材料清单
一、毕业设计
二、毕业设计任务书
三、毕业设计开题申请表
四、毕业设计开题报告正文
声
本人，学号，系明数学与计算机科学学院数学与应用数学专业0911班学生。所做论文内容主体均为原创，无任何抄袭、剽窃他人劳动成果的行为。如有发现此类行为，本人愿意为此承担一切道义及法律责任，特此声明。
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小概率事件原理及其应用
摘要：小概率事件原理是概率论与数理统计学中的一个基本原理,而正确理解小概率事件原理及其推断方法,能辩证地分析、处理、应用小概率事件对我们有着非凡的实际意义.论文围绕小概率事件展开讨论.首先,论述概率论起源及小概率事件的定义其次,对小概率事件原理和小概率事件的推断方法进行详细的介绍,阐述了小概率事件和不可能事件之间的区别与联系.最后,该论文针对生活与生产实践中的小概率事件作了深层次的说明,并结合实例剖析了小概率事件原理及其在实践中的应用,说明小概率事件原理的实用价值.
关键词：小概率事件假设检验原理
PrincipleoftheLittleProbabilityEventsandItsApplicationAbstract：Theprincipleofsmallprobabilityeventisabasicprincipleofprobabilityandmathematicalstatistics.Itismeaningfultounderstanditanditsinferencemethodcorrectly,andsoitiswithanalyzing,processingandapplyingtheprincipledialectically.Thepaperdiscussesaroundthelittleprobabilityevent.Firstofall,itdiscussestheoriginofprobabilitytheoryandthedefinitionofthesmallprobabilityevent.Secondly,itintroducestheprincipleofthesmallprobabilityeventanditsinferencemethodindetail,anddescribestherelationanddifferencebetweenthelittleprobabilityeventsandimpossibleevents.Finally,thearticlemakesadeep-levelinstructionforthesmallprobabilityeventappliedinthelifeandproductionpractices,andgivesacoupleofinterestingexamplestointerpreteritspracticalvalue.
Keywords：LittleProbabilityEventHypothesistestingPrinciple
目录
1小概率事件的定义..........................................................................................................................1
1.1概率论与小概率事件[1]..................................................................................................1
1.2小概率事件和不可能事件之间的区别...............................................................................2
2小概率原理及其推断方法..............................................................................................................4
2.1小概率原理..........................................................................................................................4
2.2小概率推断方法..................................................................................................................5
3小概率事件原理的应用..................................................................................................................6
3.1经典的小概率事件研究......................................................................................................6
3.2小概率事件原理在商场管理中的应用..............................................................................8
3.3小概率事件原理在保险中的应用.....................................................................................10
3.4小概率事件原理在日常生活中的应用.............................................................................12
3.5统计假设检验中小概率原理的应用.................................................................................13
3.6小概率事件原理在林火预报中的应用.............................................................................15
3.7小概率事件原理在体育运动中的运用.............................................................................17
4结束语............................................................................................................................................20
参考文献...........................................................................................................................................21致谢...........................................................................................................错误！未定义书签。
1小概率事件的定义
[1]1.1概率论与小概率事件
概率论的起源最早追溯到赌博问题.在17世纪中叶,由法国数学家帕斯卡B.Pascal、费马P.deFermat及荷兰数学家惠更斯C.Huygens
[2]等基于排列组合方法解决了“分赌注问题”及“赌徒输光问题”,因此
产生了概率论.18世纪到19世纪,当人们注意到某些社会现象与机会游戏之间有着很大的相似性时,人们开始概括并总结出一些规律,从而概率论被广泛应用到各个领域中,也极大地推动了概率论体系的发展.瑞士数学家贝努利建立了概率论中的第一个大数定律,随后,大量数学家们通过不断深入的研究,促使概率论的理论逐渐成熟.而概率在工农业生产、国民经济、现代化科技等各个方面也越来越广泛的被应用,尤其是现代日常生活更是与概率有着千丝万缕的联系。
概率论是专门研究随机现象统计规律的学科.概率是用来刻画随机事件发生可能性的大小的数量指标.随机事件A发生的概率我们一般用P(A)来表示,并规定0≤P(A)≤1对于概率值很接近于1的事件,其对立事件的概率必然很接近于0.而在概率论中,我们把概率很接近于0的事件称为小概率事件。
那么多大的概率值算小概率呢？
这就要根据具体情况而确定：比如对于某些非常重要的试验,事件的发生会产生很严重的后果（如飞机失事、雷电伤人等）时,那么概率就应选得小一些,如0.0001,甚至更小一些，否则可以相对大一些,一般多采用0.01或0.005这两个阈值。即事件发生的概率在0.01或0.005以下的事件我们称之为小概率事件。而这两个值称为小概率标准。[3]
1.2小概率事件和不可能事件之间的区别
概率论中把在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件。通常用0来表示不可能事件发生的可能性。不可能事件的概率为0,但概率为0的事件未必一定是不可能事件,也有可能是小概率事件。
有些人经常将小概率事件与不可能事件混淆.但两者从本质上来讲,既有区别又有联系.所谓小概率事件是指发生的可能性小,但仍有机会发生的事件,而不可能事件是指完全不可能发生,概率为零的事件.随着社会的进步和发展,人们的素质不断提高,有些看似不可能事件可能会转变成为小概率事件.比如,2012年3月,还在读大四的刘路被聘为中南大学“正教授”,他经过自己的努力,作出了拉姆齐二染色定理的证明论强度的研究,彻底的解决了英国数理逻辑学家Seetapum于90年代提出“西塔潘猜想”,这一向被人认为是不可能事件,但是刘路通过自己的努力做到了,把一个不可能事件转变成为一个小概率事件.
以下是关于小概率事件与不可能事件关系的例题。[4]
例1某接待站在某一周曾接待12次来访,已知所有这12次来访都是在周二和周四进行的。问是否可以推断接待时间是有规定的？
解:假设接待时间是随机的,即每周中的任一天是等可能接待来访的,而各来访者在一周中的任一天来访是等可能的。那么,12次接待来访都在12周二和周四的概率为212≈3⨯10-7。这是一个小概率事件,一般认为是不
可能发生的。但是现在,小概率事件居然在一次试验中发生了,于是,有理由怀疑假设的正确性。即:我们推断接待站不是每天都接待来访者的,而是规定在周二和周四接待的。
例2举例说明P(A)=0，但A不是不可能事件。
解：举例如下：（会面问题）[5]
甲、乙二人相约在12点到13点之间见面。两人可以在这一小时内的任何时
刻到达。则事件A=“甲、乙在同一时刻到达”的概率是多大？
设甲,乙到达的时刻分别为x,y,由几何概型知识知样本空间为Ω={(x,y)0≤x≤60,0≤y≤60}，事件{A={(x,y)x=y}。由几何概型中概率求法知：样本空间的度量Ω=602，事件A的度量为A=0。所以P(P(A)=A=0,但是很明显，事件A是由可能发生的，即：甲
不可能事件。
Ω,乙有可能同时到达,并不是一个
2小概率原理及其推断方法
2.1小概率原理
定理1[6](贝努利大数定律）：在n次独立重复试验中,记事件A发生的次数为nA,P是事件A发生的概率.则对于任意正数ε>0,有
n-p
或
limP{n→∞n-p≥ε}=0n
nA根据贝努利大数定律可得,事件A发生的频率依概率收敛于事件A
发生的概率,即当n的取值为很大时,事件A发生的频率与概率相接近的可能性非常大.如某事件A发生的概率很小,根据实际推断原理,在实际应用中,当试验次数的取值为很大时,我们便可以用事件发生的频率来代替概率.假设某事件A发生的概率很小,则它在大量重复试验中出现的频率也应该很小.例如,若P(A)=0.001,则大概在1000次试验中,事件A才能发生1次.因此,概率很小的事件在一次试验中不太可能发生.而在概率论的应用中,我们称之为实际不可能事件.实际不可能事件在一次试验中实际上是不可能发生的,即小概率原理,也称做小概率的实际不可能性原理.它是统计假设检验决定推翻还是接受假设的依据,也是人们在长期实践中总结出的一条实用性很强的原理.但小概率事件终究还是会发生的.小概率事件在一次试验中实际上是不会发生,这并不代表着它永远都不会发生,如果永远都不会发生,那么它就是不可能事件了.小概率事件终究会发生是指无限增多独立试验的次数,那么小概率事件就将会发生.
定理2[7]：设随机试验E中某一事件出现的概率为E(无论E>0如何小),不断独立地重复做试验E时,A迟早会出现的概率为1.
证明：设事件A出现的概率为ε,AK表示“A在第k次试验中出现”,则P(Ak)=ε,P(k1-ε,在前n次相互独立的试验中A一次都不出现的概率为：
P(12 nP1P2 Pn=(1-ε))))
)n那么在前n次相互独立的试验中A至少出现一次的概率为：Pn=1-P12 n=1-(1-ε)n，无论ε的取值如何小,只要n→∞时,那么Pn→1,这说明小概率事件迟早会发生.
2.2小概率推断方法
推断小概率原理的方法主要是利用概率性质的反证法,其步骤依次为提出假设、根据一次试验的结果进行计算、按照一定的概率标准作出判断三个步骤.若其中有导致不合理现象出现,也就说明小概率事件的发生,则拒绝假设导致不合理现象出现,即小概率事件未发生,则不拒绝假设.[8]
小概率原理在概率论中是一个简单、基本并且具有实用意义的原理,同样在我们的日常生活中被广泛的应用.小概率原理常在不经意间指导着我们的实际生活.因为人们坚持这样一个正确的认识小概率事件在一次试验中是不会发若未生的.但真发生了,也绝不会认为是必然现象,而是认为一定有着某些偶然因素导致的.这就是人们为什么在明知道有飞机失事的存在,仍然敢于乘飞机旅行、出差的原因.
但也有一部分人们更愿意承认小概率事件的发生.如在体育彩票、福利彩票等发行过程中,尽管人们知道中大奖的机会微乎其微,接近于0,但人们却依然热衷购买.也许有人们愿意为体育事业、福利事业献出一片爱心,但人们购买彩票更主要的原因是人们期望中大奖的侥幸心理作祟.
3小概率事件原理的应用
3.1经典的小概率事件研究
例3在街头巷尾常见一类“摸球游戏”.游戏是这样的一袋中装有16个大小、形状相同,光滑程度一致的玻璃球.其中8个红色、8个白色.游戏者从中一次摸出8个,8个球中.当红白两种颜色出现以下比数时.摸球者可得到相应的“奖励”或“处罚”：[9]
结果
（
数）
奖金
（元）比(8:0)A(7:1)B(6:2)C(5:3)D(4：4)E1010.50.2 2
表2-1
（注：表中“-2”表示受罚2元）
解：这个游戏看上去非常有吸引力,5种可能出现的结果中有4种可中奖,而只有一种情况受罚,且最高奖达10元,罚金只是2元,大家认为输赢不是很多,也就几块钱,因此很多人想来试下运气,尤其吸引了许多人好奇的青少年参加,可是玩的人中赢家屈指可数,到底是什么原因呢
应用其实这是一个概率知识的具体8其实就是从16个球中任取8个.所有可能的取法为C16种,事件总数是一个固定值,并且是随机的抽取,是个可能性的事件,是典型的古典概型问题.由概率计算公式很容易得到上述5种结果,其对应的概率分别是：
P(A)=2
162P(B)==0.0099462P(C)==0.12182P(D)==0.4873P(E)==0.[***********]1644
16=0.0001554
假设进行了1000次摸球试验,5种情况平均出现的次数分别为0、10、122、487、381次,经营游戏者预期可得：
2×381-(10×0+1×10+0.5×122+0.2×487)=593.6(元)
这个例子的结果可能会使我们很惊讶,没想到中头奖的概率竟是如此小,他的概率只有0.0001554,明显是一个小概率事件,可以说这是一个陷阱,在我们的生活中,也有很多类似的例子,如彩票,很多人喜欢买彩票,并因此一夜暴富,成为千万富翁.我们都知道买彩票中奖是小概率事件,我们来看一个报道,河南省安阳市一位彩民用172元购买2注44倍投注的“6+1”双色球彩票,竟然一次中88注409.07万.每注一等奖,共获奖金3.599亿.有人计算过,中双色球一等奖的概率为0.0000000564,二等奖的概率为0.0000008464,三等奖的概率为0.0000091417.可见,中一等奖的概率几乎接近于零,属于典型的小概率事件.
既然买彩票中最大奖的概率是如此的小,为什么还会有人中大奖呢？这是因为全国买彩票的总人数是一个相当大的数值,这样就大大增加了中大奖的概率,就必然会产生大奖了.为了发展公益事业,我国发行了多种彩票,有些彩票的最高奖高达数百万元,但是在有限的几次试验中中最高奖这种事件几乎是不可能发生的,买一张彩票就中最高奖的概率近似为零.对于中彩票大奖这种小概率事件实在太小，好比大海捞针，用有限的钱买几注或几十注彩票，当做娱乐，也没伤到筋骨。中彩固然值得庆贺，未中彩也不要垂头丧气，千万不要把它当做生活唯一的筹码。像诸葛亮和比尔·盖茨之所以被称为传奇就是这种成功的方式
很难复制。比如说诸葛亮借东风时万一风向突然改变，那可是千万士兵的生命。大家都学比尔·盖茨辍学，也是不可取的，因为一个人成功和受教育毕竟是成正比的。虽然小概率不等于不可能，但是，它是一个期望值，由于其发生的可能性极小，从而风险极大。所以现实生活中我们考虑风险的时候不能只关注“风险背后的机遇”，认为及时抓住了机遇就可以取得成功，但如果判断失误，与机遇如影相随的风险很可能会给我们造成无法估量的损失。
3.2小概率事件原理在商场管理中的应用
例4商场某电器部门有12台电器,由于种种原因,每台电器有时需要开,有时需要关,每台电器的开或关是相互独立的.由以往的统计数据,每台电器在一个工作日内关闭的概率为P,为了了解该部门的用电情况,需要计算其在一天之
[10]内恰有k台电器处于关闭状态的概率是多大?
解：这是一个简单的Bernoulli概型问题
器数X服从参数为n=12,p=每个工作日内处于关闭状态的电1的二项分布,容易算出X的分布列,见2-2.3
k
P12（k）KP12（k）KP12（k）
0.007707
1
0.046244
2
0.127171
3
0.211952
4
0.23846650.19075760.11127570.04768980.01490390.003312100.000497110.000045120.000002
表2-2X的二项分布图
由表可以得出关闭的台数不超过1台的概率为:P12(0)+P12(1)=0.053951
而关闭台数超过7台的概率为：P12(8)+P12(9)+ P12(12)=0.018759
由此可见,若取小概率标准为0.05,则“停车台数不超过1台”和“停车台数超过7台”均属小概率事件.根据小概率原理,可以认为在一个工作日内处于停车的车床台数在2~7台之间,进而可计算实际用电量.反之,还可以利用小概率原理,通过实际观察来检验原先对一台电器在一个工作日内关闭概率的估计值p=否正确.
如果在某个工作日内发现关闭的台数不超过1台或超过7台,则表明上述两个小概率事件竟然发生了,因此可以认为这是不正常的.
1是3如果没有其他原因,就
可以认为将关闭概率估计为1是不正确的.这种类型的问题在商场管理中是经常遇到的.如果这时仍是这12台电器,设每台电器出现故障时需要维修的概率为p=0.05,假设各台电器间是否出现故障是相互独立的,而每一名维修工人维修能力是有限的,假定每次每名工人只能修一台.那么,为了及时修复设备,商场应配备几名维修工人以保证电器得到及时的修复.同一天内出现故障车的床台数服从二项分布x~b(12,0.05).
不难算出:P12(0)=0.541，P12(1)=0.341
至少2台出现故障的概率P=1-P12(0)-P12(1)=0.118
据此,可以考虑只配备1名维修工,因为超过1台出现故障的概率是小概率.
3.3小概率事件原理在保险中的应用
保险是近代一个频率较高的词汇,生活中处处都要和这个行业打交道.我们在购买保险前先要弄清楚的重要问题之一就是我们需要什么样的保险方案.对于我们来说,保险的基本功能是用来保障生活中小概率事件的产生.而在生活里存在着各种各样的风险,我们应对的方法也是不一样的.对于损失小的事件,无论事件发生的概率高还是低,我们一般都采用任之发生的方式,也就是自己承担损失.比如说锁门的锁头坏了,那么我们只要就去商场里从新买把就可以了,没有谁说再到保险公司买一个锁头险.即便你想要买,关键是也没有保险公司卖.这类的事件便是没有保险地意义的事件.如果是发生频率高且损失也高的风险,我们经常采用的办法是有意的避免它.如果买这类的保险,保费会非常昂贵
费昂贵的含义是,保费和保障额度相差不大
大传染病,危险运动蹦极,跳伞,攀岩等等.这里保[11],保险公司一般也不承保.如战争,特[12]我们转移给保险公司的一般来说是低概率,高损失的风险.如财产,人身安全,疾病等等.由于其发生的概率比较低,一旦发生将会给我们带来难以承受的损失.正是由于这些事件极低的概率性,使得其保费相对于保障额度来说比较低.这是什么原因呢一般的保费的计算方法是保险事故发生的概率和保障额度的乘积再加上保险公司的费用.如我们
可以统计出一名35岁男性在一年内死亡的概率是万分之五,不考虑其他因素的话,如果购买100万保额的一年期定期寿险,那么纯保费将是500元假设保险公司的费用率是纯保费的一半,那么总保费就是750元.750元的保费和100万元意外收益差别巨大,这就使得这类风险具有了保险的意义。
我们接下来分析一下这位男士要购买一份一年期的两全险，[13]也就是不管他在一年内死亡与否，保险公司在一年后都要支付给他100万元，那么纯保费就是100%×100万=100万，因为保险事故中，生或死发生的概率是100%。假定保险公司的费用率是纯保费的10%，这位男士最后缴纳的保费是110万元。投保的费用居然超过了保额，必然不会有人会买这种保险,也不会有保险公司设计并出售这类保险,因而这样的高概率险就失去了保险的意义。
保险事业是最早使用概率的部门之一，它会有巨大的利润就是成功的运用了小概率事件原理。
例5某一保险公司,有2500个统一年龄层的相同社会阶层的人参加保险,在一年内,每个人死亡的概率为0.002.每个参加保险的人在1月1日付12元保险费,而当它在这一年死亡时,家属可从公司领取保险费2000元.求：此保险公司亏本的概率。[14]
解：我们以一年来算,1月1日,公司收入为2500×12=30000元,假定死亡x人,则保险公司一年付出2000x元,亏本指2000x>30000,x>15,即.把“参加保险的每人在该年是否死亡”看成一次随机试验,2500人参加试验就相当于2500重贝努利试验,于是x~b(k,2500,0.002).利用泊松定理可得:
e-(2500⨯0.002)P{x>15}=∑(2500⨯0.002)⨯=0.0069k=162500k
“保险公司赔钱”显然是一个小概率事件,因此有理由认为此保险公司在该年不会亏本.事实上可以计算该保险公司在本年的获利少于10000元的概率仅为0.014,也该公司本年度的收益不会少于10000元.综上所述,保险公司实际上正是应用小概率事件的原理,提前预测出亏本的概率极小,在保险业中最大的赢家
其实是保险公司.但人们不能因为意外事件发生的概率小和取得收益的概率小而不去投保,这里我们更要说明小概率事件并不是不可能事件,我们万万不能忽视,应该正视保险业.而对于保险业来说,所谓的小概率,什么情况下才会有意义？那便是对一个足够大的样本、群体才具有意义！[15]
3.4小概率事件原理在日常生活中的应用
我们在生活中也经常会遇到小概率事件,例如：如一个人成为国家领导人的概率固然非常小,但上亿人中至少还会有几个国家领导人就几乎是必然的了.人的一生有许多机会,聪明的人善于抓住好机会,避免机会流失.从而抓住了好机会就是我们所谓小概率中的“小”.
我们研究小概率事件的目的是掌握其发生的条件,为我们所用,目的是使它朝着有利于我们的方向发展,避免具有破坏性不利于我们的小概率事件的发生,接下面我们通过实例来举例说明小概率事件原理在日常生活中的应用.[16]
例6某生产线中袋装盐的质量X服从均值为1000g,标准差为20g的正态分布,即X~N(1000,20)，现对袋装盐的质量进行抽查,发现有一袋盐质量为1080g,问：是否有理由怀疑生产线存在故障？[17]
解：根据正态分布的“3σ—原则”
若X~N(μ,σ2),则Y=X-μ~N(0,1)σ
所以：
P(μ-3σ,μ+3σ)=P(-3
=2⨯0.99865-1=0.9973X-μ≤3)=φ(3)-φ(-3)=2φ(3)-1σ
不难看出,X的值几乎以概率1落在(μ-3σ,μ+3σ)区间内,也就是说,X的值以很小的概率落在(μ-3σ,μ+3σ)之外.由正态分布的“3σ—
盐质量应以概率1落在（,袋装原则”1000-3×20,1000+3×20）即(940,1060)之内,现在被
抽取的这袋盐为1081g,落在此区间的外部,即小概率事件竟然在一次试验中发生了,所以我们有理由怀疑该生产线发生了故障,需要检修.
3.5统计假设检验中小概率原理的应用
数理统计中的假设检验方法在工厂、科研、医学等等许多领域中都有广泛的应用。其基本思想的根据就是小概率事件原则。这一基本思想是：假设某结论H0需要检验。我们先假定H0是正确的，在此假定下，某事件A的概率很小，经过一次检验，如果A发生了，即小概率事件A在一次实验中发生了，这与小概率事件原则违背，所以否定H0。反之，如果A不发生，则或者肯定H0，或者保留H0,留待经过几次实验后再作结论。统计假设检验就是针对所研究的问题，提出一个“命题”或曰“假设”，然后抽取样本，观察样本数据与所提出的假设的不一致程度，如果二者相差甚远，即二者差异已经达到“足够大”的程度，就说明原来提出的假设是不成立的。这种判断假设真伪的思路实际上就是我们要探讨的“小概率原理”。[18]
利用小概率原理来判断是否应该拒绝所提出的假设即原假设，主要在于判断所抽取的样本数据与原假设的差异是否足够大，对于二者差异大小的判断有两个表象不同但本质一致的尺度：统计量和概率.
统计量是由随机抽样所得的样本数据构造的函数，可以测度来自某总体的样本长远而稳定的信息，如样本均值、样本方差、样本比率等，以及在此基础上构造的t、 2、F等统计量。统计量是由样本数据构造的，而样本数据是随机抽取的，所以样本数据是不确定的、随机的，由其计算所得的统计量也就是随机的。而总体参数是确定但未知的，假设的命题即原假设中关于总体参数的假定是确定而且明确的，一般来讲二者是不一致的。造成样本统计量数值与假定的总体参数数值不一致的原因有两个：随机差异和条件差异。不同的原因产生的差异程度不同，一般情况下，随机差异经常存在，但差异程度不大，条件差异不一定存在，但一旦存在，造成的差异就会比较大。所以，统计量数值与假定总体参数数值差异较小时，不能判定原假设有错（注意不是说判定原假设
是对的），如果二者差异较大，说明除随机差异外还有其他原因造成的条件差异，即说明原来的假定存在问题，也就是说根据样本数据可以否定原假设。
但是直接根据统计量的数值与原假设中假定的总体参数的数值比较，很难断定差异的程度大小，比如推断某次学生考试的平均成绩，提出原假设：μ=80。为了验证该假设是否确实，随机抽取36名学生的考试成绩，计算的平均成绩为70分，二者相差10分，这10分的差异算不算大呢？这就需要借助概率来分析.[19]
在正常条件下，即原假设成立的前提下，样本统计量与总体参数之间的差异比较小，即该差异较小的概率较大，而该差异较大的概率很小，也就是说在一次试验中，样本统计量与假定的总体参数的差异如果较大，则说明产生差异的原因不只是随机因素，应该还有其他原因。但这种判断不是绝对正确，有可能是错误的。犯这种错误的可能性大小取决于事先规定的小概率事件“小”的程度。这种判断小概率的标准就是统计假设检验中所谓的显著性水平。这种显著性水平就为我们判定差异的大小提供了标准。这样就产生了判断差异大小的第二个尺度——概率。如果在原假设成立的前提下计算的出现样本数据的概率（即统计检验中所谓的P值）小于所规定的显著性水平（一般用α表示），即Pα，表明在原假设成立的前提下，出现样本这种情况是很正常的，二者的差异仅仅是由于随机原因产生的，样本数据不足以否定原假设，我们不能说原假设是错的。在实际抽样中，我们抽到的是对客观现象度量的客观数据，如上例所说的考试分数，或者其他的如重量（千克）、距离（cm）等等，并不是概率。为了将观察到的数据即统计量的数值转换成能够判断差异大小的概率，需要将其标准化，如上例学生考试的成绩，我们假定总体平均成绩为80分，而抽样的样本平均成绩为70分，二者相差10分，如果原假设是正确的，那么样本均值离开总体均值达到10分及10以上差距的概率多大呢？为求其概率，我们首先要将该差异标准化，即：
z=χ-μ0
σ其中，为样本均值，即=70:μ0为假定的总体均值，即μ0=80:n为样本容量，即n=36:σ为总体数据的标准差，若σ未知时可用样本标准差s替代。如果假设s=30，则：
z=χ-μ0
σ=70-80=2σ2
由抽样分布的知识可知z为服从标准正太分布的统计量，即z~N(0,，由此可知：n
P{z>2}=P(z>2)+P(z
上式表明，样本均值离开总体均值的距离达到或超过10分的概率仅为4.55%，也就是说如果总体均值确实是80分的话，我们重复抽取100个样本，仅有4到5个样本的均值会达到相差10分的程度。如果我们规定5%为小概率的标准，那么4.55%就为小概率，据此我们就可以说如果原假设正确，即总体均值确实为80分，出现这样的样本是小概率事件，在一次抽样中是不应该出现的，但现实是我们确实抽到了这样的样本，在此情况下，我们是相信原先的假定呢，还是相信眼前的事实呢？很显然我们只能相信事实，即认为原先的假定是不成立的，理所当然做出否定原假设的结论。[21]
3.6小概率事件原理在林火预报中的应用
林火预报方法选择是进行林火预测预报的关键,全世界共有100多种,我国也有十多种。在森林防火工作中不确定的随机现象广泛存在。一些不能准确预测未来或尚未发生的事件,例如防火戒严期及防火期的规定,野外用火许可证能否发放等事件,这类事件充满了不确定性。我们可以利用火灾历史资料,通过统计学方法来找出林火发生发展规律,这是林火预报方法中最简单的一种研究方法。
这种方法只需对过去林火发生的天气条件、地区、时间、次数、火因、火烧面积等进行统计分析,根据不同因素之间的相关性,利用概率计算,得到一个对应事件的概率,利用小概率原理对林火发生的可能性进行预估检验,验证工作的可行性及正确性,对森林防火工作提出防控措施。虽然这种方法比较简单,但解决问题具有高效性、简捷性和实用性。
例7根据历史资料，某林区平均每年发生12次林火，而且12次林火都发生在3、4月份，而不发生在6月。预火期或戒严期定为3、4月，问在6、7、8月份结束防火期是否合理？[22]
A假设：火灾每月都发生，排列为1212.火灾仅发生在3、4月份，排列
212
为2。火灾发生在3、4月份的概率P(A)==4.6⨯10-10。12
根据小概率原理，推翻原假设，防火戒严期应该定在3、4月份
B假设：火灾每月都发生，排列为1212。火灾不发生在6、7、8月份，只发生在其余9个月，排列为912。火灾不发生6、7、8月份的概率
912
P(B)==0.032。12
根据小概率原理，原定假设为错误并推翻，结论为不应该在6、7、8月份结束防火期。
例8根据历史资料,在3月份发生火灾95%是由烧荒引起,而3月12日火灾发生概率为0.07,现有人申请用火许可证,问能否发放?
解：假设烧火事件为A
AP(=0.95AP(=0.05假设发生火灾事件为B
P(B)=0.07P(=0.93
AAP(A)=P(B)⨯P()+P()⨯P()=0.113AP(B)⨯P(BA=0.95当日烧荒引起火灾的概率为P()⨯P()=根据小概率原理,结论为不应该发放用火许可证。
3.7小概率事件原理在体育运动中的运用
《体育统计学》教材中涉及到“小概率事件原理”。举个例子说,在训练中,某种伤害事故的发生率为百分之一或千分之一,也就是说在一百次或一千次重复训练中平均将出现一次伤害事故.但在同等条件下,如果仅训练一次,对该次划11练来说,该种伤害事故发生的可能性小百分之一或千分之一,实际上可以认为该事故是不会发生的.因此我们平时在一般的体育教学中只要给予适当的注意,很少会发生重大的伤害事故.但是如果我们因此而忽视小概率事件,认为它肯定不会发生,那就大错而特错了.因为体育教学与训练都是反复进行的,因而必须重视和预防小概率事件的发生.下面举例说明小概率事件原理在体育方面的应用.例1根据以往资料，篮球运动员张三投篮命中率为70%，他在一场比赛开始后连续投篮7次命中次数不超过2次，可否认为该运动员尚未进入状态，为教练提供理论依据。[6]
分析解答：假定7次投篮时相互独立的7次试验，用ξ表示其投中的次数，则服从n=7,p=0.7的二项分布，其概率分布为
P(ξ=k)=C70.7k0.37-kk(k=0,1, ,7)
投篮7次命中0次、1次、2次的概率分别为：
P(ξ=0)=0.37=0.0002187
P(ξ=1)=C7⨯0.7⨯0.36=0.00357211
2P(ξ=2)=C7⨯0.72⨯0.35=0.0250047
命中次数不超过2次的概率为：
P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)=0.0002187+0.0035721+0.0250047
=0.0287955
这是一个小概率事件，而在一次试验中竟然发生了。从而说明该运动员此时不在状态，这时他的命中率要低于0.7。同理，也可知道其他球员的比赛状态，作为教练指导比赛的参考依据。
例9已知四川理工学院体育系四年级男生36人安静时心率数位68.9/
分，由文献得知，正常男子安静时心率均数为72次/分，那么体育学院四年级男生的心率是否与一般正常成年男子不同？[23]
分析解答：针对36名经常参加锻炼的体院四年级男生同一般成年男子
的安静时心率的差异，分析它是否由抽样误差引起的，就要确立一个小概率的显著水平α（如取α=0.01），先假定其差异是仅源于抽样误差，则提出假设检验：μ=μ0。即体院的总体均数等于已知总体“一般”中随机抽样的。在此前提下，再计算因为抽样误差而取得这样的样本的可能性，若可能性很小，即小于显著水平α，由显著差异，就自然对原来的假设产生怀疑，从而拒绝原假设。
假设H0：“经常参加锻炼的体育学院四年级男生同一般成年男子的安静时的心率没有差异”,可用t检验法进行，由题意，选统计量:
t=-μ068.9-72==-2.8621-0.01
于是：t=2.862>t(36-1)=2.724，
故在α=0.01检验水平下拒绝原假设H0.
由上可判断μ与μ0的差异具有高度显著性,可以基本认为安静时的心率“体院学生”不同于“一般”。根本原因可能是长期单恋导致心肌增强脉搏输出量增加等原因，而不是小小的抽样误差所能影响的。
4结束语
小概率事件是有可能发生的，只是发生的可能性很小而已，并且没有规律可循.因为小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，所以人们对待小概率事件有两种截然相反的态度：一种是不愿意承认小概率事件的发生，对小概率事件听之任之、不闻不问，另一种是更愿意承认小概率事件的发生，整日处于杞人忧天或守株待兔的境界。我们已经证明：不论小概率事件A中的“小概率”多么小，只要不断地独立地重复做此试验，则该事件A迟早会出现的概率为1。它告诉人们，在实际工作中，不能忽视小概率事件。一件看来可能性很小的事，在大量重复之下，可能性就会很大。小概率事件原理是统计学中假设检验的理论基础，更是概率体系中不可缺少的一部分，在我们的日常生活中有着很广泛的应用。因此，如何对待“小概率事件”是人们处理工作和生活问题的必备科学素养。
参考文献
[22].M.Kharrati-KopaeiA.R.NematollahiZ.ShisheborStatisticalPapers2009-2
Springer期刊
[23].ParminderSinghAmarNathGillNarendraKumarJournalofStatisticalPlanningandInference2009-9爱思唯尔期刊
致谢
四年的读书生活在这个季节即将划上一个句号,而于我的人生却只是一个逗号,我将面对又一次征程的开始。四年的求学生涯在师长、亲友的大力支持下,走得辛苦却也收获满囊,在论文即将付梓之际,思绪万千,心情久久不能平静。伟人、名人为我所崇拜,可是我更急切地要把我的敬意和赞美献给一位平凡的人,我的导师,张丹丹老师。我不是您最出色的学生,而您却是我最尊敬的老师。您治学严谨,学识渊博,思想深邃,视野雄阔,为我营造了一种良好的精神氛围。授人以鱼不如授人以渔,置身其间,耳濡目染,潜移默化,使我不仅接受了全新的思想观念,树立了宏伟的学术目标,领会了基本的思考方式,从论文题目的选定到论文写作的指导,经由您悉心的点拨,再经思考后的领悟,常常让我有“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”。
感谢我的爸爸妈妈,焉得谖草,言树之背,养育之恩,无以回报,你们永远健康快乐是我最大的心愿。在论文即将完成之际,我的心情无法平静,从开始进入课题到论文的顺利完成,有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助,在这里请接受我诚挚谢意！
同时也感谢学院为我提供良好的做毕业论文的环境。
最后再一次感谢所有在毕业论文中曾经帮助过我的良师益友和同学,以及在设计中被我引用或参考的论著的作者。
湖北文理学院毕业论文（设计）任务书
毕业论文（设计）题目学生姓名杨轲专业班级指导教师一、毕业论文（设计）的主要内容及要求：
主要内容：1、概率论起源及小概率事件定义.2、小概率事件的原理及推断方法.3、小概率事件与不可能事件之间的区别与联系.4、小概率事件原理在概率要求：１、字数必须在一万字以上；２、参考文献必须在十五本以上（其中至少有八篇为学术论文,二篇英文资料）,且这些文献在正文中都必须用到并有注明；３、毕业论文应自己独立完成,严禁抄袭,如使用了别人的研究成果应在正文中标明出处；４、毕业论文应有自己独到的见解.
二、毕业论文（设计）应收集的资料及主要参考文献：
[22].M.Kharrati-KopaeiA.R.NematollahiZ.Shishebor
Springer期刊
[23].ParminderSinghAmarNathGillNarendraKumarJournalofStatisticalPlanningandInference2009-9爱思唯尔期刊StatisticalPapers2009-2
湖北文理学院毕业论文（设计）开题申请表姓名
学院
题目杨轲数学与计算机科学学院学号专业2009109111指导教师班级张丹丹0911数学与应用数学小概率事件原理的应用
尊敬的张丹丹老师：
开
题
申
请
（
正
文
附
后
）我在接到任务书后，依照指导老师的指导和要求，到图书馆查阅了充足的资料，对题目进行了详细的分析，确定了论文的主要方向和基本框架，现申请开题，请批准！申请人签名：年月日指
导
教
师
意
见
指导教师签名：年月日
注：学生须根据毕业论文(设计)任务书写出2500字以上的开题报告，开题报告包含以下几方面的内容：1.研究目的和意义；2.阅读的主要文献、资料(理工类15种以上，其他学科类20种以上)，分析国内外现状和发展趋势，提出本课题的主攻方向；3.主要研究内容、途径及技术路线；4.工作的主要阶段、进度及完成时间。
毕业论文开题报告
小概率事件原理的应用
专业：数学与应用数学0911班学号：2009109111
指导老师：张丹丹
一、研究目的及意义
在生活中会出现黑天鹅现象，这种现是极不寻常的小概率事件，因为在很多地方人们都发现成千上万只的天鹅是白色的。然而这种现象却深刻的影响人们的认知与生活，比如百年不遇的洪涝、地震等巨灾风险。小概率事件原理是概率论中具有实际应用意义的基本理论，在概率论中将概率很小（小于0.05）的事件叫作小概率事件。因为小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，所以人们对待小概率事件有两种截然相反的态度：一种是不愿意承认小概率事件的发生，对小概率事件听之任之、不闻不问；另一种是更愿意承认小概率事件的发生，整日处于杞人忧天或守株待兔的境界。其实，只要我们充分的认识和把握这一原理，并加以很好的应用，就会给我们的生活带来意想不到的收获。
二、该课题的现状和发展趋势
概率论最早起源赌博问题。17世纪中叶，法国数学家帕斯卡（B.Pascal）、费马（P.fermat）及荷兰数学家惠更斯（C.Huygens）等基于排列组合方法，解决了“分赌注问题”及“赌徒输光问题”，于是出现了概率论。18～19世纪，人们注意到某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间的相似性，从而概率论被广泛应用到这些领域，大大推动了概率论的发展。瑞士数学家贝努利（建立了概率论中的第一个大数定律。随后，经过数学家们不断深入的研究，概率论的理论逐渐成熟。概率在工农业生产、国民经济、现代化科技等方面的应用价值体现越来越广泛，现代日常生活更是与概率有着千丝万缕的联系早在1812年，数学家拉普拉斯在一篇有关概率的论文-“概率分析论”中就说：“这门源自考虑赌博中的机运的科学，必将成为人类知识中最重要的一部分，生活中最重要的问题的大部分，将都只是概率的问题”。这在我们的当今现实生活中得到了充分的印证。概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域。很多学者对概率统计相关理论体系颇有研
究，也会遇到现有理论无法解释的现象，然而研究者却很少将其与小概率事件相联系，缺乏对小概率本身进行研究与讨论，似乎小概率就是一个默认的共同知识。
三、本课题的研究内容
本文将从小概率事件的相关概念入手，研究这一原理的实际应用。研究的内容包括：概率论起源及小概率事件的定义、小概率事件的原理及推断方法、小概率事件与不可能事件之间的区别与联系、小概率事件原理的应用。
四、本课题研究的重点
该原理的实际应用是本课题研究的重点内容，主要包括以下几个方面:
1经典的小概率事件研究
2小概率事件原理在商场管理中的应用
3小概率事件原理在保险中的应用
4小概率事件原理在日常生活中的应用
5统计假设检验中小概率原理的应用
6小概率事件原理在林火预报中的应用
7小概率事件原理在体育运动中的运用
五、研究的方法
一、实地调查法（通过到所研究的处所实地调查，从而得出结论）
二、人物采访法（直接向有关人员采访，以掌握第一手资料)
三、文献法（通过查阅各种相关图书、期刊等，分析、比较得出结论）
四、向指导老师请教（通过向指导老师探讨请教得出相关结论）
六、研究的主要阶段、时间安排
1、2013年2月1日至2月28日确定毕业生论文题目，并下达任务书；2、2月16日至3月5日撰写并提交开题报告；
3、3月6日至4月10日撰写并提交初稿；
4、4月12日至5月15日撰写并第一次修改；
5、5月18日至5月20日撰写并二次修改；
6、5月23日至5月25日撰写并三次修改；
7、5月26日至5月28日撰写并定稿；
8、5月28日至5月29日毕业论文答辩及论文成绩评定。
六、主要参考文献及资料
[22].M.Kharrati-KopaeiA.R.NematollahiZ.ShisheborStatisticalPapers2009-2Springer期刊
[23].ParminderSinghAmarNathGillNarendraKumarJournalofStatisticalPlanningandInference2009-9爱思唯尔期刊
材料清单
一、毕业设计
二、毕业设计任务书
三、毕业设计开题申请表
四、毕业设计开题报告正文
声
本人，学号，系明数学与计算机科学学院数学与应用数学专业0911班学生。所做论文内容主体均为原创，无任何抄袭、剽窃他人劳动成果的行为。如有发现此类行为，本人愿意为此承担一切道义及法律责任，特此声明。
学生签名：
年月日
小概率事件原理及其应用
摘要：小概率事件原理是概率论与数理统计学中的一个基本原理,而正确理解小概率事件原理及其推断方法,能辩证地分析、处理、应用小概率事件对我们有着非凡的实际意义.论文围绕小概率事件展开讨论.首先,论述概率论起源及小概率事件的定义其次,对小概率事件原理和小概率事件的推断方法进行详细的介绍,阐述了小概率事件和不可能事件之间的区别与联系.最后,该论文针对生活与生产实践中的小概率事件作了深层次的说明,并结合实例剖析了小概率事件原理及其在实践中的应用,说明小概率事件原理的实用价值.
关键词：小概率事件假设检验原理
PrincipleoftheLittleProbabilityEventsandItsApplicationAbstract：Theprincipleofsmallprobabilityeventisabasicprincipleofprobabilityandmathematicalstatistics.Itismeaningfultounderstanditanditsinferencemethodcorrectly,andsoitiswithanalyzing,processingandapplyingtheprincipledialectically.Thepaperdiscussesaroundthelittleprobabilityevent.Firstofall,itdiscussestheoriginofprobabilitytheoryandthedefinitionofthesmallprobabilityevent.Secondly,itintroducestheprincipleofthesmallprobabilityeventanditsinferencemethodindetail,anddescribestherelationanddifferencebetweenthelittleprobabilityeventsandimpossibleevents.Finally,thearticlemakesadeep-levelinstructionforthesmallprobabilityeventappliedinthelifeandproductionpractices,andgivesacoupleofinterestingexamplestointerpreteritspracticalvalue.
Keywords：LittleProbabilityEventHypothesistestingPrinciple
目录
1小概率事件的定义..........................................................................................................................1
1.1概率论与小概率事件[1]..................................................................................................1
1.2小概率事件和不可能事件之间的区别...............................................................................2
2小概率原理及其推断方法..............................................................................................................4
2.1小概率原理..........................................................................................................................4
2.2小概率推断方法..................................................................................................................5
3小概率事件原理的应用..................................................................................................................6
3.1经典的小概率事件研究......................................................................................................6
3.2小概率事件原理在商场管理中的应用..............................................................................8
3.3小概率事件原理在保险中的应用.....................................................................................10
3.4小概率事件原理在日常生活中的应用.............................................................................12
3.5统计假设检验中小概率原理的应用.................................................................................13
3.6小概率事件原理在林火预报中的应用.............................................................................15
3.7小概率事件原理在体育运动中的运用.............................................................................17
4结束语............................................................................................................................................20
参考文献...........................................................................................................................................21致谢...........................................................................................................错误！未定义书签。
1小概率事件的定义
[1]1.1概率论与小概率事件
概率论的起源最早追溯到赌博问题.在17世纪中叶,由法国数学家帕斯卡B.Pascal、费马P.deFermat及荷兰数学家惠更斯C.Huygens
[2]等基于排列组合方法解决了“分赌注问题”及“赌徒输光问题”,因此
产生了概率论.18世纪到19世纪,当人们注意到某些社会现象与机会游戏之间有着很大的相似性时,人们开始概括并总结出一些规律,从而概率论被广泛应用到各个领域中,也极大地推动了概率论体系的发展.瑞士数学家贝努利建立了概率论中的第一个大数定律,随后,大量数学家们通过不断深入的研究,促使概率论的理论逐渐成熟.而概率在工农业生产、国民经济、现代化科技等各个方面也越来越广泛的被应用,尤其是现代日常生活更是与概率有着千丝万缕的联系。
概率论是专门研究随机现象统计规律的学科.概率是用来刻画随机事件发生可能性的大小的数量指标.随机事件A发生的概率我们一般用P(A)来表示,并规定0≤P(A)≤1对于概率值很接近于1的事件,其对立事件的概率必然很接近于0.而在概率论中,我们把概率很接近于0的事件称为小概率事件。
那么多大的概率值算小概率呢？
这就要根据具体情况而确定：比如对于某些非常重要的试验,事件的发生会产生很严重的后果（如飞机失事、雷电伤人等）时,那么概率就应选得小一些,如0.0001,甚至更小一些，否则可以相对大一些,一般多采用0.01或0.005这两个阈值。即事件发生的概率在0.01或0.005以下的事件我们称之为小概率事件。而这两个值称为小概率标准。[3]
1.2小概率事件和不可能事件之间的区别
概率论中把在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件。通常用0来表示不可能事件发生的可能性。不可能事件的概率为0,但概率为0的事件未必一定是不可能事件,也有可能是小概率事件。
有些人经常将小概率事件与不可能事件混淆.但两者从本质上来讲,既有区别又有联系.所谓小概率事件是指发生的可能性小,但仍有机会发生的事件,而不可能事件是指完全不可能发生,概率为零的事件.随着社会的进步和发展,人们的素质不断提高,有些看似不可能事件可能会转变成为小概率事件.比如,2012年3月,还在读大四的刘路被聘为中南大学“正教授”,他经过自己的努力,作出了拉姆齐二染色定理的证明论强度的研究,彻底的解决了英国数理逻辑学家Seetapum于90年代提出“西塔潘猜想”,这一向被人认为是不可能事件,但是刘路通过自己的努力做到了,把一个不可能事件转变成为一个小概率事件.
以下是关于小概率事件与不可能事件关系的例题。[4]
例1某接待站在某一周曾接待12次来访,已知所有这12次来访都是在周二和周四进行的。问是否可以推断接待时间是有规定的？
解:假设接待时间是随机的,即每周中的任一天是等可能接待来访的,而各来访者在一周中的任一天来访是等可能的。那么,12次接待来访都在12周二和周四的概率为212≈3⨯10-7。这是一个小概率事件,一般认为是不
可能发生的。但是现在,小概率事件居然在一次试验中发生了,于是,有理由怀疑假设的正确性。即:我们推断接待站不是每天都接待来访者的,而是规定在周二和周四接待的。
例2举例说明P(A)=0，但A不是不可能事件。
解：举例如下：（会面问题）[5]
甲、乙二人相约在12点到13点之间见面。两人可以在这一小时内的任何时
刻到达。则事件A=“甲、乙在同一时刻到达”的概率是多大？
设甲,乙到达的时刻分别为x,y,由几何概型知识知样本空间为Ω={(x,y)0≤x≤60,0≤y≤60}，事件{A={(x,y)x=y}。由几何概型中概率求法知：样本空间的度量Ω=602，事件A的度量为A=0。所以P(P(A)=A=0,但是很明显，事件A是由可能发生的，即：甲
不可能事件。
Ω,乙有可能同时到达,并不是一个
2小概率原理及其推断方法
2.1小概率原理
定理1[6](贝努利大数定律）：在n次独立重复试验中,记事件A发生的次数为nA,P是事件A发生的概率.则对于任意正数ε>0,有
n-p
或
limP{n→∞n-p≥ε}=0n
nA根据贝努利大数定律可得,事件A发生的频率依概率收敛于事件A
发生的概率,即当n的取值为很大时,事件A发生的频率与概率相接近的可能性非常大.如某事件A发生的概率很小,根据实际推断原理,在实际应用中,当试验次数的取值为很大时,我们便可以用事件发生的频率来代替概率.假设某事件A发生的概率很小,则它在大量重复试验中出现的频率也应该很小.例如,若P(A)=0.001,则大概在1000次试验中,事件A才能发生1次.因此,概率很小的事件在一次试验中不太可能发生.而在概率论的应用中,我们称之为实际不可能事件.实际不可能事件在一次试验中实际上是不可能发生的,即小概率原理,也称做小概率的实际不可能性原理.它是统计假设检验决定推翻还是接受假设的依据,也是人们在长期实践中总结出的一条实用性很强的原理.但小概率事件终究还是会发生的.小概率事件在一次试验中实际上是不会发生,这并不代表着它永远都不会发生,如果永远都不会发生,那么它就是不可能事件了.小概率事件终究会发生是指无限增多独立试验的次数,那么小概率事件就将会发生.
定理2[7]：设随机试验E中某一事件出现的概率为E(无论E>0如何小),不断独立地重复做试验E时,A迟早会出现的概率为1.
证明：设事件A出现的概率为ε,AK表示“A在第k次试验中出现”,则P(Ak)=ε,P(k1-ε,在前n次相互独立的试验中A一次都不出现的概率为：
P(12 nP1P2 Pn=(1-ε))))
)n那么在前n次相互独立的试验中A至少出现一次的概率为：Pn=1-P12 n=1-(1-ε)n，无论ε的取值如何小,只要n→∞时,那么Pn→1,这说明小概率事件迟早会发生.
2.2小概率推断方法
推断小概率原理的方法主要是利用概率性质的反证法,其步骤依次为提出假设、根据一次试验的结果进行计算、按照一定的概率标准作出判断三个步骤.若其中有导致不合理现象出现,也就说明小概率事件的发生,则拒绝假设导致不合理现象出现,即小概率事件未发生,则不拒绝假设.[8]
小概率原理在概率论中是一个简单、基本并且具有实用意义的原理,同样在我们的日常生活中被广泛的应用.小概率原理常在不经意间指导着我们的实际生活.因为人们坚持这样一个正确的认识小概率事件在一次试验中是不会发若未生的.但真发生了,也绝不会认为是必然现象,而是认为一定有着某些偶然因素导致的.这就是人们为什么在明知道有飞机失事的存在,仍然敢于乘飞机旅行、出差的原因.
但也有一部分人们更愿意承认小概率事件的发生.如在体育彩票、福利彩票等发行过程中,尽管人们知道中大奖的机会微乎其微,接近于0,但人们却依然热衷购买.也许有人们愿意为体育事业、福利事业献出一片爱心,但人们购买彩票更主要的原因是人们期望中大奖的侥幸心理作祟.
3小概率事件原理的应用
3.1经典的小概率事件研究
例3在街头巷尾常见一类“摸球游戏”.游戏是这样的一袋中装有16个大小、形状相同,光滑程度一致的玻璃球.其中8个红色、8个白色.游戏者从中一次摸出8个,8个球中.当红白两种颜色出现以下比数时.摸球者可得到相应的“奖励”或“处罚”：[9]
结果
（
数）
奖金
（元）比(8:0)A(7:1)B(6:2)C(5:3)D(4：4)E1010.50.2 2
表2-1
（注：表中“-2”表示受罚2元）
解：这个游戏看上去非常有吸引力,5种可能出现的结果中有4种可中奖,而只有一种情况受罚,且最高奖达10元,罚金只是2元,大家认为输赢不是很多,也就几块钱,因此很多人想来试下运气,尤其吸引了许多人好奇的青少年参加,可是玩的人中赢家屈指可数,到底是什么原因呢
应用其实这是一个概率知识的具体8其实就是从16个球中任取8个.所有可能的取法为C16种,事件总数是一个固定值,并且是随机的抽取,是个可能性的事件,是典型的古典概型问题.由概率计算公式很容易得到上述5种结果,其对应的概率分别是：
P(A)=2
162P(B)==0.0099462P(C)==0.12182P(D)==0.4873P(E)==0.[***********]1644
16=0.0001554
假设进行了1000次摸球试验,5种情况平均出现的次数分别为0、10、122、487、381次,经营游戏者预期可得：
2×381-(10×0+1×10+0.5×122+0.2×487)=593.6(元)
这个例子的结果可能会使我们很惊讶,没想到中头奖的概率竟是如此小,他的概率只有0.0001554,明显是一个小概率事件,可以说这是一个陷阱,在我们的生活中,也有很多类似的例子,如彩票,很多人喜欢买彩票,并因此一夜暴富,成为千万富翁.我们都知道买彩票中奖是小概率事件,我们来看一个报道,河南省安阳市一位彩民用172元购买2注44倍投注的“6+1”双色球彩票,竟然一次中88注409.07万.每注一等奖,共获奖金3.599亿.有人计算过,中双色球一等奖的概率为0.0000000564,二等奖的概率为0.0000008464,三等奖的概率为0.0000091417.可见,中一等奖的概率几乎接近于零,属于典型的小概率事件.
既然买彩票中最大奖的概率是如此的小,为什么还会有人中大奖呢？这是因为全国买彩票的总人数是一个相当大的数值,这样就大大增加了中大奖的概率,就必然会产生大奖了.为了发展公益事业,我国发行了多种彩票,有些彩票的最高奖高达数百万元,但是在有限的几次试验中中最高奖这种事件几乎是不可能发生的,买一张彩票就中最高奖的概率近似为零.对于中彩票大奖这种小概率事件实在太小，好比大海捞针，用有限的钱买几注或几十注彩票，当做娱乐，也没伤到筋骨。中彩固然值得庆贺，未中彩也不要垂头丧气，千万不要把它当做生活唯一的筹码。像诸葛亮和比尔·盖茨之所以被称为传奇就是这种成功的方式
很难复制。比如说诸葛亮借东风时万一风向突然改变，那可是千万士兵的生命。大家都学比尔·盖茨辍学，也是不可取的，因为一个人成功和受教育毕竟是成正比的。虽然小概率不等于不可能，但是，它是一个期望值，由于其发生的可能性极小，从而风险极大。所以现实生活中我们考虑风险的时候不能只关注“风险背后的机遇”，认为及时抓住了机遇就可以取得成功，但如果判断失误，与机遇如影相随的风险很可能会给我们造成无法估量的损失。
3.2小概率事件原理在商场管理中的应用
例4商场某电器部门有12台电器,由于种种原因,每台电器有时需要开,有时需要关,每台电器的开或关是相互独立的.由以往的统计数据,每台电器在一个工作日内关闭的概率为P,为了了解该部门的用电情况,需要计算其在一天之
[10]内恰有k台电器处于关闭状态的概率是多大?
解：这是一个简单的Bernoulli概型问题
器数X服从参数为n=12,p=每个工作日内处于关闭状态的电1的二项分布,容易算出X的分布列,见2-2.3
k
P12（k）KP12（k）KP12（k）
0.007707
1
0.046244
2
0.127171
3
0.211952
4
0.23846650.19075760.11127570.04768980.01490390.003312100.000497110.000045120.000002
表2-2X的二项分布图
由表可以得出关闭的台数不超过1台的概率为:P12(0)+P12(1)=0.053951
而关闭台数超过7台的概率为：P12(8)+P12(9)+ P12(12)=0.018759
由此可见,若取小概率标准为0.05,则“停车台数不超过1台”和“停车台数超过7台”均属小概率事件.根据小概率原理,可以认为在一个工作日内处于停车的车床台数在2~7台之间,进而可计算实际用电量.反之,还可以利用小概率原理,通过实际观察来检验原先对一台电器在一个工作日内关闭概率的估计值p=否正确.
如果在某个工作日内发现关闭的台数不超过1台或超过7台,则表明上述两个小概率事件竟然发生了,因此可以认为这是不正常的.
1是3如果没有其他原因,就
可以认为将关闭概率估计为1是不正确的.这种类型的问题在商场管理中是经常遇到的.如果这时仍是这12台电器,设每台电器出现故障时需要维修的概率为p=0.05,假设各台电器间是否出现故障是相互独立的,而每一名维修工人维修能力是有限的,假定每次每名工人只能修一台.那么,为了及时修复设备,商场应配备几名维修工人以保证电器得到及时的修复.同一天内出现故障车的床台数服从二项分布x~b(12,0.05).
不难算出:P12(0)=0.541，P12(1)=0.341
至少2台出现故障的概率P=1-P12(0)-P12(1)=0.118
据此,可以考虑只配备1名维修工,因为超过1台出现故障的概率是小概率.
3.3小概率事件原理在保险中的应用
保险是近代一个频率较高的词汇,生活中处处都要和这个行业打交道.我们在购买保险前先要弄清楚的重要问题之一就是我们需要什么样的保险方案.对于我们来说,保险的基本功能是用来保障生活中小概率事件的产生.而在生活里存在着各种各样的风险,我们应对的方法也是不一样的.对于损失小的事件,无论事件发生的概率高还是低,我们一般都采用任之发生的方式,也就是自己承担损失.比如说锁门的锁头坏了,那么我们只要就去商场里从新买把就可以了,没有谁说再到保险公司买一个锁头险.即便你想要买,关键是也没有保险公司卖.这类的事件便是没有保险地意义的事件.如果是发生频率高且损失也高的风险,我们经常采用的办法是有意的避免它.如果买这类的保险,保费会非常昂贵
费昂贵的含义是,保费和保障额度相差不大
大传染病,危险运动蹦极,跳伞,攀岩等等.这里保[11],保险公司一般也不承保.如战争,特[12]我们转移给保险公司的一般来说是低概率,高损失的风险.如财产,人身安全,疾病等等.由于其发生的概率比较低,一旦发生将会给我们带来难以承受的损失.正是由于这些事件极低的概率性,使得其保费相对于保障额度来说比较低.这是什么原因呢一般的保费的计算方法是保险事故发生的概率和保障额度的乘积再加上保险公司的费用.如我们
可以统计出一名35岁男性在一年内死亡的概率是万分之五,不考虑其他因素的话,如果购买100万保额的一年期定期寿险,那么纯保费将是500元假设保险公司的费用率是纯保费的一半,那么总保费就是750元.750元的保费和100万元意外收益差别巨大,这就使得这类风险具有了保险的意义。
我们接下来分析一下这位男士要购买一份一年期的两全险，[13]也就是不管他在一年内死亡与否，保险公司在一年后都要支付给他100万元，那么纯保费就是100%×100万=100万，因为保险事故中，生或死发生的概率是100%。假定保险公司的费用率是纯保费的10%，这位男士最后缴纳的保费是110万元。投保的费用居然超过了保额，必然不会有人会买这种保险,也不会有保险公司设计并出售这类保险,因而这样的高概率险就失去了保险的意义。
保险事业是最早使用概率的部门之一，它会有巨大的利润就是成功的运用了小概率事件原理。
例5某一保险公司,有2500个统一年龄层的相同社会阶层的人参加保险,在一年内,每个人死亡的概率为0.002.每个参加保险的人在1月1日付12元保险费,而当它在这一年死亡时,家属可从公司领取保险费2000元.求：此保险公司亏本的概率。[14]
解：我们以一年来算,1月1日,公司收入为2500×12=30000元,假定死亡x人,则保险公司一年付出2000x元,亏本指2000x>30000,x>15,即.把“参加保险的每人在该年是否死亡”看成一次随机试验,2500人参加试验就相当于2500重贝努利试验,于是x~b(k,2500,0.002).利用泊松定理可得:
e-(2500⨯0.002)P{x>15}=∑(2500⨯0.002)⨯=0.0069k=162500k
“保险公司赔钱”显然是一个小概率事件,因此有理由认为此保险公司在该年不会亏本.事实上可以计算该保险公司在本年的获利少于10000元的概率仅为0.014,也该公司本年度的收益不会少于10000元.综上所述,保险公司实际上正是应用小概率事件的原理,提前预测出亏本的概率极小,在保险业中最大的赢家
其实是保险公司.但人们不能因为意外事件发生的概率小和取得收益的概率小而不去投保,这里我们更要说明小概率事件并不是不可能事件,我们万万不能忽视,应该正视保险业.而对于保险业来说,所谓的小概率,什么情况下才会有意义？那便是对一个足够大的样本、群体才具有意义！[15]
3.4小概率事件原理在日常生活中的应用
我们在生活中也经常会遇到小概率事件,例如：如一个人成为国家领导人的概率固然非常小,但上亿人中至少还会有几个国家领导人就几乎是必然的了.人的一生有许多机会,聪明的人善于抓住好机会,避免机会流失.从而抓住了好机会就是我们所谓小概率中的“小”.
我们研究小概率事件的目的是掌握其发生的条件,为我们所用,目的是使它朝着有利于我们的方向发展,避免具有破坏性不利于我们的小概率事件的发生,接下面我们通过实例来举例说明小概率事件原理在日常生活中的应用.[16]
例6某生产线中袋装盐的质量X服从均值为1000g,标准差为20g的正态分布,即X~N(1000,20)，现对袋装盐的质量进行抽查,发现有一袋盐质量为1080g,问：是否有理由怀疑生产线存在故障？[17]
解：根据正态分布的“3σ—原则”
若X~N(μ,σ2),则Y=X-μ~N(0,1)σ
所以：
P(μ-3σ,μ+3σ)=P(-3
=2⨯0.99865-1=0.9973X-μ≤3)=φ(3)-φ(-3)=2φ(3)-1σ
不难看出,X的值几乎以概率1落在(μ-3σ,μ+3σ)区间内,也就是说,X的值以很小的概率落在(μ-3σ,μ+3σ)之外.由正态分布的“3σ—
盐质量应以概率1落在（,袋装原则”1000-3×20,1000+3×20）即(940,1060)之内,现在被
抽取的这袋盐为1081g,落在此区间的外部,即小概率事件竟然在一次试验中发生了,所以我们有理由怀疑该生产线发生了故障,需要检修.
3.5统计假设检验中小概率原理的应用
数理统计中的假设检验方法在工厂、科研、医学等等许多领域中都有广泛的应用。其基本思想的根据就是小概率事件原则。这一基本思想是：假设某结论H0需要检验。我们先假定H0是正确的，在此假定下，某事件A的概率很小，经过一次检验，如果A发生了，即小概率事件A在一次实验中发生了，这与小概率事件原则违背，所以否定H0。反之，如果A不发生，则或者肯定H0，或者保留H0,留待经过几次实验后再作结论。统计假设检验就是针对所研究的问题，提出一个“命题”或曰“假设”，然后抽取样本，观察样本数据与所提出的假设的不一致程度，如果二者相差甚远，即二者差异已经达到“足够大”的程度，就说明原来提出的假设是不成立的。这种判断假设真伪的思路实际上就是我们要探讨的“小概率原理”。[18]
利用小概率原理来判断是否应该拒绝所提出的假设即原假设，主要在于判断所抽取的样本数据与原假设的差异是否足够大，对于二者差异大小的判断有两个表象不同但本质一致的尺度：统计量和概率.
统计量是由随机抽样所得的样本数据构造的函数，可以测度来自某总体的样本长远而稳定的信息，如样本均值、样本方差、样本比率等，以及在此基础上构造的t、 2、F等统计量。统计量是由样本数据构造的，而样本数据是随机抽取的，所以样本数据是不确定的、随机的，由其计算所得的统计量也就是随机的。而总体参数是确定但未知的，假设的命题即原假设中关于总体参数的假定是确定而且明确的，一般来讲二者是不一致的。造成样本统计量数值与假定的总体参数数值不一致的原因有两个：随机差异和条件差异。不同的原因产生的差异程度不同，一般情况下，随机差异经常存在，但差异程度不大，条件差异不一定存在，但一旦存在，造成的差异就会比较大。所以，统计量数值与假定总体参数数值差异较小时，不能判定原假设有错（注意不是说判定原假设
是对的），如果二者差异较大，说明除随机差异外还有其他原因造成的条件差异，即说明原来的假定存在问题，也就是说根据样本数据可以否定原假设。
但是直接根据统计量的数值与原假设中假定的总体参数的数值比较，很难断定差异的程度大小，比如推断某次学生考试的平均成绩，提出原假设：μ=80。为了验证该假设是否确实，随机抽取36名学生的考试成绩，计算的平均成绩为70分，二者相差10分，这10分的差异算不算大呢？这就需要借助概率来分析.[19]
在正常条件下，即原假设成立的前提下，样本统计量与总体参数之间的差异比较小，即该差异较小的概率较大，而该差异较大的概率很小，也就是说在一次试验中，样本统计量与假定的总体参数的差异如果较大，则说明产生差异的原因不只是随机因素，应该还有其他原因。但这种判断不是绝对正确，有可能是错误的。犯这种错误的可能性大小取决于事先规定的小概率事件“小”的程度。这种判断小概率的标准就是统计假设检验中所谓的显著性水平。这种显著性水平就为我们判定差异的大小提供了标准。这样就产生了判断差异大小的第二个尺度——概率。如果在原假设成立的前提下计算的出现样本数据的概率（即统计检验中所谓的P值）小于所规定的显著性水平（一般用α表示），即Pα，表明在原假设成立的前提下，出现样本这种情况是很正常的，二者的差异仅仅是由于随机原因产生的，样本数据不足以否定原假设，我们不能说原假设是错的。在实际抽样中，我们抽到的是对客观现象度量的客观数据，如上例所说的考试分数，或者其他的如重量（千克）、距离（cm）等等，并不是概率。为了将观察到的数据即统计量的数值转换成能够判断差异大小的概率，需要将其标准化，如上例学生考试的成绩，我们假定总体平均成绩为80分，而抽样的样本平均成绩为70分，二者相差10分，如果原假设是正确的，那么样本均值离开总体均值达到10分及10以上差距的概率多大呢？为求其概率，我们首先要将该差异标准化，即：
z=χ-μ0
σ其中，为样本均值，即=70:μ0为假定的总体均值，即μ0=80:n为样本容量，即n=36:σ为总体数据的标准差，若σ未知时可用样本标准差s替代。如果假设s=30，则：
z=χ-μ0
σ=70-80=2σ2
由抽样分布的知识可知z为服从标准正太分布的统计量，即z~N(0,，由此可知：n
P{z>2}=P(z>2)+P(z
上式表明，样本均值离开总体均值的距离达到或超过10分的概率仅为4.55%，也就是说如果总体均值确实是80分的话，我们重复抽取100个样本，仅有4到5个样本的均值会达到相差10分的程度。如果我们规定5%为小概率的标准，那么4.55%就为小概率，据此我们就可以说如果原假设正确，即总体均值确实为80分，出现这样的样本是小概率事件，在一次抽样中是不应该出现的，但现实是我们确实抽到了这样的样本，在此情况下，我们是相信原先的假定呢，还是相信眼前的事实呢？很显然我们只能相信事实，即认为原先的假定是不成立的，理所当然做出否定原假设的结论。[21]
3.6小概率事件原理在林火预报中的应用
林火预报方法选择是进行林火预测预报的关键,全世界共有100多种,我国也有十多种。在森林防火工作中不确定的随机现象广泛存在。一些不能准确预测未来或尚未发生的事件,例如防火戒严期及防火期的规定,野外用火许可证能否发放等事件,这类事件充满了不确定性。我们可以利用火灾历史资料,通过统计学方法来找出林火发生发展规律,这是林火预报方法中最简单的一种研究方法。
这种方法只需对过去林火发生的天气条件、地区、时间、次数、火因、火烧面积等进行统计分析,根据不同因素之间的相关性,利用概率计算,得到一个对应事件的概率,利用小概率原理对林火发生的可能性进行预估检验,验证工作的可行性及正确性,对森林防火工作提出防控措施。虽然这种方法比较简单,但解决问题具有高效性、简捷性和实用性。
例7根据历史资料，某林区平均每年发生12次林火，而且12次林火都发生在3、4月份，而不发生在6月。预火期或戒严期定为3、4月，问在6、7、8月份结束防火期是否合理？[22]
A假设：火灾每月都发生，排列为1212.火灾仅发生在3、4月份，排列
212
为2。火灾发生在3、4月份的概率P(A)==4.6⨯10-10。12
根据小概率原理，推翻原假设，防火戒严期应该定在3、4月份
B假设：火灾每月都发生，排列为1212。火灾不发生在6、7、8月份，只发生在其余9个月，排列为912。火灾不发生6、7、8月份的概率
912
P(B)==0.032。12
根据小概率原理，原定假设为错误并推翻，结论为不应该在6、7、8月份结束防火期。
例8根据历史资料,在3月份发生火灾95%是由烧荒引起,而3月12日火灾发生概率为0.07,现有人申请用火许可证,问能否发放?
解：假设烧火事件为A
AP(=0.95AP(=0.05假设发生火灾事件为B
P(B)=0.07P(=0.93
AAP(A)=P(B)⨯P()+P()⨯P()=0.113AP(B)⨯P(BA=0.95当日烧荒引起火灾的概率为P()⨯P()=根据小概率原理,结论为不应该发放用火许可证。
3.7小概率事件原理在体育运动中的运用
《体育统计学》教材中涉及到“小概率事件原理”。举个例子说,在训练中,某种伤害事故的发生率为百分之一或千分之一,也就是说在一百次或一千次重复训练中平均将出现一次伤害事故.但在同等条件下,如果仅训练一次,对该次划11练来说,该种伤害事故发生的可能性小百分之一或千分之一,实际上可以认为该事故是不会发生的.因此我们平时在一般的体育教学中只要给予适当的注意,很少会发生重大的伤害事故.但是如果我们因此而忽视小概率事件,认为它肯定不会发生,那就大错而特错了.因为体育教学与训练都是反复进行的,因而必须重视和预防小概率事件的发生.下面举例说明小概率事件原理在体育方面的应用.例1根据以往资料，篮球运动员张三投篮命中率为70%，他在一场比赛开始后连续投篮7次命中次数不超过2次，可否认为该运动员尚未进入状态，为教练提供理论依据。[6]
分析解答：假定7次投篮时相互独立的7次试验，用ξ表示其投中的次数，则服从n=7,p=0.7的二项分布，其概率分布为
P(ξ=k)=C70.7k0.37-kk(k=0,1, ,7)
投篮7次命中0次、1次、2次的概率分别为：
P(ξ=0)=0.37=0.0002187
P(ξ=1)=C7⨯0.7⨯0.36=0.00357211
2P(ξ=2)=C7⨯0.72⨯0.35=0.0250047
命中次数不超过2次的概率为：
P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)=0.0002187+0.0035721+0.0250047
=0.0287955
这是一个小概率事件，而在一次试验中竟然发生了。从而说明该运动员此时不在状态，这时他的命中率要低于0.7。同理，也可知道其他球员的比赛状态，作为教练指导比赛的参考依据。
例9已知四川理工学院体育系四年级男生36人安静时心率数位68.9/
分，由文献得知，正常男子安静时心率均数为72次/分，那么体育学院四年级男生的心率是否与一般正常成年男子不同？[23]
分析解答：针对36名经常参加锻炼的体院四年级男生同一般成年男子
的安静时心率的差异，分析它是否由抽样误差引起的，就要确立一个小概率的显著水平α（如取α=0.01），先假定其差异是仅源于抽样误差，则提出假设检验：μ=μ0。即体院的总体均数等于已知总体“一般”中随机抽样的。在此前提下，再计算因为抽样误差而取得这样的样本的可能性，若可能性很小，即小于显著水平α，由显著差异，就自然对原来的假设产生怀疑，从而拒绝原假设。
假设H0：“经常参加锻炼的体育学院四年级男生同一般成年男子的安静时的心率没有差异”,可用t检验法进行，由题意，选统计量:
t=-μ068.9-72==-2.8621-0.01
于是：t=2.862>t(36-1)=2.724，
故在α=0.01检验水平下拒绝原假设H0.
由上可判断μ与μ0的差异具有高度显著性,可以基本认为安静时的心率“体院学生”不同于“一般”。根本原因可能是长期单恋导致心肌增强脉搏输出量增加等原因，而不是小小的抽样误差所能影响的。
4结束语
小概率事件是有可能发生的，只是发生的可能性很小而已，并且没有规律可循.因为小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，所以人们对待小概率事件有两种截然相反的态度：一种是不愿意承认小概率事件的发生，对小概率事件听之任之、不闻不问，另一种是更愿意承认小概率事件的发生，整日处于杞人忧天或守株待兔的境界。我们已经证明：不论小概率事件A中的“小概率”多么小，只要不断地独立地重复做此试验，则该事件A迟早会出现的概率为1。它告诉人们，在实际工作中，不能忽视小概率事件。一件看来可能性很小的事，在大量重复之下，可能性就会很大。小概率事件原理是统计学中假设检验的理论基础，更是概率体系中不可缺少的一部分，在我们的日常生活中有着很广泛的应用。因此，如何对待“小概率事件”是人们处理工作和生活问题的必备科学素养。
参考文献
[22].M.Kharrati-KopaeiA.R.NematollahiZ.ShisheborStatisticalPapers2009-2
Springer期刊
[23].ParminderSinghAmarNathGillNarendraKumarJournalofStatisticalPlanningandInference2009-9爱思唯尔期刊
致谢
四年的读书生活在这个季节即将划上一个句号,而于我的人生却只是一个逗号,我将面对又一次征程的开始。四年的求学生涯在师长、亲友的大力支持下,走得辛苦却也收获满囊,在论文即将付梓之际,思绪万千,心情久久不能平静。伟人、名人为我所崇拜,可是我更急切地要把我的敬意和赞美献给一位平凡的人,我的导师,张丹丹老师。我不是您最出色的学生,而您却是我最尊敬的老师。您治学严谨,学识渊博,思想深邃,视野雄阔,为我营造了一种良好的精神氛围。授人以鱼不如授人以渔,置身其间,耳濡目染,潜移默化,使我不仅接受了全新的思想观念,树立了宏伟的学术目标,领会了基本的思考方式,从论文题目的选定到论文写作的指导,经由您悉心的点拨,再经思考后的领悟,常常让我有“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”。
感谢我的爸爸妈妈,焉得谖草,言树之背,养育之恩,无以回报,你们永远健康快乐是我最大的心愿。在论文即将完成之际,我的心情无法平静,从开始进入课题到论文的顺利完成,有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助,在这里请接受我诚挚谢意！
同时也感谢学院为我提供良好的做毕业论文的环境。
最后再一次感谢所有在毕业论文中曾经帮助过我的良师益友和同学,以及在设计中被我引用或参考的论著的作者。
湖北文理学院毕业论文（设计）任务书
毕业论文（设计）题目学生姓名杨轲专业班级指导教师一、毕业论文（设计）的主要内容及要求：
主要内容：1、概率论起源及小概率事件定义.2、小概率事件的原理及推断方法.3、小概率事件与不可能事件之间的区别与联系.4、小概率事件原理在概率要求：１、字数必须在一万字以上；２、参考文献必须在十五本以上（其中至少有八篇为学术论文,二篇英文资料）,且这些文献在正文中都必须用到并有注明；３、毕业论文应自己独立完成,严禁抄袭,如使用了别人的研究成果应在正文中标明出处；４、毕业论文应有自己独到的见解.
二、毕业论文（设计）应收集的资料及主要参考文献：
[22].M.Kharrati-KopaeiA.R.NematollahiZ.Shishebor
Springer期刊
[23].ParminderSinghAmarNathGillNarendraKumarJournalofStatisticalPlanningandInference2009-9爱思唯尔期刊StatisticalPapers2009-2
湖北文理学院毕业论文（设计）开题申请表姓名
学院
题目杨轲数学与计算机科学学院学号专业2009109111指导教师班级张丹丹0911数学与应用数学小概率事件原理的应用
尊敬的张丹丹老师：
开
题
申
请
（
正
文
附
后
）我在接到任务书后，依照指导老师的指导和要求，到图书馆查阅了充足的资料，对题目进行了详细的分析，确定了论文的主要方向和基本框架，现申请开题，请批准！申请人签名：年月日指
导
教
师
意
见
指导教师签名：年月日
注：学生须根据毕业论文(设计)任务书写出2500字以上的开题报告，开题报告包含以下几方面的内容：1.研究目的和意义；2.阅读的主要文献、资料(理工类15种以上，其他学科类20种以上)，分析国内外现状和发展趋势，提出本课题的主攻方向；3.主要研究内容、途径及技术路线；4.工作的主要阶段、进度及完成时间。
毕业论文开题报告
小概率事件原理的应用
专业：数学与应用数学0911班学号：2009109111
指导老师：张丹丹
一、研究目的及意义
在生活中会出现黑天鹅现象，这种现是极不寻常的小概率事件，因为在很多地方人们都发现成千上万只的天鹅是白色的。然而这种现象却深刻的影响人们的认知与生活，比如百年不遇的洪涝、地震等巨灾风险。小概率事件原理是概率论中具有实际应用意义的基本理论，在概率论中将概率很小（小于0.05）的事件叫作小概率事件。因为小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，所以人们对待小概率事件有两种截然相反的态度：一种是不愿意承认小概率事件的发生，对小概率事件听之任之、不闻不问；另一种是更愿意承认小概率事件的发生，整日处于杞人忧天或守株待兔的境界。其实，只要我们充分的认识和把握这一原理，并加以很好的应用，就会给我们的生活带来意想不到的收获。
二、该课题的现状和发展趋势
概率论最早起源赌博问题。17世纪中叶，法国数学家帕斯卡（B.Pascal）、费马（P.fermat）及荷兰数学家惠更斯（C.Huygens）等基于排列组合方法，解决了“分赌注问题”及“赌徒输光问题”，于是出现了概率论。18～19世纪，人们注意到某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间的相似性，从而概率论被广泛应用到这些领域，大大推动了概率论的发展。瑞士数学家贝努利（建立了概率论中的第一个大数定律。随后，经过数学家们不断深入的研究，概率论的理论逐渐成熟。概率在工农业生产、国民经济、现代化科技等方面的应用价值体现越来越广泛，现代日常生活更是与概率有着千丝万缕的联系早在1812年，数学家拉普拉斯在一篇有关概率的论文-“概率分析论”中就说：“这门源自考虑赌博中的机运的科学，必将成为人类知识中最重要的一部分，生活中最重要的问题的大部分，将都只是概率的问题”。这在我们的当今现实生活中得到了充分的印证。概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域。很多学者对概率统计相关理论体系颇有研
究，也会遇到现有理论无法解释的现象，然而研究者却很少将其与小概率事件相联系，缺乏对小概率本身进行研究与讨论，似乎小概率就是一个默认的共同知识。
三、本课题的研究内容
本文将从小概率事件的相关概念入手，研究这一原理的实际应用。研究的内容包括：概率论起源及小概率事件的定义、小概率事件的原理及推断方法、小概率事件与不可能事件之间的区别与联系、小概率事件原理的应用。
四、本课题研究的重点
该原理的实际应用是本课题研究的重点内容，主要包括以下几个方面:
1经典的小概率事件研究
2小概率事件原理在商场管理中的应用
3小概率事件原理在保险中的应用
4小概率事件原理在日常生活中的应用
5统计假设检验中小概率原理的应用
6小概率事件原理在林火预报中的应用
7小概率事件原理在体育运动中的运用
五、研究的方法
一、实地调查法（通过到所研究的处所实地调查，从而得出结论）
二、人物采访法（直接向有关人员采访，以掌握第一手资料)
三、文献法（通过查阅各种相关图书、期刊等，分析、比较得出结论）
四、向指导老师请教（通过向指导老师探讨请教得出相关结论）
六、研究的主要阶段、时间安排
1、2013年2月1日至2月28日确定毕业生论文题目，并下达任务书；2、2月16日至3月5日撰写并提交开题报告；
3、3月6日至4月10日撰写并提交初稿；
4、4月12日至5月15日撰写并第一次修改；
5、5月18日至5月20日撰写并二次修改；
6、5月23日至5月25日撰写并三次修改；
7、5月26日至5月28日撰写并定稿；
8、5月28日至5月29日毕业论文答辩及论文成绩评定。
六、主要参考文献及资料
[22].M.Kharrati-KopaeiA.R.NematollahiZ.ShisheborStatisticalPapers2009-2Springer期刊
[23].ParminderSinghAmarNathGillNarendraKumarJournalofStatisticalPlanningandInference2009-9爱思唯尔期刊