磁场圆心与半径的确定

第十三章磁场

第七课时、带电粒子在有界匀强磁场中做圆周运动时圆心、运动时间的不确定问题

制定人：殷裕华审核人：胡怀平时间：2006年1月6日

一.热身训练

例题1．(97)如图，在x轴的上方（y≥0）存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。在原点O有一个离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m、电量为q的正离子，速率都为v。对那些在xy平面内运动的离子，在磁场中可能到达的最大x＝________________，最大y＝________________。

2mv/qB; 2mv/qB;

二、讲练平台

例题2．.环状匀强磁场围成的中空区域，具有束缚带电粒子的作用，中空区域中的带电粒子，只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘，设环状磁场的内半径为R1=0.5m，径R2=1.0m，磁场的磁感应强度B=1.0T，若被束缚的带电粒子的比荷为q/m=4×107

c/kg，中空区域中的带电粒子具有各个方向的速度。试计算：

（1）若粒子沿圆环的半径方向射入磁场，粒子不能穿过磁场的最大速度。（2）若粒子的速度方向各个方向都有，所有不能穿过磁场的粒子中速度最大的粒子的速度解析：（1）速度最大的沿半径方向飞出的粒子，作圆周运动的轨迹与大圆相

切。设其半径为r则qvB=mV22R2

1，最大速度为V11/r1 r1＋1=(R2－r1)解得最大

速度V107

1=1.5×m/s (2)在环形磁场中作圆周运动的最大半径对应的圆与大、小圆同时相切则，设作圆

周运动的半径为rqvB=mV2

2，对应的最大速度为V2则2/r2 r2=(R1＋R2)/2 解

得最大速度V7

1=3×10m/s

例题3．图中，虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感应

强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向外．O是MN上的一点，从O点可以向磁场区域发射电量为+q、质量为m、速率为v的粒子．粒子射入磁场时的速度可在纸面内向各个方向．已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇，P到O的距离为L，不计重力及粒子间的相互作用．

（1）求所考查的粒子在磁场中的轨道半径． （2）求这两个粒子从O点射入磁场的时间间隔．

解析：（1）设粒子在磁场中作圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律，有 qvB=mv2

/R 得 R=mv/qB ①

（2）如图所示，以OP为弦可画两个半径相同的圆，分别表示在P点相遇的两个粒子的轨道。圆心和直径分别为 O1、O2和OO1Q1,OO2Q2,在0处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方向，用θ表示它们之间的夹角。由几何关系可知 ∠PO1Q1=∠PO2Q2θ ② 从0点射入到相遇，粒子1的路程为半个圆周加弧长Q1P Q1P＝Pθ ③ 粒子2的路程为半个圆周减弧长PQ2=2 PQ2=Rθ ④ 粒子1运动的时间 t1=(1/2T)+(Rθ/v) ⑤

其中T为圆周运动的周期。粒子2运动的时间为t2=(1/2T)-(Rθ/v) ⑥ 两粒子射入的时间问隔 △t=t1-t2=2Rθ/V ① 因 Rcos(θ/2) =1/2L 得 θ =2arccos (L/2R) ③ 由①、①、③三式得 △t=4marccos(lqB/2mv)/qB

三、拓展提升

例题4．如图所示，真空室内有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B＝0.60T，磁场内有一块平行感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离l＝16cm处，有一个点状的α粒子发射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v＝3.0×106m/s．已知α粒子的电量与质量之比q/m＝5.0×107C/kg，现只考虑在纸平面中运动的α粒子，求ab上被α粒子打中的区域长度．

b a

c d

分析与解：洛伦兹力是α粒子作圆运动的向心力；计算出圆半径后，确定圆心的位置就成为解题的关键，α粒子轨迹与ab相切，以及α粒子离S最远的距离为2r是判定最远点的条件．如图11-3-2．

α粒子带正电，用左手定则判定α粒子在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用r表示轨

道半径，有Bqv＝mv2vr，解得r3106

m0.10m，可见2r>l>r． (q5.0107

0.6m

因向不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S，由此可知，某一圆轨迹在图中N左侧与ab相切，则此切点P1就是α粒子能打中的左侧最远点，为定出P1的位置，可作平行与ab的直线cd，cd到ab的距离为r＝0.10m．以S为圆心，r为半径，作弧交cd于Q点，过Q作ab的垂线，它与

ab的交点即为P1．由图中几何关系得：NP1

r2(lr)2．

再考虑N的右侧，任何α粒子在运动中离S的距离不可能超过2r，以2r为半径，S为圆心作圆，交ab于N右侧的P2点，P2即为α粒子在右侧能达到的最远点．由几何关系得：

NP24r2l2．

所求长度为：P1P2=NP1+NP2=0.20m．

点评：中左右两边最远点考虑方式不一样，不少同学会利用左右对称来解，这就失去了一半．错误的主要原因在于对于α粒子在空间飞行的轨迹不熟悉

【益智演练】

1. (05河北)如图，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为m带电量为+q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域。不计重力，不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可

能经过的区域，其中Rmv

Bq。哪个图是正确的（ A ）

A． B． C． D．

2．如图所示，半径为R=10cm的圆形匀强磁场，区域边界跟y轴相切于坐标系原点O，磁感应强度B=0.332T，方向垂直纸面向里，在O处放有一放射源

s，可沿纸面

向各个方向射出速率均为v=3.2×106m/s的α粒子，已知α粒子质量为m=6.64×10-27kg，q=3.2×

10-19m/s，求：

（1）画出α粒子通过磁场空间做圆周运动的圆心点的连线形状；（2）求出α粒子通过磁场的最大偏向角；

s （3）再以过O并垂直纸面的直线为轴轴旋转磁场区域，能使穿

过磁场区域且偏转角最大的α粒子射出磁场后，沿y轴正方

向运动，则圆形磁场直径OA至少应转过多少角度．

2．

（1）以原点为圆心，半径r=0.2m的一个半圆；（2）60o；（3）转过60o

3．核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内，通常采用磁约束的方法．如图所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内．设环状磁场的内半径Rl=0.5m，外半径R2=1.0m，磁场的磁感应强度B=1.0T．若被束缚带电粒子的荷质比为q／m=4×107c／kg．中空区域内带电粒子具有各个方向的速度．试计算：

（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度．（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度． 3．（1）1.5×107m/s；（2）1.0×107m/s

4．如图所示，有两个方向相反，均垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度分别为B和2B，MN是

它们的分界面，有一束电量均为q，但质量不全相同的带电粒子，经相同的电势差U加速后从分界面上的O点垂直于分界面射入磁场，求：

（1）质量多大的粒子可到达距O点为L的分界面上的P点？（2）这些不同的粒子到达P点需要的时间最长是多少？

8．（1） m= qL2B2qL2B2

18n2U（n=1、2、

3…）或m=

2(3n1)2U

（n=1、2、3…）；（2）tBL2