双层球形颗粒的光散射计算

双层球形颗粒的光散射计算‘

刘

蕾１’２，王华睿２，一，于彬２，许亚敏２，沈建琪２

（１．安徽工业大学数理学院，安徽马鞍山２４３００２；２．上海理工大学理学院。上海２０００９３；

３．徐州师范大学物理与电子工程学院，江苏徐州２２１１１６）

摘要：在光散射颗粒测量技术中，Ｍｉｅ散射理论的计算非常重要。方面，出现了越来越多与细微颗粒密切相关的技术本文中讨论了双层球形颗粒光散射的计算方法．对计算过程中不同问题，其中双层球形颗粒得到了越来越多的应用【１】。函数参量选用了合适的递推计算方法．改进的计算方法克服了以前算法在实际运算中遇到的误差。计算了若干物理量．如消光系数、散例如．工业生产过程中．在熔炉里燃烧的煤粉颗粒常射系数、吸收系数以及ＣＰＵ运算速度。计算结果表明，选用的方法简常包有水或者液体燃料；在化学领域，聚合体颗粒在单、迅速、稳定且误差小。

表面涂以表面活性剂，可以稳定聚合体溶液的性质；关键词：双层颗粒．Ｍｉｅ散射．数值计算方法在材料加工领域中．可以将两种不同材料的部分特中图分类号：０４３６－２

文献标识码：Ａ

性集合于一体的具有核壳结构的双层介质颗粒等：文章编号：１００８—５５４８（２００８）０１—００１ｌ—０５

在生物医疗领域，通过在无机物球体外锚定聚合链形成完整的双层球体．可以用来作为药物载体传送ＣａｌｃｕｌａｔｉｏｎｏｆＬｉｇｈｔＳｃａｔｔｅｒｉｎｇｂｙ

到人体的特殊部位。此外，白细胞也是很好的双层球ＣｏａｔｅｄＳｐｈｅｒｅｓ

形颗粒模型。研究白细胞对光的散射和吸收的特性．可以获得尺寸大小、浓度等方面的信息。为设计高档

ＵＵ

Ｌｅｉ１，２，ＷＡＮＧ

Ｈｕａ．Ⅲ产３，ＹＵ

Ｂｉｎ２，ＸＵＹａ—ｍｉｎ２，

血液分析类医疗仪器提供很好的理论指导【２一。因此，　

ＳＨＥＮＪｉａｎ．口ｆ２

对核壳双层球形颗粒的光学散射特性的分析是一个（１．Ｓｃｈｏｏｌ

ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＰｈｙｓｉｃｓ，ＡｎｈｕｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆ

很值得研究的问题。反映颗粒的光学散射特性的物Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｍａ’ａｎｓｈａｎ

２４３００２；２．Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ

ｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆ

ＳｈａｎｇｈａｉｆｏｒＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ２０００９３；

理量有强度函数、散射系数、吸收系数、消光系数等。３．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＰｈｙｓｉｃｓ

ａｎｄＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＸｕｚｈｏｕＮｏｒｍａｌ

研究双层球形颗粒的光学散射特性．就要从理论上Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ．Ｘｕｚｈｏｕ２２１１１６．Ｃｈｉｎａ）

精确计算出光散射的这些相关的物理量，其关键就是计算Ｍｉｅ散射系数。

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｔ

ｉｓｉｍｐｏｒｔａｎｔ

ｔｏｃａｌｃｕｌａｔｅ

ｐｈｙｓｉｃａｌｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ

ｏｆＭｉｅｓｃａｔｔｅｒ－

ｉｎｇｉｎｌｉｇｈｔｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ．Ａｎｅｆｆｉｃｉｅｎｔｎｕｍｅｒｉｃａｌ

ａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｃｏｍｐｕｔｉｎｇｔｈｅｌｉｇｈｔｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｂｙａ

ｃｏａｔｅｄｓｐｈｅｒｅＷａｓ

１

ｐｒｏ－Ｍｉｅ散射基本理论

ｐｏｓｅｄ．Ｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ

ｏｆｒｅｌｅｖａｎｔｆｕｎｃｔｉｏｎｓｂｙｄｉｆｆｅｒｅｎｔｒｅｃｕｒｒｅｎｃｅ

ａｌｇｏ—

ｆｉｔｈｍｓＷａｓｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｔｈｅｎｅｗ

ａｌｇｏｒｉｔｈｍａｖｏｉｄｅｄｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｄｉｆｆｉｃｕｌ－

根据Ａｄｅｎ－Ｋｅｒｋｅｒｔ４Ｊ理论。Ｂｏｈｒｅｎ和Ｈｕｆｆｉｎａｎ［５］

ｔｉｅｓ，ｗｈｉｃｈ

ｇａｖｅ

ｒｉｓｅｔｏ

ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ

ｅｒｒｏｒｓ

ｅｎｃｏｕｎｔｅｒｅｄ

ｉｎｐｒａｃｔｉｃｅｂｙｐｆｉ—

给出了双层球形颗粒的Ｍｉｅ散射系数的表达式

ｏｒ

ｍｅｔｈｏｄｓ．Ｔｈｅｅｘｅｍｐｌｉ研ｎｇｒｅｓｕｌｔｓ

ｓｕｃｈａｓ

ｅｘｔｉｎｃｔｉｏｎ

ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ，ｓｃａｔ－

ｔｅｒｉｎｇｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ

ａｎｄ

ａｂｓｏｒｂｉｎｇｓｃａｔｔｅｒｉｎｇａｓｗｅｌｌ

ａｓ

ｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓｐｅｅｄ，，一砂。＠．）【吵。７（ｍ．Ｏ／。）一Ａ以’（ｍ。Ｏ／。）卜—。

ｗｅｒｅｐｒｏｖｉｄｅｄ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｉｓａｌｇｏｒｉｔｈｍ

ｉｓｅｆｆｉｃｉｅｎｔ，ｆａｓｔ，ｎｕ・

“ｎ一氰葡瓯丽瓦Ｆ甄知丽一

ｍｅｒｉｃａｌｌｙｓｔａｂｌｅａｎｄ

ａｃｃｕｒａｔｅ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｏａｔｅｄｓｐｈｅｒｅ；Ｍｉｅ

ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ；ｎｕｍｅｒｉｃａｌ

ａｌｇｏｒｉｔｈｍ

＋一竺丝！！坚！！！丝』竺！！立二垒当！竺！！！塑

ｍＪ毛。’【０１１）【沙。∽ｌａ一—以，以∽ｌＯｔｌ）Ｊ

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ｆｎ随着现代科学技术的Ｅｌ益进步和发展。在自然易：竺！坐』竺！！坠』竺！！立二皇墨善竺！！！塑！二一界、工业生产、科学研究、环保以及日常生活等各个

“，ｎ苦。【０【１）【妒。’【ｍｌ仅１）一矗以‘（ｍｌｏｔ．１）］一

收稿日期：２００６一ｌｌ—１６，修回日期：２００８—０１—０４。基金项目：上海市教委资助项目．编号：０７ＺＺ８８。

卜装糕器鞣瓣

￡’（ｄ１）眇。（ｍｌｄｌ）一Ｂ以（ｍｌ０【１）］

∽

”７

第一作者简介：刘蕾（１９８２一），女，硕士．从事光与物质相互作用研究。Ｅ．ｍａｉｌ：’ｈａｎｙｕｅｆｕｑｕ０５５５＠ｓｏｈｕ．ｔｏｍ。通讯联系人：沈建琪：Ｅ－ｍａｉｌ：ＡＦ竺！生』竺坚！型！竺墨！上竺型尘尘竺竺遗！』竺塑（３）

ｓｈｅｎｊｑ＠ｏｎｌｉｎｅ．ｓｈ．ｃｎｏ

Ｂ．－－型坐型蝼坐坦坐堕咝塑盟（４）

ｍｌ彪７（ｍｌｏＱ／，。（＂％ｄ２）一ｍ妒。’（ｍ２仅２）】以（ｍｌｄ２）

式中，ｍ。、ｍ：分别为外层和内核的折射率；ａ，、ａ，分别为相应的无因次粒径参量；妒。（ｚ）、疋。（ｚ）、孝。（ｚ）是Ｒｉｃｃａｔｉ—Ｂｅｓｓｅｌ函数，它们的表达式分别为

北）＝、／号。■（ｚ），以（ｚ）＝、／孚‘Ⅳ肿｛（ｚ），￡（ｚ）＝、／詈倒２乙；（ｚ）。

其中，Ｊ１（ｚ）、Ｎ。（ｚ）、日（∞，（ｚ）分别是第一类、第二

”Ｔ

”丁

”Ｔ

类半整数阶Ｂｅｓｓｅｌ函数和第二类半整数阶Ｈａｎｋｅｌ函数．满足

日∞。（ｚ）可ｌ（ｚ）一ｆⅣｌ（ｚ），￡（ｚ）却。（ｚ）ｑ以（ｚ）。”÷”÷Ｍ÷

这里需要特别指出．本文选择第二类Ｈａｎｋｅｌ函

数来表达￡（ｚ），则对应的颗粒的折射率虚部取负值；

在有些文献中采用了第一类Ｈａｎｋｅｌ函数。这时折射

率虚部应取正值。我们用‘（ｚ）来表示砂。（ｚ）、以（ｚ）、

　手。（ｚ）这３个函数中任意一个函数，则存在如下递推关系式［ｑ

Ｃ（ｚ）＝竺等ＬＥ一．（ｚ）一Ｃ一：（ｚ）

（５）Ｃ’（ｚ）＝Ｃ一。（ｚ）一导Ｃ（ｚ）

（６）

Ｒｉｃｃａｔｉ—Ｂｅｓｓｅｌ函数的初始值分别为ｌｐｏ（Ｚ）＝ｓｉｎ

Ｚ，

砂０７（ｚ）＝ｅｏｓＺ，Ｘｏ（ｚ）＝ｃｏｓｚ，肋７（ｚ）＝ｓｉｎｚ，亭ｏ（ｚ）＝ｓｉｎｚ＋ｉｃｏｓｚ，昴７（ｚ）＝ｃｏｓｚ－ｉｓｉｎｚ。

Ｂｏｈｒｅｎ和Ｈｕｆｆｉｎａｎ给出了计算双层球形颗粒的Ｍｉｅ散射系数的计算程序［５１，他们采用了循环算法。但在实际计算过程中遇到一些数值计算方面的问题。首先，直接用Ｂｏｈｒｅｎ和Ｈｕｆｆｍａｎ给出的程序进行计算会导致计算失败。这是由于在计算某些阶数时公式（５）、（６）中两项相减的差值较小，使得所得计算结果的有效位数减少或者消失从而导致很大误差；另外，当自变量是大的复数时，Ｂｃｓｓｅｌ函数会按照指数形式增大．甚至超出计算机的数值范围同。近年来有不少学者【６～ｌＳｌ对Ｍｉｅ散射系数的计算提出了不同的改进算法。然而有关双层球形颗粒的Ｍｉｅ散射系数的计算仍存在一些问题，且缺乏系统的研究和

１２窿翌圆２００８鹎ｇ

１期

数据上的比照。因此，本文对双层球形颗粒Ｍｉｅ散射系数提出一种有效算法。

３

改进的Ｍｉｅ散射系数计算方法

首先可以引入几个与Ｒｉｃｃａｔｉ—Ｂｅｓｓｅｌ函数相关

的变量，对这几个变量分别选择适合的递推公式。

（１）厶Ｉ（ｚ）变量

蚴＝铬

计算表明：当变量ｚ为实数和复数时．采用向下递推的方法来计算厶（ｚ）是稳定的，可以得到合理的结果［６＂１０，１¨司。

ｕ力ｉｎ一面１

‘８’

下推法的初始值Ｌ’（ｚ）可用Ｌｅｎｔｚ的连分式方

法…】进行求解，其中ｒｌ’的选取将在下文中介绍。

（２）帐ｚ）变量

眯）＿错

尽管Ｍ（ｚ）的递推关系与厶。（ｚ）一致，但其初始值不同，故下推法和Ｌｅｎｔｚ连分式法失败。计算表明：当变量Ｚ为实数或复数时。采用向上递推的方法计算

似ｚ）是稳定的，可得到合理的结果【嘲。

似ｚ）一号＋ｉＬ‘导吨一。（ｚ）

（１ｏ）

‘，

当折射率的虚部取负值时，初始值取Ⅳ０（ｚ）＝一ｉ。

当阶数ｎ很大时，眦ｚ）趋向于一“ｚ）。

（３）％（ｚ）变量

％（ｚ）＝豁

…）

经过代换，可以用（１）、（２）中计算得到的Ｌｎ（ｚ）和

似ｚ）来表示％（ｚ）的递推关系，并采用上推法来计算

坛（ｚ）：

坛（ｚ）虮（ｚ）・糌

（１２）

』■

Ｉ＜．，一，‘，＜．

其初始值为似ｚ）＝ｓｉｎｚ＋ｉｃｏｓｚ。

需要注意的是：实际计算中，当变量ｚ为实数时

护ｚ）时，Ｍ翱的模随着阶数，ｌ的增大快速减小。利用

这个特性可以决定Ｍｉｅ散射计算的最高阶数［ｏｑ。对于

帆（ｚ）的模有界，其值小于ｌ。而且当阶数ｎ足够大

ｎ）４１（

凳嚣稳然’乎村耕黜Ⅲ微躲灿“

和６。的最高阶数’：

‰ｚ２）＝糕

／ｇ／（Ｚｌｎ

，

．ｆ．１ａ。嘲～ｌ鸠＠１）Ｊ＜１“２

＂三１＝：雾０Ｉ＋．３２４“１］鸠Ｍ“＠（ａ训Ｏ［＜。ｌｅ一－屹１８

蜴

…、

‘谅薪葫硫；再布（ＩＩｄ－＋４ａ：厅＋１

Ｉ必＠，）ｌ＜１ｅ一６【ｄ。“．８８２３１

ｌＭ＠・）Ｉ＜ｌｅ一５

，．Ｇ经（Ｚｌ过，Ｚ２代）＝换Ｑ．，－可ｌ（ｚ以１．ｚ得２）鼍一。５，

５）

其初始值为ａｏ（ｚ－，ｚ２）＝１ｌ＋＋ｉｉｃｃｏ。ｔｔ（（ｚｚ了１）。文献同指出：无论

变量ｚ。和ｚ２是实数还是复数，只要满足ＩＺｌ［＞ｌｚ２Ｉ，则随

吒以＠Ｊ而而赢磊≤篡磊薷赢ａ６’

矧‰，、阶驴ｍＭ）］＋Ｑ（ｍｌｏｔＩ．ｍｌ哟砸ｍ，Ｌ面（ｍ２０ｔ历２）－ｍ丽２Ｌ．（ｍ而，ｏｔ２）呲（％）吨（％ｄｚ）】

ｒ㈤

能＠ｐ而磊赢鬲两纛蕻嚣磊ｑ７’

［Ｌ（ｍ－ａ一）一ｍ－Ｍ＠－）］＋Ｑ。（ｍ－ａｔ，ｍ－Ｑｚ）｛；高等丢三篝三害寿；ｉｉ三警［ｍ－Ｍ（ｄ－）—以（ｍ－ａ・）】

㈦Ｍ，、［，，ｚ・撕ａ・）一地）心（ｍｌｏｔｌ，ｍｌｏｔ２）面ｍ２Ｌ两（ｍｚＯ而ｔ２）－ｍ瓣，Ｌ（ｍ丽，ｏＱ［讹）一ｍ－Ｍ（ｍ，ａｔ）】

ｍ、

Ｍ－Ｌ仰，ａ・）一Ｍ＠・）】＋Ｑ沏－ａ・，ｍ，０１：）三掌篙三鼍素焉篙三篝［Ｍ（ａ－）一ⅢｚＭ∞・ａ・）１

１０最口ｍｌ＝ｍ２时，公式（１６）、（１７）退化为如Ｆ彤式

ｒＥ

：１

口。以㈨筹揣（１８）

即Ｍｉｅ散射系数表征一个折射率和粒径无因次参量易。堋ａ．）差渊

（１９）

分别为ｍ，和ｏｔＩ的单层均质球形颗粒网。

另一个特殊情况是：当颗粒外层的折射率，，１１＝１时，Ｍｉｅ散射系数可简化为：

图１

自变量分别为实数和复数时．１厶‘撇。）｜’ｌＵＩ，ｎａｌ）Ｉ、ＩＭ』ｍａｌ）Ｉ和

铲蚺：，畿骞蔫器

ｃｚｏ，

ＩＱ．（ｍａ。），（，舭圳的数值计算结果

Ｆｉｇ．１

ＮｕｍｅｒｉｃａｌｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｏｆｌＬ。（ｍａｌ）卜ｌ／ＶＩｍａｌ）Ｉ、ｌＭ。（ｍａＩ）ｌ和

㈣，

ｌｔ２Ｊｌ（ｍａｌ，ｍａ２）Ｉ

吃堋呦裂薏末器

图１分别给出Ｏｔ．＝８０和ｏｔ２＝６０时，变量ＩＬ岫．）ｌ、

相当于一个折射率和粒径无因次参量分别为ｍ２和％

的单层均质球形颗粒的Ｍｉｅ散射系数。眠（，舢。）Ｉ、ＩＭ。（ｍａ，）Ｉ和ＩＱ。（ｍａ。，，煅２）ｌ的数值计算结

果。只要分别计算出这４个变量，就能计算出Ｍｉｅ散４

计算实・例

射系数。由于采用了合适的递推关系．可对任意大小的吸收性或透明颗粒进行Ｍｉｅ系数计算。

有些学者【捌已对Ｒｉｃｃａｔｉ．Ｂｅｓｓｅｌ函数相关的几个

在数值计算之前。讨论一下双层球形颗粒光散变量进行了详细的讨论，但只是针对非吸收性颗粒射的两个特殊情况。当颗粒内外层的折射率相等时．

或弱吸收性颗粒情况；对强吸收性大颗粒并没有作

１３

表ｌ与Ｒｉｃｃａｔｉ—Ｂｃｓｓｅｌ函数相关的几个变量Ｌ，如）、＾“ｚ）、＾“ｚ）的数值对照

Ｔａｂ．１

Ｎｕｍｅｒｉｃａｌｃｏｍｐａｒｉｏｎｏｆ￡Ｊｚ）、＾“ｚ）、Ｍ』ｚ）ｒｅｌａｔｅｄ

ｔｏ

Ｒｉｃｃａｔｉ—Ｂｅｓｓｅｌｆｕｎｃｔｉｏｎ

厶（ｚ）

Ｍ（ｚ）＾以（ｚ）

Ｗ．Ｙａｎｇ

本文方法

Ｗ

Ｙａｎｇ

本文方法Ｗ．Ｙａｎｇ本文方法（Ｏ．１１４４９Ｅ一１５，

（１．０５８１８Ｅ．１６．

（Ｏ．０００００，（０．０００００，

（Ｏ．１１５３３Ｅ＋６９，（・１．５３０５９Ｅ＋６９，

。

－－０．１００００Ｅ＋ＯＩ）１．０００００

０．１００００Ｅ＋Ｏｎ

一１．０００００）

－０．１５３０６Ｅ＋７０）

１．１５３２８Ｅ＋６８）

充分的讨论。表１列出了无因次参量ａ＝８０，折射率ＣＰＵ计算时间ｆ在２．４０ＧＨｚＰ４计算机上用ＶＣ＋＋６．０

，，ｌ＝１．０５一ｆ情况下．采用本文算法计算出的各变量数编程）以及消光系数比和吸收系数‰的计算结

值。并与Ｗ．Ｙａｎｇ明的数值进行对照。

果，并与ＯｗｅｎＢ．Ｔｏｏｎ和Ｔ．Ｐ．Ａｃｋｅｒｍａｎｌｌ３１（Ｔ．Ａ）所从表１中可以看出，当阶数ｎ比较大时，厶（ｚ）与

得结果相比较。可以看出，ａ。＜１００时，（Ｔ—Ａ）方法的运Ｍ（ｚ）正好相反，而ｌ坛（ｚ）ｌ的数值一直比较大。由于

算速度略快于本文方法；而ａ，≥１００时，本文方法比Ｗ．Ｙａｎｇ采用的折射率虚部取正值。得到的虚部与本

（Ｔ—Ａ）方法快。从表２还可看出，两种方法计算得到　

文方法得出的结果相差一个负号。眠（ｚ）向上递推的

的消光系数、吸收系数是完全一致的。

初始值与本文的不同．得到的实部和虚部也与本文表３为双层球形颗粒外层和内层折射率分别为正好相反。当ｎ比较大时，两种方法得到的厶（ｚ）和ｍ１＿１．１—０．５ｉ，ｍ２＝１．２—０．“，外层和内层粒径无因次参

Ｍｎ（ｚ）数值差别比较大，这是因为厶（ｚ）对作向下递推量分别为ａ．＝１２，ｄ：＝１０时本文得出的ｋ，如，‰

计算，Ｗ．Ｙａｎｇ采用了从零近似出发，而我们采用连计算结果，并与解析解以及ＷｅｎｂｏＳｕｎ等人的有限分式方法．显然本文的结果更加准确。此外还需要指

差分时域法（ＦＤＴＤ）所得到的结果相比较［２１】。可以看出，坛（ｚ）的计算结果在文献７中虚部和实部颠倒（本

出，计算结果比ＦＤＴＤ结果更加准确，与解析解是一文在引用时没作纠正）。

致的。

表２为双层球形颗粒外层和内层折射率分别为表３

消光系数也、散射系数ｋ和吸收系数ｋ的计算结果比较

ｍｌ＝１．３３。ｍ２＝１．５９—０．６６ｉ，且仅２＝Ｏ．５时本文方法给出的

１ａｂ．３

ＣａｌｃｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｏｆＫｍ。Ｋ。ａｎｄ

Ｋｈ

表２计算所需ＣＰＵ时间及消光系数珊散射系数Ｊ乙计算结果比较

Ｔａｂ上ＣＰＵｔｉｍｅａｎｄｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ

ｒｅｓｕｌｔｓｏｆ丘。ａｎｄ墨。

ｌ

９．４６Ｅ．０５１．１６Ｅ．０４

０．３６６０４３

０．３６６０４３Ｏ．１２４０２７０．１２４０２７１０２．００Ｅ．０４

２．６７Ｅ．０４２．２１０２９ｌ２．２１０２９ｌ

２．２０６７６２２．２０６７６２５

结论

４０５．１８Ｅ．０４６．３４Ｅ．０４１．９８７７６２１．９８７７６２１．９８７５７６１．９８７５７６７０９．６４Ｅ．０４９．９３Ｅ．０４

２．０２１４２４

２．０２１３４４２．０２１３４４本文对双层球形颗粒的Ｍｉｅ散射数值计算提出

１００１．３９Ｅ．０３１．３０Ｅ．０３

２．１０１０５２２．１０１０５２

２．１０１０１３２．１０ｌＯｌ３一种新的方法，采用Ｌ（ｚ）、Ｍ（ｚ）、％（ｚ）和Ｑ（ｚ．，ｚ２）来

５００

６．２４Ｅ一０３

５．１ｌＥ－０３２．０３０３７２２．０３０３７２２．０３０３７ｌ２．０３０３７ｌ重构Ｍｉｅ散射系数ａ。和ｂ∥对Ｌｎ（Ｚ）、Ｍ（ｚ）、％（ｚ）和

１０００１．２０Ｅ．０２９．７６Ｅ－０３２．０１６５７９２．０１６５７９２．０１６５７８２．０１６５７８北。，ｚ２）的计算根据各自的规律分别选用相应的递推

５０００５．７０Ｅ．０２

４．５０Ｅ－０２２．００５７３６２．００５７３６

２．００５７３６

关系：／４ｚ）的计算采用向下递推法，其初始值由Ｌｅｎｔｚ

１４

连分式方法得到；Ｍ（ｚ）、帆（ｚ）和ａ。（ｚ。，ｚ２）由向上递推

法进行计算。数值计算表明．这些递推关系在整个计算范围内是稳定、可靠的。所得结果与前人的工作相符。同时采用的方法也比前人的方法更加简便，因此具有较快的计算速度。参考文献（Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ）：

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ｓｐｈｅｒｅｂｙｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙ・ｅｌｅｍｅｎｔ

ＡＩ

ａ

［１

０】ＤＡＶＥＪ

Ｖ．ＣｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓｏｆｔｈｅＬｅｇｅｎｄｒｅａｎｄＦｏｕｒｉｅｒｓｅｒｉｅｓｆｏｒｔｈｅ

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Ｔ

Ｈ

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Ｄ

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Ｌｉｇｈｔ

ＡＲ

ＥｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃＳｃａｔｔｅｒｉｎｇａｎｄＩｔｓＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．

【５】ＢＯＨＲＥＮＣＦ，ＨＵＦＦＭＡＮ

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ｓｅｃｔｉｏｎｓｉｎ

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［７】ＹＡＮＧＷ．Ｉｍｐｒｏｖｅｄｒｅｃｕｒｓｉｖｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｌｉｇｈｔｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｂｙ

ｔｉｌａｙｅｒｅｄｓｐｈｅｒｅ［Ｊ］．Ａｐｐｌ

ａ

ｍｕｌ—

【２０】ＷＵＺ，ＧＵＯＬ，ＰＥＮＫ，ｅｔａ１．Ｉｍｐｒｏｖｅｄａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｅｌｅｅｔｒｏｍａｇ・

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Ｏｐｔ，２００３。４２：１７１０—１７２０（２００３）．

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Ｓｐｈｅｒｅｓ［Ｊ］．Ａｐｐｌｏｐｔ，１９９７．３６：５１８８—５１９８．

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Ｃｅｎｔｅｒ，ＰａｌｏＡｌｔｏ，Ｃａｌｉｆ，１９６８）．

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Ｄｅｖ，１９６９，１３：３０２—３１３．

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ＲａｄｉａｔｉｖｅＴｒａｎｓｆｅｒ，２００４，８３：４８３－４９２．

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插七２００８年中国国际粉体技术装备展览会插八２００８中国国际非金属矿工业大会暨展览会

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第四届罔际粉体工业及散装技术（青岛）展览会

封面闽西丰力粉碎机械有限公司

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封二辽宁仪表研究所有限责任公司封三福建龙岩市亿丰粉碎机械有限公司封闪

丹东市百特仪器有限公司

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插五绵阳流能粉体设备有限公司插六济南微纳仪器有限公司

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插七２００８北京粉体周

１５

双层球形颗粒的光散射计算

作者：作者单位：

刘蕾，王华睿，于彬，许亚敏，沈建琪， LIU Lei， WANG Hua-rui， YU Bin， XU Ya-min ， SHEN Jian-qi

刘蕾,LIU Lei(安徽工业大学数理学院,安徽,马鞍山,243002;上海理工大学,理学院,上海,200093) ，王华睿,WANG Hua-rui(上海理工大学,理学院,上海,200093;徐州师范大学物理与电子工程学院,江苏,徐州,221116)，于彬,许亚敏,沈建琪,YU Bin,XU Ya-min,SHENJian-qi(上海理工大学,理学院,上海,200093)中国粉体技术

CHINA POWDER SCIENCE AND TECHNOLOGY2008，14(1)0次

刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

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