平面直角坐标系中的基本公式
一． 数轴上的基本公式：
【知识点】
1. 数轴、位移矢量、相等矢量、坐标的概念 2. AB和AB的求法 3. 利用数轴解绝对值不等式 【例题】
例1。对于矢量AB，若AB
例2已知数轴上三点A、B、C,点B在A、C之间，则下列等式成立的是（ ） A.
-=-
B. +=+
C. -=+
=-【练习】
1. 关于位移矢量说法正确的是 （ ）
A．数轴上任意一个点的坐标都有正负和大小，它是一个位移矢量； B．两个相等的矢
量的起点可以不同； C．每一个实数都对应数轴上的唯一的一个位移矢量； D.位移矢量的大小是数轴上A、B两点到原点距离之差的绝对值。
2. A,B为数轴上的两点,A点的坐标为-1,AB=6,那么点B的坐标为( )
A 5 B .3 C. 5或-7 D. -5或7
3. 已知点A(a)位于点B(b)的右侧,那么a与b的关系为( ) A a>b B a
4. 已知A(-2)和B(-5),则AB和AB的值分别为___________
5. 已知|x|>3则点P（x）在数轴上_______
6. 根据|x-7|
二．平面直角坐标系中的基本公式
【知识点】
1.两点间的距离公式
: d(A,B)=|AB|=其中A(x1,y1),B(x2,y2) 2.中点坐标公式: 若A(x1,y1),B(x2,y2),则其中点M(
x1+x2
2
,y1+y2
2
)
【例题】
例1. （1）已知A（2，-4），B（-2，3），求d（A，B） （2）已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），求证∆ABC是等腰三角形 （3）已知平行四边形ABCD，求证：AC2+BD2=2（AB2+AD2）
例2. （1）在X轴上有A(x1,0)、B(x2,0)两点，那么线段AB的中点坐标是多少？ （2） 在Y轴上有A(0,y1)、B(0,y2)两点，那么线段AB的中点坐标是多少？
例3. （1）已知平行四边形ABCD的三个定点A（-3，0），B（2，0），C（5，2），求定点D的坐标
例4。已知点A(2,5)和B(4，-1)，若在y轴上存在一点P，使|PA|+|PB|最小，求点P的坐标 【变式训练】： 已知函数f(x)=x2-2x+2+x2-4x+8,求f(x)的最小值，并求取得最小值时x的值。 【练习】
1。 已知A、B两点坐标分别为（1，2），（3，8）求A关于B点对称的C点坐标。 2 已知点A(-3,4),B(2,3)，在x轴上找一点使得|PA|=|PB|，并求出|PA|的值． 3. 已知点M(x,-4)与N(2,3)间的距离为72，求x的值．
4. 已知点P (x, y)，则求①关于y轴的对称点；②关于x轴的对称点；③关于原点的对称点；
④关于直线y = x的对称点；⑤关于直线y=－x的对称点(－y, －x)． 5．以A(5,5),B(1,4),C(4,1)为顶点的三角形是
（ ） （ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．正三角形 D． 等腰直角三角形 A．1
=x
6．已知三点A(1,-1),B(a,3),C(4,5)在同一直线上，则实数a的值是
B．4 B．（1，1）
C．3
D．不确定
1
12
7．在直线y到A(1,-1)距离最短的点是（ ）
C．（－1，－1） D．（,-
2
A．（0，0） ）
8．若A(-2,-3),B(1,1)，点P(a,2)是AB的垂直平分线上一点，则a=___________． 9．直线y=kx+b上的两点的横坐标分别为x1,x2，则两点间的距离为____________； 直线y=kx+b上的两点的纵坐标分别为y1,y2，则两点间的距离为． 10.已知两点A（a,-ab)和B(b,ab),则
11.已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A（0，2）的距离减去它到x轴的距离
的差都是2，求这条曲线的方程．
三．直线方程的概念与直线的斜率
【知识点】
1. 正比例函数:y=kx(k≠0) 2.一次函数:y=kx+b(k≠0)
3.如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上,且这条直线上点的坐标都是这个方程的解,那么这个方程叫做这条________________,这条直线叫做这个____________________. 4、直线斜率：__________________________________（注：垂直于x轴的直线斜率不存在） 5、已知A(x1,y1),B(x2,y2)则AB的斜率为__________________（注意：x1=x2时斜率存在）公式特点：(1)与两点的顺序无关;(2) 公式表明,直线对于x轴的倾斜度,可以通过直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角;
(3)当x1=x2时,公式不适用,此时直
线与x轴垂直,倾斜角为90
(4)某一条直线的斜率是一个定值或不存在。
6.直线倾斜角的定义：______________________________________________
规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为____________，倾斜角的范围________ 7、对斜率k的定义及对斜率与倾斜角关系的理解 K=0时_________________________________ k>0时_________________________________ k
①___________________________________________________ ②___________________________________________________ ③___________________________________________________ ④___________________________________________________ ⑤___________________________________________________ 【例题.】
例1（1）已知A(3,7),B(3,1)，C(5,8)分别求直线AB,AC,BC的斜率。
（2）已知三点A(a,2),B(-1,1),C(-2,a)在一条直线上，求实数a的值。 例2、下列哪些说法是正确的（ ）
A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B、直线的倾斜角越大，斜率也越大
C 、平行于x轴的直线的倾斜角是0或π D 、两直线的倾斜角相等它们的斜率也相等 E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等 F 、直线斜率的范围是R G、 过原点的直线，斜率越大，越靠近y轴。
例3。直线m过点A(1,2)，且不过第四象限，求直线m的斜率的取值范围。 【练习】
1.直线l与两直线y=1和x-y-7=0分别交于A,B两点，若线段AB的中点为
M(1,-1)，则直线l的斜率为（
）
C -
A
32
B
23
32
D 2
2、求直线的方程：
（1）如图，已知A(3, 2)，B(-4, 1)，C(0, -1)，求直线 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角 （2）直线的斜率为3，且过点M（8，3），求该直线的方程 3、直线x - y + 3 = 0的倾斜角是（ ）
（A）30° （B）45° （C）60° （D）90°
4、过点P(1，2 )并且与x轴平行的直线方程是
5、已知P(3，m )在过M(2，－1)和N(－3，4)的直线上，则m的值是 6.已知点A(2，-3)，B(-,3,-2)，直线m过点P(1,1)，且与线段AB相交，求直线m的斜率的取值范围。
7.直线l先沿y轴正方向平移m个单位（m≠0，m≠1），再沿x轴负方向平移m-1个单位后得到直线l',若l'和l重合，求直线l的斜率。
平面直角坐标系中的基本公式
一． 数轴上的基本公式：
【知识点】
1. 数轴、位移矢量、相等矢量、坐标的概念 2. AB和AB的求法 3. 利用数轴解绝对值不等式 【例题】
例1。对于矢量AB，若AB
例2已知数轴上三点A、B、C,点B在A、C之间，则下列等式成立的是（ ） A.
-=-
B. +=+
C. -=+
=-【练习】
1. 关于位移矢量说法正确的是 （ ）
A．数轴上任意一个点的坐标都有正负和大小，它是一个位移矢量； B．两个相等的矢
量的起点可以不同； C．每一个实数都对应数轴上的唯一的一个位移矢量； D.位移矢量的大小是数轴上A、B两点到原点距离之差的绝对值。
2. A,B为数轴上的两点,A点的坐标为-1,AB=6,那么点B的坐标为( )
A 5 B .3 C. 5或-7 D. -5或7
3. 已知点A(a)位于点B(b)的右侧,那么a与b的关系为( ) A a>b B a
4. 已知A(-2)和B(-5),则AB和AB的值分别为___________
5. 已知|x|>3则点P（x）在数轴上_______
6. 根据|x-7|
二．平面直角坐标系中的基本公式
【知识点】
1.两点间的距离公式
: d(A,B)=|AB|=其中A(x1,y1),B(x2,y2) 2.中点坐标公式: 若A(x1,y1),B(x2,y2),则其中点M(
x1+x2
2
,y1+y2
2
)
【例题】
例1. （1）已知A（2，-4），B（-2，3），求d（A，B） （2）已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），求证∆ABC是等腰三角形 （3）已知平行四边形ABCD，求证：AC2+BD2=2（AB2+AD2）
例2. （1）在X轴上有A(x1,0)、B(x2,0)两点，那么线段AB的中点坐标是多少？ （2） 在Y轴上有A(0,y1)、B(0,y2)两点，那么线段AB的中点坐标是多少？
例3. （1）已知平行四边形ABCD的三个定点A（-3，0），B（2，0），C（5，2），求定点D的坐标
例4。已知点A(2,5)和B(4，-1)，若在y轴上存在一点P，使|PA|+|PB|最小，求点P的坐标 【变式训练】： 已知函数f(x)=x2-2x+2+x2-4x+8,求f(x)的最小值，并求取得最小值时x的值。 【练习】
1。 已知A、B两点坐标分别为（1，2），（3，8）求A关于B点对称的C点坐标。 2 已知点A(-3,4),B(2,3)，在x轴上找一点使得|PA|=|PB|，并求出|PA|的值． 3. 已知点M(x,-4)与N(2,3)间的距离为72，求x的值．
4. 已知点P (x, y)，则求①关于y轴的对称点；②关于x轴的对称点；③关于原点的对称点；
④关于直线y = x的对称点；⑤关于直线y=－x的对称点(－y, －x)． 5．以A(5,5),B(1,4),C(4,1)为顶点的三角形是
（ ） （ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．正三角形 D． 等腰直角三角形 A．1
=x
6．已知三点A(1,-1),B(a,3),C(4,5)在同一直线上，则实数a的值是
B．4 B．（1，1）
C．3
D．不确定
1
12
7．在直线y到A(1,-1)距离最短的点是（ ）
C．（－1，－1） D．（,-
2
A．（0，0） ）
8．若A(-2,-3),B(1,1)，点P(a,2)是AB的垂直平分线上一点，则a=___________． 9．直线y=kx+b上的两点的横坐标分别为x1,x2，则两点间的距离为____________； 直线y=kx+b上的两点的纵坐标分别为y1,y2，则两点间的距离为． 10.已知两点A（a,-ab)和B(b,ab),则
11.已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A（0，2）的距离减去它到x轴的距离
的差都是2，求这条曲线的方程．
三．直线方程的概念与直线的斜率
【知识点】
1. 正比例函数:y=kx(k≠0) 2.一次函数:y=kx+b(k≠0)
3.如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上,且这条直线上点的坐标都是这个方程的解,那么这个方程叫做这条________________,这条直线叫做这个____________________. 4、直线斜率：__________________________________（注：垂直于x轴的直线斜率不存在） 5、已知A(x1,y1),B(x2,y2)则AB的斜率为__________________（注意：x1=x2时斜率存在）公式特点：(1)与两点的顺序无关;(2) 公式表明,直线对于x轴的倾斜度,可以通过直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角;
(3)当x1=x2时,公式不适用,此时直
线与x轴垂直,倾斜角为90
(4)某一条直线的斜率是一个定值或不存在。
6.直线倾斜角的定义：______________________________________________
规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为____________，倾斜角的范围________ 7、对斜率k的定义及对斜率与倾斜角关系的理解 K=0时_________________________________ k>0时_________________________________ k
①___________________________________________________ ②___________________________________________________ ③___________________________________________________ ④___________________________________________________ ⑤___________________________________________________ 【例题.】
例1（1）已知A(3,7),B(3,1)，C(5,8)分别求直线AB,AC,BC的斜率。
（2）已知三点A(a,2),B(-1,1),C(-2,a)在一条直线上，求实数a的值。 例2、下列哪些说法是正确的（ ）
A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B、直线的倾斜角越大，斜率也越大
C 、平行于x轴的直线的倾斜角是0或π D 、两直线的倾斜角相等它们的斜率也相等 E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等 F 、直线斜率的范围是R G、 过原点的直线，斜率越大，越靠近y轴。
例3。直线m过点A(1,2)，且不过第四象限，求直线m的斜率的取值范围。 【练习】
1.直线l与两直线y=1和x-y-7=0分别交于A,B两点，若线段AB的中点为
M(1,-1)，则直线l的斜率为（
）
C -
A
32
B
23
32
D 2
2、求直线的方程：
（1）如图，已知A(3, 2)，B(-4, 1)，C(0, -1)，求直线 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角 （2）直线的斜率为3，且过点M（8，3），求该直线的方程 3、直线x - y + 3 = 0的倾斜角是（ ）
（A）30° （B）45° （C）60° （D）90°
4、过点P(1，2 )并且与x轴平行的直线方程是
5、已知P(3，m )在过M(2，－1)和N(－3，4)的直线上，则m的值是 6.已知点A(2，-3)，B(-,3,-2)，直线m过点P(1,1)，且与线段AB相交，求直线m的斜率的取值范围。
7.直线l先沿y轴正方向平移m个单位（m≠0，m≠1），再沿x轴负方向平移m-1个单位后得到直线l',若l'和l重合，求直线l的斜率。