位置在（0,0），圆在x 轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于（2,1）时，解析：根据题意可知圆滚动了2单位个弧长，点P 旋转 了
的坐标为______________。
2
=2弧度，此时点P 的坐标为 1
2
y P =1+sin(2-) =1-cos 2, .
2
=(2-sin 2, 1-cos 2)
x P =2-cos(2-
π
) =2-sin 2,
π
⎧x =2+cos θ3π
另解1：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为⎨，且∠PCD =2, θ=-2，
y =1+sin θ2⎩
3π⎧
x =2+-2) =2-sin 2⎪2则点P 的坐标为⎨，即=(2-sin 2, 1-cos 2) .
3π
⎪y =1+sin(-2) =1-cos 2
2⎩
（21）（本小题满分13分）
在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线C ：x 2=2py（p ＞0）的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为
3。 4
（Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若点M
，直线l ：y=kx+
1
与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，l 与圆Q 有两个不同的交4
点D ，E ，求当
1
≤k ≤2时，2
2
的最小值。
2
x p p
解析：（Ⅰ）F 抛物线C ：x =2py（p ＞0）的焦点F (0, ) ，设M (x 0, 0)(x 0>0) ，Q (a , b ) ，由题意可知b =，
2p 24
则点Q 到抛物线C 的准线的距离为b +
p p p 33
=+=p =，解得p =1，于是抛物线C 的方程为x 2=2y .
42424
（Ⅱ）假设存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ，
x 11
而F (0, ), O (0, 0), M (x 0, 0) ，Q (a , ) ，MQ =OQ =QF ，
224x x 113
(x 0-a ) +(0-) 2=a 2+，a =0-x 0，
241688
2
2
3
2
1x 0
-
2，则1x 4-3x 2=1-1x 2， 由x =2y 可得y '=x ，k =x 0=3000
8842x 03
-x 088
即x 0+x 0-2=0，解得x 0=1，点M 的坐标为(1, ) . （Ⅲ）若点M
M (2, 1) ，Q (-
4
2
2
12
21, ) 。 84
⎧x 2=2y
1⎪2
由⎨可得x -2kx -=0，设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ， 1
y =kx +2⎪4⎩AB =(1+k 2)[(x 1+x 2) 2-4x 1x 2]=(1+k 2)(4k 2+2)
2
圆Q :(x +
221213
) +(y -) 2=+=，D =82641632
k ⋅
-2
8
2
+k
=
2k 8+k
2
3k 23+2k 2
DE =4[-]=，
3232(1+k 2) 8(1+k 2)
2
3+2k 252
于是AB +DE =(1+k )(4k +2) +，令1+k =t ∈[, 5] 2
8(1+k ) 4
2
2
2
2
3+2k 22t +1112
AB +DE =(1+k )(4k +2) +=t (4t -2) +=4t -2t ++， 2
8t 8t 48(1+k )
2
2
2
2
设g (t ) =4t -2t +
2
111
+，g '(t ) =8t -2-2， 8t 48t
当t ∈[, 5]时，g '(t ) =8t -2-即当t =
54
51
, k =时g (t ) min 42
1
>0， 8t 2255=4⨯-2⨯+
164
18⨯5
4
+
11=4. 410
故当k =
1122
时，(AB +DE ) m in =4. 210
2
2
【2013年】
（9）过点(3,1)作圆(x -1) +y =1的两条切线，切点分别为A , B ，则直线AB 的方程为 （A ）2x +y -3=0 （B ）2x -y -3=0 （C ）4x -y -3=0 （D ）4x ＋y -3=0 解析：以(3,1)与(1,0)为直径的端点的方程为x +y -4x -y +3=0，与(x -1) +y =1相减得
2
2
2
2
2x +y -3=0即为所求直线AB 的方程.
x 212
（11）抛物线C 1:y =x (p >0) 的焦点与双曲线C 2:-y 2=1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .
32p
若C 1在点M 处的切线平等于C 2的一条渐近线，则p = （A
）
（B
） （C
） （D
） 16833
x 2p
解析：抛物线的焦点为(0,) ，双曲线C 2:-y 2=1的右焦点为(2,0)，其连线所在直线方程为：
32p p ⎧
y =-x +⎪1p p 42⎪222由⎨解得2x +p x -2p =0，
由x =，代入y '=
x y =-x +，
p 42⎪y =1x 2
2p ⎪⎩
解得.
（22）（本小题满分13分）
x 2y 2
椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别是F 1, F 2,
，过F 1, 且垂直于x 轴的直线被椭圆C
a b
截得的线段长为1.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1, PF 2, 设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点
M (m , 0) ，求m 的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点. 设直线PF 1, PF 2 的
斜率分别为k 1, k 2，若k ≠0，试证明
11
为定值，并求出这个定值. +
kk 1kk 2
x 2y 2b 22b 2
解: （Ⅰ）当x =-c 代入椭圆方程C :2+2=1, 得y =±, 由题意知=1, 即a =2b 2.
a b a a
x 2c
所以e ==, a =2, b =1. 所以, 椭圆方程C :+y 2=1.
2a 4
（Ⅱ）设P (x 0, y 0) , 当0≤x 0
①当x 0=
11, 直线PF 2的斜率不存在,
易知P
) 或P -) .
221
2
=m ,
7
若P ) , 直线PF
1的方程为x -=0.
由题意得
由于
所以m =
.
4
若P -) ,
同理可得m =②当x 0≠
12
, 设直线PF 1, PF
2的方程分别为y =k 1(x y =k 2(x .
1
k 122
==,
. 1+k 22
1+
x 02
k 2=+y 02=1,
且k 1=又∵
42=
222=
2
=
,
又∵
0≤x 0
=
.
整理得m =
3
所以0≤m
233
. 当-2≤x 0
33
综上所述, m 的取值范围是(-, ) .
22
综合①②可得, 0≤m
(Ⅲ) 设P (x 0, y 0)(y 0≠0) , 则直线l 的方程为y -y 0=k (x -x 0) ,
⎧x 22
⎪+y =1. 222222由⎨4整理得(1+4k ) x +8(ky 0-k x 0) x +4(y 0-2ky 0+k x 0-1) =0. ⎪y -y =k (x -x ).
00⎩
由题意∆=0,(4-x 0) k +2x 0y 0k +1-y 0=0.
2
2
2
x 02x
又∵+y 02=1, ∴16y 02k 2+8x 0y 0k +x 02=0, 可得k =-0.
4y 04
由（Ⅱ）知k 1=
k 2=
112x 0
, +=y 0k 1k 2
∴
4y 2x 1111111
为定值，这个定值为-8. +=(+) =-0⋅0=-8, ∴+
kk 1kk 2k k 1k 2x 0y 0kk 1kk 2
圆锥曲线小题：2012理科只有1道小题（椭圆与双曲线），2012文科2个小题（圆、双曲线与抛物线）；2011年只有1题为双曲线与圆交汇。2010年：1道圆的小题；2009年：1道抛物线与双曲线交汇的小题；2008年2道小题：1道椭圆与双曲线交汇小题（因为2008大题为抛物线！）、1道圆的小题；2007年2道小题：1道抛物线小题，一道圆的小题；其实，2006年后“解析几何”地位有所下降，尽管大题始终难度较大，小题已经明显降低难度！不过，2012年抛物线很有可能出现在解答题中，估计椭圆回归小题可能性较大，2010、2011连续2年在高考理科卷中失去踪影的“抛物线”终于考了一次21题，2013估计回归小题。
解析几何大题：2006年后调整：删去椭圆、双曲线的准线及第二定义；双曲线降为了解。目前：
椭圆、抛物线并列为“掌握”、双曲线为“了解”。2012年21题：抛物线、圆（探究、求值）；2011年22题：椭圆问题（探究结论、运算球最值、存在性问题探究）；2010年21题：椭圆（轻轻涉及双曲线）、待定系数法求方程、直接利用方程证明规律、运算探究规律（韦达定理）；2009年22题：椭圆、待定系数法求椭圆、探究圆与椭圆规律、基本弦长运算；2008年22题：抛物线、弦长问题、对称问题、向量问题等（难）；2007年21题：椭圆、圆与椭圆交汇、直线过定点问题探究；2006年21题：双曲线、向量问题；2005年22题：抛物线、定义、证明直线过定点问题（方法较多）。总之， 2012年抛物线已经“王者归来”（尽管有些晚）！由于我们山东解析几何“探究性”明显，如是否存在定点问题等，估计今年还是会通过这种探究性形式命题，考察的本质仍是：方程思想（直接用方程、韦达定理等）、运算能力（运算量大）。不过，抛物线是三种圆锥曲线中最灵活的，因此很有可能方法比较多（甚至不排除“数形结合”的可能），至于说圆会不会交汇进来呢？向量呢？其实，向量的坐标转化我们比较熟练，但是向量的几何转化、代数转化我们也不敢说没有问题！至于说圆的进入恐怕为了体现考试说明在圆锥曲线部分中的：“理解数形结合思想”吧！单独说说圆吧！圆承担的使命就是“形”，尽量不要对圆像椭圆一样运算！估计，椭圆回归小题也是必然了，估计会从椭圆的定义（形）上来考察，当然，也不排除椭圆于抛物线交汇的可能，如果说通过抛物线体现“形”加通过椭圆体现数估计也不难命题。我个人先期待“抛物线与圆”、后期待“椭圆于抛物线”，反正，2010、2011年抛物线消失的事情让我们有足够理由相信抛物线会得到补偿的！我估计今年会在“量与式”的把握上做文章，适当降一下运算量的奢望也不敢有了。
山东卷历年高考圆锥曲线部分汇总
13、 设O 是坐标原点，F 是抛物线y =2px (p >0) 的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角
︒
为60，则OA 为________.
2
【2007年】
【答案】
:
：过A 作AD ⊥x 轴于D ，令FD =m ，则FA =2m ，p +m =2m ，m =
p 。p 【分析】
2
∴OA ==p .
2
15、与直线x +y -2=0和曲线x +y -12x -12y +54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是_________. 【答案】:. (x -2) +(y -2) =2【分析】：曲线化为(x -6) +(y -6) =18，其圆心到直线x +y -2=0的距
离为d =
2
2
2
2
2
2
22
准方程为(x -2) +(y -2) =2。
=所求的最小圆的圆心在直线y =
x ，圆心坐标为(2,2).标
(21)、（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点, 焦点在x 轴上, 椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3, 最小值为1.
(I)求椭圆C 的标准方程;
(II)若直线l :y =kx +m 与椭圆C 相交于A,B 两点(A,B不是左右顶点), 且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点. 求证:直线l 过定点, 并求出该定点的坐标.
x 2y 2
解：(I)由题意设椭圆的标准方程为2+2=1(a >b >0)
a b
a +c =3, a -c =1，a =2, c =1, b 2=3 x 2y 2∴+=1. 43
⎧y =kx +m
⎪
(II)设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，由⎨x 2y 2得
=1⎪+3⎩4
(3+4k 2) x 2+8mkx +4(m 2-3) =0，
∆=64m 2k 2-16(3+4k 2)(m 2-3) >0，3+4k 2-m 2>0.
8mk 4(m 2-3)
x 1+x 2=-, x 1⋅x 2=.
3+4k 23+4k 2
3(m 2-4k 2)
y 1⋅y 2=(kx 1+m ) ⋅(kx 2+m ) =k x 1x 2+mk (x 1+x 2) +m =. 2
3+4k
以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D (2,0),k AD ⋅k BD =-1，
y y
∴1⋅2=-1，y 1y 2+x 1x 2-2(x 1+x 2) +4=0， x 1-2x 2-2
2
2
3(m 2-4k 2) 4(m 2-3) 16mk
+++4=0， 222
3+4k 3+4k 3+4k 22
7m +16mk +4k =0，解得
2k
m 1=-2k , m 2=-，且满足3+4k 2-m 2>0.
7
当m =-2k 时，l :y =k (x -2) ，直线过定点(2,0),与已知矛盾；
2k 22时，l :y =k (x -) ，直线过定点(,0).
777
2
综上可知，直线l 过定点，定点坐标为(,0).
7
当m =-
【2008年】
5
(10)设椭圆C1的离心率为13，焦点在x 轴上且长轴长为26. 若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的
差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为
x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2
-2=1-2=1-2=1-2=[**************]4（A ） (B) (C) (D)
【解析】本题考查椭圆、双曲线的标准方程。对于椭圆
C C 1a =13, c =5,
，曲线2为双曲线，c =5, a =4，b =3,
x 2y 2
-2=1. 243标准方程为：
（11）已知圆的方程为x2+y2-6x-8y＝0. 设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为
（A ）106 （B ）206 （C ）306 （D ）406
【解析】本题考查直线与圆的位置关系。(x -3) +(y -4) =25，过点(3,5)的最长弦为AC =
10, 最短弦为
2
2
BD =
=S =
1
AC ⋅BD =2
(22)(本小题满分14分)
如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M 为 直线y=-2p上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B.
（Ⅰ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列； （Ⅱ）已知当M 点的坐标为（2，-2p
）时，
AB =线的方程；
（Ⅲ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线
x 2=2py (p ＞0) 上，其中，点C 满足OC =OA +OB （O 为坐标原点）.
若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（Ⅰ）证明：
2
x 12x 2
A (x 1, ), B (x 2, ), x 1＜x 2, M (x 0, -2p ).
2p 2p 由题意设
x 2x
'y =y =
, 2
x =2py 2p p 由得，则
k MA =
所以
x 1x , k MB =2. p p
y +2p =
x 1x
(x -x 0), y +2p =2(x -x 0). p p 直线MB 的方程为
因此直线MA 的方程为
x 12x
+2p =1(x 1-x 0),
p 所以2p
2
x 2x
+2p =2(x 2-x 0). 2p p
①
②
22
x 1+x 2x 1+x 2
=x 1+x 2-x 0, x 0=22，即2x 0=x 1+x 2. 由①、②得 因此
所以A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x0=2时，将其代入①、②并整理得：
x 12-4x 1-4p 2=0,
2x 2-4x 2-4p 2=0,
所以 x1、x2是方程
x 2-4x -4p 2=0
的两根， 因此
x 1+x 2=4, x 1x 2=-4p 2,
k AB
又
2
x 2x 12
-
2p 2p x 1+x 2x 02===, k AB =. x 2-x 12p p 所以p
由弦长公式得
AB ==
又
AB =p=1或p=2，
22
x =2y x 因此所求抛物线方程为或=4y .
Q (
（Ⅲ）解：设D(x3,y3)，由题意得C(x1+ x2, y1+ y2), 则CD 的中点坐标为
x 1+x 2+x 3y 1+y 2+y 3
, ), 22
y -y 1=
设直线AB 的方程为
x 0
(x -x 1), p 由点Q 在直线AB 上，
x x 1+x 2y 1+y 2
y 3=0x 3. , )
p 22并注意到点也在直线AB 上，代入得
(
若D （x3,y3）在抛物线上，则
2
x 3=2py 3=2x 0x 3,
2
2x 0
D (2x 0, ).
p 因此 x3=0或x3=2x0. 即D(0，0) 或
（1）当x0=0时，则
x 1+x 2=2x 0=0
，此时，点M(0,-2p)适合题意.
2
x 12+x 2
2
x 12+x 22p
==,
2x 04px 0
2
x 12+x 2
C (2x 0, ), k CD
x ≠02p （2）当0，对于D(0，0) ，此时
k AB =
又
x 0
,
p AB ⊥CD ，
k AB k CD
所以
22
x 0x 12+x 2x 12+x 2===-1, 22
x 12+x 2=-4p 2, p 4px 04p 即矛盾.
22
2x 0x 12+x 2
D (2x 0, ), C (2x 0, ),
p 因为2p 对于此时直线CD 平行于y 轴，
k AB =
又所以
x 0
≠0, p 所以直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾，
时，不存在符合题意的M 点.
x 0≠0
综上所述，仅存在一点M(0，-2p) 适合题意.
【2009年】
x 2y 2
-2=122y =x +1只有一个公共点，则双曲线的离心率为 a b （9）设双曲线的一条渐近线与抛物线5
（A ）4 (B) 5 (C)
2
(D)
b ⎧
y =x ⎪
a ⎨x 2y 2b b 22-=1y =x x -x +1=0⎪22y =x +1⎩a a a b 【解析】:双曲线的一条渐近线为, 由方程组, 消去y, 得有唯一解, c b 2b
=2=() -4=0=
2e ==
a 所以△=a , 所以a ,
（22）（本小题满分14分）
x 2y 2
+2=
1(a , b >0) 2M N ，O 为坐标原点 a b 设椭圆E ：
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒在两个交点A ，B 且
−−→⊥−−→OA OB
？若存在，写出该圆的方程，关求
AB
的取值范围；若不存在，说明理由。
x 2y 2
+2=12
b 解:（1）因为椭圆E: a （a,b>0）过M （2
） ，
,1) 两点, ⎧42⎧11
+=1=222⎪⎪⎪a b ⎪a 8
2⎨⎨22⎧a =8x y ⎪6+1=1⎪1=1⎨2+=1222b =4⎪⎪a b b 4⎩⎩⎩84所以解得所以椭圆E 的方程为
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B, 且OA ⊥OB , 设该圆的切⎧y =kx +m ⎪2⎨x y 2
=122222⎪+x +2(kx +m ) =8(1+2k ) x +4kmx +2m -8=0, y =kx +m 84⎩线方程为解方程组得, 即
222222
16k m -4(1+2k )(2m -8) =8(8k -m +4) >0, 即8k 2-m 2+4>0 则△=
4km ⎧x +x =-12⎪⎪1+2k 2⎨2
⎪x x =2m -8
12⎪1+2k 2⎩
,
2
2
k 2(2m 2-8) 4k 2m 2m 2-8k 22y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m ) =k x 1x 2+km (x 1+x 2) +m =-+m =
1+2k 21+2k 21+2k 2
2222
2m -8m -8k 3m -82
+=0k =≥02222x 1x 2+y 1y 2=0OA ⊥OB 3m -8k -8=01+2k 1+2k 8要使, 需使, 即, 所以, 所以
⎧m 2>282⎨m ≥
m ≤m ≥2223m ≥8或, 因为直线y =kx +m 为圆心在原点3,
即又8k -m +4>0, 所以⎩, 所以
r =
的圆的一条切线,
所以圆的半径为
m 2
r ==
1+k 2
2
m 28
=
83m 2-83r =x 2+y 2=1+
, 所求的圆为3, 8,
此时圆的切线y =kx +
m 都满足
m ≥
m ≤-x =±3或3,
而当切线的斜率不存在时切线为3与椭圆
x 2y 2
(+=
1
或满足OA ⊥OB , 84的两个交点为x 2+y 2=
综上, 存在圆心在原点的圆
8 3，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B, 且OA ⊥OB .
4km ⎧
x +x =-12⎪⎪1+2k 2⎨2
⎪x x =2m -8⎪121+2k 2, 因为⎩
4km 22m 2-88(8k 2-m 2+4)
(x 1-x 2) =(x 1+x 2) -4x 1x 2=(-) -4⨯=2222
1+2k 1+2k (1+2k ) 所以,
2
2
|AB |=
==
==,
|AB |=
①当k ≠
0时
4k 2+
因为
1
+4≥8k 2所以
0
11
≤4k 2+2+48
k ,
32321
332
4k +2+4
k 所以,
k =±
|AB |≤2时取”=”. 当k =
0时,
|AB |=
3.
(|AB |=
或,
所以此时, 当AB 的斜率不存在时,
两个交点为≤|AB |≤|AB |∈综上, |AB |
:
【2010年】
（16）已知圆C 过点（1，0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l :y =x -1被圆C 所截得的弦长为22，则过
圆心且与直线l 垂直的直线的方程为 。
（21）（本小题满分12分）
2x 2y 2
如图，已知椭圆2+2=1(a >b >0) 的离心率为，以该椭圆上
2a b
的点和椭圆的左、右焦点F 1, F 2为顶点的三角形的周长为4(2+1) ， 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于项点 的任一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D.
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，证明：k 1⋅k 2=1；
（Ⅲ）是否存在常数λ，使得AB +CD =λAB ⋅CD 恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理
由.
本小题主要考查椭圆、双曲线的基本概念和基本性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查坐标第、定值和存在性问题，考查数形结合思想和探求问题的能力。
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c
，由题意知
c =2a +2c =+1) a
x 2y 2
所以a =c =2，又a =b +c ，因此b =2. 故椭圆的标准方程为+=1
84
2
2
2
x 2y 2
由题意设等轴双曲线的标准方程为2-2=1(m >0) ，
m m
x 2y 2
因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m =2，因此双曲线的标准方程为-=1
44
y 0y 0
, k 2= x 0+2x 0-2
（Ⅱ）设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), P (x 0, y 0) 则k 1=
2
2
因为点P 在双曲线x -y =4上，所以x 0-y 0=4. 因此k 1k 2=
22
y 0y y
⋅0=20=1 即k 1k 2=1. x 0+2x 0-2x 0-4
（Ⅲ）由于PF 1的方程为y =k 1(x +2) ，将其代入椭圆方程得
8k 128k 12-8
, x 1x 2=2(2k +1) x -8k x +8k -8=0，由违达定理得x 1+x 2=2
2k 1+12k 1+1
2
1
2
21
21
所以|AB |=
=
=
同理可得|CD |=122
+1112k 12+12k 2
+=2+2) 又k 1k 2=1 则
|AB ||CD |k 1+1k 2+1
2+1
112k 12+1k 122k 12+1k 12+2+=2+) =(2+2) =所以
1|AB ||CD |k 1+18k 1+1k 1+18+1k 12
故|AB |+|CD |=
|AB |⋅|CD |
因此，存在λ=【2011年】
，使|AB |+|CD |=λ|AB |⋅|CD |恒成立。 8
x 2y 222
（8）已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的两条渐近线均和圆C :x +y -6x +5=0相切，且双曲线的右焦
a b
点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为
x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2
A. -=1 B. -=1 C. -=1 D. -=1 54453663
解析：圆C :(x -3) +y =4，c =3, 而
2
2
3b
=2，则b =2, a 2=5，答案应选A 。 c
x 2y 2
22. （本小题满分12分）已知动直线l 与椭圆C ：+=1交于P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2)两不同点，且∆OPQ 的
32
面积S ∆OPQ =
O 为坐标原点． 2
2
2
2
（Ⅰ）证明：x 1+x 2和y 1+y 2均为定值；
（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求OM ⋅PQ 的最大值；
（Ⅲ）椭圆C 上是否存在三点D , E , G
，使得S ∆ODE =S ∆ODG =S ∆OEG =若不存在，请说明理由．
？若存在，判断∆DEG 的形状；2
解析：（Ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，P , Q 两点关于x 轴对称，则x 1=x 2, y 1=-y 2，
x 12y 12
y 1=1 +=
1，而S ∆OPQ =x 1y 1=
由P (x 1, y 1)在椭圆上，则，则x 1=
2232
于是x 1+x 2=3，y 1+y 2=2.
2
2
2
2
x 2y 2
+=1可得 当直线l 的斜率存在，设直线l 为y =kx +m ，代入32
2x 2+3(kx +m ) 2=6，即(2+3k 2) x 2+6km +3m 2-6=0，∆>0，即3k 2+2>m 2
6km 3m 2-6
x 1+x 2=-, x 1x 2=
2+3k 22+
3k 2PQ =1-x 2=
=
d =
2
S ∆POQ
2
11=⋅d ⋅PQ == 22则3k +2=2m ，满足∆>0
6km 23(m 2-2)
x +x 2=(x 1+x 2) -2x 1x 2=(-) -2⨯=3， 22
2+3k 2+3k
2
1
2
2
222
y 12+y 22=(3-x 12) +(3-x 22) =4-(x 12+x 22) =2，
333
综上可知x 1+x 2=3，y 1+y 2=2.
（Ⅱ）当直线l
的斜率不存在时，由（Ⅰ）知OM =x 1⋅PQ =当直线l 的斜率存在时，由（Ⅰ）知
2
2
2
2
2= 2
x 1+x 23k
， =-
22m
y 1+y 2x 1+x 23k 21
=k () +m =-+m =， 222m m
x 1+x 22y 1+y 229k 2111om =() +() =+=(3-) 222
224m m 2m
2
24(3k 2+2-m 2) 2(2m 2+1) 1
PQ =(1+k ) ==2(2+) 2222
(2+3k ) m m
2
2
OM
112511
，当且仅当，即m =时等号成立，综上可知)(2+) ≤3-=2+
m 2m 24m 2m 2
5
OM ⋅的最大值为。
2
2
PQ =(3-
2
（Ⅲ）假设椭圆上存在三点D , E , G
，使得S ∆ODE =S ∆ODG =S ∆OEG =由（Ⅰ）知x D +x E =3, x E +x G =3, x G +x D =3，
2
2
2
2
2
2
， 2
y D 2+y E 2=2, y E 2+y G 2=2, y G 2+y D 2=2.
解得x D =x E =x G =
2
2
2
3222
, y D =y E =y G =1， 2
中选取，y D , y E , y G 只能从±1中选取， 因此x D , x E , x
G 只能从
因此D , E , G 只能
从(中选取三个不同点，而这三点的两两连线必有一个过原点，这
与, ±1)
相矛盾， 2
。 2
S ∆O D E =S ∆=S ∆O D G O E 故椭圆上不存在三点D , E , G
，使得S ∆ODE =S ∆ODG =S ∆OEG =【2012年】 （10）已知椭圆C ：
的离心率为
，双曲线x ²-y ²＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这
四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c 的方程为
解析：双曲线x ²-y ²＝1的渐近线方程为y =±x ，代入
a 2b 22
, S =4x =16，可得x =2
2
a +b
2
3x 2y 22242
则a b =4(a +b ) ，又由e =可得a =2b ，则b =5b ，于是b =5, a =20。椭圆方程为+=1
2205
2
2
2
2
（16）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P 的位置在（0,0），圆在x 轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于（2,1）时，解析：根据题意可知圆滚动了2单位个弧长，点P 旋转 了
的坐标为______________。
2
=2弧度，此时点P 的坐标为 1
2
y P =1+sin(2-) =1-cos 2, .
2
=(2-sin 2, 1-cos 2)
x P =2-cos(2-
π
) =2-sin 2,
π
⎧x =2+cos θ3π
另解1：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为⎨，且∠PCD =2, θ=-2，
y =1+sin θ2⎩
3π⎧
x =2+-2) =2-sin 2⎪2则点P 的坐标为⎨，即=(2-sin 2, 1-cos 2) .
3π
⎪y =1+sin(-2) =1-cos 2
2⎩
（21）（本小题满分13分）
在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线C ：x 2=2py（p ＞0）的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为
3。 4
（Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若点M
，直线l ：y=kx+
1
与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，l 与圆Q 有两个不同的交4
点D ，E ，求当
1
≤k ≤2时，2
2
的最小值。
2
x p p
解析：（Ⅰ）F 抛物线C ：x =2py（p ＞0）的焦点F (0, ) ，设M (x 0, 0)(x 0>0) ，Q (a , b ) ，由题意可知b =，
2p 24
则点Q 到抛物线C 的准线的距离为b +
p p p 33
=+=p =，解得p =1，于是抛物线C 的方程为x 2=2y .
42424
（Ⅱ）假设存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ，
x 11
而F (0, ), O (0, 0), M (x 0, 0) ，Q (a , ) ，MQ =OQ =QF ，
224x x 113
(x 0-a ) +(0-) 2=a 2+，a =0-x 0，
241688
2
2
3
2
1x 0
-
2，则1x 4-3x 2=1-1x 2， 由x =2y 可得y '=x ，k =x 0=3000
8842x 03
-x 088
即x 0+x 0-2=0，解得x 0=1，点M 的坐标为(1, ) . （Ⅲ）若点M
M (2, 1) ，Q (-
4
2
2
12
21, ) 。 84
⎧x 2=2y
1⎪2
由⎨可得x -2kx -=0，设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ， 1
y =kx +2⎪4⎩AB =(1+k 2)[(x 1+x 2) 2-4x 1x 2]=(1+k 2)(4k 2+2)
2
圆Q :(x +
221213
) +(y -) 2=+=，D =82641632
k ⋅
-2
8
2
+k
=
2k 8+k
2
3k 23+2k 2
DE =4[-]=，
3232(1+k 2) 8(1+k 2)
2
3+2k 252
于是AB +DE =(1+k )(4k +2) +，令1+k =t ∈[, 5] 2
8(1+k ) 4
2
2
2
2
3+2k 22t +1112
AB +DE =(1+k )(4k +2) +=t (4t -2) +=4t -2t ++， 2
8t 8t 48(1+k )
2
2
2
2
设g (t ) =4t -2t +
2
111
+，g '(t ) =8t -2-2， 8t 48t
当t ∈[, 5]时，g '(t ) =8t -2-即当t =
54
51
, k =时g (t ) min 42
1
>0， 8t 2255=4⨯-2⨯+
164
18⨯5
4
+
11=4. 410
故当k =
1122
时，(AB +DE ) m in =4. 210
2
2
【2013年】
（9）过点(3,1)作圆(x -1) +y =1的两条切线，切点分别为A , B ，则直线AB 的方程为 （A ）2x +y -3=0 （B ）2x -y -3=0 （C ）4x -y -3=0 （D ）4x ＋y -3=0 解析：以(3,1)与(1,0)为直径的端点的方程为x +y -4x -y +3=0，与(x -1) +y =1相减得
2
2
2
2
2x +y -3=0即为所求直线AB 的方程.
x 212
（11）抛物线C 1:y =x (p >0) 的焦点与双曲线C 2:-y 2=1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .
32p
若C 1在点M 处的切线平等于C 2的一条渐近线，则p = （A
）
（B
） （C
） （D
） 16833
x 2p
解析：抛物线的焦点为(0,) ，双曲线C 2:-y 2=1的右焦点为(2,0)，其连线所在直线方程为：
32p p ⎧
y =-x +⎪1p p 42⎪222由⎨解得2x +p x -2p =0，
由x =，代入y '=
x y =-x +，
p 42⎪y =1x 2
2p ⎪⎩
解得.
（22）（本小题满分13分）
x 2y 2
椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别是F 1, F 2,
，过F 1, 且垂直于x 轴的直线被椭圆C
a b
截得的线段长为1.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1, PF 2, 设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点
M (m , 0) ，求m 的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点. 设直线PF 1, PF 2 的
斜率分别为k 1, k 2，若k ≠0，试证明
11
为定值，并求出这个定值. +
kk 1kk 2
x 2y 2b 22b 2
解: （Ⅰ）当x =-c 代入椭圆方程C :2+2=1, 得y =±, 由题意知=1, 即a =2b 2.
a b a a
x 2c
所以e ==, a =2, b =1. 所以, 椭圆方程C :+y 2=1.
2a 4
（Ⅱ）设P (x 0, y 0) , 当0≤x 0
①当x 0=
11, 直线PF 2的斜率不存在,
易知P
) 或P -) .
221
2
=m ,
7
若P ) , 直线PF
1的方程为x -=0.
由题意得
由于
所以m =
.
4
若P -) ,
同理可得m =②当x 0≠
12
, 设直线PF 1, PF
2的方程分别为y =k 1(x y =k 2(x .
1
k 122
==,
. 1+k 22
1+
x 02
k 2=+y 02=1,
且k 1=又∵
42=
222=
2
=
,
又∵
0≤x 0
=
.
整理得m =
3
所以0≤m
233
. 当-2≤x 0
33
综上所述, m 的取值范围是(-, ) .
22
综合①②可得, 0≤m
(Ⅲ) 设P (x 0, y 0)(y 0≠0) , 则直线l 的方程为y -y 0=k (x -x 0) ,
⎧x 22
⎪+y =1. 222222由⎨4整理得(1+4k ) x +8(ky 0-k x 0) x +4(y 0-2ky 0+k x 0-1) =0. ⎪y -y =k (x -x ).
00⎩
由题意∆=0,(4-x 0) k +2x 0y 0k +1-y 0=0.
2
2
2
x 02x
又∵+y 02=1, ∴16y 02k 2+8x 0y 0k +x 02=0, 可得k =-0.
4y 04
由（Ⅱ）知k 1=
k 2=
112x 0
, +=y 0k 1k 2
∴
4y 2x 1111111
为定值，这个定值为-8. +=(+) =-0⋅0=-8, ∴+
kk 1kk 2k k 1k 2x 0y 0kk 1kk 2
圆锥曲线小题：2012理科只有1道小题（椭圆与双曲线），2012文科2个小题（圆、双曲线与抛物线）；2011年只有1题为双曲线与圆交汇。2010年：1道圆的小题；2009年：1道抛物线与双曲线交汇的小题；2008年2道小题：1道椭圆与双曲线交汇小题（因为2008大题为抛物线！）、1道圆的小题；2007年2道小题：1道抛物线小题，一道圆的小题；其实，2006年后“解析几何”地位有所下降，尽管大题始终难度较大，小题已经明显降低难度！不过，2012年抛物线很有可能出现在解答题中，估计椭圆回归小题可能性较大，2010、2011连续2年在高考理科卷中失去踪影的“抛物线”终于考了一次21题，2013估计回归小题。
解析几何大题：2006年后调整：删去椭圆、双曲线的准线及第二定义；双曲线降为了解。目前：
椭圆、抛物线并列为“掌握”、双曲线为“了解”。2012年21题：抛物线、圆（探究、求值）；2011年22题：椭圆问题（探究结论、运算球最值、存在性问题探究）；2010年21题：椭圆（轻轻涉及双曲线）、待定系数法求方程、直接利用方程证明规律、运算探究规律（韦达定理）；2009年22题：椭圆、待定系数法求椭圆、探究圆与椭圆规律、基本弦长运算；2008年22题：抛物线、弦长问题、对称问题、向量问题等（难）；2007年21题：椭圆、圆与椭圆交汇、直线过定点问题探究；2006年21题：双曲线、向量问题；2005年22题：抛物线、定义、证明直线过定点问题（方法较多）。总之， 2012年抛物线已经“王者归来”（尽管有些晚）！由于我们山东解析几何“探究性”明显，如是否存在定点问题等，估计今年还是会通过这种探究性形式命题，考察的本质仍是：方程思想（直接用方程、韦达定理等）、运算能力（运算量大）。不过，抛物线是三种圆锥曲线中最灵活的，因此很有可能方法比较多（甚至不排除“数形结合”的可能），至于说圆会不会交汇进来呢？向量呢？其实，向量的坐标转化我们比较熟练，但是向量的几何转化、代数转化我们也不敢说没有问题！至于说圆的进入恐怕为了体现考试说明在圆锥曲线部分中的：“理解数形结合思想”吧！单独说说圆吧！圆承担的使命就是“形”，尽量不要对圆像椭圆一样运算！估计，椭圆回归小题也是必然了，估计会从椭圆的定义（形）上来考察，当然，也不排除椭圆于抛物线交汇的可能，如果说通过抛物线体现“形”加通过椭圆体现数估计也不难命题。我个人先期待“抛物线与圆”、后期待“椭圆于抛物线”，反正，2010、2011年抛物线消失的事情让我们有足够理由相信抛物线会得到补偿的！我估计今年会在“量与式”的把握上做文章，适当降一下运算量的奢望也不敢有了。