第二章 矩阵
Ⅰ. 授课题目: §2.1 数域 §2.2 矩阵的概念 §2.3 矩阵的运算 §2.4 分块矩阵及其运算 §2.5 方阵的行列式与逆矩阵 §2.6 矩阵的初等变换与初等矩阵 §2.7 矩阵的秩 Ⅱ. 教学目的与要求:
1. 掌握数域、矩阵、逆矩阵、矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的秩等概念 2. 掌握矩阵的运算性质、逆矩阵的求法、分块矩阵的初等变换 Ⅲ. 重点与难点:
重点:矩阵的运算、逆矩阵的求法、矩阵的初等行变换 难点: 伴随矩阵，逆矩阵，初等矩阵、矩阵秩的概念 Ⅳ. 教学内容
§2.1 数域
定义2.1 设P 是复数域C 的一个子集，如果P 包括0，1，并且P 对数的加、减、乘、除（除数不为零）四种运算封闭，那么我们称P 为一个数域.
比如数集Q ，R ，C 都是数域，而Z 不是数域.
例2.1
证明数集Q
数域的重要性质：所有数域都包含有理数域作为它的一部分. 即有理数域是最小的数域.
={a +a , b ∈Q 是数域. （P2）
}
§2.2 矩阵的概念
1. 矩阵的定义
定义2.2 数域P 中 m ×n 个数 a ij (i = 1, 2,…,m ; j = 1,2,…,n )排成的 m 行n 列数表, 记成
⎛a 11 a A = 21
a ⎝m 1
a 12a 22 a m 2
a 1n ⎫
⎪
a 2n ⎪
⎪ ⎪
a mn ⎪⎭
称为m ×n 矩阵，也可以记成(a ij ), (a ij ) m ⨯n 或A m ⨯n 等.
同型矩阵：行数相等且列数相等的两个矩阵称为同型矩阵. 相等矩阵：两个对应元素相等的同型矩阵. 2. 几种特殊形式的矩阵
行（列）矩阵（向量），零矩阵，上（下）三角矩阵，
⎛a 1
对角矩阵：A =diag (a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a n )=
⎝
单位矩阵：I 或E .
a 2
⎫⎪⎪， ⎪
⎪a n ⎭
§2.3 矩阵的运算
1. 矩阵的线性运算
C =A +B =(c ij ) m ⨯n ，其中C 是一个m ⨯n 矩阵，c ij =(a ij +b ij )m ⨯n .
负矩阵：设A =(a ij ) m ×n , 规定 A 的负矩阵为-A =(-a ij ) m ⨯n . 矩阵减法： A -B =A +(-B ) =a ij -b ij
定义2.3 设A =(a ij ) m ×n , B =(b ij ) m ×n 都是 m ×n 矩阵, 规定 A 与B 的和为
()
m ⨯n
.
定义2.4 设A =(a ij )m ×n ，数λ与矩阵的乘积A 记为λA ，规定λA =(λa ij ) m ⨯n .
注 矩阵的加法运算、数乘矩阵运算统称为矩阵的线性运算，它们与行列式中相应的运算的定义区别很大.
矩阵的线性运算满足如下八条运算律（设A , B , C , O 都是同型矩阵，λ, μ为数） (1) A + B = B + A（矩阵加法的交换律）；
(2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) （矩阵加法的结合律）； (3) A + O = A（右加零矩阵律）； (4) A + ( − A ) = O （右加负矩阵律）； (5) 1A =A （1乘矩阵律）；
(6) λ(μA ) =(λμ) A （数乘矩阵的结合律）；
(7) (λ+μ) A =λA +μA （矩阵对数加法的分配律）； (8) λ(A +B ) =λA +λB （数对矩阵加法的分配律）； 例2.2 P8（例1.3）. 2. 矩阵的乘法
定义2.5 设是A = ( a ij ) m⨯s 是一个m ⨯s 矩阵，B = ( b ij ) s⨯n 是一个s ⨯n 矩阵，规定A 与B 的乘积为C =AB =c ij
()
m ⨯n
，其中
s k =1
c ij =a i 1b 1j +a i 2b 2j + +a i s b s j =∑a ik b k j (i =1, 2, , m ; j =1, 2, , n ).
注 （1）必须是前一个矩阵的行数与后一个矩阵的列数相同，否则不能进行矩阵乘法.
（2）记住下列特殊情形
⎛b 1⎫
⎪n b 2
a) (a 1a 2⋅⋅⋅a n ) ⎪=∑a i b i （数）；
⎪i =1 ⎪⎝b n ⎭
⎛a 1⎫⎛a 1b 1a 1b 2⋅⋅⋅a 1b n ⎫ ⎪ ⎪a a b a b ⋅⋅⋅a b 221222n ⎪b) ⎪(b 1b 2⋅⋅⋅b n )= ； ⎪ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪ ⎪ ⎪a a b a b ⋅⋅⋅a b m 2m n ⎭⎝m ⎭⎝m 1
⎛⎫ ⎪
c) (⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅) ⎪=(⋅⋅⋅
⎪⎝⎭
⎛⎫⎛ ⎫⎛ ⎫ ⎪⎪ ⎪d) ⎪ ⎪= ⎪； ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛a 11a 12⋅⋅⋅
a 21a 22⋅⋅⋅
e) (x 1, x 2, ⋅⋅⋅, x m )
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⎝a m 1a m 2⋅⋅⋅
⎛a 1⎫⎛b 1 ⎪
a b 22 ⎪f) ⎪ ⎪
a n ⎭⎝⎝
⋅⋅⋅⋅⋅⋅)；
a 1n ⎫⎛y 1⎫
⎪⎪
a 2n ⎪y 2⎪m n
=∑∑a x y （数）；
⋅⋅⋅⎪ ⎪i =1j =1ij i j
⎪⎪a mn ⎭⎝y n ⎭⎫⎛a 1b 1⎫⎪ ⎪
a b 22⎪= ⎪.
⎪ ⎪ ⎪ ⎪b n ⎭⎝a n b n ⎭
例2.3 A =
4⎫⎛-2⎛24⎫
⎪ , B =⎪ -36⎪⎪，求AB 与BA . 1-2⎝⎭⎝⎭
4⎫⎛2⎛-14⎫⎛10⎫⎪ ⎪ , B =C =⎪ 2-1⎪ 11⎪⎪，求证：AB =AC . -3-6⎝⎭⎝⎭⎝⎭
例2.4 A =
⎛020⎫21-1⎛⎫ ⎪
, B =111练习：1. 已知A = ，求AB . ⎪ ⎪
⎝302⎭ 15-1⎪
⎝⎭
2. 已知A =
⎛01⎫⎛11⎫
, B =⎪ ⎪，求AB 和BA . 0000⎝⎭⎝⎭
例2.5 对于线性方程组
⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =b 1⎪a x +a x + +a x =b ⎪2112222n n 2
， ⎨
⎪⎪⎩a m 1x 1+a m 2x 2+ +a mn x n =b m
如果令
⎛a 11 a A = 21
⋅⋅⋅ ⎝a m 1
a 12a 22⋅⋅⋅a m 2
⋅⋅⋅
a 1n ⎫⎛x 1⎫⎛b 1⎫⎪ ⎪ ⎪
⋅⋅⋅a 2n ⎪x b
, x = 2⎪, b = 2⎪
⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪ ⎪ ⎪
⋅⋅⋅a mn ⎭x ⎝n ⎭⎝b m ⎭
分别表示系数矩阵，未知量列向量和常数项列向量. 则上述线性方程组可以如下简洁地表示成
Ax =b .
矩阵乘法的运算律
(1) (AB ) C =A (BC ) （矩阵乘法的结合律）； (2) A (B +C ) =AB +AC ，
(B +C ) A =BA +CA （矩阵乘法对矩阵加法的分配律）；
(3)
λ(AB ) =(λA ) B =A (λB ) （数对矩阵乘法的结合律）；
(4) A m ⨯n ⨯I n =I m ⨯A m ⨯n =A m ⨯n （单位矩阵乘矩阵律）.
注 矩阵乘法与实数乘法有不同之处
（1）矩阵乘法一般不满足交换律，即AB ≠BA . （2）即使A ≠O 且B ≠O ，但仍可能AB = O.
（3）一般不满足消去律，即使AB =AC ，仍可能B ≠C .
对于两个同阶方阵A , B ，如果AB =BA ，则称矩阵A 与B 可交换.
⎛0 0
例2.6 设矩阵A =
0 ⎝0
10000100
0⎫⎪0⎪
，求证与A 可交换的矩阵只能是 1⎪⎪0⎭
⎛a b c d ⎫ ⎪0a b c ⎪. B =
00a b ⎪ ⎪000a ⎝⎭
⎛a 10⋅⋅⋅0⎫
⎪0a ⋅⋅⋅02⎪是n 阶对角阵，且a ≠a ，当练习：如果A = i j ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪ ⎪000a n ⎭⎝
i ≠j (i , j =1, 2⋅, ⋅⋅)n . , 求证与A 可交换的矩阵只能是对角阵.
k
矩阵的乘方：A 是一个n 阶矩阵，k 是一个正整数，规定A = AA ⋅⋅⋅A . 即
k 个
A 0=I , A k +1=A k A .
例2.7 已知矩阵A =
⎛01⎫423
⎪，求A , A 及A .
⎝-10⎭
⎛101⎫ ⎪2
练习：已知A = 020⎪, 求 A -2A .
101⎪⎝⎭
矩阵乘方的运算律 （1）A A =A （2）A
k
l
k +l
()=A
k
l
；
k l
；
2
k k k
注 （1）一般地， (AB ) ≠A B . 但是，当A 与B 可交换，即当AB =BA 时，
(AB ) k =A k B k 成立. 当A 与B 可交换时，(A +B )=A 2+2AB +B 2成立.
（2）显然，A A =A A ，即A 与A 可交换.
3. 矩阵的转置
k l l k k l
定义2.6 将矩阵 A 的各行变成同序号的列得到的矩阵称为 A 的转置矩阵, 为 A T .
矩阵转置的性质 (1) (A T ) T =A ； (2) (A +B ) T =A T +B T ； (3) (λA ) T =λA T ； (4) (AB ) T =B T A T ；
对称矩阵与反对称矩阵 (1) 对称矩阵：A T = A (2) 反对称矩阵：A T = -A
记
例2.8 证明:任意一个n 阶矩阵都可以表示成一个对称阵与一个反对称阵之和. 证 令
11
A +A T )，C =(A -A T ) (22
则B , C 分别是对称阵和反对称阵. 且A =B +C . 证毕.
B =
T
例2.9 设列矩阵X =(x 1, x 2, ⋅⋅⋅, x n )满足X X =1，H =I n -2XX T ，证明H
T
是对称阵，且HH T =I n .
练习：
⎛1-11⎫ ⎪T T
1. 设α为3⨯1矩阵，若αα= -11-1⎪，求αα. （答：3）
1-11⎪⎝⎭
⎛1⎫⎛1-11⎫ ⎪⎪n -1 n T
2. 设矩阵α= -1⎪，A =αα，求A . （答：3 -11-1⎪）
1⎪ 1-11⎪⎝⎭⎝⎭
小结：
课后作业：
§2.4 分块矩阵及其运算
1. 分块矩阵的概念
将A 用若干条横线和纵线分成许多个小矩阵，以子块为元素形成的矩阵称为分块矩阵。
⎛a 11
如A = a 21
a ⎝31
a 12a 22a 32
a 13a 23a 33
a 14⎫
⎪⎛A 11a 24⎪= A ⎪a 34⎭⎝21
A 12⎫
⎪ A 22⎪⎭
在矩阵A =a ij
()
m ⨯n
中，以它的行作为子块，可得到m ⨯1分块矩阵
⎛α1⎫ ⎪α2⎪ A =， ⎪ ⎪⎝αm ⎭
其中
αi =(a i 1, a i 2, ⋅⋅⋅, a in ), (i =1,2, ⋅⋅⋅, m ).
如果以它的列作为子块，可得到1⨯n 分块矩阵
A =(β1, β2, ⋅⋅⋅, βn ),
其中
βj =(a 1j , a 2j , ⋅⋅⋅, a mj ), (j =1, 2, ⋅⋅⋅, n ).
T
2. 分块矩阵的运算
（1）线性运算(加法与数乘) （2）乘法
注（只要下列运算有意义）
a ）A (β1, β2, ⋅⋅⋅, βn )=(A β1, A β2, ⋅⋅⋅, A βn )；
⎛α1⎫⎛α1A ⎫ ⎪ ⎪ααA 2⎪A = 2⎪； b ） ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ααA ⎝m ⎭⎝m ⎭⎛A 1⎫⎛B 1 ⎪
A 2⎪c ） ⎪ ⎪
A n ⎭⎝⎝
（3）转置
B 2
⎫⎛A 1B 1
⎪ ⎪= ⎪
⎪ B n ⎭⎝
A 2B 2
⎫⎪⎪. ⎪
⎪A n B n ⎭
⎛1 0
例2.10 已知A =
-1 1⎝
01210010
0⎫⎛10⎪ 0⎪ -12, B = 100⎪⎪ ⎪ -1-11⎭⎝0⎫
⎪0⎪
，求AB +B . 1⎪⎪1⎪⎭
§2.4 方阵的行列式与逆矩阵
1. 方阵的行列式
定义2.7 由 n 阶矩阵 A 的元素（按原来的位置）构成的行列式，称为方阵 A 的行列式, 记为A 或det A .
性质（其中A 、B 是n 阶矩阵）
T
（1）A =A ；
（2）λA =λA ； （3）AB =A B . 证 仅证（3）设A =a ij
n
()
n ⨯n
, B =(b ij )
n ⨯n
. 构造如下2n 阶行列式
a 11⋅⋅⋅a 1n a n 1⋅⋅⋅a nk -1
-1
0b 11⋅⋅⋅b 1n
b n 1⋅⋅⋅b nn
=A -I
=A B ， B
D =
在D 中以b 1j 乘第1列，b 2j 乘第2列，„，b nj 乘第n 列，都加到第n +j 列上
(j =1,2, ⋅⋅⋅, n )，有
D =
A -I
C ， O
a i 2b +j ⋅⋅⋅+a i ，b 其中C =c i j , c i j =a 1i b i +j 2n 故n j C =A B . 再对D 的行交换
()
r i r n +i (i =1,2, ⋅⋅⋅, n )，得到
-E O n
D =(-1)=(-1)-E C =C =AB .
A C
n
故=A B . 证毕.
注 一般地，AB ≠BA ，但是AB =却成立；将性质（3）推广得到
A 1A 2⋅⋅⋅A n =A 1A 2⋅⋅⋅A n .
n T
例2.11 设α=(1,0-1)，矩阵A =αα，n 为正整数，求aI -A .
T
解 由题意知αα=2，且
T
A n =(ααT )(ααT )⋅⋅⋅(ααT )=α(αT α)(αT α)⋅⋅⋅(αT α)αT =2n -1ααT .
又
⎛10-1⎫
⎪
ααT = 000 ⎪，
-101⎪⎝⎭
因此，
a -2n -1
aI -A n =
02n -1
0a
2n -10
=a 2(a -2n ).
0a -2n -1
练习：设A 为n A =a ，B 为m 阶方阵，B =b ，则
O 2A
为（ ）
3B O
-6ab , （B ）-23ab , （C ） （A ）(-1)
n m
mn
2n 3m ab , （D ）(-1)
m +n
2n 3m ab .
2. 伴随矩阵
定义2.8 设 A 是 n 阶矩阵，由行列式 |A | 的各元素的代数余子式 A ij 所构成的矩阵
⎛A 11
A A *= 12
A ⎝1n
称为矩阵A 的伴随矩阵.
性质 A *A =AA *=A I .
3. 逆矩阵
A 21 A 22 A 2n
A n 1⎫⎪
A n 2⎪
， ⎪ ⎪
A nn ⎪⎭
定义2.9 设A 是n 阶矩阵，如果存在n 阶矩阵B ，使AB = BA = E则称A 是可逆矩阵，且称B 为A 的逆矩阵.
如果矩阵A 可逆，那么A 的逆矩阵是唯一的. 事实上，设B , C 都是A 逆矩阵，则有
B =BI =B (AC )=(BA )C =IC =C ，
所以A 的逆矩阵是唯一的. A 的逆矩阵记作A . 即若AB = BA = I，则B =A .
性质
（1）可逆阵A 的逆矩阵仍可逆，且(A )
-1-1
-1-1
=A ；
-1
（2）λ≠0时，可逆阵的数乘λA 仍可逆，且(λA )
=A -1；
（3）若A 、B 为同阶可逆矩阵，则AB 仍可逆，且(AB ) （4）可逆阵A 的乘方仍可逆，且(A
m -1
-1
-1
=B -1A -1；
) =(A -1) m ；
=(A -1) T ；
1-1-1
（6）A 的行列式等于其行列式的倒数. 即A =；
A
（5）可逆阵A 的转置仍可逆，且(A )
（7）A 是可逆阵，若AB =AC ，则B =C （左消去律）；
T
若BA =CA ，则B =C （右消去律）.
定理2.1 n 阶方阵A 可逆的充要条件是A ≠0，且可逆时A
-
推论 若存在B ，使得AB =I (或BA =I ) ，则A 可逆，且B =A 1.
-1
=1A *. A
证 AB =A B =I =1，故A ≠0，因而A 可逆，于是
B =IB =(A -1A )B =A -1(AB )=A -1I =A -1.
例2.12 设ad -bc ≠0，求二阶矩阵A =
⎛a b ⎫
⎪的逆矩阵.
⎝c d ⎭
⎛123⎫ ⎪
例2.13 求矩阵A = 134⎪的逆矩阵.
144⎪⎝⎭
练习：
⎛1⎛123⎫
2 ⎪-1
1. 求方阵A = 221⎪的逆矩阵. （答：A = -
3 343⎪
⎝⎭ 1
⎝
2. 设
-2⎫⎪5⎪） -3
2⎪1-1⎪⎭
3
⎛123⎫⎛13⎫
21⎛⎫ ⎪ ⎪
A = 221⎪, B = , C =20⎪ ⎪， 53⎝⎭ 343⎪ 31⎪
⎝⎭⎝⎭
⎛-21⎫ ⎪
且AXB =C ，求矩阵X . （答：X = 10-4⎪）
-104⎪⎝⎭
注
⎛λ1⎫ ⎪
λ2⎪是对角阵，且λ≠0(i =1,2, ⋅⋅⋅, n )，则A 可逆，（1）若Λ= i
⎪ ⎪
λn ⎭⎝
且
⎛λ1-1⎫ ⎪-1
λ2⎪. Λ-1= ⎪ ⎪-1⎪ λn ⎭⎝
⎛A 1⎫ ⎪
A 2⎪是分块对角阵（或称为准对角阵） （2）若A = ，且每一个 ⎪ ⎪
A n ⎭⎝
子块A i (i =1,2, ⋅⋅⋅, n )都是可逆阵，则A 可逆，且
⎛A 1-1 A -1=
⎝
-1
-1A 2
⎫⎪⎪. ⎪
⎪-1⎪A n ⎭
（3）若P 是可逆阵，A =P ΛP ，则
A n =P Λn P -1.
（4）设
ϕ(x )=a 0+a 1x +⋅⋅⋅+a m x m
为x 的m 次多项式，A 为n 阶矩阵，记
ϕ(A )=a 0I +a 1A +⋅⋅⋅+a m A m
称之为矩阵A 的m 次多项式.
矩阵A 的两个多项式ϕ(A )与f (A )总是可交换的，即
ϕ(A )f (A )=f (A )ϕ(A ).
k k k k
如果Λ=diag (λ1, λ2, ⋅⋅⋅, λn )是对角阵，则Λ=diag λ1, λ2, ⋅⋅⋅, λn ，从而
()
⎛λ1m ⎛λ1⎫⎛1⎫
⎪ ⎪λ12⎪+⋅⋅⋅+a ⎪+a ϕ(Λ)=a 0 1m ⎪ ⎪
⎪ ⎪ λ1⎝⎭n ⎭⎝⎝
λ2m
⎫
⎪⎪⎪
⎪λn m ⎪⎭
⎛ϕ(λ1)⎫
⎪
ϕλ()2⎪. =
⎪ ⎪ ϕλ(n )⎪⎝⎭
⎛12⎫⎛1⎫n
例2.14 设P = ⎪, Λ= ⎪, AP =P Λ，求A .
⎝14⎭⎝2⎭1⎛4-2⎫
解 P =2, P -1= ⎪，而
2⎝-11⎭⎛1⎫2⎛1⎫⎛1⎫n
， Λ= , Λ=, ⋅⋅⋅, Λ=⎪ 2⎪n ⎪222⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以，
2n -1⎫⎛12⎫⎛10⎫1⎛4-2⎫⎛2-2n
A =P ΛP = ⎪. ⎪⎪= n ⎪ n +1n +1
2-1⎭⎝14⎭⎝02⎭2⎝-11⎭⎝2-2
n
n
-1
例2.15 设A , B 分别是m , n 阶可逆阵，试证D =
证 设X =
⎛A O ⎫-1
D 是可逆阵，并求. ⎪
⎝C B ⎭
⎛X 11⎝X 21
X 12⎫
⎪，且DX =I ，即 X 22⎭
⎛A O ⎫⎛X 11X 12⎫⎛I m
⎪= ⎪ X X C B ⎝⎭⎝2122⎭⎝0
AX 11=I m ⎧
⎪AX 12=O ⎪
⎨
CX +BX =O 21⎪11⎪⎩CX 12+BX 22=I n
O ⎫
⎪. I n ⎭
由分块矩阵的乘法，比较等式两端得
于是，
X 11=A -1, X 12=O , X 21=-B -1CA -1, X 22=B -1，
故矩阵D =
⎛A O ⎫
⎪可逆，且
⎝C B ⎭
⎛A -1
D = -1-1
⎝-B CA
-1
O ⎫⎪. B -1⎭
-12
例2.16 方阵A 满足A -A -2I =0，证明A 及A +2I 都可逆，并求A 及
(A +2I ) -1.
2
解 由A -A -2I =0知，A -A =2I ，即
2
A (A -I )=2I .
故A 可逆，且A
-1
=
1
(A -I ). 2
其次，由A -A -2I =0得
2
(A +2I )(A -3I )=-4I .
故A +2I 可逆，且
(A +2I ) -1=
例2.17 设A 是三阶矩阵，且A =
解 由A A =A I 知，A
*
1
(3I -A ). 4
1-1*，求(2A )-5A . 2
-1
=A *，A *⋅A =A n ，因此，A *=A n -1（当A
A 可逆时）. 因此
(2A )-5A *=
-1
1-11
A -5A *=⋅2A *-5A * 22
*
=-4A =(-4)
注 伴随矩阵有如下性质 （1）A =A A ； （2）A =A
*
3
⎛1⎫
A =(-4)⋅ ⎪=-16.
⎝2⎭
*
3
2
*-1
*
n -1
；
n -1*
（3）(kA )=k A (k ≠0)；
（4）A
()
**
=A
n -2
A ；
()
（6）(A )=(A )
（5）A
T *
T
=(A *)；
-1*
*-1
=
1A . A
练习：
⎛A C ⎫-1
⎪是可逆阵，并求D .
⎝O B ⎭
*-1
2. 设A , B 都是n 阶阵，且A =2, B =-3，求3A B .
1. 设A , B 分别是m , n 阶可逆阵，试证D =
3. 设n 阶矩阵A 可逆，求证A 的伴随阵是A 也可逆，且A
*
()
*-1
=(A -1).
*
⎛111⎫ ⎪*-1
4. 若A = 121⎪，求(A ).
113⎪⎝⎭
2
5. 设n 阶矩阵A 满足A +3A -2I =O ，证明A 与A +E 都可逆，并求
A -1, (A +I ).
-1
⎛-1-4⎫⎛-10⎫11
⎪, Λ= ⎪，求A .
⎝11⎭⎝02⎭
⎛1000⎫ ⎪0100-1-1⎪，7. 已知矩阵A 的伴随矩阵A *= 且ABA =BA +3I ，求B . 1010⎪ ⎪0-308⎝⎭
11-1-1
答：4. A =(A +3I ), (A +I )=(A +2I ) ；
244+213⎫⎛27312732⎫1⎛1+213
6. = ⎪； 1111⎪3⎝-1-2-4-2⎭⎝-683-684⎭
6. 设AP =P Λ，其中P =
⎛6
07. B =
6 ⎝0
小结：
0603
00⎫
⎪00⎪
.
60⎪
⎪0-1⎭
课后作业：
§2.6 矩阵的初等变换与初等矩阵
1. 矩阵的初等变换
定义2.10 下列三种变换称为矩阵的初等变换： （1）对调第i , j 两行（列），记作r i r j c i c j ；
（2）以数k ≠0乘以第i 行（列）中的所有元素，记作r i ⨯k (c i ⨯k )； （3）把第j 行（列）的元素k 倍加到第i 行（列）对应的元素上去，记作
()
r i +kr j (c i +kc j ).
如果矩阵A 经过有限次初等行（列）变换得到矩阵B ，则称矩阵A 与B 行（列）
c ⎛⎫等价， 记作A ~B A ~B ⎪. 如果矩阵A 经过有限次初等变换得到矩阵B ，则称矩阵⎝⎭
r
A 与B 等价，记作A ～B .
矩阵的等价关系有如下性质： （1）反身性 A ～A ；
（2）对称性 如果A ～B ，那么B ～A ； （3）传递性 如果A ～B ，B ～C 那么A ～C .
例2.18 利用矩阵的初等行变换求解线性方程组
⎧x 1+3x 2+x 3=5
⎪
⎨2x 1+x 2+x 3=2. ⎪x +x +5x =-7
3⎩12
介绍系数矩阵、增广矩阵、行阶梯形、行最简形矩阵等概念（对增广矩阵施行初等行变换，得到x 1=1, x 2=2, x 3=-2）
练习：利用矩阵的初等行变换求解线性方程组
⎧x 1+3x 2+2x 3=17
⎪
⎨2x 1-4x 2-x 3=9. ⎪3x -2x =25
2⎩1
（答：x 1=11, x 2=4, x 3=-3）
2. 初等矩阵
定义2.11由单位矩阵经过一次初等变换而得到的矩阵称为初等矩阵.
（1）交换两行（列）的位置
i 列 j 列
⎛
1
1
0 1 1 E (i , j )=
1
1 0
1 ⎝
（2）以非零数k 乘某一行（列）
i 列
⎛ 1⎫ ⎪
⎪
E (i (k ) )= 1⎪ k ⎪
⎪(k ≠0)
1⎪
⎪
⎪⎝1⎪⎭
（3）把某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上
i 列 j 列
⎛ 1⎫ ⎪
⎪E (i , j (k ) )= 1 k ⎪ ⎪
⎪.
1⎪ ⎪
⎪
⎝1⎪⎭
2. 初等矩阵的性质
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
1
（1）初等矩阵都可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵：
E (i , j )=-1, E (i (k ))=k , E (i , j (k ))=1；
-1-1⎛⎛1⎫⎫-1
E (i , j )=E (i , j ), E (i (k ))=E i ⎪⎪, E (i , j (k ))=E (i , j (-k ) ).
⎝⎝k ⎭⎭
（2）初等矩阵的转置仍为初等矩阵.
E (i , j )=E (i , j ), E (i (k ))=E (i (k )), E (i , j (k ))=E (i , j (k ) ).
T
T T
定理2.1设A 是m ⨯n 矩阵，用m 阶初等矩阵左乘A 相当于对A 作相应的初等行变换；用n 阶初等矩阵右乘A 相当于对A 作相应的初等列变换，即
E (i , j )A ：交换A 的i , j 两行；AE (i , j )：交换A 的i , j 两列；
E (i (k ) )A ：用数k (≠0) 乘A 的第i 行；AE (i (k ) )：用数k (≠0) 乘A 的第i 列；
E (i , j (k ))A ：用数k (≠0) 乘A 的第j 行加到第i 行上去；AE (i , j (k ))：用数
k (≠0) 乘A 的第i 列加到第j 列上去.
推论2.1 矩阵A , B 等价的充要条件是，存在若干初等矩阵P 1, P 2, ⋅⋅⋅, P l ，
Q 1, Q 2, ⋅⋅⋅, Q s 使得
P l ⋅⋅⋅P 2PAQQ 112⋅⋅⋅Q s =B .
⎛1-10⎫
⎪
31⎪，试将A 表示成若干个初等矩阵与它的最简形例2.19 设矩阵A = 2
-123⎪⎝⎭
的乘积.
练习：试将A 表示成若干个初等矩阵与它的最简形的乘积，设
（1）A =
⎛122⎫⎛23⎫
； （2）A =⎪ ⎪.
25311⎝⎭⎝⎭
3. 矩阵的等价标准形与逆矩阵
定理2.2 任意一个m ⨯n 矩阵A 总可以通过初等变换化成以下形式的矩阵
⎛I r O ⎫B = ⎪.
O O ⎝⎭
称之为矩阵A 的等价标准形.
证 如果A =O ，那么它已经是标准形了. 以下不妨假定A ≠O ，经过初等变换一定可以变成一左上角不为零的矩阵.
-1
当a 11≠0时，把其余的行减去第一行的a 11a i 1(i =2,3, ⋅⋅⋅, m )倍，其余的列减去-1-1
第1列的a 11乘以第一行，A 就变成 a 1j (i =2,3, ⋅⋅⋅, n )倍. 然后，用a 11
⎛10⋅⋅⋅0⎫
⎪0 ⎪， ⎪A 1 ⎪0⎝⎭
A 1就是一个(m -1)⨯(n -1)矩阵，对A 1重复以上步骤，这样下去就得到所要的等价
标准形.
定理2.2有如下等价说法
（1）任意一个m ⨯n 矩阵A ，总存在若干初等矩阵P 1, P 2, ⋅⋅⋅, P l , Q 1, Q 2, ⋅⋅⋅, Q s ，使得
⎛I r O ⎫
P l ⋅⋅⋅P 2P AQ Q ⋅⋅⋅Q =112s ⎪.
⎝O O ⎭
（2）任意一个m ⨯n 矩阵A ，总存在可逆阵P m ⨯m , Q n ⨯n ，使得
⎛I r O ⎫
PAQ = ⎪.
O O ⎝⎭
定理2.3 n 矩阵A 可逆的充要条件是它可以表示成若干初等矩阵和乘积：
A =PP 12⋅⋅⋅P m .
证 由定理2.2知，n 矩阵A 可逆的充要条件是它可以通过若干次初等变换化成
单位矩阵. 即存在若干初等矩阵R 1, R 2, ⋅⋅⋅, R l , Q 1, Q 2, ⋅⋅⋅, Q s ，使得
R l ⋅⋅⋅R 2R 1AQQ 12⋅⋅⋅Q s =I n .
于是，
-1-1-1A =R 1-1R 2⋅⋅⋅R l -1Q s -1⋅⋅⋅Q 2Q 1.
而初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，故A 可以表示成若干初等矩阵和乘积：
A =PP 12⋅⋅⋅P m . 证毕
推论2.2 n 矩阵A 可逆的充要条件是它可以通过若干次初等行变换化成单位矩阵.
事实上，由定理2.2可知，A 可逆的充要条件是A =PP 12⋅⋅⋅P m ，即
-1-1-1
P A =I . 1m ⋅⋅⋅P 2P
故A 可逆的充要条件是它可以通过若干次初等行变换化成单位矩阵.
如果矩阵A 可逆，则
A -1(A , I )=(I , A -1).
这就是说，把A 和单位阵I 拼在一起，构成矩阵(A , I )，对它们施行初等行变换，把A 变成单位矩阵，则I 就变成了A .
-1
⎛12-1⎫
⎪
例2.20 利用矩阵的初等行变换求矩阵A = 310⎪的逆矩阵.
-10-2⎪⎝⎭⎛12-1100⎫[2+1(-3)]⎛12-1100⎫
⎪[3+1(1)] ⎪
→ 0-53-310⎪ 解 310010⎪−−−−
-10-2001⎪ 02-3101⎪⎝⎭⎝⎭
⎛12-1 1
2(-) 35−−−→ 01-
2⎛
100-
100⎫ 9
⎪
312-0⎪→ 010 4
91-1⎫9⎪⎪1-⎪ . ⎪ 555⎪3
33⎝
02-3101⎪⎭
⎝
0011
9-2-5⎪9
9⎪⎪⎭
⎛0练习：求（1）A = 12⎫ 114⎪⎛⎪，（2）A = 123⎫ 221⎪
⎪的逆矩阵.
⎝2-10⎪⎭ ⎝343⎪⎭
⎛
⎫
2-11⎪⎛1
3
（答：（1）A -1
= 4
-21⎪ ⎪；（2）A -1= 3 -
-3
3⎝-2
1-1⎪ 2
2⎪⎭
⎝11
利用矩阵的初等行变换，还可以求A -1
B ：
A -1(A , B )=(I , A -1B ).
例2.21 求矩阵X ，使AX =B ，其中
⎛123⎫A = ⎛25⎫
221⎪⎪ ⎝343⎪, B = ⎪
31⎭
⎝43⎪.
⎪⎭（教材P49，例2.13） 练习：
⎛41-2⎫⎛11. 设A = -101⎪-3⎫
⎪, B = 22⎪⎪，求矩阵X ，使AX =B .
⎝1-10⎪
⎭
⎝3-1⎪⎭⎛2. 设A = 1-10⎫ 0
1-1⎪
⎪, AX =2X +A ，求X . ⎝-101⎪⎭
-2⎫
5⎪2⎪⎪） -1⎪⎭
⎛01-1⎫⎛102⎫
⎪（2） -101⎪）
（答：（1）-15-3； ⎪ ⎪
1-10⎪ 124⎪
⎝⎭⎝⎭
类似地，如果要求CA ，则对矩阵 位阵I 时，C 就化成了CA ：
-1
-1
⎛A ⎫
⎪施行若干次初等列变换，当把A 变成单⎝C ⎭
⎛A ⎫-1⎛I ⎫ ⎪A = -1⎪. ⎝C ⎭⎝CA ⎭
⎛021⎫
⎛123⎫ ⎪
练习： 设A = 2-13⎪, B = ⎪，求X ，使XA =B .
⎝2-31⎭ -31-1⎪
⎝⎭
⎛2-1-1⎫（答： ⎪）
⎝-474⎭
4. 矩阵的分块初等变换及其应用
对分块矩阵，我们完全可以在分块运算有意义的前提下，类似定义“分块初等变换”及“分块初等矩阵”的概念，并得到完全相同的运算性质. 例2.22 设A , B 都是n 阶矩阵，求证AB =A B . 证 构造
⎛I ⎝O
由于
A ⎫⎛A ⎪I ⎭⎝-I O ⎫⎛O ⎪= B ⎭⎝-I AB ⎫⎪. B ⎭
⎛I ⎝O
作n 次列交换，得到
A ⎫⎛A ⎪I ⎭⎝-I O ⎫I ⎪=B ⎭O
A A I -I
O B
=A B .
O -I AB O n AB n
=(-1)=(-1)AB -I =AB . B B -I
故AB =A B 成立. 证毕.
或者，直接这样写证明过程 证法2 首先，
A -I
A -I
故AB =A B . 证毕.
O
=A B . B
AB n 2
=(-1)-I AB =AB . O
其次，对左边分块行列式作分块初等列变换得
O c 2+c 1B A ==B -I
注 作分块初等列变换，所乘的矩阵是乘在右边，注意“c 2+c 1B ”这个写法，不要随意交换次序；如果作分块初等行变换，则所乘的矩阵是乘在左边，如
A -I O r 1+Ar 2O ==B -I AB n 2
=(-1)-I AB =AB . B
注意“r 1+Ar 2”这个写法，不要随意交换次序.
例2.23设A , B 分别是m , n 阶可逆阵，试证D = 证 对分块矩阵施行初等行变换
⎛A O ⎫-1
⎪是可逆阵，并求D .
⎝C B ⎭
⎛A O I O ⎫A ⨯r 1⎛I ⎪→ C B O I ⎝⎭⎝C
r 2-C ⨯r 1⎛I →
⎝O B -1⨯r 2⎛→ ⎝O
⎛A O ⎫故D = ⎪是可逆阵，且
C B ⎝⎭
-1
-1
O A -1O ⎫
⎪
B O I ⎭O A -1O ⎫
⎪
B -CA -1I ⎭
I I
O
A -1
-B -1CA -1
O ⎫
. -1⎪B ⎭
⎛A -1
D = -1-1
⎝-B CA
这与例2.15的结果完全一致.
练习
O ⎫⎪. B -1⎭
1. 用分块初等矩阵的乘法写出例2.23的证明过程.
⎛C A ⎫-1
m , n D A , B 2. 设分别是阶可逆阵，试证D = 是可逆阵，并求. ⎪
B O ⎝⎭
3. 设A 是n 阶非奇异矩阵，α是n ⨯1列矩阵，b 为常数，证明矩阵
⎛A Q = T
⎝α
可逆的充分必要条件是αA α≠b .
T
-1
α⎫
⎪ b ⎭
4. 证明行列式的第一降阶定理：设M = 则
⎛A B ⎫
⎪是方阵，其中A 是非奇异阵，
⎝C D ⎭
A B M ==A ⋅D -CA -1B =A ⋅M /A ，
C D
其中M /A =D -CA B ，称为Schur 补.
5. 证明行列式的第二降阶定理：设是方阵，其中A , D 分别是n , m 阶非奇异阵，
-1
B , C 分别是n ⨯m , m ⨯n 矩阵，则
D -CA B =
小结：
课外作业：
-1
D A
⋅A -BD -1C .
§2.7 矩阵的秩
1. 矩阵的秩的概念
定义2.12 如果在矩阵A 中存在一个r 阶子式D 不等于零，且所有r +1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么称D 为A 的最高阶非零子式，数r 称为矩阵A 的秩，记作R (A ). 规定零矩阵的秩等于零.
⎛123⎫
12 ⎪
例如，在矩阵A = 23-5⎪中，2阶子式=-1≠0，且A =0，因此
23 471⎪
⎝⎭
03-2⎫
2-13⎪
1-25⎪
中，3阶子式03-2=24≠0，
043⎪
004⎪
000⎭
而全体4阶子式都等于零，故R (B )=3.
注 （1）当A 中所有r +1阶子式全等于零时，所有高于r +1阶的子式也全等于零，因此，矩阵A 的秩R (A )就是A 中不等于零的子式的最高阶数；
（2）设A 是m ⨯n 矩阵，则R (A )≤min {m , n }；
T
（3）R (A )=R A .
⎛2-1
03
R (A )=2. 在矩阵B =
00
⎝00
()
设A 是m ⨯n 矩阵，若R (A )=m ，则称A 是行满秩矩阵，若R (A )=n ，则称A 是列满秩矩阵.
2. 矩阵秩的计算
定理3.6 初等变换不改变矩阵的秩. 证 （P79～80，略）
例2.24设矩阵
⎛2-1-11
11-21A =
4-62-2
⎝36-97
2⎫⎪4⎪， ⎪4⎪9⎭
求矩阵A 的秩，并求它的一个最高阶非零子式. （答：R (A )=3）
练习：求下列矩阵的秩，并求它的一个最高阶非零子式.
⎛32050⎫
⎛11-1-1⎫ ⎪
3-236-1⎪； （2）A = 2-532⎪. （1）A = ⎪ 2015-3⎪ 7-731⎪ ⎪⎝⎭16-4-14⎝⎭
注 以下结论是显然成立的
（1）设A 是m ⨯n 矩阵，P , Q 分别是m , n 阶可逆阵，则R (PAQ )=R (A ). （2）设矩阵A 有形如
⎛I r O ⎫
⎪的等价标准形，则R (A )=r .
⎝O O ⎭
（3）n 阶矩阵A 可逆⇔R (A )=n ；
⇔A 可以通过有限次初等行变换化为单位矩阵I n ；
⇔A 可以表示成有限个初等矩阵的乘积； ⇔齐次线性方程组Ax =0只有零解； ⇔A ≠0.
关于矩阵的秩，还有以下重要性质（留待以后章节证明） 1. max R (A ), R (B )≤R (A , B )≤R (A )+R (B )； 2. R (A +B )≤R (A )+R (B )； 3. R (AB )≤min R (A ), R (B )； 4. 若AB =O ，则R (A )+R (B )≤n .
例2.26 设A 为n 阶矩阵，A 是它的伴随矩阵，则
*
{}
{}
⎧n , 若R (A )=n ⎪*
R (A )=⎨1, 若R (A )=n -1.
⎪0, 若R (A )
证 若R (A )=n ，则A ≠0. 由伴随矩阵的性质知，A A =A I . 因此
*
A *A =A ，
所以A =A
*
n -1
n
≠0，即R (A *)=n .
*
若R (A )=n -1，则A =0，且A 中至少有一个代数余子式A ij ≠0，即A ≠O . 又A A =A I =O . 由矩阵秩的性质4得
*
R (A )+R (A *)≤n .
***
所以，R A ≤1，但A ≠O . 故R A =1.
**
若R (A )
()
()
()
证毕.
小结：
课外作业：
第二章 矩阵
Ⅰ. 授课题目: §2.1 数域 §2.2 矩阵的概念 §2.3 矩阵的运算 §2.4 分块矩阵及其运算 §2.5 方阵的行列式与逆矩阵 §2.6 矩阵的初等变换与初等矩阵 §2.7 矩阵的秩 Ⅱ. 教学目的与要求:
1. 掌握数域、矩阵、逆矩阵、矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的秩等概念 2. 掌握矩阵的运算性质、逆矩阵的求法、分块矩阵的初等变换 Ⅲ. 重点与难点:
重点:矩阵的运算、逆矩阵的求法、矩阵的初等行变换 难点: 伴随矩阵，逆矩阵，初等矩阵、矩阵秩的概念 Ⅳ. 教学内容
§2.1 数域
定义2.1 设P 是复数域C 的一个子集，如果P 包括0，1，并且P 对数的加、减、乘、除（除数不为零）四种运算封闭，那么我们称P 为一个数域.
比如数集Q ，R ，C 都是数域，而Z 不是数域.
例2.1
证明数集Q
数域的重要性质：所有数域都包含有理数域作为它的一部分. 即有理数域是最小的数域.
={a +a , b ∈Q 是数域. （P2）
}
§2.2 矩阵的概念
1. 矩阵的定义
定义2.2 数域P 中 m ×n 个数 a ij (i = 1, 2,…,m ; j = 1,2,…,n )排成的 m 行n 列数表, 记成
⎛a 11 a A = 21
a ⎝m 1
a 12a 22 a m 2
a 1n ⎫
⎪
a 2n ⎪
⎪ ⎪
a mn ⎪⎭
称为m ×n 矩阵，也可以记成(a ij ), (a ij ) m ⨯n 或A m ⨯n 等.
同型矩阵：行数相等且列数相等的两个矩阵称为同型矩阵. 相等矩阵：两个对应元素相等的同型矩阵. 2. 几种特殊形式的矩阵
行（列）矩阵（向量），零矩阵，上（下）三角矩阵，
⎛a 1
对角矩阵：A =diag (a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a n )=
⎝
单位矩阵：I 或E .
a 2
⎫⎪⎪， ⎪
⎪a n ⎭
§2.3 矩阵的运算
1. 矩阵的线性运算
C =A +B =(c ij ) m ⨯n ，其中C 是一个m ⨯n 矩阵，c ij =(a ij +b ij )m ⨯n .
负矩阵：设A =(a ij ) m ×n , 规定 A 的负矩阵为-A =(-a ij ) m ⨯n . 矩阵减法： A -B =A +(-B ) =a ij -b ij
定义2.3 设A =(a ij ) m ×n , B =(b ij ) m ×n 都是 m ×n 矩阵, 规定 A 与B 的和为
()
m ⨯n
.
定义2.4 设A =(a ij )m ×n ，数λ与矩阵的乘积A 记为λA ，规定λA =(λa ij ) m ⨯n .
注 矩阵的加法运算、数乘矩阵运算统称为矩阵的线性运算，它们与行列式中相应的运算的定义区别很大.
矩阵的线性运算满足如下八条运算律（设A , B , C , O 都是同型矩阵，λ, μ为数） (1) A + B = B + A（矩阵加法的交换律）；
(2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) （矩阵加法的结合律）； (3) A + O = A（右加零矩阵律）； (4) A + ( − A ) = O （右加负矩阵律）； (5) 1A =A （1乘矩阵律）；
(6) λ(μA ) =(λμ) A （数乘矩阵的结合律）；
(7) (λ+μ) A =λA +μA （矩阵对数加法的分配律）； (8) λ(A +B ) =λA +λB （数对矩阵加法的分配律）； 例2.2 P8（例1.3）. 2. 矩阵的乘法
定义2.5 设是A = ( a ij ) m⨯s 是一个m ⨯s 矩阵，B = ( b ij ) s⨯n 是一个s ⨯n 矩阵，规定A 与B 的乘积为C =AB =c ij
()
m ⨯n
，其中
s k =1
c ij =a i 1b 1j +a i 2b 2j + +a i s b s j =∑a ik b k j (i =1, 2, , m ; j =1, 2, , n ).
注 （1）必须是前一个矩阵的行数与后一个矩阵的列数相同，否则不能进行矩阵乘法.
（2）记住下列特殊情形
⎛b 1⎫
⎪n b 2
a) (a 1a 2⋅⋅⋅a n ) ⎪=∑a i b i （数）；
⎪i =1 ⎪⎝b n ⎭
⎛a 1⎫⎛a 1b 1a 1b 2⋅⋅⋅a 1b n ⎫ ⎪ ⎪a a b a b ⋅⋅⋅a b 221222n ⎪b) ⎪(b 1b 2⋅⋅⋅b n )= ； ⎪ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪ ⎪ ⎪a a b a b ⋅⋅⋅a b m 2m n ⎭⎝m ⎭⎝m 1
⎛⎫ ⎪
c) (⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅) ⎪=(⋅⋅⋅
⎪⎝⎭
⎛⎫⎛ ⎫⎛ ⎫ ⎪⎪ ⎪d) ⎪ ⎪= ⎪； ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛a 11a 12⋅⋅⋅
a 21a 22⋅⋅⋅
e) (x 1, x 2, ⋅⋅⋅, x m )
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⎝a m 1a m 2⋅⋅⋅
⎛a 1⎫⎛b 1 ⎪
a b 22 ⎪f) ⎪ ⎪
a n ⎭⎝⎝
⋅⋅⋅⋅⋅⋅)；
a 1n ⎫⎛y 1⎫
⎪⎪
a 2n ⎪y 2⎪m n
=∑∑a x y （数）；
⋅⋅⋅⎪ ⎪i =1j =1ij i j
⎪⎪a mn ⎭⎝y n ⎭⎫⎛a 1b 1⎫⎪ ⎪
a b 22⎪= ⎪.
⎪ ⎪ ⎪ ⎪b n ⎭⎝a n b n ⎭
例2.3 A =
4⎫⎛-2⎛24⎫
⎪ , B =⎪ -36⎪⎪，求AB 与BA . 1-2⎝⎭⎝⎭
4⎫⎛2⎛-14⎫⎛10⎫⎪ ⎪ , B =C =⎪ 2-1⎪ 11⎪⎪，求证：AB =AC . -3-6⎝⎭⎝⎭⎝⎭
例2.4 A =
⎛020⎫21-1⎛⎫ ⎪
, B =111练习：1. 已知A = ，求AB . ⎪ ⎪
⎝302⎭ 15-1⎪
⎝⎭
2. 已知A =
⎛01⎫⎛11⎫
, B =⎪ ⎪，求AB 和BA . 0000⎝⎭⎝⎭
例2.5 对于线性方程组
⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =b 1⎪a x +a x + +a x =b ⎪2112222n n 2
， ⎨
⎪⎪⎩a m 1x 1+a m 2x 2+ +a mn x n =b m
如果令
⎛a 11 a A = 21
⋅⋅⋅ ⎝a m 1
a 12a 22⋅⋅⋅a m 2
⋅⋅⋅
a 1n ⎫⎛x 1⎫⎛b 1⎫⎪ ⎪ ⎪
⋅⋅⋅a 2n ⎪x b
, x = 2⎪, b = 2⎪
⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪ ⎪ ⎪
⋅⋅⋅a mn ⎭x ⎝n ⎭⎝b m ⎭
分别表示系数矩阵，未知量列向量和常数项列向量. 则上述线性方程组可以如下简洁地表示成
Ax =b .
矩阵乘法的运算律
(1) (AB ) C =A (BC ) （矩阵乘法的结合律）； (2) A (B +C ) =AB +AC ，
(B +C ) A =BA +CA （矩阵乘法对矩阵加法的分配律）；
(3)
λ(AB ) =(λA ) B =A (λB ) （数对矩阵乘法的结合律）；
(4) A m ⨯n ⨯I n =I m ⨯A m ⨯n =A m ⨯n （单位矩阵乘矩阵律）.
注 矩阵乘法与实数乘法有不同之处
（1）矩阵乘法一般不满足交换律，即AB ≠BA . （2）即使A ≠O 且B ≠O ，但仍可能AB = O.
（3）一般不满足消去律，即使AB =AC ，仍可能B ≠C .
对于两个同阶方阵A , B ，如果AB =BA ，则称矩阵A 与B 可交换.
⎛0 0
例2.6 设矩阵A =
0 ⎝0
10000100
0⎫⎪0⎪
，求证与A 可交换的矩阵只能是 1⎪⎪0⎭
⎛a b c d ⎫ ⎪0a b c ⎪. B =
00a b ⎪ ⎪000a ⎝⎭
⎛a 10⋅⋅⋅0⎫
⎪0a ⋅⋅⋅02⎪是n 阶对角阵，且a ≠a ，当练习：如果A = i j ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪ ⎪000a n ⎭⎝
i ≠j (i , j =1, 2⋅, ⋅⋅)n . , 求证与A 可交换的矩阵只能是对角阵.
k
矩阵的乘方：A 是一个n 阶矩阵，k 是一个正整数，规定A = AA ⋅⋅⋅A . 即
k 个
A 0=I , A k +1=A k A .
例2.7 已知矩阵A =
⎛01⎫423
⎪，求A , A 及A .
⎝-10⎭
⎛101⎫ ⎪2
练习：已知A = 020⎪, 求 A -2A .
101⎪⎝⎭
矩阵乘方的运算律 （1）A A =A （2）A
k
l
k +l
()=A
k
l
；
k l
；
2
k k k
注 （1）一般地， (AB ) ≠A B . 但是，当A 与B 可交换，即当AB =BA 时，
(AB ) k =A k B k 成立. 当A 与B 可交换时，(A +B )=A 2+2AB +B 2成立.
（2）显然，A A =A A ，即A 与A 可交换.
3. 矩阵的转置
k l l k k l
定义2.6 将矩阵 A 的各行变成同序号的列得到的矩阵称为 A 的转置矩阵, 为 A T .
矩阵转置的性质 (1) (A T ) T =A ； (2) (A +B ) T =A T +B T ； (3) (λA ) T =λA T ； (4) (AB ) T =B T A T ；
对称矩阵与反对称矩阵 (1) 对称矩阵：A T = A (2) 反对称矩阵：A T = -A
记
例2.8 证明:任意一个n 阶矩阵都可以表示成一个对称阵与一个反对称阵之和. 证 令
11
A +A T )，C =(A -A T ) (22
则B , C 分别是对称阵和反对称阵. 且A =B +C . 证毕.
B =
T
例2.9 设列矩阵X =(x 1, x 2, ⋅⋅⋅, x n )满足X X =1，H =I n -2XX T ，证明H
T
是对称阵，且HH T =I n .
练习：
⎛1-11⎫ ⎪T T
1. 设α为3⨯1矩阵，若αα= -11-1⎪，求αα. （答：3）
1-11⎪⎝⎭
⎛1⎫⎛1-11⎫ ⎪⎪n -1 n T
2. 设矩阵α= -1⎪，A =αα，求A . （答：3 -11-1⎪）
1⎪ 1-11⎪⎝⎭⎝⎭
小结：
课后作业：
§2.4 分块矩阵及其运算
1. 分块矩阵的概念
将A 用若干条横线和纵线分成许多个小矩阵，以子块为元素形成的矩阵称为分块矩阵。
⎛a 11
如A = a 21
a ⎝31
a 12a 22a 32
a 13a 23a 33
a 14⎫
⎪⎛A 11a 24⎪= A ⎪a 34⎭⎝21
A 12⎫
⎪ A 22⎪⎭
在矩阵A =a ij
()
m ⨯n
中，以它的行作为子块，可得到m ⨯1分块矩阵
⎛α1⎫ ⎪α2⎪ A =， ⎪ ⎪⎝αm ⎭
其中
αi =(a i 1, a i 2, ⋅⋅⋅, a in ), (i =1,2, ⋅⋅⋅, m ).
如果以它的列作为子块，可得到1⨯n 分块矩阵
A =(β1, β2, ⋅⋅⋅, βn ),
其中
βj =(a 1j , a 2j , ⋅⋅⋅, a mj ), (j =1, 2, ⋅⋅⋅, n ).
T
2. 分块矩阵的运算
（1）线性运算(加法与数乘) （2）乘法
注（只要下列运算有意义）
a ）A (β1, β2, ⋅⋅⋅, βn )=(A β1, A β2, ⋅⋅⋅, A βn )；
⎛α1⎫⎛α1A ⎫ ⎪ ⎪ααA 2⎪A = 2⎪； b ） ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ααA ⎝m ⎭⎝m ⎭⎛A 1⎫⎛B 1 ⎪
A 2⎪c ） ⎪ ⎪
A n ⎭⎝⎝
（3）转置
B 2
⎫⎛A 1B 1
⎪ ⎪= ⎪
⎪ B n ⎭⎝
A 2B 2
⎫⎪⎪. ⎪
⎪A n B n ⎭
⎛1 0
例2.10 已知A =
-1 1⎝
01210010
0⎫⎛10⎪ 0⎪ -12, B = 100⎪⎪ ⎪ -1-11⎭⎝0⎫
⎪0⎪
，求AB +B . 1⎪⎪1⎪⎭
§2.4 方阵的行列式与逆矩阵
1. 方阵的行列式
定义2.7 由 n 阶矩阵 A 的元素（按原来的位置）构成的行列式，称为方阵 A 的行列式, 记为A 或det A .
性质（其中A 、B 是n 阶矩阵）
T
（1）A =A ；
（2）λA =λA ； （3）AB =A B . 证 仅证（3）设A =a ij
n
()
n ⨯n
, B =(b ij )
n ⨯n
. 构造如下2n 阶行列式
a 11⋅⋅⋅a 1n a n 1⋅⋅⋅a nk -1
-1
0b 11⋅⋅⋅b 1n
b n 1⋅⋅⋅b nn
=A -I
=A B ， B
D =
在D 中以b 1j 乘第1列，b 2j 乘第2列，„，b nj 乘第n 列，都加到第n +j 列上
(j =1,2, ⋅⋅⋅, n )，有
D =
A -I
C ， O
a i 2b +j ⋅⋅⋅+a i ，b 其中C =c i j , c i j =a 1i b i +j 2n 故n j C =A B . 再对D 的行交换
()
r i r n +i (i =1,2, ⋅⋅⋅, n )，得到
-E O n
D =(-1)=(-1)-E C =C =AB .
A C
n
故=A B . 证毕.
注 一般地，AB ≠BA ，但是AB =却成立；将性质（3）推广得到
A 1A 2⋅⋅⋅A n =A 1A 2⋅⋅⋅A n .
n T
例2.11 设α=(1,0-1)，矩阵A =αα，n 为正整数，求aI -A .
T
解 由题意知αα=2，且
T
A n =(ααT )(ααT )⋅⋅⋅(ααT )=α(αT α)(αT α)⋅⋅⋅(αT α)αT =2n -1ααT .
又
⎛10-1⎫
⎪
ααT = 000 ⎪，
-101⎪⎝⎭
因此，
a -2n -1
aI -A n =
02n -1
0a
2n -10
=a 2(a -2n ).
0a -2n -1
练习：设A 为n A =a ，B 为m 阶方阵，B =b ，则
O 2A
为（ ）
3B O
-6ab , （B ）-23ab , （C ） （A ）(-1)
n m
mn
2n 3m ab , （D ）(-1)
m +n
2n 3m ab .
2. 伴随矩阵
定义2.8 设 A 是 n 阶矩阵，由行列式 |A | 的各元素的代数余子式 A ij 所构成的矩阵
⎛A 11
A A *= 12
A ⎝1n
称为矩阵A 的伴随矩阵.
性质 A *A =AA *=A I .
3. 逆矩阵
A 21 A 22 A 2n
A n 1⎫⎪
A n 2⎪
， ⎪ ⎪
A nn ⎪⎭
定义2.9 设A 是n 阶矩阵，如果存在n 阶矩阵B ，使AB = BA = E则称A 是可逆矩阵，且称B 为A 的逆矩阵.
如果矩阵A 可逆，那么A 的逆矩阵是唯一的. 事实上，设B , C 都是A 逆矩阵，则有
B =BI =B (AC )=(BA )C =IC =C ，
所以A 的逆矩阵是唯一的. A 的逆矩阵记作A . 即若AB = BA = I，则B =A .
性质
（1）可逆阵A 的逆矩阵仍可逆，且(A )
-1-1
-1-1
=A ；
-1
（2）λ≠0时，可逆阵的数乘λA 仍可逆，且(λA )
=A -1；
（3）若A 、B 为同阶可逆矩阵，则AB 仍可逆，且(AB ) （4）可逆阵A 的乘方仍可逆，且(A
m -1
-1
-1
=B -1A -1；
) =(A -1) m ；
=(A -1) T ；
1-1-1
（6）A 的行列式等于其行列式的倒数. 即A =；
A
（5）可逆阵A 的转置仍可逆，且(A )
（7）A 是可逆阵，若AB =AC ，则B =C （左消去律）；
T
若BA =CA ，则B =C （右消去律）.
定理2.1 n 阶方阵A 可逆的充要条件是A ≠0，且可逆时A
-
推论 若存在B ，使得AB =I (或BA =I ) ，则A 可逆，且B =A 1.
-1
=1A *. A
证 AB =A B =I =1，故A ≠0，因而A 可逆，于是
B =IB =(A -1A )B =A -1(AB )=A -1I =A -1.
例2.12 设ad -bc ≠0，求二阶矩阵A =
⎛a b ⎫
⎪的逆矩阵.
⎝c d ⎭
⎛123⎫ ⎪
例2.13 求矩阵A = 134⎪的逆矩阵.
144⎪⎝⎭
练习：
⎛1⎛123⎫
2 ⎪-1
1. 求方阵A = 221⎪的逆矩阵. （答：A = -
3 343⎪
⎝⎭ 1
⎝
2. 设
-2⎫⎪5⎪） -3
2⎪1-1⎪⎭
3
⎛123⎫⎛13⎫
21⎛⎫ ⎪ ⎪
A = 221⎪, B = , C =20⎪ ⎪， 53⎝⎭ 343⎪ 31⎪
⎝⎭⎝⎭
⎛-21⎫ ⎪
且AXB =C ，求矩阵X . （答：X = 10-4⎪）
-104⎪⎝⎭
注
⎛λ1⎫ ⎪
λ2⎪是对角阵，且λ≠0(i =1,2, ⋅⋅⋅, n )，则A 可逆，（1）若Λ= i
⎪ ⎪
λn ⎭⎝
且
⎛λ1-1⎫ ⎪-1
λ2⎪. Λ-1= ⎪ ⎪-1⎪ λn ⎭⎝
⎛A 1⎫ ⎪
A 2⎪是分块对角阵（或称为准对角阵） （2）若A = ，且每一个 ⎪ ⎪
A n ⎭⎝
子块A i (i =1,2, ⋅⋅⋅, n )都是可逆阵，则A 可逆，且
⎛A 1-1 A -1=
⎝
-1
-1A 2
⎫⎪⎪. ⎪
⎪-1⎪A n ⎭
（3）若P 是可逆阵，A =P ΛP ，则
A n =P Λn P -1.
（4）设
ϕ(x )=a 0+a 1x +⋅⋅⋅+a m x m
为x 的m 次多项式，A 为n 阶矩阵，记
ϕ(A )=a 0I +a 1A +⋅⋅⋅+a m A m
称之为矩阵A 的m 次多项式.
矩阵A 的两个多项式ϕ(A )与f (A )总是可交换的，即
ϕ(A )f (A )=f (A )ϕ(A ).
k k k k
如果Λ=diag (λ1, λ2, ⋅⋅⋅, λn )是对角阵，则Λ=diag λ1, λ2, ⋅⋅⋅, λn ，从而
()
⎛λ1m ⎛λ1⎫⎛1⎫
⎪ ⎪λ12⎪+⋅⋅⋅+a ⎪+a ϕ(Λ)=a 0 1m ⎪ ⎪
⎪ ⎪ λ1⎝⎭n ⎭⎝⎝
λ2m
⎫
⎪⎪⎪
⎪λn m ⎪⎭
⎛ϕ(λ1)⎫
⎪
ϕλ()2⎪. =
⎪ ⎪ ϕλ(n )⎪⎝⎭
⎛12⎫⎛1⎫n
例2.14 设P = ⎪, Λ= ⎪, AP =P Λ，求A .
⎝14⎭⎝2⎭1⎛4-2⎫
解 P =2, P -1= ⎪，而
2⎝-11⎭⎛1⎫2⎛1⎫⎛1⎫n
， Λ= , Λ=, ⋅⋅⋅, Λ=⎪ 2⎪n ⎪222⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以，
2n -1⎫⎛12⎫⎛10⎫1⎛4-2⎫⎛2-2n
A =P ΛP = ⎪. ⎪⎪= n ⎪ n +1n +1
2-1⎭⎝14⎭⎝02⎭2⎝-11⎭⎝2-2
n
n
-1
例2.15 设A , B 分别是m , n 阶可逆阵，试证D =
证 设X =
⎛A O ⎫-1
D 是可逆阵，并求. ⎪
⎝C B ⎭
⎛X 11⎝X 21
X 12⎫
⎪，且DX =I ，即 X 22⎭
⎛A O ⎫⎛X 11X 12⎫⎛I m
⎪= ⎪ X X C B ⎝⎭⎝2122⎭⎝0
AX 11=I m ⎧
⎪AX 12=O ⎪
⎨
CX +BX =O 21⎪11⎪⎩CX 12+BX 22=I n
O ⎫
⎪. I n ⎭
由分块矩阵的乘法，比较等式两端得
于是，
X 11=A -1, X 12=O , X 21=-B -1CA -1, X 22=B -1，
故矩阵D =
⎛A O ⎫
⎪可逆，且
⎝C B ⎭
⎛A -1
D = -1-1
⎝-B CA
-1
O ⎫⎪. B -1⎭
-12
例2.16 方阵A 满足A -A -2I =0，证明A 及A +2I 都可逆，并求A 及
(A +2I ) -1.
2
解 由A -A -2I =0知，A -A =2I ，即
2
A (A -I )=2I .
故A 可逆，且A
-1
=
1
(A -I ). 2
其次，由A -A -2I =0得
2
(A +2I )(A -3I )=-4I .
故A +2I 可逆，且
(A +2I ) -1=
例2.17 设A 是三阶矩阵，且A =
解 由A A =A I 知，A
*
1
(3I -A ). 4
1-1*，求(2A )-5A . 2
-1
=A *，A *⋅A =A n ，因此，A *=A n -1（当A
A 可逆时）. 因此
(2A )-5A *=
-1
1-11
A -5A *=⋅2A *-5A * 22
*
=-4A =(-4)
注 伴随矩阵有如下性质 （1）A =A A ； （2）A =A
*
3
⎛1⎫
A =(-4)⋅ ⎪=-16.
⎝2⎭
*
3
2
*-1
*
n -1
；
n -1*
（3）(kA )=k A (k ≠0)；
（4）A
()
**
=A
n -2
A ；
()
（6）(A )=(A )
（5）A
T *
T
=(A *)；
-1*
*-1
=
1A . A
练习：
⎛A C ⎫-1
⎪是可逆阵，并求D .
⎝O B ⎭
*-1
2. 设A , B 都是n 阶阵，且A =2, B =-3，求3A B .
1. 设A , B 分别是m , n 阶可逆阵，试证D =
3. 设n 阶矩阵A 可逆，求证A 的伴随阵是A 也可逆，且A
*
()
*-1
=(A -1).
*
⎛111⎫ ⎪*-1
4. 若A = 121⎪，求(A ).
113⎪⎝⎭
2
5. 设n 阶矩阵A 满足A +3A -2I =O ，证明A 与A +E 都可逆，并求
A -1, (A +I ).
-1
⎛-1-4⎫⎛-10⎫11
⎪, Λ= ⎪，求A .
⎝11⎭⎝02⎭
⎛1000⎫ ⎪0100-1-1⎪，7. 已知矩阵A 的伴随矩阵A *= 且ABA =BA +3I ，求B . 1010⎪ ⎪0-308⎝⎭
11-1-1
答：4. A =(A +3I ), (A +I )=(A +2I ) ；
244+213⎫⎛27312732⎫1⎛1+213
6. = ⎪； 1111⎪3⎝-1-2-4-2⎭⎝-683-684⎭
6. 设AP =P Λ，其中P =
⎛6
07. B =
6 ⎝0
小结：
0603
00⎫
⎪00⎪
.
60⎪
⎪0-1⎭
课后作业：
§2.6 矩阵的初等变换与初等矩阵
1. 矩阵的初等变换
定义2.10 下列三种变换称为矩阵的初等变换： （1）对调第i , j 两行（列），记作r i r j c i c j ；
（2）以数k ≠0乘以第i 行（列）中的所有元素，记作r i ⨯k (c i ⨯k )； （3）把第j 行（列）的元素k 倍加到第i 行（列）对应的元素上去，记作
()
r i +kr j (c i +kc j ).
如果矩阵A 经过有限次初等行（列）变换得到矩阵B ，则称矩阵A 与B 行（列）
c ⎛⎫等价， 记作A ~B A ~B ⎪. 如果矩阵A 经过有限次初等变换得到矩阵B ，则称矩阵⎝⎭
r
A 与B 等价，记作A ～B .
矩阵的等价关系有如下性质： （1）反身性 A ～A ；
（2）对称性 如果A ～B ，那么B ～A ； （3）传递性 如果A ～B ，B ～C 那么A ～C .
例2.18 利用矩阵的初等行变换求解线性方程组
⎧x 1+3x 2+x 3=5
⎪
⎨2x 1+x 2+x 3=2. ⎪x +x +5x =-7
3⎩12
介绍系数矩阵、增广矩阵、行阶梯形、行最简形矩阵等概念（对增广矩阵施行初等行变换，得到x 1=1, x 2=2, x 3=-2）
练习：利用矩阵的初等行变换求解线性方程组
⎧x 1+3x 2+2x 3=17
⎪
⎨2x 1-4x 2-x 3=9. ⎪3x -2x =25
2⎩1
（答：x 1=11, x 2=4, x 3=-3）
2. 初等矩阵
定义2.11由单位矩阵经过一次初等变换而得到的矩阵称为初等矩阵.
（1）交换两行（列）的位置
i 列 j 列
⎛
1
1
0 1 1 E (i , j )=
1
1 0
1 ⎝
（2）以非零数k 乘某一行（列）
i 列
⎛ 1⎫ ⎪
⎪
E (i (k ) )= 1⎪ k ⎪
⎪(k ≠0)
1⎪
⎪
⎪⎝1⎪⎭
（3）把某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上
i 列 j 列
⎛ 1⎫ ⎪
⎪E (i , j (k ) )= 1 k ⎪ ⎪
⎪.
1⎪ ⎪
⎪
⎝1⎪⎭
2. 初等矩阵的性质
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
1
（1）初等矩阵都可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵：
E (i , j )=-1, E (i (k ))=k , E (i , j (k ))=1；
-1-1⎛⎛1⎫⎫-1
E (i , j )=E (i , j ), E (i (k ))=E i ⎪⎪, E (i , j (k ))=E (i , j (-k ) ).
⎝⎝k ⎭⎭
（2）初等矩阵的转置仍为初等矩阵.
E (i , j )=E (i , j ), E (i (k ))=E (i (k )), E (i , j (k ))=E (i , j (k ) ).
T
T T
定理2.1设A 是m ⨯n 矩阵，用m 阶初等矩阵左乘A 相当于对A 作相应的初等行变换；用n 阶初等矩阵右乘A 相当于对A 作相应的初等列变换，即
E (i , j )A ：交换A 的i , j 两行；AE (i , j )：交换A 的i , j 两列；
E (i (k ) )A ：用数k (≠0) 乘A 的第i 行；AE (i (k ) )：用数k (≠0) 乘A 的第i 列；
E (i , j (k ))A ：用数k (≠0) 乘A 的第j 行加到第i 行上去；AE (i , j (k ))：用数
k (≠0) 乘A 的第i 列加到第j 列上去.
推论2.1 矩阵A , B 等价的充要条件是，存在若干初等矩阵P 1, P 2, ⋅⋅⋅, P l ，
Q 1, Q 2, ⋅⋅⋅, Q s 使得
P l ⋅⋅⋅P 2PAQQ 112⋅⋅⋅Q s =B .
⎛1-10⎫
⎪
31⎪，试将A 表示成若干个初等矩阵与它的最简形例2.19 设矩阵A = 2
-123⎪⎝⎭
的乘积.
练习：试将A 表示成若干个初等矩阵与它的最简形的乘积，设
（1）A =
⎛122⎫⎛23⎫
； （2）A =⎪ ⎪.
25311⎝⎭⎝⎭
3. 矩阵的等价标准形与逆矩阵
定理2.2 任意一个m ⨯n 矩阵A 总可以通过初等变换化成以下形式的矩阵
⎛I r O ⎫B = ⎪.
O O ⎝⎭
称之为矩阵A 的等价标准形.
证 如果A =O ，那么它已经是标准形了. 以下不妨假定A ≠O ，经过初等变换一定可以变成一左上角不为零的矩阵.
-1
当a 11≠0时，把其余的行减去第一行的a 11a i 1(i =2,3, ⋅⋅⋅, m )倍，其余的列减去-1-1
第1列的a 11乘以第一行，A 就变成 a 1j (i =2,3, ⋅⋅⋅, n )倍. 然后，用a 11
⎛10⋅⋅⋅0⎫
⎪0 ⎪， ⎪A 1 ⎪0⎝⎭
A 1就是一个(m -1)⨯(n -1)矩阵，对A 1重复以上步骤，这样下去就得到所要的等价
标准形.
定理2.2有如下等价说法
（1）任意一个m ⨯n 矩阵A ，总存在若干初等矩阵P 1, P 2, ⋅⋅⋅, P l , Q 1, Q 2, ⋅⋅⋅, Q s ，使得
⎛I r O ⎫
P l ⋅⋅⋅P 2P AQ Q ⋅⋅⋅Q =112s ⎪.
⎝O O ⎭
（2）任意一个m ⨯n 矩阵A ，总存在可逆阵P m ⨯m , Q n ⨯n ，使得
⎛I r O ⎫
PAQ = ⎪.
O O ⎝⎭
定理2.3 n 矩阵A 可逆的充要条件是它可以表示成若干初等矩阵和乘积：
A =PP 12⋅⋅⋅P m .
证 由定理2.2知，n 矩阵A 可逆的充要条件是它可以通过若干次初等变换化成
单位矩阵. 即存在若干初等矩阵R 1, R 2, ⋅⋅⋅, R l , Q 1, Q 2, ⋅⋅⋅, Q s ，使得
R l ⋅⋅⋅R 2R 1AQQ 12⋅⋅⋅Q s =I n .
于是，
-1-1-1A =R 1-1R 2⋅⋅⋅R l -1Q s -1⋅⋅⋅Q 2Q 1.
而初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，故A 可以表示成若干初等矩阵和乘积：
A =PP 12⋅⋅⋅P m . 证毕
推论2.2 n 矩阵A 可逆的充要条件是它可以通过若干次初等行变换化成单位矩阵.
事实上，由定理2.2可知，A 可逆的充要条件是A =PP 12⋅⋅⋅P m ，即
-1-1-1
P A =I . 1m ⋅⋅⋅P 2P
故A 可逆的充要条件是它可以通过若干次初等行变换化成单位矩阵.
如果矩阵A 可逆，则
A -1(A , I )=(I , A -1).
这就是说，把A 和单位阵I 拼在一起，构成矩阵(A , I )，对它们施行初等行变换，把A 变成单位矩阵，则I 就变成了A .
-1
⎛12-1⎫
⎪
例2.20 利用矩阵的初等行变换求矩阵A = 310⎪的逆矩阵.
-10-2⎪⎝⎭⎛12-1100⎫[2+1(-3)]⎛12-1100⎫
⎪[3+1(1)] ⎪
→ 0-53-310⎪ 解 310010⎪−−−−
-10-2001⎪ 02-3101⎪⎝⎭⎝⎭
⎛12-1 1
2(-) 35−−−→ 01-
2⎛
100-
100⎫ 9
⎪
312-0⎪→ 010 4
91-1⎫9⎪⎪1-⎪ . ⎪ 555⎪3
33⎝
02-3101⎪⎭
⎝
0011
9-2-5⎪9
9⎪⎪⎭
⎛0练习：求（1）A = 12⎫ 114⎪⎛⎪，（2）A = 123⎫ 221⎪
⎪的逆矩阵.
⎝2-10⎪⎭ ⎝343⎪⎭
⎛
⎫
2-11⎪⎛1
3
（答：（1）A -1
= 4
-21⎪ ⎪；（2）A -1= 3 -
-3
3⎝-2
1-1⎪ 2
2⎪⎭
⎝11
利用矩阵的初等行变换，还可以求A -1
B ：
A -1(A , B )=(I , A -1B ).
例2.21 求矩阵X ，使AX =B ，其中
⎛123⎫A = ⎛25⎫
221⎪⎪ ⎝343⎪, B = ⎪
31⎭
⎝43⎪.
⎪⎭（教材P49，例2.13） 练习：
⎛41-2⎫⎛11. 设A = -101⎪-3⎫
⎪, B = 22⎪⎪，求矩阵X ，使AX =B .
⎝1-10⎪
⎭
⎝3-1⎪⎭⎛2. 设A = 1-10⎫ 0
1-1⎪
⎪, AX =2X +A ，求X . ⎝-101⎪⎭
-2⎫
5⎪2⎪⎪） -1⎪⎭
⎛01-1⎫⎛102⎫
⎪（2） -101⎪）
（答：（1）-15-3； ⎪ ⎪
1-10⎪ 124⎪
⎝⎭⎝⎭
类似地，如果要求CA ，则对矩阵 位阵I 时，C 就化成了CA ：
-1
-1
⎛A ⎫
⎪施行若干次初等列变换，当把A 变成单⎝C ⎭
⎛A ⎫-1⎛I ⎫ ⎪A = -1⎪. ⎝C ⎭⎝CA ⎭
⎛021⎫
⎛123⎫ ⎪
练习： 设A = 2-13⎪, B = ⎪，求X ，使XA =B .
⎝2-31⎭ -31-1⎪
⎝⎭
⎛2-1-1⎫（答： ⎪）
⎝-474⎭
4. 矩阵的分块初等变换及其应用
对分块矩阵，我们完全可以在分块运算有意义的前提下，类似定义“分块初等变换”及“分块初等矩阵”的概念，并得到完全相同的运算性质. 例2.22 设A , B 都是n 阶矩阵，求证AB =A B . 证 构造
⎛I ⎝O
由于
A ⎫⎛A ⎪I ⎭⎝-I O ⎫⎛O ⎪= B ⎭⎝-I AB ⎫⎪. B ⎭
⎛I ⎝O
作n 次列交换，得到
A ⎫⎛A ⎪I ⎭⎝-I O ⎫I ⎪=B ⎭O
A A I -I
O B
=A B .
O -I AB O n AB n
=(-1)=(-1)AB -I =AB . B B -I
故AB =A B 成立. 证毕.
或者，直接这样写证明过程 证法2 首先，
A -I
A -I
故AB =A B . 证毕.
O
=A B . B
AB n 2
=(-1)-I AB =AB . O
其次，对左边分块行列式作分块初等列变换得
O c 2+c 1B A ==B -I
注 作分块初等列变换，所乘的矩阵是乘在右边，注意“c 2+c 1B ”这个写法，不要随意交换次序；如果作分块初等行变换，则所乘的矩阵是乘在左边，如
A -I O r 1+Ar 2O ==B -I AB n 2
=(-1)-I AB =AB . B
注意“r 1+Ar 2”这个写法，不要随意交换次序.
例2.23设A , B 分别是m , n 阶可逆阵，试证D = 证 对分块矩阵施行初等行变换
⎛A O ⎫-1
⎪是可逆阵，并求D .
⎝C B ⎭
⎛A O I O ⎫A ⨯r 1⎛I ⎪→ C B O I ⎝⎭⎝C
r 2-C ⨯r 1⎛I →
⎝O B -1⨯r 2⎛→ ⎝O
⎛A O ⎫故D = ⎪是可逆阵，且
C B ⎝⎭
-1
-1
O A -1O ⎫
⎪
B O I ⎭O A -1O ⎫
⎪
B -CA -1I ⎭
I I
O
A -1
-B -1CA -1
O ⎫
. -1⎪B ⎭
⎛A -1
D = -1-1
⎝-B CA
这与例2.15的结果完全一致.
练习
O ⎫⎪. B -1⎭
1. 用分块初等矩阵的乘法写出例2.23的证明过程.
⎛C A ⎫-1
m , n D A , B 2. 设分别是阶可逆阵，试证D = 是可逆阵，并求. ⎪
B O ⎝⎭
3. 设A 是n 阶非奇异矩阵，α是n ⨯1列矩阵，b 为常数，证明矩阵
⎛A Q = T
⎝α
可逆的充分必要条件是αA α≠b .
T
-1
α⎫
⎪ b ⎭
4. 证明行列式的第一降阶定理：设M = 则
⎛A B ⎫
⎪是方阵，其中A 是非奇异阵，
⎝C D ⎭
A B M ==A ⋅D -CA -1B =A ⋅M /A ，
C D
其中M /A =D -CA B ，称为Schur 补.
5. 证明行列式的第二降阶定理：设是方阵，其中A , D 分别是n , m 阶非奇异阵，
-1
B , C 分别是n ⨯m , m ⨯n 矩阵，则
D -CA B =
小结：
课外作业：
-1
D A
⋅A -BD -1C .
§2.7 矩阵的秩
1. 矩阵的秩的概念
定义2.12 如果在矩阵A 中存在一个r 阶子式D 不等于零，且所有r +1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么称D 为A 的最高阶非零子式，数r 称为矩阵A 的秩，记作R (A ). 规定零矩阵的秩等于零.
⎛123⎫
12 ⎪
例如，在矩阵A = 23-5⎪中，2阶子式=-1≠0，且A =0，因此
23 471⎪
⎝⎭
03-2⎫
2-13⎪
1-25⎪
中，3阶子式03-2=24≠0，
043⎪
004⎪
000⎭
而全体4阶子式都等于零，故R (B )=3.
注 （1）当A 中所有r +1阶子式全等于零时，所有高于r +1阶的子式也全等于零，因此，矩阵A 的秩R (A )就是A 中不等于零的子式的最高阶数；
（2）设A 是m ⨯n 矩阵，则R (A )≤min {m , n }；
T
（3）R (A )=R A .
⎛2-1
03
R (A )=2. 在矩阵B =
00
⎝00
()
设A 是m ⨯n 矩阵，若R (A )=m ，则称A 是行满秩矩阵，若R (A )=n ，则称A 是列满秩矩阵.
2. 矩阵秩的计算
定理3.6 初等变换不改变矩阵的秩. 证 （P79～80，略）
例2.24设矩阵
⎛2-1-11
11-21A =
4-62-2
⎝36-97
2⎫⎪4⎪， ⎪4⎪9⎭
求矩阵A 的秩，并求它的一个最高阶非零子式. （答：R (A )=3）
练习：求下列矩阵的秩，并求它的一个最高阶非零子式.
⎛32050⎫
⎛11-1-1⎫ ⎪
3-236-1⎪； （2）A = 2-532⎪. （1）A = ⎪ 2015-3⎪ 7-731⎪ ⎪⎝⎭16-4-14⎝⎭
注 以下结论是显然成立的
（1）设A 是m ⨯n 矩阵，P , Q 分别是m , n 阶可逆阵，则R (PAQ )=R (A ). （2）设矩阵A 有形如
⎛I r O ⎫
⎪的等价标准形，则R (A )=r .
⎝O O ⎭
（3）n 阶矩阵A 可逆⇔R (A )=n ；
⇔A 可以通过有限次初等行变换化为单位矩阵I n ；
⇔A 可以表示成有限个初等矩阵的乘积； ⇔齐次线性方程组Ax =0只有零解； ⇔A ≠0.
关于矩阵的秩，还有以下重要性质（留待以后章节证明） 1. max R (A ), R (B )≤R (A , B )≤R (A )+R (B )； 2. R (A +B )≤R (A )+R (B )； 3. R (AB )≤min R (A ), R (B )； 4. 若AB =O ，则R (A )+R (B )≤n .
例2.26 设A 为n 阶矩阵，A 是它的伴随矩阵，则
*
{}
{}
⎧n , 若R (A )=n ⎪*
R (A )=⎨1, 若R (A )=n -1.
⎪0, 若R (A )
证 若R (A )=n ，则A ≠0. 由伴随矩阵的性质知，A A =A I . 因此
*
A *A =A ，
所以A =A
*
n -1
n
≠0，即R (A *)=n .
*
若R (A )=n -1，则A =0，且A 中至少有一个代数余子式A ij ≠0，即A ≠O . 又A A =A I =O . 由矩阵秩的性质4得
*
R (A )+R (A *)≤n .
***
所以，R A ≤1，但A ≠O . 故R A =1.
**
若R (A )
()
()
()
证毕.
小结：
课外作业：