3.3 万有引力定律的应用
[学习目标定位] 1. 了解重力等于万有引力的条件.2. 了解万有引力定律在天文学上的重要应用.3. 会用万有引力定律计算天体的质量.4. 会应用万有引力定律结合圆周运动的知识求解天体运动的有关物理量．
一、预言彗星回归
哈雷利用万有引力定律解释了1531年、1607年和1682年三次出现的彗星，实际上是同一颗彗星的三次回归，并预言彗星将于1758年再次出现．克雷洛计算了木星和土星对这颗彗星运动规律的影响，指出它将推迟于1759年4月份经过近日点，这个预言果然得到了证实． 二、预言未知星体
1．英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文爱好者勒维耶，根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出天王星轨道外面“新”行星的轨道.1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置发现了这颗行星——海王星． 2．1930三、计算天体质量
1m 的物体受到的重力等M m gR 2
于地球对物体的万有引力，即mg ＝G M E ＝R G 2．计算太阳的质量：太阳质量m S ，行星质量m ，轨道半径r 行星与太阳的距离，行星m S m 2π24π2r 3
公转周期T ，则G m r ，太阳质量m S ＝m 无关．
r T GT
一、“称量”地球质量 [问题设计]
1．卡文迪许在实验室测量出了引力常量G 的值，从而“称量”出了地球的质量，你知道他是怎样“称量”地球质量的吗？
答案 若忽略地球自转的影响，在地球表面上质量为m 的物体所受的重力mg 等于地球GM m gR 2
对物体的引力，即mg ＝，所以有M E ＝G ，便可“称量”地球的
R G
质量．
2．设地面附近的重力加速度g ＝9.8 m/s2，地球半径R ＝6.4×106 m，引力常量G ＝6.67×10
－11
N·m 2/kg2，试估算地球的质量．
62
gR 29.8×(6.4×10)
答案 M E ＝ kg ≈6.0×1024 kg －G 6.67×10
[要点提炼] 1．地球质量的计算
M m gR 2
在地面上，忽略地球自转的影响，由mg ＝G M E ＝R G 2．其他星球质量的计算
若已知天体的半径R 和天体表面的重力加速度g ，与地球质量的计算方法类似，即可计gR 2
算出此天体的质量M ＝.
G 二、计算天体质量 [问题设计]
1．我们知道行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力提供的，如果我们要“称量”出太阳的质量，应该知道哪些条件？
Gm m 4π24π2r 3
答案 由知m S ＝由此可知需要知道某行星的公转周期T 和它与太
r T GT 阳的距离r .
2．天体质量及半径求出后，如何得到天体的平均密度？
M M 3M
答案 知道天体的半径，则可由ρ＝得到天体的密度ρ.
V 434πR R 3[要点提炼]
1．计算天体质量的方法
分析围绕该天体运动的行星(或卫星) ，测出行星(或卫星) 的运行周期和轨道半径，由万GMm 4π24π2r 3
有引力提供向心力即可求中心天体的质量．由m ，得M .
r T GT 2．天体密度的计算方法
M
根据密度的公式ρ＝
43R 3GMm 4
(1)由天体表面的重力加速度g 和半径R ，求此天体的密度．由mg ＝和M ＝ρπR 3，
R 3得ρ＝
3g
. 4πGR
(2)若天体的某个行星(或卫星) 的轨道半径为r ，运行周期为T ，中心天体的半径为R ，
Mm 4π2433πr 3
则由G mr 和M ＝ρπR ，得ρ＝.
r T 3GT R
注意 R 、r 的意义不同，一般地R 指中心天体的半径，r 指行星或卫星的轨道半径，若3π
绕近地轨道运行，则有R ＝r ，此时ρ.
GT 三、天体运动的分析与计算
1．基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供． 2．常用关系：
v 2Mm 4π22
(1)G ma ＝m mωr ＝m
r r T (2)忽略自转时，mg ＝G
Mm
(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力) ，整理可R 得：gR 2＝GM ，该公式通常被称为“黄金代换式”．
3．四个重要结论：设质量为m 的天体绕另一质量为M 的中心天体做半径为r 的匀速圆周运动．
v Mm
(1)由G m v ＝
r r Mm
(2)由G mω2r 得ω＝
r
2
r 越大，v 越小． r
，r 越大，ω越小． r r r 越大，T 越大． GM
Mm 2π
(3)由G m 2r 得T ＝2π
r T
Mm GM
(4)由G ma 向得a 向＝r 越大，a
向越小．
r r
一、天体质量和密度的计算
例1 地球表面的平均重力加速度为g ，地球半径为R ，引力常量为G ，可估算地球的平均密度为( ) 3g 3g
4πRG 4πR G g g D. RG RG
Mm
解析 忽略地球自转的影响，对处于地球表面的物体，有mg ＝G ，又地球质量M ＝
R 43g ρV＝πR 3ρ，代入上式化简可得地球的平均密度ρ＝3答案 A
例2 假设在半径为R 的某天体上发射一颗该天体的卫星．若它贴近该天体的表面做
匀速圆周运动的周期为T 1，已知引力常量为G . (1)则该天体的密度是多少？
(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h ，测得在该处做圆周运动的周期为T 2，则该天体的密度又是多少？
Mm 4π2
解析 (1)设卫星的质量为m ，天体的质量为M ，卫星贴近天体表面运动时有G R T 14π2R 3
R ，M ＝GT 1
4
根据数学知识可知天体的体积为V ＝πR 3
3M 4π2R 33π
故该天体的密度为ρ＝V 43GT 1
GT 21πR 3(2)卫星距天体表面距离为h 时，忽略自转有 Mm 4π2
G m (R ＋h )
T 2(R ＋h )4π2(R ＋h )3
M ＝
GT 2
233M 4π(R ＋h )3π(R ＋h )ρ＝＝ V GT 2R 243
GT 2πR
3
3π(R ＋h )33π
答案 (1)(2) GT 1GT 2R 二、天体运动的分析与计算
例3 质量为m 的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M ，月球半径为R ，月球表面重力加速度为g ，引力常量为G ，不考虑月球自转的影响，则航天器的( ) A ．线速度v ＝
B ．角速度ω＝gR R
Gm D ．向心加速度a ＝g R
C ．运行周期T ＝Mm
解析 探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，万有引力提供向心力，有G ＝ma
R v 24π2GM 2
＝m mωR ＝m R ，可得a ＝v ＝
R T R
ω＝ R
，T ＝2π R ，所以GM
Mm
A 正确，D 错误；又由于不考虑月球自转的影响，则G mg ，即GM ＝gR 2，所以ω
R ＝
，T ＝R
B 错误，C 正确． g
答案 AC
例4 据报道，天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55 1
Cancri e”．该行星绕母星(中心天体) 运行的周期约为地球绕太阳运行周期的480的体积约为太阳的60倍．假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e ”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与地球的( ) A ．轨道半径之比约为
3 480348033
60×480 60×480
B ．轨道半径之比约为
C ．向心加速度之比约为 D ．向心加速度之比约为
3Mm 2π2
解析 由公式G m () r ，可得通式r ＝ “55 Cancri e ”的轨道半径
r T 4π33r 为r 1，地球轨道半径为r 2，则 ＝ A 错，B 对；再由
r 2M 2T 248033
Mm M a M r 2G ＝ma 得通式a ＝G ，则＝ ＝60×
480
，所以C 、D 皆错． r r a 2M 2r 1M 2T 1答案 B
1．(天体质量的计算) “嫦娥三号”探月卫星于2013年12月2日凌晨在西昌卫星发射
中心发射，实现了“落月”的新阶段．若已知引力常量为G ，月球绕地球做圆周运动的半径为r 1、周期为T 1，“嫦娥三号”探月卫星做圆周运动的环月轨道半径为r 2、周期为T 2，不计其他天体的影响，根据题目条件可以( ) A ．求出“嫦娥三号”探月卫星的质量 B ．求出月球的质量 r 3r 3C ．得出＝
T 1T 2D ．求出地球的密度 答案 B
GM 地m 月4π2
解析 研究月球绕地球的圆周运动根据万有引力提供向心力有m 月1，解得
r T 114π2r 3M 地＝D 错误；同理，研究“嫦
GT 14π2r 32
娥三号”绕月球的圆周运动可得月球的质量M 月但无法得出“嫦娥三号”的质
GT 2r 3
量，故A 错误，B 正确；开普勒第三定律中T
3
r 3r 运动时的规律，月球和“嫦娥三号”绕不同的中心天体运动，则，故C 错误．
T 1T 2
2．(天体运动的分析与计算) 据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形工作轨道距月球表面分别约为200 km 和100 km ，运行速度分别为v 1和v 2，那么，v 1和v 2的比值为(月球半径取1 700 km)( ) 19 18答案 C
v 2Mm
解析 由G ＝m 得v ＝
r r 选项C 正确．
3．(天体运动的分析与计算) 一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T ，速度为v ，引力常量为G ，则( ) v 3T
A ．恒星的质量为2πG 4π2v 3
B ．行星的质量为GT v T
C ．行星运动的轨道半径为2π2πv
D
T 答案 ACD
1818 D. 1919
v 1GM
则＝r 2
r r 11 700 km＋100 km
1 700 km＋200 km18，故19
v v v T v 2v 2r v 3T GMm
解析 r ＝＝C 对；由＝m M ＝＝A 对；无法计算行星的质
ω2π2πr r G 2πG
T 2πv
量，B 错；a ＝ω2r ＝ωv ＝v ，D 对.
T
3.3 万有引力定律的应用
[学习目标定位] 1. 了解重力等于万有引力的条件.2. 了解万有引力定律在天文学上的重要应用.3. 会用万有引力定律计算天体的质量.4. 会应用万有引力定律结合圆周运动的知识求解天体运动的有关物理量．
一、预言彗星回归
哈雷利用万有引力定律解释了1531年、1607年和1682年三次出现的彗星，实际上是同一颗彗星的三次回归，并预言彗星将于1758年再次出现．克雷洛计算了木星和土星对这颗彗星运动规律的影响，指出它将推迟于1759年4月份经过近日点，这个预言果然得到了证实． 二、预言未知星体
1．英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文爱好者勒维耶，根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出天王星轨道外面“新”行星的轨道.1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置发现了这颗行星——海王星． 2．1930三、计算天体质量
1m 的物体受到的重力等M m gR 2
于地球对物体的万有引力，即mg ＝G M E ＝R G 2．计算太阳的质量：太阳质量m S ，行星质量m ，轨道半径r 行星与太阳的距离，行星m S m 2π24π2r 3
公转周期T ，则G m r ，太阳质量m S ＝m 无关．
r T GT
一、“称量”地球质量 [问题设计]
1．卡文迪许在实验室测量出了引力常量G 的值，从而“称量”出了地球的质量，你知道他是怎样“称量”地球质量的吗？
答案 若忽略地球自转的影响，在地球表面上质量为m 的物体所受的重力mg 等于地球GM m gR 2
对物体的引力，即mg ＝，所以有M E ＝G ，便可“称量”地球的
R G
质量．
2．设地面附近的重力加速度g ＝9.8 m/s2，地球半径R ＝6.4×106 m，引力常量G ＝6.67×10
－11
N·m 2/kg2，试估算地球的质量．
62
gR 29.8×(6.4×10)
答案 M E ＝ kg ≈6.0×1024 kg －G 6.67×10
[要点提炼] 1．地球质量的计算
M m gR 2
在地面上，忽略地球自转的影响，由mg ＝G M E ＝R G 2．其他星球质量的计算
若已知天体的半径R 和天体表面的重力加速度g ，与地球质量的计算方法类似，即可计gR 2
算出此天体的质量M ＝.
G 二、计算天体质量 [问题设计]
1．我们知道行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力提供的，如果我们要“称量”出太阳的质量，应该知道哪些条件？
Gm m 4π24π2r 3
答案 由知m S ＝由此可知需要知道某行星的公转周期T 和它与太
r T GT 阳的距离r .
2．天体质量及半径求出后，如何得到天体的平均密度？
M M 3M
答案 知道天体的半径，则可由ρ＝得到天体的密度ρ.
V 434πR R 3[要点提炼]
1．计算天体质量的方法
分析围绕该天体运动的行星(或卫星) ，测出行星(或卫星) 的运行周期和轨道半径，由万GMm 4π24π2r 3
有引力提供向心力即可求中心天体的质量．由m ，得M .
r T GT 2．天体密度的计算方法
M
根据密度的公式ρ＝
43R 3GMm 4
(1)由天体表面的重力加速度g 和半径R ，求此天体的密度．由mg ＝和M ＝ρπR 3，
R 3得ρ＝
3g
. 4πGR
(2)若天体的某个行星(或卫星) 的轨道半径为r ，运行周期为T ，中心天体的半径为R ，
Mm 4π2433πr 3
则由G mr 和M ＝ρπR ，得ρ＝.
r T 3GT R
注意 R 、r 的意义不同，一般地R 指中心天体的半径，r 指行星或卫星的轨道半径，若3π
绕近地轨道运行，则有R ＝r ，此时ρ.
GT 三、天体运动的分析与计算
1．基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供． 2．常用关系：
v 2Mm 4π22
(1)G ma ＝m mωr ＝m
r r T (2)忽略自转时，mg ＝G
Mm
(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力) ，整理可R 得：gR 2＝GM ，该公式通常被称为“黄金代换式”．
3．四个重要结论：设质量为m 的天体绕另一质量为M 的中心天体做半径为r 的匀速圆周运动．
v Mm
(1)由G m v ＝
r r Mm
(2)由G mω2r 得ω＝
r
2
r 越大，v 越小． r
，r 越大，ω越小． r r r 越大，T 越大． GM
Mm 2π
(3)由G m 2r 得T ＝2π
r T
Mm GM
(4)由G ma 向得a 向＝r 越大，a
向越小．
r r
一、天体质量和密度的计算
例1 地球表面的平均重力加速度为g ，地球半径为R ，引力常量为G ，可估算地球的平均密度为( ) 3g 3g
4πRG 4πR G g g D. RG RG
Mm
解析 忽略地球自转的影响，对处于地球表面的物体，有mg ＝G ，又地球质量M ＝
R 43g ρV＝πR 3ρ，代入上式化简可得地球的平均密度ρ＝3答案 A
例2 假设在半径为R 的某天体上发射一颗该天体的卫星．若它贴近该天体的表面做
匀速圆周运动的周期为T 1，已知引力常量为G . (1)则该天体的密度是多少？
(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h ，测得在该处做圆周运动的周期为T 2，则该天体的密度又是多少？
Mm 4π2
解析 (1)设卫星的质量为m ，天体的质量为M ，卫星贴近天体表面运动时有G R T 14π2R 3
R ，M ＝GT 1
4
根据数学知识可知天体的体积为V ＝πR 3
3M 4π2R 33π
故该天体的密度为ρ＝V 43GT 1
GT 21πR 3(2)卫星距天体表面距离为h 时，忽略自转有 Mm 4π2
G m (R ＋h )
T 2(R ＋h )4π2(R ＋h )3
M ＝
GT 2
233M 4π(R ＋h )3π(R ＋h )ρ＝＝ V GT 2R 243
GT 2πR
3
3π(R ＋h )33π
答案 (1)(2) GT 1GT 2R 二、天体运动的分析与计算
例3 质量为m 的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M ，月球半径为R ，月球表面重力加速度为g ，引力常量为G ，不考虑月球自转的影响，则航天器的( ) A ．线速度v ＝
B ．角速度ω＝gR R
Gm D ．向心加速度a ＝g R
C ．运行周期T ＝Mm
解析 探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，万有引力提供向心力，有G ＝ma
R v 24π2GM 2
＝m mωR ＝m R ，可得a ＝v ＝
R T R
ω＝ R
，T ＝2π R ，所以GM
Mm
A 正确，D 错误；又由于不考虑月球自转的影响，则G mg ，即GM ＝gR 2，所以ω
R ＝
，T ＝R
B 错误，C 正确． g
答案 AC
例4 据报道，天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55 1
Cancri e”．该行星绕母星(中心天体) 运行的周期约为地球绕太阳运行周期的480的体积约为太阳的60倍．假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e ”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与地球的( ) A ．轨道半径之比约为
3 480348033
60×480 60×480
B ．轨道半径之比约为
C ．向心加速度之比约为 D ．向心加速度之比约为
3Mm 2π2
解析 由公式G m () r ，可得通式r ＝ “55 Cancri e ”的轨道半径
r T 4π33r 为r 1，地球轨道半径为r 2，则 ＝ A 错，B 对；再由
r 2M 2T 248033
Mm M a M r 2G ＝ma 得通式a ＝G ，则＝ ＝60×
480
，所以C 、D 皆错． r r a 2M 2r 1M 2T 1答案 B
1．(天体质量的计算) “嫦娥三号”探月卫星于2013年12月2日凌晨在西昌卫星发射
中心发射，实现了“落月”的新阶段．若已知引力常量为G ，月球绕地球做圆周运动的半径为r 1、周期为T 1，“嫦娥三号”探月卫星做圆周运动的环月轨道半径为r 2、周期为T 2，不计其他天体的影响，根据题目条件可以( ) A ．求出“嫦娥三号”探月卫星的质量 B ．求出月球的质量 r 3r 3C ．得出＝
T 1T 2D ．求出地球的密度 答案 B
GM 地m 月4π2
解析 研究月球绕地球的圆周运动根据万有引力提供向心力有m 月1，解得
r T 114π2r 3M 地＝D 错误；同理，研究“嫦
GT 14π2r 32
娥三号”绕月球的圆周运动可得月球的质量M 月但无法得出“嫦娥三号”的质
GT 2r 3
量，故A 错误，B 正确；开普勒第三定律中T
3
r 3r 运动时的规律，月球和“嫦娥三号”绕不同的中心天体运动，则，故C 错误．
T 1T 2
2．(天体运动的分析与计算) 据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形工作轨道距月球表面分别约为200 km 和100 km ，运行速度分别为v 1和v 2，那么，v 1和v 2的比值为(月球半径取1 700 km)( ) 19 18答案 C
v 2Mm
解析 由G ＝m 得v ＝
r r 选项C 正确．
3．(天体运动的分析与计算) 一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T ，速度为v ，引力常量为G ，则( ) v 3T
A ．恒星的质量为2πG 4π2v 3
B ．行星的质量为GT v T
C ．行星运动的轨道半径为2π2πv
D
T 答案 ACD
1818 D. 1919
v 1GM
则＝r 2
r r 11 700 km＋100 km
1 700 km＋200 km18，故19
v v v T v 2v 2r v 3T GMm
解析 r ＝＝C 对；由＝m M ＝＝A 对；无法计算行星的质
ω2π2πr r G 2πG
T 2πv
量，B 错；a ＝ω2r ＝ωv ＝v ，D 对.
T