周期信号的傅里叶变换

周期信号的傅里叶变换

周期信号虽然不满足绝对可积的条件，但其傅里叶变换是存在的。由于周期信号频谱是离散的，所以它的傅里叶变换必然也是离散的，而且是由一系列冲激信号组成。下面先讨论几种常见的周期信号的傅里叶变换，然后再讨论一般周期信号的傅里叶变换。

复指数信号的傅里叶变换

对于复指数信号

f(t)ej0t t

因为

12()

由频移性

1ej0t2(0)

 (3-76) j0t

1e2(0)

复指数信号是表示一个单位长度的相量以固定的角频率ω0随时间旋转，经傅里叶变换后，其频谱为集中于0，强度为2的冲激。这说明信号时间特性的相移对应于频域中的频率转移。

二、余弦、正弦信号的傅里叶变换

对于余弦信号

ej0tej0t

f1(t)cos0t

2 t

其频谱函数

F(j)1

1

2(0)2(0)2

(0)(0)

(3-77)

对于正弦信号

ej0tej0t

f2(t)sin0t

2j t

有

F2(j)

1

2(0)2(0)2j

(3-78)

j(0)(0)

它们的波形及其频谱如图3-25所示。

00



图 3 - 25

三、单位冲激序列T(t)的傅里叶变换

若信号f(t)为单位冲激序列，即

(tnT) (3-79)



f(t)T(t)

n

则其傅里叶级数展开式为

f(t)

n

Te



1

jnt

(3-80)

对其进行傅里叶变换，并利用线性和频移性得



1

F(j)2(n)(n) (3-81)

Tnn

式中



2

T。

可见，时域周期为T的单位冲激序列，其傅里叶变换也是周期冲激序列，而频域周期为

，冲激强度相等，均为。周期单位冲激序列波形、傅里叶系数Fn与频谱函数F(j)如图3-26所示。

t

图　3 - 26



(a) (b) (c)

四、一般周期信号的傅里叶变换

对于一般周期为T的周期信号f(t)，其指数型傅里叶级数展开式为

f(t)

n

Fe

n



jnt

式中



21

FnT,T



TT2

f(t)ejntdt

.

对上式两边取傅里叶变换，并利用其线性和频移性，且考虑到Fn与时间t无关，可得

F(j)

n

F2(n)2F(n) (3-82)

n

n

n



式(3-82)表明，一般周期信号的傅里叶变换(频谱函数)是由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的各谐波频率n(n0,1,2,)处，其强度为相应傅里叶级数系数Fn的2倍。

可见，周期信号的频谱是离散的。但由于傅里叶变换是反映频谱密度的概念，因此周期信号f(t)的傅里叶变换F(j)不同于傅里叶系数Fn，它不是有限值，而是冲激函数，这表明在无穷小的频带范围(即谐频点)取得了无穷大的频谱值。

例3-20 图3-27(a)表示一周期为T，脉冲宽度为，幅度为1的周期性矩形脉冲信号，记为PT(t)。试求其频谱函数。

式中21FnT,TTT2f(t)ejntdt.

对上式两边取傅里叶变换，并利用其线性和频移性，且考虑到Fn与时间t无关，可得

F(j)

nF2(n)2F(n) (3-82) nnn

式(3-82)表明，一般周期信号的傅里叶变换(频谱函数)是由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的各谐波频率n(n0,1,2,)处，其强度为相应傅里叶级数系数Fn的2倍。

可见，周期信号的频谱是离散的。但由于傅里叶变换是反映频谱密度的概念，因此周期信号f(t)的傅里叶变换F(j)不同于傅里叶系数Fn，它不是有限值，而是冲激函数，这表明在无穷小的频带范围(即谐频点)取得了无穷大的频谱值。

例3-20 图3-27(a)表示一周期为T，脉冲宽度为，幅度为1的周期性矩形脉冲信号，记为PT(t)。试求其频谱函数。

(a)t

(b)

图 3 - 27

解 由式(3-26)可知，图3-27(a)所示周期性矩形脉冲信号f(t)PT(t)的傅里叶系数为

Fn

TSa(n)2

代入式(3-82)，得

2F(j)P(t)TnSa(n)(n)2



n2sin(n)(n)n （3-83）

式中2T。可见，周期矩形脉冲信号PT(t)的傅里叶变换由位于0,,2,处

2sin(

的冲激函数所组成，其在n处的强度为 n)n。 图3-27(b)给出了T2情况下的频谱图。

周期信号的傅里叶变换

周期信号虽然不满足绝对可积的条件，但其傅里叶变换是存在的。由于周期信号频谱是离散的，所以它的傅里叶变换必然也是离散的，而且是由一系列冲激信号组成。下面先讨论几种常见的周期信号的傅里叶变换，然后再讨论一般周期信号的傅里叶变换。

复指数信号的傅里叶变换

对于复指数信号

f(t)ej0t t

因为

12()

由频移性

1ej0t2(0)

 (3-76) j0t

1e2(0)

复指数信号是表示一个单位长度的相量以固定的角频率ω0随时间旋转，经傅里叶变换后，其频谱为集中于0，强度为2的冲激。这说明信号时间特性的相移对应于频域中的频率转移。

二、余弦、正弦信号的傅里叶变换

对于余弦信号

ej0tej0t

f1(t)cos0t

2 t

其频谱函数

F(j)1

1

2(0)2(0)2

(0)(0)

(3-77)

对于正弦信号

ej0tej0t

f2(t)sin0t

2j t

有

F2(j)

1

2(0)2(0)2j

(3-78)

j(0)(0)

它们的波形及其频谱如图3-25所示。

00



图 3 - 25

三、单位冲激序列T(t)的傅里叶变换

若信号f(t)为单位冲激序列，即

(tnT) (3-79)



f(t)T(t)

n

则其傅里叶级数展开式为

f(t)

n

Te



1

jnt

(3-80)

对其进行傅里叶变换，并利用线性和频移性得



1

F(j)2(n)(n) (3-81)

Tnn

式中



2

T。

可见，时域周期为T的单位冲激序列，其傅里叶变换也是周期冲激序列，而频域周期为

，冲激强度相等，均为。周期单位冲激序列波形、傅里叶系数Fn与频谱函数F(j)如图3-26所示。

t

图　3 - 26



(a) (b) (c)

四、一般周期信号的傅里叶变换

对于一般周期为T的周期信号f(t)，其指数型傅里叶级数展开式为

f(t)

n

Fe

n



jnt

式中



21

FnT,T



TT2

f(t)ejntdt

.

对上式两边取傅里叶变换，并利用其线性和频移性，且考虑到Fn与时间t无关，可得

F(j)

n

F2(n)2F(n) (3-82)

n

n

n



式(3-82)表明，一般周期信号的傅里叶变换(频谱函数)是由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的各谐波频率n(n0,1,2,)处，其强度为相应傅里叶级数系数Fn的2倍。

可见，周期信号的频谱是离散的。但由于傅里叶变换是反映频谱密度的概念，因此周期信号f(t)的傅里叶变换F(j)不同于傅里叶系数Fn，它不是有限值，而是冲激函数，这表明在无穷小的频带范围(即谐频点)取得了无穷大的频谱值。

例3-20 图3-27(a)表示一周期为T，脉冲宽度为，幅度为1的周期性矩形脉冲信号，记为PT(t)。试求其频谱函数。

式中21FnT,TTT2f(t)ejntdt.

对上式两边取傅里叶变换，并利用其线性和频移性，且考虑到Fn与时间t无关，可得

F(j)

nF2(n)2F(n) (3-82) nnn

式(3-82)表明，一般周期信号的傅里叶变换(频谱函数)是由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的各谐波频率n(n0,1,2,)处，其强度为相应傅里叶级数系数Fn的2倍。

可见，周期信号的频谱是离散的。但由于傅里叶变换是反映频谱密度的概念，因此周期信号f(t)的傅里叶变换F(j)不同于傅里叶系数Fn，它不是有限值，而是冲激函数，这表明在无穷小的频带范围(即谐频点)取得了无穷大的频谱值。

例3-20 图3-27(a)表示一周期为T，脉冲宽度为，幅度为1的周期性矩形脉冲信号，记为PT(t)。试求其频谱函数。

(a)t

(b)

图 3 - 27

解 由式(3-26)可知，图3-27(a)所示周期性矩形脉冲信号f(t)PT(t)的傅里叶系数为

Fn

TSa(n)2

代入式(3-82)，得

2F(j)P(t)TnSa(n)(n)2



n2sin(n)(n)n （3-83）

式中2T。可见，周期矩形脉冲信号PT(t)的傅里叶变换由位于0,,2,处

2sin(

的冲激函数所组成，其在n处的强度为 n)n。 图3-27(b)给出了T2情况下的频谱图。