必修四_任意角与弧度制__知识点汇总(教师版)

任意角与弧度制 知识梳理:

一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广

定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成了角，记作：角或 可以简记成。 2、角的分类：

由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。

正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 3、 “象限角”

为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴。

角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角

角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 例1、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= （填序号）. ①{小于90°的角} ③ {第一象限的角}

②{0°～90°的角}

④以上都不对

（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、 C关系是（ ）

A．B=A∩C B．B∪C=C

C．AC

D．A=B=C

4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角：

（1）终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与k(kZ)个周角的和。 （2）所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合

S|k360,kZ



即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和 注意：

1、kZ 2、是任意角

3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。

4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。 例1、（1）若角的终边与

8

角的终边相同，则在0,2上终边与的角终边相54

同的角为 。

（2）若和是终边相同的角。那么在

例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： （1）210； （2）148437． 例3、求，使与900角的终边相同，且180，1260． 2、终边在坐标轴上的点：

终边在x轴上的角的集合： |k180,kZ 终边在y轴上的角的集合：|k18090,kZ 终边在坐标轴上的角的集合：|k90,kZ 3、终边共线且反向的角：

终边在y=x轴上的角的集合：|k18045,kZ 终边在yx轴上的角的集合：|k18045,kZ 4、终边互相对称的角：

若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：360k 若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：360k180 若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：180k 角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：360k90 例1、若k360，m360(k,mZ)则角与角的中变得位置关



系是（ ）。

A.重合 B.关于原点对称 C.关于x轴对称 D.有关于y轴对称 二、弧度与弧度制 1、弧度与弧度制：

弧度制—另一种度量角的单位制， 它的单位是rad 读作弧度 定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

B C l=2r

2rad

r

A

如图：AOB=1rad ，AOC=2rad ， 周角=2rad 注意：

1、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 2、角的弧度数的绝对值 

l

（l为弧长，r为半径） r

3、用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。

4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。

2、角度制与弧度制的换算

弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度 角度与弧度的互换关系：∵ 360= rad 180= rad

180

rad0.01745rad 1rad ∴ 1=57.305718' 180注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.

3

例1、 把6730'化成弧度例 例2、 把rad化成度

5





例3、将下列各角从弧度化成角度 （1）

3

rad （2）2.1 rad （3） rad 365

11

lRr2 22

3、弧长公式和扇形面积公式

lr ； S

练习题

一、选择题

1、下列角中终边与330°相同的角是（ ）

A．30° B．-30° C．630° D．-630°

2、把－1485°转化为α＋k²360°（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是 （ ） A．45°－4³360°B．－45°－4³360°C．－45°－5³360°D．315°－5³360° 3、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ） A．｛α∣90°

B．｛α∣90°＋k²180°

Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B．第一象限的角必是锐角 C．不相等的角终边一定不同D．

|k36090,kZ=|k18090,kZ









5、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（ ） A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C

6、在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中，属于第二象限的角是( )

A.① B.①② C.①②③ D.①②③④ 7、若α是第一象限的角，则-



是( ) 2

A.第一象限的角 B.第一或第四象限的角 C.第二或第三象限的角 D.第二或第四象限的角 8、下列结论中正确的是( )

A.小于90°的角是锐角 B.第二象限的角是钝角 C.相等的角终边一定相同 D.终边相同的角一定相等 9、集合A={α｜α=k²90°,k∈N+}中各角的终边都在( )

A.x轴的正半轴上 B.y轴的正半轴上

C.x轴或y轴上 D.x轴的正半轴或y轴的正半轴上 10、α是一个任意角，则α与-α的终边是( )

A.关于坐标原点对称 B.关于x轴对称C.关于直线y=x对称D.关于y轴对称

11、集合X={x｜x=(2n+1)²180°,n∈Z}，与集合Y={y｜y=(4k±1)²180°,k∈Z}之间的关系是( )

A.XØY B.XÙY C.Ｘ=Y D.X≠Y 12、设α、β满足-180°＜α＜β＜180°，则α-β的范围是( )

A.-360°＜α-β＜0° B.-180°＜α-β＜180° C.-180°＜α-β＜0° D.-360°＜α-β＜360° 13、下列命题中的真命题是 （ ）

A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角

B．第一象限的角是锐角

C．第二象限的角比第一象限的角大 D．角α是第四象限角的充要条件是2kπ－



＜α＜2kπ(k∈Z) 2

14、设k∈Z，下列终边相同的角是 （ ）

A．（2k+1）²180°与（4k±1）²180° B．k²90°与k²180°+90° C．k²180°+30°与k²360°±30° D．k²180°+60°与k²60° 15、已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是

A．2

B．

（ ）

2

sin1

C．2sin1 D．sin2

16、设角的终边上一点P的坐标是(cos

A．



,sin)，则等于 （ ） 55

B．cot





5

310



5

C．2k(kZ) D．2k

95

(kZ)

（ ）

D．以上都不对

17、若90°＜－α＜180°，则180°－α与α的终边

A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 18、设集合M={α|α=

k

，k∈Z}，N={α|－π＜α＜π}，则M∩N等于 （ ） 

374

,A．{－,} B．{－}

37437

,,,C．{－,} D．{ } 10001

19、“sinA”“A=30º”的 （ ）

2

A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

（ ）

20、中心角为60°的扇形，它的弧长为2，则它的内切圆半径为

A．2

B．3

C．1

D．

3 2

k

21、设集合M={α|α=kπ±，k∈Z}，N={α|α=kπ+(－1)，k∈Z}那么下列结论中正



确的是 A．M=N 二、填空题

B．MN

C．NM

（ ）

D．MN且NM

22、若角α是第三象限角，则



角的终边在 . 2

23、与－1050°终边相同的最小正角是. 24、已知是第二象限角，且|2|4,则的范围是

任意角的三角函数练习题

一、选择题

1. 设角属于第二象限，且cos



2

cos



2

，则



角属于（ ）2

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

sin

2. 给出下列各函数值：①sin(10000)；②c④os(22000)；③tan(10)；

7

cos. 17tan

9

其中符号为负的有（ ）

A. ① B. ② C. ③ D. ④3.

sin21200等于（ ）

A. 

1 B. C.  D.

2222

4. 已知sin

4

，并且是第二象限的角，那么tan的值等于（ ）54334

A.  B.  C. D.

4334

5π3π

5．若θ∈（ ，）1－2sinθcosθ 等于

42

A.cosθ－sinθ

C.sinθ－cosθ

B.sinθ＋cosθ D.－cosθ－sinθ

1

6．若tanθ＝ ，则cos2θ＋sinθcosθ的值是

3

6A.－

5

44

B.－ C.

55

6

D.

5

二、填空题

1. 设分别是第二、三、四象限角，则点P(sin,cos)分别在第___、___、___象限. 2. 设MP和OM分别是角

17

的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：18

①MPOM0；②OM0MP； ③OMMP0；④MP0OM， 其中正确的是_____________________________.

3．若角α的终边在直线y＝－x上，则

sinsin2



cos2

＝ .

cos

4．使tanx－

1

有意义的x的集合为 . sinx

α4α

5．已知α是第二象限的角，且cos＝－ ，则 是第.

252

三、解答题

1. 已知tan1722

是关于x的方程xkxk30的两个实根，且3，

2tan

求cossin的值.

m－n

2. 设cosθ＝（m＞n＞0)，求θ的其他三角函数值.

m＋n

3．证明(1)

1＋2sinθcosθ1＋tanθ

＝

cosθ－sinθ1－tanθ

(2)tan2θ－sin2θ＝tan2θsin2θ

4. 已知sinxcosxm,(m

3

3

4

2,且m1)，

4

求（1）sinxcosx；（2）sinxcosx的值.

任意角与弧度制 知识梳理:

一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广

定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成了角，记作：角或 可以简记成。 2、角的分类：

由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。

正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 3、 “象限角”

为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴。

角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角

角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 例1、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= （填序号）. ①{小于90°的角} ③ {第一象限的角}

②{0°～90°的角}

④以上都不对

（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、 C关系是（ ）

A．B=A∩C B．B∪C=C

C．AC

D．A=B=C

4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角：

（1）终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与k(kZ)个周角的和。 （2）所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合

S|k360,kZ



即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和 注意：

1、kZ 2、是任意角

3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。

4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。 例1、（1）若角的终边与

8

角的终边相同，则在0,2上终边与的角终边相54

同的角为 。

（2）若和是终边相同的角。那么在

例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： （1）210； （2）148437． 例3、求，使与900角的终边相同，且180，1260． 2、终边在坐标轴上的点：

终边在x轴上的角的集合： |k180,kZ 终边在y轴上的角的集合：|k18090,kZ 终边在坐标轴上的角的集合：|k90,kZ 3、终边共线且反向的角：

终边在y=x轴上的角的集合：|k18045,kZ 终边在yx轴上的角的集合：|k18045,kZ 4、终边互相对称的角：

若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：360k 若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：360k180 若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：180k 角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：360k90 例1、若k360，m360(k,mZ)则角与角的中变得位置关



系是（ ）。

A.重合 B.关于原点对称 C.关于x轴对称 D.有关于y轴对称 二、弧度与弧度制 1、弧度与弧度制：

弧度制—另一种度量角的单位制， 它的单位是rad 读作弧度 定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

B C l=2r

2rad

r

A

如图：AOB=1rad ，AOC=2rad ， 周角=2rad 注意：

1、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 2、角的弧度数的绝对值 

l

（l为弧长，r为半径） r

3、用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。

4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。

2、角度制与弧度制的换算

弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度 角度与弧度的互换关系：∵ 360= rad 180= rad

180

rad0.01745rad 1rad ∴ 1=57.305718' 180注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.

3

例1、 把6730'化成弧度例 例2、 把rad化成度

5





例3、将下列各角从弧度化成角度 （1）

3

rad （2）2.1 rad （3） rad 365

11

lRr2 22

3、弧长公式和扇形面积公式

lr ； S

练习题

一、选择题

1、下列角中终边与330°相同的角是（ ）

A．30° B．-30° C．630° D．-630°

2、把－1485°转化为α＋k²360°（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是 （ ） A．45°－4³360°B．－45°－4³360°C．－45°－5³360°D．315°－5³360° 3、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ） A．｛α∣90°

B．｛α∣90°＋k²180°

Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B．第一象限的角必是锐角 C．不相等的角终边一定不同D．

|k36090,kZ=|k18090,kZ









5、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（ ） A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C

6、在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中，属于第二象限的角是( )

A.① B.①② C.①②③ D.①②③④ 7、若α是第一象限的角，则-



是( ) 2

A.第一象限的角 B.第一或第四象限的角 C.第二或第三象限的角 D.第二或第四象限的角 8、下列结论中正确的是( )

A.小于90°的角是锐角 B.第二象限的角是钝角 C.相等的角终边一定相同 D.终边相同的角一定相等 9、集合A={α｜α=k²90°,k∈N+}中各角的终边都在( )

A.x轴的正半轴上 B.y轴的正半轴上

C.x轴或y轴上 D.x轴的正半轴或y轴的正半轴上 10、α是一个任意角，则α与-α的终边是( )

A.关于坐标原点对称 B.关于x轴对称C.关于直线y=x对称D.关于y轴对称

11、集合X={x｜x=(2n+1)²180°,n∈Z}，与集合Y={y｜y=(4k±1)²180°,k∈Z}之间的关系是( )

A.XØY B.XÙY C.Ｘ=Y D.X≠Y 12、设α、β满足-180°＜α＜β＜180°，则α-β的范围是( )

A.-360°＜α-β＜0° B.-180°＜α-β＜180° C.-180°＜α-β＜0° D.-360°＜α-β＜360° 13、下列命题中的真命题是 （ ）

A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角

B．第一象限的角是锐角

C．第二象限的角比第一象限的角大 D．角α是第四象限角的充要条件是2kπ－



＜α＜2kπ(k∈Z) 2

14、设k∈Z，下列终边相同的角是 （ ）

A．（2k+1）²180°与（4k±1）²180° B．k²90°与k²180°+90° C．k²180°+30°与k²360°±30° D．k²180°+60°与k²60° 15、已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是

A．2

B．

（ ）

2

sin1

C．2sin1 D．sin2

16、设角的终边上一点P的坐标是(cos

A．



,sin)，则等于 （ ） 55

B．cot





5

310



5

C．2k(kZ) D．2k

95

(kZ)

（ ）

D．以上都不对

17、若90°＜－α＜180°，则180°－α与α的终边

A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 18、设集合M={α|α=

k

，k∈Z}，N={α|－π＜α＜π}，则M∩N等于 （ ） 

374

,A．{－,} B．{－}

37437

,,,C．{－,} D．{ } 10001

19、“sinA”“A=30º”的 （ ）

2

A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

（ ）

20、中心角为60°的扇形，它的弧长为2，则它的内切圆半径为

A．2

B．3

C．1

D．

3 2

k

21、设集合M={α|α=kπ±，k∈Z}，N={α|α=kπ+(－1)，k∈Z}那么下列结论中正



确的是 A．M=N 二、填空题

B．MN

C．NM

（ ）

D．MN且NM

22、若角α是第三象限角，则



角的终边在 . 2

23、与－1050°终边相同的最小正角是. 24、已知是第二象限角，且|2|4,则的范围是

任意角的三角函数练习题

一、选择题

1. 设角属于第二象限，且cos



2

cos



2

，则



角属于（ ）2

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

sin

2. 给出下列各函数值：①sin(10000)；②c④os(22000)；③tan(10)；

7

cos. 17tan

9

其中符号为负的有（ ）

A. ① B. ② C. ③ D. ④3.

sin21200等于（ ）

A. 

1 B. C.  D.

2222

4. 已知sin

4

，并且是第二象限的角，那么tan的值等于（ ）54334

A.  B.  C. D.

4334

5π3π

5．若θ∈（ ，）1－2sinθcosθ 等于

42

A.cosθ－sinθ

C.sinθ－cosθ

B.sinθ＋cosθ D.－cosθ－sinθ

1

6．若tanθ＝ ，则cos2θ＋sinθcosθ的值是

3

6A.－

5

44

B.－ C.

55

6

D.

5

二、填空题

1. 设分别是第二、三、四象限角，则点P(sin,cos)分别在第___、___、___象限. 2. 设MP和OM分别是角

17

的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：18

①MPOM0；②OM0MP； ③OMMP0；④MP0OM， 其中正确的是_____________________________.

3．若角α的终边在直线y＝－x上，则

sinsin2



cos2

＝ .

cos

4．使tanx－

1

有意义的x的集合为 . sinx

α4α

5．已知α是第二象限的角，且cos＝－ ，则 是第.

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三、解答题

1. 已知tan1722

是关于x的方程xkxk30的两个实根，且3，

2tan

求cossin的值.

m－n

2. 设cosθ＝（m＞n＞0)，求θ的其他三角函数值.

m＋n

3．证明(1)

1＋2sinθcosθ1＋tanθ

＝

cosθ－sinθ1－tanθ

(2)tan2θ－sin2θ＝tan2θsin2θ

4. 已知sinxcosxm,(m

3

3

4

2,且m1)，

4

求（1）sinxcosx；（2）sinxcosx的值.