第19卷 第6期
2003年12月德州学院学报Journal of Dezhou University V ol. 19N o. 6Dec. 2003
文章编号:1004-9444(2003) 06-0025-03
常微分方程中的齐次化原理与G reen 函数
阿布力米提. 阿布都热衣木
(西北大学数学系, 陕西西安 710069)
摘 要:, 函数. 关键词:齐次化原理,G reen 函数,Wronsky 行列式中图分类号:O17S 11 文献标识码:A
1 设y 1() , 2, n 阶齐次线性微分方程
n
i =0
∑
n -i P i (x ) =f (x ) (其中P 0(x ) =1)
dx n -i
(1)
相应齐次方程的基本解组, 那么我们通过常数变易法得到(1) 的解的表达式
T
y =[y 1(x ) , y 2(x ) , …y n (x ) ][c 1, c 2, …c n ]其中 [c 1, c 2, …, c n ]T =Wronsky 行列式.
(2)
∫
Y [0, 0, 0, …, 0, f (x ) ]dx , 而且Y 是由y 1(x ) , y 2(x ) , …, y n (x ) 组成的
-1T
下面求(1) 的一个特解.
第一步:引入参数ζ, 求下面的齐次线性微分方程初值问题
n i =0
∑P (x ) y
i
(n -i )
=0
(3)
(n -2)
) =0, y ′(ζ) =0, …, y y (ζ(ζ) =0, Y
(n-1)
(ζ) =f (ζ)
T
的解(其中P 0(x ) =1) , 若(3) 的基本解组为Y (x ) =[y 1, y 2, …, y n ], 则它的通解为
Z (x ) =[y 1, y 2, …y n ][C 1, C 2, …, C n ]
(4) (5) (6)
-1
式中C 1, C 2, …, C n 由式(3) 的初始条件决定, 即
[C 1, C 2, …C n ]
T
=Y
-1
(ζ) F (ζ)
) =[0, 0, …, f (ζ) ]T F (ζ
) 的函数这里的Y 由y 1, y 2, …y n 的Wronsky 行列式定义, 所以得到(3) 的解为(x , ζ
) =[y 1, y 2, …, y n ][C 1, C 2, …, C n ]Z (x , ζ
T
=Y (x ) Y (ζ) F (ζ)
第二步:对参数ζ积分,
收稿日期:2003-11-28
作者简介:阿布力米提. 阿布都热衣木, 男, 新疆疏附人, 硕士研究生, 新疆喀什师范学院数学系讲师, 从事常微分方
程方面的研究.
德州学院学报(自然科学版) 第19卷 26
y =
∫
x 0
x
) d ζ=Y (x ) Z (x , ζ
∫
x 0
x
Y
-1
(ζ) F (ζ) d ζ(7)
很容易证明式(7) 就是非齐次线性微分方程(1) 的解. 这里若令f (x ) ≡1, 或(3) 的解是
) =Y (x ) Y Z (x , ζ
-1
(ζ)
M
01
如令
) 0 (x
) (
x Εζ) Z (x , ζ
则称G 为初值问题(3) 的G reen 函数、从上面的讨论可见, 由它可以得到一般初值f (x (3) 的解为
) =G (x , ζ
y =
) f (ζ) d ζG (x , ζ
∫
x 0x
上面我们通过齐次线性分方程(3) (1) 理.
2y ″+p (x ) y ′+q (x ) y =f (x ) a Φx Φb (8) y (a ) =0, y (b ) =0 (9)
假定它有唯一解(即齐次边值问题仅有零解) .
设函数p (x ) , q (x ) 在区间[a , b ]上连续, y 1(x ) 与y 2(x ) 是式(8) 相应的齐次方程
y ″+p (x ) y ′+q (x ) y =0
的基本解组, 由假定可知该问题有唯一解, 根据边值问题解的存在唯一性定理(见文献[1]) 得
y 1(a ) y 2(a )
Δ=≠0
y 1(b ) y 2(b )
(10)
(11)
) (ζ∈(a , b ) ) 满足下列条件, 称它为边值问题(8) 和(9) 的G reen 函数: 定义:若函数z (x , ζ
) 在[a , b ]上连续, 且当x ≠ζ(10) 的解, 它还有如下的形式Z (x , ζ
) z 1(x ) (x
) =(12) Z (x , ζ
) z 2(x ) (x >ζ
式中z 1(x ) 与z 2(x ) 满足下列条件
① z 1(a ) =z 2(b ) =0 ② z ′1(ζ+) -z ′2(ζ-) =1
(导数在x =ζ处有间段) .
现在我们的目的就是通过G reen 函数来表示边值问题(8) 和(9) 的解.
为了满足条件①与②, 令
z 1(x ) =c 1u 1(x ) , z 2(x ) =c 2u 2(x ) 式中
u 1(x )
=y 1(a ) y 2(x ) -y 2(a ) y 1(x ) u 2(x ) =y 1(b ) y 2(x ) -y 2(b ) y 1(x )
(13)
(14)
由于式(11) 成立, 又根据上式
Δ=u 1(b ) =-u 2(a ) ,
z 1(b ) =c 1Δ≠0z 2(a ) =-c 2Δ≠0
(15)
第6期 阿布力米提・阿布都热衣木:常微分方程中的齐次化原理与G reen 函数 27
) =c 1u (ζ) 和z 2(ζ) =c 2u (ζ) , 在x =ζ处要求函数Z (x , ζ) 连续由z 1(ζ即
) -c 2u 2(ζ) =0c 1u 1(ζ
(16)
而由条件②, 导数在x =ζ处有间断, 左右极限的跳跃值为1, 又因为u 1(x ) 与u 2(x ) 是y 1(x ) 和y 2(x ) (x ) 在x =ζ连续的, 从而的线性组合而且由解对初值问题的可微性u ′
) z ′1(ζ-) =c 1u ′1(ζ
) z ′2(ζ+) =c 2u ′2(ζz ′2(ζ+) -z ′1(ζ-) =1) +cu ′) =
1-c 1u ′1(ζ2(ζ
(17)
式(16) 与式(17) 的系数行列式为
) ) ) -y 2(a ) y 1(ζ) -y 1(b ) y 2(ζ) +y 2(b ) y 1() u 1(ζ-u 2(ζy 1(a ) y 2(ζ3
) =W (ζ==ΔW (x )
ζ) u ′ζ) ζ) +y 2(a ) y ′ζ) y 1b ) y ′ζ) -y 2b -u ′-y 1(a ) y ′1(2(2(1(2(式中W (x ) 是y 1(x ) 与y 2(x ) 的Wronsky 行列式, 即
y 1(x ) y 2)
W (x ) =
2(因W (x ) ≠0, 从面W 3(x ) =Δ(
, -2u 2(ζ) =011() +c 2u ′) =1-c 1u ′1(ζ2(ζ
有唯一解
c 1=
) 为所以得到G reen 函数Z (x , ζ
) (ζ
) u (x ) (x
) =Z (x , ζ=
) z 2(x ) (ζ
) u (x ) (x >ζΔW (ζ) 2
) 以后, 可以构造另一个函数这就是我们想要的G reen 函数. 有了G reen 函数Z (x , ζ
b x b ) ) (ζ(ζ3
) Z (x , ζ) d ζ=u 2(x ) f (ζ) ζ+u 1(x ) f (ζ) ζ y (x ) =f (ζd d
ΔW (ζ) ΔW (ζ) a a x
) ) u (ζu (ζ, c 2=
ΔW (ζ) ΔW (ζ)
∫∫∫
容易验证y 3(x ) 是非齐次方程边值问题(8) 与(9) 的特解.
参考文献
[1] 管志成, 李俊杰. 常微分方程与偏微分方程[M].杭州:淅江大学出版社,2001. [2] 陈庆益, 柳训明. 常微分方程及其应用武汉[M].武汉:华中工学院出版社,1983.
H omogeneitisation principle and G reen ’s function in ordinary differential equations
Ablimit ・Abdiryim
(Department of Mathematics N orthwest University ,X i ’an Shaanxi 710069,China )
Abstract :In this paper , we introduce G reen ’s function and hom ogeneitisation principle from which we can earn the
specific s olution of nonhom ogeneous normal differential equations by s olving hom ogeneous ones with boundary values or initial values.
K ey w ords :hom ogeneitisation principle ; G reen ’s function ; Wronsky determinant
第19卷 第6期
2003年12月德州学院学报Journal of Dezhou University V ol. 19N o. 6Dec. 2003
文章编号:1004-9444(2003) 06-0025-03
常微分方程中的齐次化原理与G reen 函数
阿布力米提. 阿布都热衣木
(西北大学数学系, 陕西西安 710069)
摘 要:, 函数. 关键词:齐次化原理,G reen 函数,Wronsky 行列式中图分类号:O17S 11 文献标识码:A
1 设y 1() , 2, n 阶齐次线性微分方程
n
i =0
∑
n -i P i (x ) =f (x ) (其中P 0(x ) =1)
dx n -i
(1)
相应齐次方程的基本解组, 那么我们通过常数变易法得到(1) 的解的表达式
T
y =[y 1(x ) , y 2(x ) , …y n (x ) ][c 1, c 2, …c n ]其中 [c 1, c 2, …, c n ]T =Wronsky 行列式.
(2)
∫
Y [0, 0, 0, …, 0, f (x ) ]dx , 而且Y 是由y 1(x ) , y 2(x ) , …, y n (x ) 组成的
-1T
下面求(1) 的一个特解.
第一步:引入参数ζ, 求下面的齐次线性微分方程初值问题
n i =0
∑P (x ) y
i
(n -i )
=0
(3)
(n -2)
) =0, y ′(ζ) =0, …, y y (ζ(ζ) =0, Y
(n-1)
(ζ) =f (ζ)
T
的解(其中P 0(x ) =1) , 若(3) 的基本解组为Y (x ) =[y 1, y 2, …, y n ], 则它的通解为
Z (x ) =[y 1, y 2, …y n ][C 1, C 2, …, C n ]
(4) (5) (6)
-1
式中C 1, C 2, …, C n 由式(3) 的初始条件决定, 即
[C 1, C 2, …C n ]
T
=Y
-1
(ζ) F (ζ)
) =[0, 0, …, f (ζ) ]T F (ζ
) 的函数这里的Y 由y 1, y 2, …y n 的Wronsky 行列式定义, 所以得到(3) 的解为(x , ζ
) =[y 1, y 2, …, y n ][C 1, C 2, …, C n ]Z (x , ζ
T
=Y (x ) Y (ζ) F (ζ)
第二步:对参数ζ积分,
收稿日期:2003-11-28
作者简介:阿布力米提. 阿布都热衣木, 男, 新疆疏附人, 硕士研究生, 新疆喀什师范学院数学系讲师, 从事常微分方
程方面的研究.
德州学院学报(自然科学版) 第19卷 26
y =
∫
x 0
x
) d ζ=Y (x ) Z (x , ζ
∫
x 0
x
Y
-1
(ζ) F (ζ) d ζ(7)
很容易证明式(7) 就是非齐次线性微分方程(1) 的解. 这里若令f (x ) ≡1, 或(3) 的解是
) =Y (x ) Y Z (x , ζ
-1
(ζ)
M
01
如令
) 0 (x
) (
x Εζ) Z (x , ζ
则称G 为初值问题(3) 的G reen 函数、从上面的讨论可见, 由它可以得到一般初值f (x (3) 的解为
) =G (x , ζ
y =
) f (ζ) d ζG (x , ζ
∫
x 0x
上面我们通过齐次线性分方程(3) (1) 理.
2y ″+p (x ) y ′+q (x ) y =f (x ) a Φx Φb (8) y (a ) =0, y (b ) =0 (9)
假定它有唯一解(即齐次边值问题仅有零解) .
设函数p (x ) , q (x ) 在区间[a , b ]上连续, y 1(x ) 与y 2(x ) 是式(8) 相应的齐次方程
y ″+p (x ) y ′+q (x ) y =0
的基本解组, 由假定可知该问题有唯一解, 根据边值问题解的存在唯一性定理(见文献[1]) 得
y 1(a ) y 2(a )
Δ=≠0
y 1(b ) y 2(b )
(10)
(11)
) (ζ∈(a , b ) ) 满足下列条件, 称它为边值问题(8) 和(9) 的G reen 函数: 定义:若函数z (x , ζ
) 在[a , b ]上连续, 且当x ≠ζ(10) 的解, 它还有如下的形式Z (x , ζ
) z 1(x ) (x
) =(12) Z (x , ζ
) z 2(x ) (x >ζ
式中z 1(x ) 与z 2(x ) 满足下列条件
① z 1(a ) =z 2(b ) =0 ② z ′1(ζ+) -z ′2(ζ-) =1
(导数在x =ζ处有间段) .
现在我们的目的就是通过G reen 函数来表示边值问题(8) 和(9) 的解.
为了满足条件①与②, 令
z 1(x ) =c 1u 1(x ) , z 2(x ) =c 2u 2(x ) 式中
u 1(x )
=y 1(a ) y 2(x ) -y 2(a ) y 1(x ) u 2(x ) =y 1(b ) y 2(x ) -y 2(b ) y 1(x )
(13)
(14)
由于式(11) 成立, 又根据上式
Δ=u 1(b ) =-u 2(a ) ,
z 1(b ) =c 1Δ≠0z 2(a ) =-c 2Δ≠0
(15)
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) =c 1u (ζ) 和z 2(ζ) =c 2u (ζ) , 在x =ζ处要求函数Z (x , ζ) 连续由z 1(ζ即
) -c 2u 2(ζ) =0c 1u 1(ζ
(16)
而由条件②, 导数在x =ζ处有间断, 左右极限的跳跃值为1, 又因为u 1(x ) 与u 2(x ) 是y 1(x ) 和y 2(x ) (x ) 在x =ζ连续的, 从而的线性组合而且由解对初值问题的可微性u ′
) z ′1(ζ-) =c 1u ′1(ζ
) z ′2(ζ+) =c 2u ′2(ζz ′2(ζ+) -z ′1(ζ-) =1) +cu ′) =
1-c 1u ′1(ζ2(ζ
(17)
式(16) 与式(17) 的系数行列式为
) ) ) -y 2(a ) y 1(ζ) -y 1(b ) y 2(ζ) +y 2(b ) y 1() u 1(ζ-u 2(ζy 1(a ) y 2(ζ3
) =W (ζ==ΔW (x )
ζ) u ′ζ) ζ) +y 2(a ) y ′ζ) y 1b ) y ′ζ) -y 2b -u ′-y 1(a ) y ′1(2(2(1(2(式中W (x ) 是y 1(x ) 与y 2(x ) 的Wronsky 行列式, 即
y 1(x ) y 2)
W (x ) =
2(因W (x ) ≠0, 从面W 3(x ) =Δ(
, -2u 2(ζ) =011() +c 2u ′) =1-c 1u ′1(ζ2(ζ
有唯一解
c 1=
) 为所以得到G reen 函数Z (x , ζ
) (ζ
) u (x ) (x
) =Z (x , ζ=
) z 2(x ) (ζ
) u (x ) (x >ζΔW (ζ) 2
) 以后, 可以构造另一个函数这就是我们想要的G reen 函数. 有了G reen 函数Z (x , ζ
b x b ) ) (ζ(ζ3
) Z (x , ζ) d ζ=u 2(x ) f (ζ) ζ+u 1(x ) f (ζ) ζ y (x ) =f (ζd d
ΔW (ζ) ΔW (ζ) a a x
) ) u (ζu (ζ, c 2=
ΔW (ζ) ΔW (ζ)
∫∫∫
容易验证y 3(x ) 是非齐次方程边值问题(8) 与(9) 的特解.
参考文献
[1] 管志成, 李俊杰. 常微分方程与偏微分方程[M].杭州:淅江大学出版社,2001. [2] 陈庆益, 柳训明. 常微分方程及其应用武汉[M].武汉:华中工学院出版社,1983.
H omogeneitisation principle and G reen ’s function in ordinary differential equations
Ablimit ・Abdiryim
(Department of Mathematics N orthwest University ,X i ’an Shaanxi 710069,China )
Abstract :In this paper , we introduce G reen ’s function and hom ogeneitisation principle from which we can earn the
specific s olution of nonhom ogeneous normal differential equations by s olving hom ogeneous ones with boundary values or initial values.
K ey w ords :hom ogeneitisation principle ; G reen ’s function ; Wronsky determinant