变力做功的计算
陕西省宝鸡市陈仓区教育局教研室（721300） 邢彦君
功是表示力在空间上的累积作用效果的物理量，被定义为力、物体的位移、力的方向与物体位移方向间夹角余弦三者的积。用公式表示就是：W =Fs cos α。在中学阶段，由于数学知识与方法的限制，运用此式只能计算恒力（力的大小、方向均保持不变）的功。那么，中学阶段，如何计算变力的功呢？
一、微元分析，化“变”为“恒”，运用公式W =F ∆s cos α计算
所谓微元分析，就是将变力做功的空间（位移）无限划分为相等的小段，这样，在每个小段里变力便可看作恒力，每个小段里的功可由公式W =Fs cos α计算，整个过程中变力的
功就是各小段里“恒力”功的总和，即W =∑F ∆s cos α。
例1. 用水平拉力拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，如图1所示，
已知物块的质量为m ，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。求此过程中摩擦力所做
的功。
分析与求解：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小f =μmg 不
变，方向时刻变化，是变力，不能直接用公式W =Fs cos α求解，但是我们可以
把圆周分成无数微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一
小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可
求得结果。
把圆轨道分成无穷多个微元段s 1、s 2、s 3、..... s n ，摩擦力在每一段上可认为是
恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，W 1=-μmgs 1，W 2=-μmgs 2，图1
W 3=-μmgs 3„„W n =-μmgs n 摩擦力在一周内所做的功
W =W 1+W 2+W 3+...... +W n =-μmg (s 1+s 2+s 3+...... +s n ) =-2πμgR 。
二、转换研究对象，化“变”为“恒”，运用公式W =Fs cos α计算 图2 牵引运动问题中，在一些特定条件下，可以找到与变力功相等的恒力的功，这样，就可将计算变力的功转化为计算恒力的功，运用公式W =Fs cos α计算。
例2. 如图３所示，用恒力F 作用在细绳一端，通过光滑定滑轮把静止在水平面的物体从位置A 拉到位置B ，物体的质量为m ，定滑轮距水平面的高度为h ，物体在水平面上
位置A 、B 时细绳与水平方向的夹角分别为α、β。求拉动过程中拉力对物
体做的功。
分析与求解：拉动物体过程中，人作用在细绳一端的拉力大小、方向均不变，由于定滑轮不改变力的大小，因此，作用在物体上的拉力大小亦保持
不变。 拉动过程中，物体在水平方向发生位移，作用在物体上的拉力的方向与位移方向间的夹角在发生变化，即拉动过中，作用在物体上的拉力是变
力，若以物体为研究对象，无法用公式W =Fs cos α计算出拉力对物体做的功。 图３ 由于题中的滑轮是光滑的，因此，拉力对物体做的功等于人对细绳一端
做的功，由于作用在细绳一端的力是恒力，其功可用公式W =Fs cos α求解。
以细绳被拉一端为研究对象，则物体被从A 拉至B 过程中，细绳被拉端的位移大小为s =h (11-) ，方向竖直向下，与F 方向一致，故人对细绳被拉端做的功为sin αsin β
11-) ，由于滑轮是光滑的，所以，拉力对物体做的功与拉力（人）对细sin αsin βW
=Fs =Fs =Fh (
绳被拉端做的功相等，也是Fh (11-) 。 sin αsin β
三、巧用“面积”，运用图像求解
由W =Fs cos α可知，当力的方向与位移方向一致（α=0）时，W =Fs 。在F-s 图像中，功W 可以用图线与坐标轴所围成的图形的面积来表示。因此，可建立F-ｓ图像，通过计算“面积”求解变力F 的功。
5 例３. 一辆汽车质量为1×10kg ，从静止开始运动，其阻力f 为车重
的0.05倍。牵引力F 的大小与车前进的距离是线性关系，且F =103s +f ，
当该车前进100m 时，牵引力做了多少功？
分析与求解：由题知，阻力f =0. 05mg =5⨯104N 。牵引力为
F =(103s +5⨯104) N 。作出F －s 图象如图4所示，图中梯形OABD 的面
7积表示牵引力的功，所以：W =1. 0⨯10J 。
四、等量代换，运用动能定理求解
由动能定理知，作用在物体上的外力的功的代数和等于物体动能的增图4 量。这些外力中，有些是恒力，有些是变力。那么，通过计算物体动能的变
化量，也就可求得变力的功。
例４．如图5所示，物体沿曲面从A 点无初速度滑下，滑至曲面的最低点B
时，下滑的高度为5m ，速度为6m/s。若物体的质量为1kg 。则下滑过程中物体克
服阻力所做的功为多少？ 图5
分析与求解：物体从A 运动到B 的过程中，所受的阻力是变力，不能用公式
W =Fs cos α计算其功。对物体的这一运动过程运用动能定理有：W G +W f =E kt -E ko ，即mgh +W f =1212mv t -mv o ，代入已知数据解得：W f =-32J 。即物体克服阻力做的功为32J 。 22
五、寻找守恒量，运用守恒定律求解
寻找守恒量使求解便利做工的重要途径，如利用机械能守恒定律、能量守恒定律等。
例５．如图6所示，质量m ＝2kg 的小球系在轻细橡皮条一端，另一端固定在悬点O 处。将橡皮条拉直至水平位置OA 处（橡皮条无形变）然后将小球从A 处由静止释放，小球到达O 点正下方h ＝0.5m 处的B 点时的速度为v ＝2m/s。求小球从A 运动到B 的过程中橡皮条的弹力对小球
2所做的功。取g ＝10m/s。
分析与求解：取小球、橡皮条和地球组成的系统为研究对象，在小球从A 运
动到B 的过程中，只有系统内的重力和弹力做功，机械能守恒。
取过B 点的水平面为零重力势能参考平面，橡皮条为原长时的弹性势能为零。
设在B 时橡皮条的弹性势能为ΔE p ，由机械能守恒定律得：
12mv +∆E P =mgh ，代入已知数据解得，小球由A 运动至Ｂ过程中，橡皮2
条的弹性势能增加了ΔE p =6J。故，橡皮条的弹力对小球做的功是：-6J 。
作者地址：陕西省宝鸡市陈仓区教育局教研室
邮 编：721300
电 话：[1**********]
图6
变力做功的计算
陕西省宝鸡市陈仓区教育局教研室（721300） 邢彦君
功是表示力在空间上的累积作用效果的物理量，被定义为力、物体的位移、力的方向与物体位移方向间夹角余弦三者的积。用公式表示就是：W =Fs cos α。在中学阶段，由于数学知识与方法的限制，运用此式只能计算恒力（力的大小、方向均保持不变）的功。那么，中学阶段，如何计算变力的功呢？
一、微元分析，化“变”为“恒”，运用公式W =F ∆s cos α计算
所谓微元分析，就是将变力做功的空间（位移）无限划分为相等的小段，这样，在每个小段里变力便可看作恒力，每个小段里的功可由公式W =Fs cos α计算，整个过程中变力的
功就是各小段里“恒力”功的总和，即W =∑F ∆s cos α。
例1. 用水平拉力拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，如图1所示，
已知物块的质量为m ，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。求此过程中摩擦力所做
的功。
分析与求解：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小f =μmg 不
变，方向时刻变化，是变力，不能直接用公式W =Fs cos α求解，但是我们可以
把圆周分成无数微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一
小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可
求得结果。
把圆轨道分成无穷多个微元段s 1、s 2、s 3、..... s n ，摩擦力在每一段上可认为是
恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，W 1=-μmgs 1，W 2=-μmgs 2，图1
W 3=-μmgs 3„„W n =-μmgs n 摩擦力在一周内所做的功
W =W 1+W 2+W 3+...... +W n =-μmg (s 1+s 2+s 3+...... +s n ) =-2πμgR 。
二、转换研究对象，化“变”为“恒”，运用公式W =Fs cos α计算 图2 牵引运动问题中，在一些特定条件下，可以找到与变力功相等的恒力的功，这样，就可将计算变力的功转化为计算恒力的功，运用公式W =Fs cos α计算。
例2. 如图３所示，用恒力F 作用在细绳一端，通过光滑定滑轮把静止在水平面的物体从位置A 拉到位置B ，物体的质量为m ，定滑轮距水平面的高度为h ，物体在水平面上
位置A 、B 时细绳与水平方向的夹角分别为α、β。求拉动过程中拉力对物
体做的功。
分析与求解：拉动物体过程中，人作用在细绳一端的拉力大小、方向均不变，由于定滑轮不改变力的大小，因此，作用在物体上的拉力大小亦保持
不变。 拉动过程中，物体在水平方向发生位移，作用在物体上的拉力的方向与位移方向间的夹角在发生变化，即拉动过中，作用在物体上的拉力是变
力，若以物体为研究对象，无法用公式W =Fs cos α计算出拉力对物体做的功。 图３ 由于题中的滑轮是光滑的，因此，拉力对物体做的功等于人对细绳一端
做的功，由于作用在细绳一端的力是恒力，其功可用公式W =Fs cos α求解。
以细绳被拉一端为研究对象，则物体被从A 拉至B 过程中，细绳被拉端的位移大小为s =h (11-) ，方向竖直向下，与F 方向一致，故人对细绳被拉端做的功为sin αsin β
11-) ，由于滑轮是光滑的，所以，拉力对物体做的功与拉力（人）对细sin αsin βW
=Fs =Fs =Fh (
绳被拉端做的功相等，也是Fh (11-) 。 sin αsin β
三、巧用“面积”，运用图像求解
由W =Fs cos α可知，当力的方向与位移方向一致（α=0）时，W =Fs 。在F-s 图像中，功W 可以用图线与坐标轴所围成的图形的面积来表示。因此，可建立F-ｓ图像，通过计算“面积”求解变力F 的功。
5 例３. 一辆汽车质量为1×10kg ，从静止开始运动，其阻力f 为车重
的0.05倍。牵引力F 的大小与车前进的距离是线性关系，且F =103s +f ，
当该车前进100m 时，牵引力做了多少功？
分析与求解：由题知，阻力f =0. 05mg =5⨯104N 。牵引力为
F =(103s +5⨯104) N 。作出F －s 图象如图4所示，图中梯形OABD 的面
7积表示牵引力的功，所以：W =1. 0⨯10J 。
四、等量代换，运用动能定理求解
由动能定理知，作用在物体上的外力的功的代数和等于物体动能的增图4 量。这些外力中，有些是恒力，有些是变力。那么，通过计算物体动能的变
化量，也就可求得变力的功。
例４．如图5所示，物体沿曲面从A 点无初速度滑下，滑至曲面的最低点B
时，下滑的高度为5m ，速度为6m/s。若物体的质量为1kg 。则下滑过程中物体克
服阻力所做的功为多少？ 图5
分析与求解：物体从A 运动到B 的过程中，所受的阻力是变力，不能用公式
W =Fs cos α计算其功。对物体的这一运动过程运用动能定理有：W G +W f =E kt -E ko ，即mgh +W f =1212mv t -mv o ，代入已知数据解得：W f =-32J 。即物体克服阻力做的功为32J 。 22
五、寻找守恒量，运用守恒定律求解
寻找守恒量使求解便利做工的重要途径，如利用机械能守恒定律、能量守恒定律等。
例５．如图6所示，质量m ＝2kg 的小球系在轻细橡皮条一端，另一端固定在悬点O 处。将橡皮条拉直至水平位置OA 处（橡皮条无形变）然后将小球从A 处由静止释放，小球到达O 点正下方h ＝0.5m 处的B 点时的速度为v ＝2m/s。求小球从A 运动到B 的过程中橡皮条的弹力对小球
2所做的功。取g ＝10m/s。
分析与求解：取小球、橡皮条和地球组成的系统为研究对象，在小球从A 运
动到B 的过程中，只有系统内的重力和弹力做功，机械能守恒。
取过B 点的水平面为零重力势能参考平面，橡皮条为原长时的弹性势能为零。
设在B 时橡皮条的弹性势能为ΔE p ，由机械能守恒定律得：
12mv +∆E P =mgh ，代入已知数据解得，小球由A 运动至Ｂ过程中，橡皮2
条的弹性势能增加了ΔE p =6J。故，橡皮条的弹力对小球做的功是：-6J 。
作者地址：陕西省宝鸡市陈仓区教育局教研室
邮 编：721300
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图6