14拉格朗日方程

动力

学拉朗格日 Lgaarge n17（36181-年4

）国数学法、力家学及天文学家。家有18只的岁就他以纯析分的方法发展了拉所开创的欧分法，奠变变分法之定理论基础发。表大有关量分法、变概论率微、方分程弦、动及振小作最用理等原文。这论著作些他使成当时为欧洲认的公一第数学家流。了 17到64年他，万有引力凭释月球天平解问动题得获国巴黎科学法院奖。 176金6，年又因功成以微地分方理论程近和似解法究科学研所提院出的一个杂复的体六问题［木的星个卫星的四运动题问］再度获奖。而写继了牛顿又后一要经重典学力着作分《力析学》1(878)。年书以内变原分理分析及的方法把完，整和谐的学体系建力立起来，使力分学析。化

十第章四拉格日朗方(程第二类方) 程14§1-动力学普方遍

达程朗伯原理虚位移理

原r r r r (Fi+ FiN + igF δr) = 0 , i∑r rr∑ ( Fi Fi+ )grδi 0=

r r (∑Fi + F iN+ Fi g = 0 ,)r

rr ( F + Fii )Nriδ =0, ∑

rr ( Fi −m i a )iri =δ ,0 ∑

∑

[(F

ni = 1

m −i &i& )x iδ+ (Fi y− m &i& i)δyi+ (F z −i m i &&i)δ z =i0 , y xz

动]学普力遍方程

例1

41.一套-轮系滑悬统挂个重物.设:绳,滑两质轮不量.求计重为:1P的体上升物的加速度a1。解:

−(P1 +F1 g )δS1 + ( P 2 −F 2 gδ) S 2=0 ,

1PP F1 g =a 1, 2 gF= 2 2 ,a gg 2 S1 + S = c 2, 2S1 δ+ δ 2S =0, a 2 1 a =,

2S1

δS1

δS

2 F2 g2a

F1g2 P

2 a1

PP 2 −P 11a = 2gP 2 +P1

例14-. 2棱柱三A沿三柱B棱光的斜滑面滑,动和A的B质量为各mA,mB.求 :棱柱B的加三速。解度:

F g = BmB a B ,AgrF = m Aa Ar,

FA e = g Ama B

,）δ1x ≠A0 ,xδB =0 aAr = sgn iα +aB co αs ,

FgrA δxB aB Bmg

mAg FB α FN

AgF eAarδx

A(− FgAr +m gsi n +α FgAe osc )δα x = 0 A,

δ）x A = ,0δ Bx≠ 0

−（F B g− FAg +e FAg roc sα )δ x = B ,

a 0A

mBa B + m A a B , m = cAo αs

Amg sin 2α Ba= ,2 2( m A s n α i m + )B

14-3例调器速稳定β时在:求与ωβ系,弹簧原关长2为。 le 2解:

F2δgxA + 2 mg yδ A +(m 2 g F+ δ)yC = ,0F

=2 l(1 − os α ck),

lF kβF ω lFA

xA = e +l in β ,s xδ A = lcs oδββ, yδA =− l s i βδnβ, yA =l ocs β,y =c2l os β c

g Fm1

yδC −=2 sin lββδ

l lmg

21m

Fg g= m ( e + l 1sn i βω) ,

{m2 (1e + l s in β)ω 2 l oscβ −2 m 1l sing −β [(m 2 g + k 2 (l1 − co β )s2]l in β s}δβ= 0 ,

[(

m + 1 2m) g 2kl+( 1 − co sβ) ω= ]tnaβ m1,( e+ lsni β

)

例144- 量质50k为g匀质的,其杆端A地与光面接触以匀滑2m速/ 向s运左.动已知杆长l=3m:,b1.=2m求:水平,F的力小与绳拉力 FT大。2 2解 D :vBv A n= ,aBn 瞬时动: 平ωA B 0=, B =a bbb τ aBB τ aB= bα DB, vB = v A ,a A =0, cn α Α aB B= a τosc 300 lα =A cBos3 °0, τ B AaB 对AA:点m 2 g AF 0

vB 03 α= = 1. 82 1/ 2 s

,bl oc s30

°1）

ϕ = 0δ，δ A ≠ x0

aCA δxA 30τ0c mg B gMF g1 C

bFδx

A− Fg1c

δx = A0, 2

m l m 3 F= τ =aα AC ⋅ =0 ⋅ 5⋅ .28 =14 8 NAC2 22

α ΑC

例

41-A 质量为45kg0的质杆,其匀A端与地面滑接触光以匀速2/s m向运左. 已知动杆:l=长3mb=,.21m求:,平力水的大F与绳拉小力 T。F :解2） δ ≠ ϕ0δx ， 0=

A对A取: 矩−M gϕδ −F c1g ϕδ

l l

+T lF osc 03°δ ϕ mg −cso 30 δϕ 0=0, 22

3 l2

l ll 3 ( m− αA B− AC α m −m + gFT l) ϕδ= 0 , 21 22 2 2

2D B Mg

b T

FFT =139 N ,

ΑC

αδϕ

aACτ

03 0g

Fg1

r n

rr r r rr ∂ri (r i −Fm a i iδ)ri= 0 ,i r =r (q1 ,.i..rq , )t, riδ= ∑δq j,∑

§4-12拉朗格方日

程j= 1

r nr r iFriδ− m i a iδr∑i 0 ,=∑

n i =1 i =1

q j∂

1(1 )

r r

r rr∂r i Fiδri∑ =∑ Fi ∂∑ q⋅ q jδ = 1∑ Qjq jδ rr r r j= i r1=j 1 = ∂jr i∂ r∂ rr r∂ & r&& & q =ji q 1+ i 2 +qL +i q j , ∑∂q s r ∂rir &q∂1∂q2 ∂ q jj 1= j∑mi a δrii= ∑ m(ivi ∑ q ∂δ qj ) rrj 1 = 2 nj∂v i∂r ir m vr n= 0 + =∑ iT i, r ∂ ir & &∂q ∂q jj)δq j =, ∑∑ (i vm i 2i=1 r rr ∂ q j j= i1 =1& rr r∂ri v∂ i ∂ri rd ∂ r ∂rr rd r∂id = = ., 2） mi &vi =i m( viii −) i vi , dmt ∂q j ∂qj q∂j ∂q jd t∂q j dt ∂ qj rr dT ∂ T ∂rr −mi a iδri= ∑( δq) ,jr ∂v ∑id ∂vr i& q j j ∂=1 dt∂q j=m( v)−m vi

i i &dt q∂ j q j ∂入 2代2 d ∂ i mi v mi∂vi = )(−( )1() & 式d t∂ jq ∂2qj 2

rr r r ∂r ∂ 广义 & r& 1 )v i = ri =i+ ∑i qj ,∂ j = t1∂ qj 速

度 r rr ∂iδ W j =, Q = ∑ jFi q ∂jδ q j i = 1 义广力

∑

Q (

−j=1 j

dT ∂T ∂ )+q δj= 0 , d & ∂t q j∂ j

d ∂ ∂T T ( Q − d∑ t∂ +q∂q δq j) =0 ,&j =1 jj

qδ j ≠0 ,

V , ∂∂ qj

∂ d ∂TT −= Q ,j& d t∂ jq ∂q j

定义拉氏函数L：T-=Vd ∂(

T −V) ∂( T− V ) − =, & 0t d∂qj q∂j

d L ∂∂ L )− (= 0,&j d t q∂ ∂qj

:或 L d∂ L ∂() − = Qj' , ∂&q jdt∂q j

jQ =−

d ∂V

() = 0, &jd t∂q

第

类二氏拉程 Qj方’非:有力势广义的力

例41- 5量为m质,杆长l簧弹刚度为的图示杆.求:系统k微分方程振动的周. 解期：

1 1 2T = (l 2 m)θ&2 3平条衡件: − mg l k+ δ0b 0 2=

1lk k 22V = m g + θ( 0δ + θ b )2− δ0 = b θ2 , 2 2 22

[

]

1 k 1 = (L l 2 )m&θ2 − θ 2 2b2 3 2

∂

L1 2 & &=3 ml θ θ∂

bθ k

∂L

∂L ( &d)− =0 ∂ θdt∂θ 1

2& & ( lm)θ + kb 2 θ = 0 ,3

k3b2 θ& + θ &= 0 ml2

ml 2

T= 2π= k3b 2ω0

2π

14例6-空心的轮量质为m、半1R径绳子,一端的悬一质量为挂 2m的物体,A一另固端结在簧上弹求.物:体的A动周期振 ω .解：1 11 1 ϕ & m&T = J 0ϕ 2 m 2 + v 2= ( m 1+ 2 m) 2R 2 2 ϕ 221 1

21 &2L =T − V =( m 1 +m 2)R2 ϕ

− Rk ϕ2 ,2V kR = ,ϕ2 22∂L d ∂L &= ( m + 1 m2) R ϕ 2 ,&( )= ( m1 + m 2 ) R ϕ&2 & 2m ϕ ∂& dt ϕ∂

∂ =L −k 2R ϕ ∂, ϕd ∂L∂ &L = (&m1 + m 2) R2ϕ + k 2Rϕ =0 ( − ) &ϕ∂ t d∂ϕ

& +

k ϕϕ=0 m1 + m

m + 1m 2 T= =2 π ω k

1例-46A空心的质轮为m量、半1R,径子的一端绳挂悬质一量 m2为物体A,另的端一固在结弹上.现簧物在A上再体加增根弹一，簧求:系统动振程。方ω y r

= y −ϕR 双自由问度题解 m1 1m & & & & =TJ ϕ 2 0 2+y 2= m1 Rϕ 2 + 2 2y 2： 2 22 2(ϕ R )2 1 (ky − ϕ R )2 k 2 = +V L = T− V 2 2,

d∂ LL∂ )−(= &0dt ∂ϕ ∂ϕ

m ϕ1

∂L= Rϕ2 k + 1 k2( y− ϕ )R −(R ), ϕ∂

d∂ ∂LL () −= 0 &td∂y y

∂L & =∂ 2m ,y& ∂

∂Ly &= m1 R2 ,ϕ &∂ϕ

2 y

k2 A

&1 mR 2& ϕ ϕR + 21 k+ y ( −Rϕ)k 2 ( − )R =0 ,& m 1R 2&ϕ +ϕR 2( 1 +k 2 k)= k 2 R y,

m2 &&+ k 2 y k=2 ϕ R, y

∂L =

( y− R ϕk)2 , ∂ y

1例47- 半径r的园柱在地面纯滚动质量,m圆的盘质在心挂长悬3, 质rm量均质杆的求.微摆:动方程解：= m 0 2 +vJ 0 θ22 & mv + 2c + cJθ1&2 ，T

3 3 θ 12V = − A =m rg (1− os cθ1 ) = gm r( ), 22

212

微动振时动能项取，：r7 T =2πsi nθ=,0cosθ=,势能1取:项g 5

sin =θ, coθsθ=−1θ/22

&。& = x, θ 2r

mJ0 = r 2 ,

J2C =

3 (3r )2 m=r 2,4 12

2 2& &v c= x + 2v r− 2 xv r cos θ 1 ,rv=

或:v c = cv +xv y =c x( +v r csoθ 1)2+ v( rsinθ 1)2vr θ 1 θ 23 θ13xc = + x sinrθ 1 ,& &x c = + x cosrθ θ11 &, 0v2 2 c 3 3 &,& , & x& = 0 = vθ r 2c y= r os θc , 1yc= r inθs1θ 1 2 23 33 9 c2v =θ&2 2r 2 ( r+ co sθ 1&θ1 )2+ ( r snθi 1θ&1) 2+ θ&2 2r 2 oscθ 1θ& 1 =&2θ2 r +2r 2 θ1& 2+3 θ2θ&& cos1θ 1 r 2 , 22 24 11 12 2&1 3 2 1T= m θ &22 r + 2rm θ 2 + v cm2+ m rθ&2 双自1由问度题222 22

&r 1θ, 2

例1

-47 A径r半园的在地面柱滚纯,动量质m的盘在圆质悬心挂长 r,质量m3的均杆.求:质摆微动程。方解 T ： =1 θm2&2r 2 + 1 1 r2 m θ&22+ 1 mv +c 1 3mr2 θ&1

2 θ3 12V − = A =g mr( , )2

2222 2 1 5 = m r 2 θ&2( +2 θ&23&θ +1 θ&321 )2 2 24

v 0v θ1 rv0

x θ 1θ c27

&& gθ +1θ1 = , 5 r

30 15 =L mr 2 (θ &22 + θ32θ&1 &+ 3&θ12 − m)grθ 21, 42 2

d ∂ LL &∂ && &+ θ3 & = 0 − , θ3& +12θ 1& +gθ 1 = 0 , & (& )− = 0 , 5θ 2 51 rdt ∂ θ 2 θ ∂

d2∂L L∂ ( )− &=0, dt θ 1∂∂ θ 1

&& g θ 2 &+2 &1θ θ+1 = ,0

& r&1 +θ

1θ= , 7r

= 2

7rπ g5

摆动程

方14-例8用拉氏方程立定建轴转的动分方微程解

T：= Jz

Qϕ

W = ∂∂ϕ

∑

M z (i )Fϕ

δϕδ

iF 1i rim v Fi2

∂ dL ∂L =Q' ,j) (− ∂q d t ∂jq

& jJz & ϕ=∑ z M (F )i

14-9例无绳重一索悬端质挂量m1块，物另一绕质量m端，2滚动作的空圆柱，放心光表滑。求面运：动

微分方程解

T：=

& & x

2 = rω − x1 ,

1 1

1 22m x11 m + x 2 +2 J 0 ω 2 22 2mg 2 &&1 11 x +x 12&2 & 2 = m1x 1+ m x 2 2 +m2 r 2 ( ) 2 2 22r x 21 1 12&+ 2mx 2 +1 2 mx 2 +2m 2 x2x 1 &&& &= m1 β x22 V = −1m gsi αn1 − m x g2 is nβ 2x,

L ∂ &&& = 1m 1x+ m2x1 + m 2x , 2& ∂1x ∂L = 1m gs in α, ∂ 1x d∂L （） m2 &1&+ m22 &2 ,&= x x &dt∂ 2 dx L ∂ m= &11 + m &2&&1 + m 2 && , 2 x xx &dt ∂ x

α1 1mg

m 1&& 1 + 2 &&1m+ m 2 && 2 =m g1 isnα xx x

∂

L = 2m gisnβ , x ∂

2m &1 +& 2m 2 &2& =m 2 g sin β x x

例14

11- 图示质量为m小的，球计不绳质索量。：小求微摆球动的运方动。程 rsn θir θ 解： &1

22 V − mg =([ l+ rθ) c s o θ r −sn i ],θ

d∂T T∂∂V ( & )− ,− = dt ∂θ∂ ∂θθ

m ((

+l θr)θ ) ,

(

lr +θ) cos

θl

∂T =

m (l rθ+)2θ& , ∂θ& ∂

T= r (m l rθ )θ+& ,2∂θ

d T∂ &= m (l r+θ )2& θ+2 mr( + rθ )θl&2 ,& dt∂ θ

V∂& ( l r+ )θ& + θθ 2 &r + sgin = 0 θ= −mg ( (−l +r θ )inθs +r c s θ −o rco sθ )∂θ &= − mg ( + lθr) sinθ m (l+ θ )2θ&r+ m θ & 2 ( +l r )θr+ m g(l +r θ) ins θ=0

例411- 2体A物重量P，放光滑表为面，被绳索约，绳的束另端一挂重悬为P的量B物体，：求动的运微方程分。q 1 = ,rq = φt = t 0, B = 0 r,取个二由度自广的义标:坐：解 [法方一

2 &

&vB = 2r+ ( rφ) 2

,T=

φδ 2 .δφ =0 ,δr≠ 0 ,W δ 2δ2W= P c o sδ φ r, r Q = = pco sφ, rδ &P&2 & & ( φ r +&2r r φ) =−Pr s n iφ, r 2φ& +2 rrφ+ g rs n φi= 0 &

& gP2P & & − &φ2 r= P c o φ s , g g &rr 2 &&− φr 2 g−c soφ = 0

. 1δ = 0 rδφ ,≠0 , δ W1 − =P is φrnφδ ,δW1 =− Psi φr , Qn φ

P 2 P1 &2& & +r( +rr 2φ )2 2g2 g ∂T 2 P & r =, 2 P &22& &( 2r + rφ) =g ∂ r g2

∂

T P2 & & = gr φ ,φ

∂T =0∂ ∂ φT P∂& 2 = φ rr ∂

∂T ∂T − =Q ,j &d t∂ q j∂ qj

广义求:力0 r

φ &r

φB

r &

1例4-12 A物体A重量P为，放光表面，被滑绳约索，绳的束一另端挂悬量重为的P物B体求：运动的，微分方。 q1程= r , = φ tq= t 0, 0 B= , [r方法二 ] 解取个二由度的广自坐义: 标P1P 2 1 2 ：2 &P& && ( 2 r 2+ 2φ& r2 )V= − r cPso φ &&v B =r 2+( φr) 2, T= r + ( r + r φ2 ) =

∂2L 2 P& ,r =&g ∂ r

g 2g∂L P 2& = φ r +posφc , ∂ g

g d∂ ∂L =L , − 0& t ∂d rr

P∂& 2P & && − φ2r = Pocs φ, 2&& −rφ 2− cos φ g = r 0r A g g∂

LP 2& = r φ, &g ∂φ

∂ = − LPrsi φ , n∂φ

dL ∂L ∂& −∂φ =0 dt,∂φ

&φ&& r 2 &φ+ 2 rrφ + r gsniφ =

0&rφ

P &B&2 & &( φ r 2rr+φ) −= Prsi nφ , g

例14

13-二个量重的圆柱P圆，柱绕绳B后下滚求：下滚时。 ω 心质的动方运。程& 1 P 2 & 1 2 (y − r1)2φ P && 解 T= y +J φ+ J 2A g2 2 2 r &&y − rφ 3P & ：B φ=1P 2 2

1P&2 + &&& = y rφ −rφyr 4 g2 g 2

Vg= − y P∴ :

L∂= 0 ∂,

φQ: d∂ L ( ) =, Q0：∂ L =c,& dt ∂ ϕ& φ

1∂ pP 2 & − &ry c1= ,rφ 2 g g

& &rφ2 − y =1c

By&& y

2φ − &r = &0 &3 & −rφ= 2g y & &

能

量恒守:T +=VC，

3P 21 2P 2P 1&& & r&y −φ Py =c 2 rφ − y 2+ g2 4g

g3 2 ∂d ∂L L& r 2 φ +2− r yφ −2g y c=2 或 :(& & & )y = 0− , &2 d t y∂ y

∂

14-例31A 个重量P二的柱，圆圆B绕柱后绳下滚。求：滚下时心质运的动程。方解

&&： y2 φr− && = 0,3& & −φ =r2 g y &&,t

=滚下质心的时动运方

程ω

&&φ=

5& &

φ = y = φ =y =0,

B y

1= 2g t, 5r

2 2y= gt ,

5 −y φr1 g 2 φ B = t= r 5r

本

章结束

动力