例1．在(a +b ) n
证明：在展开式
0n 1n r n -r r n n
(a +b ) n =C n a +C n a b + +C n a b + +C n b (n ∈N *)
中，令
n 0123n n
a =1, b =-1，则(1-1) =C n -C n +C n -C n + +(-1) C n ，
即0=(C n ∴C n
213
+C n + ) -(C n +C n + ) ，
213
+C n + =C n +C n + ，
n
即在(a +b ) 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 说明：由性质（3）及例1知C n 例2．已知(1-2x ) （1）a 1+a 2解：（1）当x
7
213
+C n + =C n +C n + =2n -1.
=a 0+a 1x +a 2x 2+ +a 7x 7，求：
+ +a 7； （2）a 1+a 3+a 5+a 7； （3）|a 0|+|a 1|+ +|a 7|.
=1时，(1-2x ) 7=(1-2) 7=-1，展开式右边为
a 0+a 1+a 2+ +a 7
∴a 0当x
+a 1+a 2+ +a 7=-1，
=0时，a 0=1，∴a 1+a 2+ +a 7=-1-1=-2，
=1， a 0+a 1+a 2+ +a 7=-1 ①
（2）令x 令x
=-1，a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5+a 6-a 7=37 ②
7
1+37
①-② 得：2(a 1+a 3+a 5+a 7) =-1-3，∴ a 1+a 3+a 5+a 7=-
2
（3）由展开式知：a 1, a 3, a 5, a 7均为负，a 0, a 2, a 4, a 8均为正， ∴由（2）中①+② 得：2(a 0
.
+a 2+a 4+a 6) =-1+37，
，
-1+37
∴ a 0+a 2+a 4+a 6=
2
∴|a 0
|+|a 1|+ +|a 7|=a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5+a 6-a 7
=(a 0+a 2+a 4+a 6) -(a 1+a 3+a 5+a 7) =37
例3. 求(1+x)+(1+x)+„+(1+x)展开式中x 2103
(1+x )[1-(1+x ) 10]
解：(1+x ) +(1+x ) + （1+x ）=
1-(1+x )
2
10
(x +1) 11-(x +1) =，
x
∴原式中x 实为这分子中的x ，则所求系数为C 347
第二课时
例4. 在(x+3x+2)的展开式中，求x 25
解：∵(x
2
+3x +2) 5=(x +1) 5(x +2) 5
1
∴在(x+1)展开式中，常数项为1，含x 的项为C 5
55
5
=5x ，
1
4
在(2+x)展开式中，常数项为2=32，含x 的项为C 52∴展开式中含x 的项为 1⋅(80x ) +5x (32) ∴此展开式中x 的系数为x =80x
=240x ，
例5. 已知(
x -
2n
) 的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项x 2
解：依题意C n
4
42
:C 2=14:3⇒3C =14C n n n
∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!⇒设第r+1项为常数项，又 T r +1
=C (x )
r
10
10-r
2r (-2) r =(-2) r C 10x x
10-5r 2
令
10-5r
=0⇒r =2， 2
2
∴T 2+1=C 10(-2) 2=180. 此所求常数项为例6． 设当a 0
(1+x )+(1+x )+(1+x )
23
+ +(1+x )=a 0+a 1x +a 2x 2+ +a n x n ，
n
+a 1+a 2+ +a n =254时，求n =1得：
2
3
n
解：令x
2(2n -1)
=254， a 0+a 1+a 2+ +a n =2+2+2+ +2=
2-1
∴2
n
=128, n =7，
f (x ) =a 0(x -a ) n +a 1(x -a ) n -1+ +a n ，令x -a =1, 即x =a +1可得各项系
点评：对于
数的和a 0
+a 1+a 2+ +a n 的值；令x -a =-1, 即x =a -1，可得奇数项系数和与偶数项和的关系
例7．求证：C n
1
23n
+2C n +3C n + +nC n =n ⋅2n -1．
123n
=C n ① +2C n +3C n + +nC n
证（法一）倒序相加：设S 又∵S ∵C n
r
n n -1n -221
=nC n +(n -1) C n +(n -2) C n + +2C n +C n n -r 0n 1n -1
，∴C n =C n , C n =C n , ， =C n
012n =n (C n +C n +C n + +C n )，
②
由①+②得：2S ∴S
=
1123n
⋅n ⋅2n =n ⋅2n -1，即C n +2C n +3C n + +nC n =n ⋅2n -1． 2
（法二）：左边各组合数的通项为
r
=r ⋅rC n
n ! n ⋅(n -1)! r -1
==nC n -1，
r !(n -r )! (r -1)!(n -r )!
∴ C n
1
23n 012n -1n -1
+2C n +3C n + +nC n =n (C n ． -1+C n -1+C n -2+ +C n -1)=n ⋅2
例8．在(2x -3y ) 的展开式中, 求: ①二项式系数的和; ②各项系数的和;
③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.
分析:因为二项式系数特指组合数C n , 故在①, ③中只需求组合数的和, 而与二项式2x -3y 中的系数无关.
解：设(2x -3y )
10
r
10
=a 0x 10+a 1x 9y +a 2x 8y 2+ +a 10y 10(*),
各项系数和即为
a 0+a 1+ +a 10, 奇数项系数和为a 0+a 2+ +a 10, 偶数项系数和为
a 1+a 3+a 5+ +a 9, x 的奇次项系数和为a 1+a 3+a 5+ +a 9, x 的偶次项系数和a 0+a 2+a 4+ +a 10.
由于(*)是恒等式, 故可用“赋值法”求出相关的系数和. ①二项式系数和为C 10
110
+C 10+ +C 10=210.
②令x =
y =1, 各项系数和为(2-3) 10=(-1) 10=1.
210+C 10+ +C 10=29,
③奇数项的二项式系数和为C 10偶数项的二项式系数和为C 10④设(2x -3y ) 令x =
10
1
39+C 10+ +C 10=29.
=a 0x 10+a 1x 9y +a 2x 8y 2+ +a 10y 10,
y =1, 得到a 0+a 1+a 2+ +a 10=1„(1),
y =-1(或x =-1, y =1) 得a 0-a 1+a 2-a 3+ +a 10=510„(2)
令x =1,
(1)+(2)得2(a 0
+a 2+ +a 10) =1+510,
10
∴奇数项的系数和为1+5;
2
(1)-(2)得2(a 1
+a 3+ +a 9) =1-510,
10
∴偶数项的系数和为1-5
2
.
10
⑤x 的奇次项系数和为a +a +a + +a =1-51359
2
;
10
x 的偶次项系数和为a 0+a 2+a 4+ +a 10=1+5.
2
点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”, “奇(偶) 数项系数和与奇(偶) 次项系数和”严格地区别开来, “赋值法”是求系数和的常规方法之一.
第三课时
例9．已知(x +x 2) 2n 的展开式的系数和比(3x -1) n 的展开式的系数和大992, 求(2x -1) 2n 的展开
x
式中:①二项式系数最大的项; ②系数的绝对值最大的项.
解：由题意2①(2x -即T 6
2n
-2n =992, 解得n =5.
110
) 的展开式中第6项的二项式系数最大, x
15
=T 5+1=C 10⋅(2x ) 5⋅(-) 5=-8064.
x
1r r
=C 10⋅(2x ) 10-r ⋅(-) r =(-1) r ⋅C 10⋅210-r ⋅x 10-2r
x
②设第r +1项的系数的绝对值最大, 则T r +1
r 10-r r -1r r -1⎧⎧≥C 10⋅210-r +1⎧11-r ≥2r ⎪C 10⋅2⎪C 10≥2C 10∴⎨, 得⎨, 即⎨
r 10-r r +110-r -1r r +12(r +1) ≥10-r ⎪⎪≥C 10⋅2⎩⎩C 10⋅2⎩2C 10≥C 10
∴8≤r ≤11, ∴r =3, 故系数的绝对值最大的是第4项33
例10．已知：(x
2
3
+3x 2) n 的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2解：令x
=1，则展开式中各项系数和为(1+3) n =22n ，
n
又展开式中二项式系数和为2， ∴2
2n
-2n =992，n =5．
=5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，
2
33
22
6
232
223
（1）∵n ∴T 3
25
=C (x ) (3x ) =90x
，T 4
=C (x ) (3x ) =270x
r 5
2
35-r
2r
35
23
，
r
r 5
10+4r 3
（2）设展开式中第r
+1项系数最大，则T r +1=C (x )
(3x ) =3C x
，
r r r -1r -1⎧79⎪3C 5≥3C 5
⇒≤r ≤∴⎨，∴r =4，
r r r +1r +1
22⎪⎩3C 5≥3C 5
即展开式中第5项系数最大，T 5例11．已知S n
=C (x )(3x ) =405x
4
5
23
24
263
．
1n -12n -2n -1
=2n +C n 2+C n 2+ +C n ⋅2+1(n ∈N +) ，
求证：当n 为偶数时，S n
-4n -1能被64分析：由二项式定理的逆用化简S n ，再把S n ∵S n ∴S n ∴S n
-4n -1变形，化为含有因数641n -12n -2n -1
=2n +C n 2+C n 2+ +C n ⋅2+1=(2+1) n =3n ，
， -4n -1=3n -4n -1，∵n 为偶数，∴设n =2k （k ∈N *）
-4n -1=32k -8k -1=(8+1) k -8k -1
1k -1=C k 08k +C k 8+ +C k k -18+1-8k -1
=(C k 8当k =1时，S n 当k
0k
1k -1
+C 88+ +C k 2)82 （*） ，
-4n -1=0显然能被64整除，
≥2时，（*）式能被64整除，
所以，当n 为偶数时，S n
-4n -1能被64
例1．在(a +b ) n
证明：在展开式
0n 1n r n -r r n n
(a +b ) n =C n a +C n a b + +C n a b + +C n b (n ∈N *)
中，令
n 0123n n
a =1, b =-1，则(1-1) =C n -C n +C n -C n + +(-1) C n ，
即0=(C n ∴C n
213
+C n + ) -(C n +C n + ) ，
213
+C n + =C n +C n + ，
n
即在(a +b ) 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 说明：由性质（3）及例1知C n 例2．已知(1-2x ) （1）a 1+a 2解：（1）当x
7
213
+C n + =C n +C n + =2n -1.
=a 0+a 1x +a 2x 2+ +a 7x 7，求：
+ +a 7； （2）a 1+a 3+a 5+a 7； （3）|a 0|+|a 1|+ +|a 7|.
=1时，(1-2x ) 7=(1-2) 7=-1，展开式右边为
a 0+a 1+a 2+ +a 7
∴a 0当x
+a 1+a 2+ +a 7=-1，
=0时，a 0=1，∴a 1+a 2+ +a 7=-1-1=-2，
=1， a 0+a 1+a 2+ +a 7=-1 ①
（2）令x 令x
=-1，a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5+a 6-a 7=37 ②
7
1+37
①-② 得：2(a 1+a 3+a 5+a 7) =-1-3，∴ a 1+a 3+a 5+a 7=-
2
（3）由展开式知：a 1, a 3, a 5, a 7均为负，a 0, a 2, a 4, a 8均为正， ∴由（2）中①+② 得：2(a 0
.
+a 2+a 4+a 6) =-1+37，
，
-1+37
∴ a 0+a 2+a 4+a 6=
2
∴|a 0
|+|a 1|+ +|a 7|=a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5+a 6-a 7
=(a 0+a 2+a 4+a 6) -(a 1+a 3+a 5+a 7) =37
例3. 求(1+x)+(1+x)+„+(1+x)展开式中x 2103
(1+x )[1-(1+x ) 10]
解：(1+x ) +(1+x ) + （1+x ）=
1-(1+x )
2
10
(x +1) 11-(x +1) =，
x
∴原式中x 实为这分子中的x ，则所求系数为C 347
第二课时
例4. 在(x+3x+2)的展开式中，求x 25
解：∵(x
2
+3x +2) 5=(x +1) 5(x +2) 5
1
∴在(x+1)展开式中，常数项为1，含x 的项为C 5
55
5
=5x ，
1
4
在(2+x)展开式中，常数项为2=32，含x 的项为C 52∴展开式中含x 的项为 1⋅(80x ) +5x (32) ∴此展开式中x 的系数为x =80x
=240x ，
例5. 已知(
x -
2n
) 的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项x 2
解：依题意C n
4
42
:C 2=14:3⇒3C =14C n n n
∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!⇒设第r+1项为常数项，又 T r +1
=C (x )
r
10
10-r
2r (-2) r =(-2) r C 10x x
10-5r 2
令
10-5r
=0⇒r =2， 2
2
∴T 2+1=C 10(-2) 2=180. 此所求常数项为例6． 设当a 0
(1+x )+(1+x )+(1+x )
23
+ +(1+x )=a 0+a 1x +a 2x 2+ +a n x n ，
n
+a 1+a 2+ +a n =254时，求n =1得：
2
3
n
解：令x
2(2n -1)
=254， a 0+a 1+a 2+ +a n =2+2+2+ +2=
2-1
∴2
n
=128, n =7，
f (x ) =a 0(x -a ) n +a 1(x -a ) n -1+ +a n ，令x -a =1, 即x =a +1可得各项系
点评：对于
数的和a 0
+a 1+a 2+ +a n 的值；令x -a =-1, 即x =a -1，可得奇数项系数和与偶数项和的关系
例7．求证：C n
1
23n
+2C n +3C n + +nC n =n ⋅2n -1．
123n
=C n ① +2C n +3C n + +nC n
证（法一）倒序相加：设S 又∵S ∵C n
r
n n -1n -221
=nC n +(n -1) C n +(n -2) C n + +2C n +C n n -r 0n 1n -1
，∴C n =C n , C n =C n , ， =C n
012n =n (C n +C n +C n + +C n )，
②
由①+②得：2S ∴S
=
1123n
⋅n ⋅2n =n ⋅2n -1，即C n +2C n +3C n + +nC n =n ⋅2n -1． 2
（法二）：左边各组合数的通项为
r
=r ⋅rC n
n ! n ⋅(n -1)! r -1
==nC n -1，
r !(n -r )! (r -1)!(n -r )!
∴ C n
1
23n 012n -1n -1
+2C n +3C n + +nC n =n (C n ． -1+C n -1+C n -2+ +C n -1)=n ⋅2
例8．在(2x -3y ) 的展开式中, 求: ①二项式系数的和; ②各项系数的和;
③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.
分析:因为二项式系数特指组合数C n , 故在①, ③中只需求组合数的和, 而与二项式2x -3y 中的系数无关.
解：设(2x -3y )
10
r
10
=a 0x 10+a 1x 9y +a 2x 8y 2+ +a 10y 10(*),
各项系数和即为
a 0+a 1+ +a 10, 奇数项系数和为a 0+a 2+ +a 10, 偶数项系数和为
a 1+a 3+a 5+ +a 9, x 的奇次项系数和为a 1+a 3+a 5+ +a 9, x 的偶次项系数和a 0+a 2+a 4+ +a 10.
由于(*)是恒等式, 故可用“赋值法”求出相关的系数和. ①二项式系数和为C 10
110
+C 10+ +C 10=210.
②令x =
y =1, 各项系数和为(2-3) 10=(-1) 10=1.
210+C 10+ +C 10=29,
③奇数项的二项式系数和为C 10偶数项的二项式系数和为C 10④设(2x -3y ) 令x =
10
1
39+C 10+ +C 10=29.
=a 0x 10+a 1x 9y +a 2x 8y 2+ +a 10y 10,
y =1, 得到a 0+a 1+a 2+ +a 10=1„(1),
y =-1(或x =-1, y =1) 得a 0-a 1+a 2-a 3+ +a 10=510„(2)
令x =1,
(1)+(2)得2(a 0
+a 2+ +a 10) =1+510,
10
∴奇数项的系数和为1+5;
2
(1)-(2)得2(a 1
+a 3+ +a 9) =1-510,
10
∴偶数项的系数和为1-5
2
.
10
⑤x 的奇次项系数和为a +a +a + +a =1-51359
2
;
10
x 的偶次项系数和为a 0+a 2+a 4+ +a 10=1+5.
2
点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”, “奇(偶) 数项系数和与奇(偶) 次项系数和”严格地区别开来, “赋值法”是求系数和的常规方法之一.
第三课时
例9．已知(x +x 2) 2n 的展开式的系数和比(3x -1) n 的展开式的系数和大992, 求(2x -1) 2n 的展开
x
式中:①二项式系数最大的项; ②系数的绝对值最大的项.
解：由题意2①(2x -即T 6
2n
-2n =992, 解得n =5.
110
) 的展开式中第6项的二项式系数最大, x
15
=T 5+1=C 10⋅(2x ) 5⋅(-) 5=-8064.
x
1r r
=C 10⋅(2x ) 10-r ⋅(-) r =(-1) r ⋅C 10⋅210-r ⋅x 10-2r
x
②设第r +1项的系数的绝对值最大, 则T r +1
r 10-r r -1r r -1⎧⎧≥C 10⋅210-r +1⎧11-r ≥2r ⎪C 10⋅2⎪C 10≥2C 10∴⎨, 得⎨, 即⎨
r 10-r r +110-r -1r r +12(r +1) ≥10-r ⎪⎪≥C 10⋅2⎩⎩C 10⋅2⎩2C 10≥C 10
∴8≤r ≤11, ∴r =3, 故系数的绝对值最大的是第4项33
例10．已知：(x
2
3
+3x 2) n 的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2解：令x
=1，则展开式中各项系数和为(1+3) n =22n ，
n
又展开式中二项式系数和为2， ∴2
2n
-2n =992，n =5．
=5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，
2
33
22
6
232
223
（1）∵n ∴T 3
25
=C (x ) (3x ) =90x
，T 4
=C (x ) (3x ) =270x
r 5
2
35-r
2r
35
23
，
r
r 5
10+4r 3
（2）设展开式中第r
+1项系数最大，则T r +1=C (x )
(3x ) =3C x
，
r r r -1r -1⎧79⎪3C 5≥3C 5
⇒≤r ≤∴⎨，∴r =4，
r r r +1r +1
22⎪⎩3C 5≥3C 5
即展开式中第5项系数最大，T 5例11．已知S n
=C (x )(3x ) =405x
4
5
23
24
263
．
1n -12n -2n -1
=2n +C n 2+C n 2+ +C n ⋅2+1(n ∈N +) ，
求证：当n 为偶数时，S n
-4n -1能被64分析：由二项式定理的逆用化简S n ，再把S n ∵S n ∴S n ∴S n
-4n -1变形，化为含有因数641n -12n -2n -1
=2n +C n 2+C n 2+ +C n ⋅2+1=(2+1) n =3n ，
， -4n -1=3n -4n -1，∵n 为偶数，∴设n =2k （k ∈N *）
-4n -1=32k -8k -1=(8+1) k -8k -1
1k -1=C k 08k +C k 8+ +C k k -18+1-8k -1
=(C k 8当k =1时，S n 当k
0k
1k -1
+C 88+ +C k 2)82 （*） ，
-4n -1=0显然能被64整除，
≥2时，（*）式能被64整除，
所以，当n 为偶数时，S n
-4n -1能被64