1. 集合的含义及其表示
（一）集合元素的互异性
1. 已知x ∈R ，则集合{3,x , x 2-2x }中元素x 所应满足的条件为变式：已知集合A ={a +2, (a +1) 2, a 2+3a +3}，若1∈A ，则实数a 的值为_______
2. M ={a , b , c }中三个元素可以构成一个三角形的三边长，那么此三角形可能是 ① 直角三角形 ② 锐角三角形 ③ 钝角三角形 ④ 等腰三角形
（二）集合的表示方法
1. 用列举法表示下列集合
（1）A ={x |x =|a ||b |+, a , b 为非零实数}a b __________________________
变式：已知a,b,c 为非零实数, 则a b c abc +++的值组成的集合为|a ||b ||c ||abc |
（2） A ={(x , y ) |y =6∈Z , x ∈N *}____A ={(1, 3), (2, 6), (4, -6), (5, -3), (6, -2), (9, -1)} 3-x
变式1：A =⎨x x ∈N , ⎧
⎩12⎫∈N ⎬ 6-x ⎭
⎫
⎭变式2：A =⎨(x , y x +y =6, x ∈N +, y ∈N +⎬ ⎧
⎩
（3）集合A ={x |x ∈Z , -2≤x ≤2},B ={y |y =x 2, x ∈A },用列举法表示集合B
（4）已知集合M={a ∈Z |
变式：已知集合M={6∈N *}，则集合M 中的元素为5-a 6∈Z |a ∈N *}，则集合M 中的元素为 5-a
2. 用描述法表示下列集合
（1）直角坐标系中坐标轴上的点 _______________________________
变式：直角坐标平面中一、三象限角平分线上的点______________（x , y ) y =x , x ∈R {}
（2）能被3整除的整数 _______________________ x x =3n , n ∈Z .
3. 已知集合A ={0，1}，B =x x ⊆A ，C =x x ∈A
（1）用列举法写出集合B , C ；（2）研究集合A , B , C 之间的包含或属于关系
4. 命题 (1) 0∈x =0；(2)0∈(0,0)；(3)0∈∅；(4)0∈N 表述正确的是2{}{}{}{}{}
5. 使用∉和∈和数集符号来替代下列自然语言：
（1）“255是正整数” （2）“2的平方根不是有理数”
（3）“3.1416是正有理数” （4）“-1是整数”
（5）“x 不是实数”
6. 用列举法表示下列集合：
（1）不超过30的素数 （2）五边形ABCDE 的对角线
（3）左右对称的大写英文字母 （4）60的正约数
7. 用描述法表示：若平面上所有的点组成集合E ，A ∈E , B ∈E
（1）平面上以A 为圆心，5为半径的圆上所有点的集合为_________ P ∈E PA =5
（2）说明下列集合的几何意义：P ∈E PA
8. 当a , b 满足什么条件时，集合x ax +b =0是有限集？无限集？空集？
9. 元素0、空集∅、{0}、{∅}三者的区别？
10. 请用描述法写出一些集合A ，使它满足：
（i ）集合A 为单元素集，即A 中只含有一个元素；
（ii ）集合A 只含有两个元素；
（iii ）集合A 为空集
11. 试用集合概念分析命题：先有鸡还是先有鸡蛋？
解释：表述问题时把有关集合的元素说清楚，大有好处。先有鸡还是先有鸡蛋？让我们运用集合概念来分析它。设地球上古往今来的鸡组成一个集合J ，孵出了最早的鸡的蛋算不{}{}{}{}
算鸡蛋呢？这是关键问题。设所有的鸡蛋组成集合D ，要确定D 的元素，就得立个标准，说定什么是鸡蛋，一种定义方法是：鸡生的蛋才叫鸡蛋；另一种定义方法是：孵出了鸡的蛋和鸡生的蛋都叫鸡蛋。如果选择前一种定义，问题的答案只能是先有鸡；选择后一种定义，答案当然是先有鸡蛋。至于如何选择，不是数学的任务，那是生物学家的事。
（三）空集的性质
1. 若∅
{x |x 2≤a ，a ∈R }，则实数a 的取值范围是________
2. 已知a 是实数，若集合｛x | ax＝1｝是任何集合的子集，则a 的值是3. 下列三个集合中表示空集的是(1) {0}； (2) {(x , y )|y 2=-x 2, x ∈R ，y ∈R }；(3) {x ∈N |2x 2+3x -2=0}.
变式1：若集合A ={y |y =x },B ={x |y =-x },则A B = _______
变式2：若集合A ={-1,0,1}，B ={y |y =cos(πx ), x ∈A }，则A B =_____{1, -1}
（四）集合相等
1. 已知集合A=⎨a , ⎧b ⎫, 1⎬，B=a 2, a +b , 0 ，若A=B，则a 2004+b 2003=_____ ⎩a ⎭{}
22. 已知集合A ={1,1+x ,1+2x }，集合B =1, y , y ，且A =B ，求实数x 和y 的值. {}
3. 已知A ={-2,2010, x 2-1},B ={0,2010,x 2-3x },且A =B ，则x 的值为________
4. 已知A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，试求x ，y 的值．
25. 已知集合P ={1,1+d ,1+2d }, Q =1, q , q , 且P =Q ，则d =__,q =__ {}
6. 两个集合只要元素相同，就认为它们是相同的，从这个角度出发，试回答下列问题：
（1）用列举法分别写出下列集合：A =a ∈Z -2
（2）请你判断两集合A 和集合B 是否相等？
{}{}
2. 集合方程问题
21. 若集合A =x |ax +bx +1=0, x ∈R {}
（1）若A ={-1,1}，求a , b 的值；（2）若A ={-1}，求a , b 的值
2. 若集合{x |ax 2+x +1=0}有且只有一个元素，则实数a 的取值集合为3. 设y =x 2+ax +b , A =x y =x ={a }，求a , b .
4. 已知集合A =x ax +2x +1=0, x ∈R ，a 为实数.
（1）若A 是空集，求a 的取值范围；
（2）若A 是单元素集，求a 的值；
（3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．
⎫x 2-4⎪⎪5. 已知集合A =⎧=1有惟一解⎬，用列举法表示集合A 为 . ⎨a 关于x 的方程⎪⎩x +a ⎪⎭{}{2}
变式：若分式方程的分子和分母对调，结论如何？
3. 子集、全集、补集
1. 集合A ={x |kx -1=0}，集合B ={x |x -k =0}，若A ⊆B ，k 的取值集合为______ ．．．．
2. 设集合U ={(x ，y )|y =3x －1}，A ={(x ，y )|y -2=3}，则C U A . x -1
3. M={x| -2≤x ≤5}, N={x| a+1≤x ≤2a -1}.若M ⊇N ，实数a 的取值范围为224. 若A =x x -2(a +1) x +a -1=0，B={x|x2-4x=0}，C={x|x2-8x+16=0}，若A ⊆B Ｕ{}
C, 求实数a 的取值范围 5. A ={x x 2}，B ={x 4x +a
B ={x x 变式：已知集合A =x 0
⎩⎫1
（1）若A ⊆B ，求实数a 的取值范围
（2）若B ⊆A ，求实数a 的取值范围
（3）A 、B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，试说明理由
⊂C M ，实数a 的7. 已知集合M ={x |3a -1
取值范围为____________
8. 已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A B ={2},(C U A ) (C U B ) ={1, 9}, (C U A ) B ={4, 6, 8}，则A =, B =229. 设U =R ，集合A =x |x +3x +2=0，B =x |x +(m +1) x +m =0, 若 {}{}
(C U A ) B =φ，m 10. 已知全集U ={0, 1, 2, 3}，若C u M ={1, 3, a 2-a }，则a 的值为____________
11. 若集合A ={x |0
(1)U =R ； (2)U ={x |x ≥-1}；(3)U ={x |0≤x ≤3}.
212. 若集合M ={x x +x -6=0}，N ={x (x -2)(x -a ) =0}，且N ⊆M ，则实数a
的值为 _______
13. 已知集合A ={2, 4, 6, 8, 9}，B ={1, 2, 3, 5, 8}，是否存在集合C ，使C 中的每个元素加 上2就变成了A 的一个子集，且C 中的每个元素减去2就变成了B 的一个子集？若存在， 求出集合C ；若不存在，说明理由
214. U ={1, 2}，A ={x x +px +q =0}，C u A ={1}，则p +q = ____
15. 写出满足条件{a }⊆M ⊂{a ，b ，c ，d }的集合M ≠
16. 已知A={0，2，4}，C U A={-1，1}，C U B={-1，0，2}，求
17. 设集合A ={1,2,3,4,5,6}, B ={4,5,6,7}, 则满足S ⊆A 且S B ≠∅的集合S 的个数为____________ 56
18. 已知集合A =x x +px +q =0, B =x qx +px +1=0同时满足：A B ≠∅, {2}{2}
-2∈A ，求实数p , q 的值. 解：两式相减，得p =5, q =1或p =1, q =-2或p =3, q =2 2
19. 已知集合A =y y =2x -1,0
（1）A B =A ；（2）A B ≠∅ （1）(-2，（2）(-4,1) -1]；
20. A =⎨x {}{}⎧ax -4⎫0 ⎩x -a ⎭{}{}
（1）若3∈A ，求a 的取值范围；（2）若4∉A ，求a 的取值范围；
（3）若B C =C ，求m 的取值范围. （4）若B C =∅，求m 的取值范围
21. 有限集中有一个特殊的集合∅，约定“空集是任何集合的子集”，为什么要作出这样的约定？
任何一个约定式定义，它必须遵循：① 规定的必要性；② 规定的合理性。
（1）必要性：从子集的定义可知，子集定义中所涉及的集合不包括空集。为了完善子集定义，约定空集是任何集合的子集是必要的；
（2）合理性：由子集的定义显然有任何一个集合是它本身的子集，但是，上述这个结论中的“任何一个集合”，也是不包括空集的，只有规定了“空集是任何集合的子集”，才真正使上述结论对每一个集合（包括空集）都成立，这就是约定的合理性。
22. 请问是否存在这样的集合，它的某一个元素同时又是它的子集？若存在，请举例；若
1, {}1}等等； 不存在，请说明理由。A ={∅} , B ={
【拓展思考】请你给出一个集合，使它的两个元素同时也是它的子集，符合条件的集合，
可以只含有这两个元素吗？C ={1, 2, {}{1, 2}}；可以，集合D ={∅, {∅}}
23. 元素和相等的子集
（i ）设集合M ={1, 3, 4, 6, 8, 9}, 是否存在两个无共同元素的子集，两子集元素之和相等？ （ii ）在1~9这9个数字中任取6个不同的数组成集合M ，请问符合条件（1）的子集是否存在，由此你可以得到什么一般性的结论？
【拓展思考】若将集合M 的元素个数变为7~9种的任一个，结论如何？
24. 与其子集元素个数一样多的集合
是否存在这样的集合，它所含的元素的个数与它的某个真子集所含元素的个数一样多？
【拓展思考】请你写出几个符合条件的无限集
25. 约数集的个数
设非空集合S ⊆N ，且满足条件“如果x ∈S ，那么
（i ）请你写出一个只含有一个元素的集合S ；
（ii ）只含有三个元素的集合S 只有是否唯一？若不唯一，请写出两个不同的集合S ？ （iii ）满足题设的集合S 共有几个？
（iV ）对非空集合S ⊆N ，若使集合S 所含元素的个数不超过四个，那么题设条件可以改为_______________________
16∈S ” x
4. 交集、并集运算
1.
已知A =x y ={, B ={y y =2x +1, x ∈R }，则A B =_________ 变式1：若集合M ={y |y =2x },P ={y |y =x -1}，则M ∩P= :
2. 设集合A ={x |x +1≤0或x -4≥0},B ={x |2a ≤x ≤a +2}
（1）若A B ≠φ，则实数a 的取值范围为____________
（2）若A B =B ，则实数a 的取值范围为____________
3. 已知集合A ={x |y =-x 2, x ∈Z }, B ={y |y =2x -1, x ∈A }, 则A B
4. 已知集合A =x a +1≤x ≤a +4，B =x x 5，全集U =R
（1）若A B =∅, 求实数a 的取值范围
（2）若
A {}{}C u B ，求实数a 的取值范围
22225. 集合A =x |x -ax +a -19=0，B =x |x -5x +6=0，C =x |x +2x -8=0 {}{}{}
满足A B ≠φ, ，A C =φ, 实数a 的值为
6. 已知全集U ={x |07. 若集合A ={x -21}，B ={x a ≤x ≤b }，且A B ={x x >-2}， A B ={x
8. 已知集合A ={x x
9. 已知非空集合A ＝{x ｜2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x ｜3≤x ≤22}，则能使A ⊆(A ∩B ) 成立的所有a 值的集合是
222210. 已知A={a1，a 2，a 3 ，a 4}，B={a 1}，其中a 1
N ，若A ∩B={a1，a 4} ，a 1+a4=10，且A ∪B 所有元素和为124，则集合
11. 设集合A =直线，B ={圆}，则A B 的元素个数为____________
2212. 设集合A =x x +4a =(a +4) x , a ∈R ，B =x x +4=5x {}{}{}
（1）若A B =A ，求实数a 的值（2）求A B , A B .
13. 如图，U 是全集，M 、P 、S 是U 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是
14. 若全集I =R , f (x ) 与g (x ) 都为二次函数，P =x f (x )
15. 已知集合A =(-2， 1]，B =[-1， 2)，则A B =16. 若集合P ={x |2x -a 0} ，a , b ∈N ，且P Q N ={1}，则满足条件的整数对(a , b ) 的个数为 ____
变式：已知集合A ＝{x |2x +5>3x -15}, B ={x |x +317. 设A ={2, －1, a 2－a +1}，B ={b , 7, a + 1} ，M ={－1, 7}，A ∩B =M ．
（1）设全集U =A ，求C U M ； （2）若a ∈N , 求a 和b 的值．
218. 集合M ={a ,0}，N =x 2x -3x
19. 集合A ={x |log 1x >2}，B =(a , +∞) ，若A ⋂B ≠A 时a 的取值范围是(c , +∞) ，
2
则c =___
20. 已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn) 图是________．
21. 已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x ＝2a ，a ∈M }，则集合M ∩N ＝________.
22. (2009年高考江西卷改编) 已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A ) ∪(∁U B ) 中有n 个元 素. 若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为________．
23. 已知函数f (x ) ＝ 6－1的定义域为集合A ，函数g (x ) ＝lg(－x 2＋2x ＋m ) 的定义域 x ＋1
为集合B . （1）当m ＝3时，求A ∩(∁R B ) ；（2）若A ∩B ＝{x |－1
24. 已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}．
（1）若A ＝∅，求实数a 的取值范围；
（2）若A 是单元素集，求a 的值及集合A ；
（3）求集合M ＝{a ∈R |A ≠∅}．
25. 设集合A ={x |x 2-3x +2=0},B ={x |x 2+2(a +1) x +(a 2-5) =0}
（1）若A ⋂B ={2}，求实数a 的值；（2）若A ⋃B =A ，求实数a 的取值范围；
（3）若U =R , A ⋂C U B =A ，求实数a 的取值范围
解：（1）a =-3, a =-1；（2）a ≤-3
（3）a ≠-3或a ≠-
1或a ≠-
或a ≠-1
26. 集合P =x x -25
⎩6⎫⎧6⎫∈N ⎬, Q =⎨x x =, t ∈N , x ∈N ⎬, 则M Q =____{1,2} 1+x 1+t ⎭⎩⎭
2*28. 已知A =N , B =x 2x -x +3≤0, 则(C U B ) A =______ {}
29. 设方程2x +3y =7的全体解组成集合U ，方程3x -y =5的全体解组成集合V ，则U 和V 分别如何用集合表示？则U V ={(2, 1) }
30. 设M =直线AB 上的点，N =直线CD 上的点，若直线AB , CD 交于点P ， 则M N ={P }；若AB //CD ，则M N =∅；还有其它情况吗？ {}{}
-3}，方程x -3x +2=0的解集为B ={1, 2}。 31. 方程x -9=0的解集为A ={3，22
则A B ={3, -3, 1, 2}是方程x -9x -3x +2=0的解集。所以对于右端为零的方程，22()()
如果能将其左端分解为几个因式的乘积，就能使求解的问题简化，这也是数学里常常把方
程化成一端为零的形式的原因。
32. 如果集合A 和B 各有12个元素，它们的并集有20个元素，那么，这两个集合有多少个共同的元素？
33. 如果集合A 中有3个元素，集合B 中有2个元素，试问：
（1）A B 中最多有几个元素？最少有几个元素？
（2）A B 中最多有几个元素？最少有几个元素？
34. 设方程组⎨⎧f 1(x , y ) =0的解集为F , 方程f 1(x , y ) =0与f 2(x , y ) =0的解集分别是F 1f (x , y ) =0⎩2
和F 2，则F =F 1 F 2
例：若全集I =R , f (x ) 与g (x ) 都为二次函数，P =x f (x )
⎩g (x )
35. 设全集I =R , 非空集合P ⊆Q ⊆I ，若含P , Q 的一个集合运算表达式运算结果为空 集，则这个表达式可以是__________. 1⎧⎫已知集合A =⎨y |y =x , x ∈R ⎬，B ={y |y =log 2(x -1), x ∈R }，则A ⋂B = ▲ ． 2⎩⎭
5. 简单的数论问题
1. 设a , b 均为整数，把形如a +b 的一切数构成的集合记作M ，设x , y ∈M ，试判断
x x +y , x -y , xy , 是否属于集合M ，并说明理由. y
2. 已知集合A =x x =m 2-n 2, m ∈Z , n ∈Z }，
求证：(1) 3∈A ；(2) 2k +1∈A , (k ∈Z ) (3) 偶数4k -2(k ∈Z )不属于A .
3. 以某些整数为元素的集合P 具有下列性质： {
① P 中的元素有正数，有负数；② P 中的元素有奇数，有偶数；
③ -1∉P ；④若x ，y ∈P ，则x +y ∈P ．
试判断实数0和2与集合P 的关系．
4. 设集合A={x |x =2k , k ∈Z }，B={x |x =2k +1, k ∈Z }，C={x |x =4k +1, k ∈Z }，若a ∈A , b ∈B ，则a +b ∈ （填集合A 或B 或C ）
变式1: 若a ∈C , b ∈B ，则ab ∈ （填集合A 或B 或C ）
n , m ∈N , n ∈N }，若a ∈A , b ∈A ，则下列元素属于集合A 的2m
a 为 （填序号）①a +b ；②ab ；③a -b ④, b ≠0 b 变式2: 已知A={a |a =
变式3: a , b ∈Z ，集合A={(x , y ) |(x -a ) 2+3b ≤6y }，点(2, 1) ∈A , (1, 0) ∉A , (3, 2) ∉A ，求a 与b 的值
5. 已知m ∈A ，n ∈B ，且集合A ＝{x |x ＝2a ，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝2a ＋1，a ∈Z }，又 C ＝{x |x ＝4a ＋1，a ∈Z }，判断m ＋n 属于哪一个集合？
1b 1c 16. 已知集合A ＝{x |x ＝a a ∈Z }，B ＝{x |x ＝－，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝，c ∈Z }，则 62326
A 、B 、C 之间的关系是________．
6. 新定义集合问题
1. 给定集合A 、B ，定义一种新运算：A*B={x |x ∈A 或x ∈B , 但x ∉A B }，又已知A={0，1，2}，B={1，2，3}，用列举法写出A *B =
2. 设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k -1∉A 且k +1∉A ，那么k 是 A 的一个“孤立元”，给定S ={1,2,3,4,5,6,7,8,}，由S 的3个元素构成的所有集合中， 不含“孤立元”的集合共有 个
3. 整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即
[k]={5n+k丨n ∈Z}，k=0,1,2,3,4. 给出如下四个结论：
① 2011∈[1]；② -3∈[3]；③ Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4] ;
④“整数a ，b 属于同一“类”，则“a-b ∈[0]”
其中正确结论的序号是________________（填写所有满足条件的序号）
2，n }，n ∈N *．记f (n ) 为同时满足下列条件的集合A 的个数： 4. 设集合P n ={1，…，
①A ⊆P n ；② 若x ∈A ，则2x ∉A ；③ 若x ∈C p n A ，则2x ∉C p A ，f (4)=_______
n
5. 设a ，b ，c 为实数，f （x ）=（x+a）(x 2+bx +c ), g (x ) =(ax +1)(cx 2+bx +1) . 记集合S=x f (x ) =0, x ∈R , T =x g (x ) =0, x ∈R , 若S ，T 分别为集合元素S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是______________（填满足条件的字母） ．．．
A ．S =1且T =0 B ．S =1且T =1 C ．S =2且T =2 D ．S =2且T =3
6. 如图所示的韦恩图中，A , B 是非空集合，定义集合A #B 为阴影部
分表示的集合，即A #B ＝{x |x ∈A , 或x ∈B ，且x ∉A ⋂B }. 若A ＝{x |y =x +3-x }，B ={y |y =x 2+1, x ≥1}, 则A #B =27. 集合A ={0,1}, B =a , 2a ，其中a ∈R , 我们把集合x x =x 1+x 2, x 1∈A , x 2∈B , {}{}
记作A ⨯B ，若集合A ⨯B 中的最大元素是2a +1，则a 的取值范围是 .
8. （2010四川）设S 为复数集C 的非空子集. 若对任意x, y ∈S ，都有x +y,x -y,xy ∈S ，则称S 为封闭集下列命题：
① 集合S ＝{a ＋
a,b 为整数}为封闭集；② 若S 为封闭集，则一定有0∈S ；
③ 封闭集一定是无限集；④ 若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆R 的任意集合T 也是封闭集. 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
9. 已知点集A =(x , y ) x +y -4x -8y +16≤0, B =(x , y ) y ≥x -m +4, m ∈R ，点集A 所表示的平面区域与点集B 所表示的平面区域的边界的交点为M , N ，若点 {22}{}
D (m ,4) 在点集A 所表示的平面区域内（不在边界上），则∆DMN 的面积的最大值为_____
10. 设集合P ={1,2,3,4}，Q =x -3≤x ≤2，则集合A =x x ∈P 且x ∉Q =_____ （用列举法表示） {}{
{}}Q =x
变：对任意两个集合X 和Y , 定义X -Y =x x ∈X 且x ∉Y , X ∆Y =(X -Y ) (Y -X ) , {}{}{}
设A =⎨y y =⎧
⎩1⎫, x ∈R 且x ≠0⎬, B ={y y =-2cos x , x ∈R }, 则A ∆B =______ 2x ⎭
[-2,0] (2, +∞)
11. 集合的“差”运算
设M , P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集M -P =x x ∈M 且x ∉P
（i ）设集合B ={2, 4, 6, 8}，请你分别用列举法和描述法写出一个集合A ，使得A -B ={5}，试问满足条件的集合A 共有多少个？
（ii ）请写出两组集合A ，B ，使得A -B ={5}；
（iii ）从（ii ）中选出一组A ，B ，计算A -(A -B ) ，在此基础上，请你写出有关集合A ，B 的其他表达式，使其结果与集合A -(A -B ) 相等。
12. 市场调查公司为了解某市市民在阅读报纸方面的取向，抽样调查了500个市民，调查结果显示：订阅日报的有334人，订阅晚报的有297人，其中两样都订的有150人.
（1）只订日报不订晚报的有多少人？
（2）只订晚报不订日报的有多少人？
（3）至少订一种报纸的有多少人？
（4）有多少人不订报纸？
13. 某文化补习学校在学期末统计了参加补习的198名学生的成绩，统计结果表明，179{}
人语文及格，153人数学及格，其中两门都及格的有130人.
（1）这个统计数字是否正确？请说明理由；
（2）经查实，却有7人两门都不及格，而原来统计中语文和数学的及格人数是对的，那么，到底有多少人两门都及格？
14. 某社区学院一个月30天课程安排情形如下：有15天有数学课，有14天有语文课，有14天有英语课. 有数学又有语文的有7天，有数学又有英语的有6天，有语文又有英语的有6天，三门课都有的有3天. 那么，有几天不上课？有几天只上一门课？有几天只上两门课？
7. 集合中一类动态问题的研究
1. 某中学高一（1）班有45人，其中参加数学兴趣小组有28人，参加化学兴趣小组有21 人，若数学化学都参加的有x 人，则x 的取值范围是
2. [a , b ] [c , d ]=？ 2. [a , b ] [c , d ]=？
3. 对于集合A =x a ≤x ≤b ，定义b -a 为其长度，已知数集P =⎨x m -{}⎧
⎩⎫3≤x ≤m ⎬，4⎭
⎧1⎫Q =⎨x n ≤x ≤n +⎬都是集合U =[0, 1]的子集 3⎭⎩
（1）若m =
31且n =，求集合P Q 的长度；（2）求集合P Q 长度的最小值 42
8. 集合计数问题研究
1. 集合S ={1,2,3, ,9}，集合A ={a 1, a 2, a 3}是S 的子集，且a 1, a 2, a 3满足a 1
2. 记集合P = { 0，2，4，6，8 }，Q = { m | m = 100a 1 +10a 2 + a 3，且a 1，a 2，a 3∈P }，将 集合Q 中所有元素排成一个递增的数列，则此数列的第68项是_______．464
3. （13年南通学科基地密卷）设n 为给定的正整数，数集M ={1, 2, 3, , n }的两个子集A , B 构成一个有序对(A , B )
（1）记a n 为满足A ≠B 的有序对(A , B ) 的个数，求a n ；
（2）记b n 为所有满足集合B 是集合A 的真子集的有序对(A , B ) 的个数，求b n
变式：设集合A ，B 是非空集合M 的两个不同子集，满足：A 不是B 的子集，且B 也不 是A 的子集．
（1）若M={a 1, a 2, a 3, a 4}，直接写出所有不同的有序集合对(A , B ) 的个数；
（2）若M={a 1, a 2, a 3, ⋅⋅⋅, a n }，求所有不同的有序集合对(A , B ) 的个数．
解：（1）110； ………………………………………………………………3分
（2）集合M 有2个子集，不同的有序集合对(A , B ) 有2n (2n -1) 个．
*若A ⊂≠B ，并设B 中含有k (1≤k ≤n , k ∈N ) 个元素，则满足A ⊂≠B 的有序 n
集合对 (A , B ) 有∑C
k =1n k n k (2-1) =∑C 2-∑C n =3n -2n 个 ． …………………6分 k k n k k =0k =0n n
n n 同理，满足B ⊂≠A 的有序集合对(A , B ) 有3-2个． …………………8分
满足条件的有序集合对(A , B ) 的个数为2(2-1) -2(3-2) =4+2-2⨯3．…10分
4. (13年南通学科基地密卷）设P 1, 2, 3, 4 , i }的子集，其中i , j 为 , P j 为集合P ={1, P 2，
正整数，记a ij 为满足P 1 P 2 P 3 P j =∅的有序子集组(P 1, P 2, , P j ) 的个数.
（1）求a 22的值；（2）求a ij 的表达式
n n n n n n n
1. 集合的含义及其表示
（一）集合元素的互异性
1. 已知x ∈R ，则集合{3,x , x 2-2x }中元素x 所应满足的条件为变式：已知集合A ={a +2, (a +1) 2, a 2+3a +3}，若1∈A ，则实数a 的值为_______
2. M ={a , b , c }中三个元素可以构成一个三角形的三边长，那么此三角形可能是 ① 直角三角形 ② 锐角三角形 ③ 钝角三角形 ④ 等腰三角形
（二）集合的表示方法
1. 用列举法表示下列集合
（1）A ={x |x =|a ||b |+, a , b 为非零实数}a b __________________________
变式：已知a,b,c 为非零实数, 则a b c abc +++的值组成的集合为|a ||b ||c ||abc |
（2） A ={(x , y ) |y =6∈Z , x ∈N *}____A ={(1, 3), (2, 6), (4, -6), (5, -3), (6, -2), (9, -1)} 3-x
变式1：A =⎨x x ∈N , ⎧
⎩12⎫∈N ⎬ 6-x ⎭
⎫
⎭变式2：A =⎨(x , y x +y =6, x ∈N +, y ∈N +⎬ ⎧
⎩
（3）集合A ={x |x ∈Z , -2≤x ≤2},B ={y |y =x 2, x ∈A },用列举法表示集合B
（4）已知集合M={a ∈Z |
变式：已知集合M={6∈N *}，则集合M 中的元素为5-a 6∈Z |a ∈N *}，则集合M 中的元素为 5-a
2. 用描述法表示下列集合
（1）直角坐标系中坐标轴上的点 _______________________________
变式：直角坐标平面中一、三象限角平分线上的点______________（x , y ) y =x , x ∈R {}
（2）能被3整除的整数 _______________________ x x =3n , n ∈Z .
3. 已知集合A ={0，1}，B =x x ⊆A ，C =x x ∈A
（1）用列举法写出集合B , C ；（2）研究集合A , B , C 之间的包含或属于关系
4. 命题 (1) 0∈x =0；(2)0∈(0,0)；(3)0∈∅；(4)0∈N 表述正确的是2{}{}{}{}{}
5. 使用∉和∈和数集符号来替代下列自然语言：
（1）“255是正整数” （2）“2的平方根不是有理数”
（3）“3.1416是正有理数” （4）“-1是整数”
（5）“x 不是实数”
6. 用列举法表示下列集合：
（1）不超过30的素数 （2）五边形ABCDE 的对角线
（3）左右对称的大写英文字母 （4）60的正约数
7. 用描述法表示：若平面上所有的点组成集合E ，A ∈E , B ∈E
（1）平面上以A 为圆心，5为半径的圆上所有点的集合为_________ P ∈E PA =5
（2）说明下列集合的几何意义：P ∈E PA
8. 当a , b 满足什么条件时，集合x ax +b =0是有限集？无限集？空集？
9. 元素0、空集∅、{0}、{∅}三者的区别？
10. 请用描述法写出一些集合A ，使它满足：
（i ）集合A 为单元素集，即A 中只含有一个元素；
（ii ）集合A 只含有两个元素；
（iii ）集合A 为空集
11. 试用集合概念分析命题：先有鸡还是先有鸡蛋？
解释：表述问题时把有关集合的元素说清楚，大有好处。先有鸡还是先有鸡蛋？让我们运用集合概念来分析它。设地球上古往今来的鸡组成一个集合J ，孵出了最早的鸡的蛋算不{}{}{}{}
算鸡蛋呢？这是关键问题。设所有的鸡蛋组成集合D ，要确定D 的元素，就得立个标准，说定什么是鸡蛋，一种定义方法是：鸡生的蛋才叫鸡蛋；另一种定义方法是：孵出了鸡的蛋和鸡生的蛋都叫鸡蛋。如果选择前一种定义，问题的答案只能是先有鸡；选择后一种定义，答案当然是先有鸡蛋。至于如何选择，不是数学的任务，那是生物学家的事。
（三）空集的性质
1. 若∅
{x |x 2≤a ，a ∈R }，则实数a 的取值范围是________
2. 已知a 是实数，若集合｛x | ax＝1｝是任何集合的子集，则a 的值是3. 下列三个集合中表示空集的是(1) {0}； (2) {(x , y )|y 2=-x 2, x ∈R ，y ∈R }；(3) {x ∈N |2x 2+3x -2=0}.
变式1：若集合A ={y |y =x },B ={x |y =-x },则A B = _______
变式2：若集合A ={-1,0,1}，B ={y |y =cos(πx ), x ∈A }，则A B =_____{1, -1}
（四）集合相等
1. 已知集合A=⎨a , ⎧b ⎫, 1⎬，B=a 2, a +b , 0 ，若A=B，则a 2004+b 2003=_____ ⎩a ⎭{}
22. 已知集合A ={1,1+x ,1+2x }，集合B =1, y , y ，且A =B ，求实数x 和y 的值. {}
3. 已知A ={-2,2010, x 2-1},B ={0,2010,x 2-3x },且A =B ，则x 的值为________
4. 已知A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，试求x ，y 的值．
25. 已知集合P ={1,1+d ,1+2d }, Q =1, q , q , 且P =Q ，则d =__,q =__ {}
6. 两个集合只要元素相同，就认为它们是相同的，从这个角度出发，试回答下列问题：
（1）用列举法分别写出下列集合：A =a ∈Z -2
（2）请你判断两集合A 和集合B 是否相等？
{}{}
2. 集合方程问题
21. 若集合A =x |ax +bx +1=0, x ∈R {}
（1）若A ={-1,1}，求a , b 的值；（2）若A ={-1}，求a , b 的值
2. 若集合{x |ax 2+x +1=0}有且只有一个元素，则实数a 的取值集合为3. 设y =x 2+ax +b , A =x y =x ={a }，求a , b .
4. 已知集合A =x ax +2x +1=0, x ∈R ，a 为实数.
（1）若A 是空集，求a 的取值范围；
（2）若A 是单元素集，求a 的值；
（3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．
⎫x 2-4⎪⎪5. 已知集合A =⎧=1有惟一解⎬，用列举法表示集合A 为 . ⎨a 关于x 的方程⎪⎩x +a ⎪⎭{}{2}
变式：若分式方程的分子和分母对调，结论如何？
3. 子集、全集、补集
1. 集合A ={x |kx -1=0}，集合B ={x |x -k =0}，若A ⊆B ，k 的取值集合为______ ．．．．
2. 设集合U ={(x ，y )|y =3x －1}，A ={(x ，y )|y -2=3}，则C U A . x -1
3. M={x| -2≤x ≤5}, N={x| a+1≤x ≤2a -1}.若M ⊇N ，实数a 的取值范围为224. 若A =x x -2(a +1) x +a -1=0，B={x|x2-4x=0}，C={x|x2-8x+16=0}，若A ⊆B Ｕ{}
C, 求实数a 的取值范围 5. A ={x x 2}，B ={x 4x +a
B ={x x 变式：已知集合A =x 0
⎩⎫1
（1）若A ⊆B ，求实数a 的取值范围
（2）若B ⊆A ，求实数a 的取值范围
（3）A 、B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，试说明理由
⊂C M ，实数a 的7. 已知集合M ={x |3a -1
取值范围为____________
8. 已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A B ={2},(C U A ) (C U B ) ={1, 9}, (C U A ) B ={4, 6, 8}，则A =, B =229. 设U =R ，集合A =x |x +3x +2=0，B =x |x +(m +1) x +m =0, 若 {}{}
(C U A ) B =φ，m 10. 已知全集U ={0, 1, 2, 3}，若C u M ={1, 3, a 2-a }，则a 的值为____________
11. 若集合A ={x |0
(1)U =R ； (2)U ={x |x ≥-1}；(3)U ={x |0≤x ≤3}.
212. 若集合M ={x x +x -6=0}，N ={x (x -2)(x -a ) =0}，且N ⊆M ，则实数a
的值为 _______
13. 已知集合A ={2, 4, 6, 8, 9}，B ={1, 2, 3, 5, 8}，是否存在集合C ，使C 中的每个元素加 上2就变成了A 的一个子集，且C 中的每个元素减去2就变成了B 的一个子集？若存在， 求出集合C ；若不存在，说明理由
214. U ={1, 2}，A ={x x +px +q =0}，C u A ={1}，则p +q = ____
15. 写出满足条件{a }⊆M ⊂{a ，b ，c ，d }的集合M ≠
16. 已知A={0，2，4}，C U A={-1，1}，C U B={-1，0，2}，求
17. 设集合A ={1,2,3,4,5,6}, B ={4,5,6,7}, 则满足S ⊆A 且S B ≠∅的集合S 的个数为____________ 56
18. 已知集合A =x x +px +q =0, B =x qx +px +1=0同时满足：A B ≠∅, {2}{2}
-2∈A ，求实数p , q 的值. 解：两式相减，得p =5, q =1或p =1, q =-2或p =3, q =2 2
19. 已知集合A =y y =2x -1,0
（1）A B =A ；（2）A B ≠∅ （1）(-2，（2）(-4,1) -1]；
20. A =⎨x {}{}⎧ax -4⎫0 ⎩x -a ⎭{}{}
（1）若3∈A ，求a 的取值范围；（2）若4∉A ，求a 的取值范围；
（3）若B C =C ，求m 的取值范围. （4）若B C =∅，求m 的取值范围
21. 有限集中有一个特殊的集合∅，约定“空集是任何集合的子集”，为什么要作出这样的约定？
任何一个约定式定义，它必须遵循：① 规定的必要性；② 规定的合理性。
（1）必要性：从子集的定义可知，子集定义中所涉及的集合不包括空集。为了完善子集定义，约定空集是任何集合的子集是必要的；
（2）合理性：由子集的定义显然有任何一个集合是它本身的子集，但是，上述这个结论中的“任何一个集合”，也是不包括空集的，只有规定了“空集是任何集合的子集”，才真正使上述结论对每一个集合（包括空集）都成立，这就是约定的合理性。
22. 请问是否存在这样的集合，它的某一个元素同时又是它的子集？若存在，请举例；若
1, {}1}等等； 不存在，请说明理由。A ={∅} , B ={
【拓展思考】请你给出一个集合，使它的两个元素同时也是它的子集，符合条件的集合，
可以只含有这两个元素吗？C ={1, 2, {}{1, 2}}；可以，集合D ={∅, {∅}}
23. 元素和相等的子集
（i ）设集合M ={1, 3, 4, 6, 8, 9}, 是否存在两个无共同元素的子集，两子集元素之和相等？ （ii ）在1~9这9个数字中任取6个不同的数组成集合M ，请问符合条件（1）的子集是否存在，由此你可以得到什么一般性的结论？
【拓展思考】若将集合M 的元素个数变为7~9种的任一个，结论如何？
24. 与其子集元素个数一样多的集合
是否存在这样的集合，它所含的元素的个数与它的某个真子集所含元素的个数一样多？
【拓展思考】请你写出几个符合条件的无限集
25. 约数集的个数
设非空集合S ⊆N ，且满足条件“如果x ∈S ，那么
（i ）请你写出一个只含有一个元素的集合S ；
（ii ）只含有三个元素的集合S 只有是否唯一？若不唯一，请写出两个不同的集合S ？ （iii ）满足题设的集合S 共有几个？
（iV ）对非空集合S ⊆N ，若使集合S 所含元素的个数不超过四个，那么题设条件可以改为_______________________
16∈S ” x
4. 交集、并集运算
1.
已知A =x y ={, B ={y y =2x +1, x ∈R }，则A B =_________ 变式1：若集合M ={y |y =2x },P ={y |y =x -1}，则M ∩P= :
2. 设集合A ={x |x +1≤0或x -4≥0},B ={x |2a ≤x ≤a +2}
（1）若A B ≠φ，则实数a 的取值范围为____________
（2）若A B =B ，则实数a 的取值范围为____________
3. 已知集合A ={x |y =-x 2, x ∈Z }, B ={y |y =2x -1, x ∈A }, 则A B
4. 已知集合A =x a +1≤x ≤a +4，B =x x 5，全集U =R
（1）若A B =∅, 求实数a 的取值范围
（2）若
A {}{}C u B ，求实数a 的取值范围
22225. 集合A =x |x -ax +a -19=0，B =x |x -5x +6=0，C =x |x +2x -8=0 {}{}{}
满足A B ≠φ, ，A C =φ, 实数a 的值为
6. 已知全集U ={x |07. 若集合A ={x -21}，B ={x a ≤x ≤b }，且A B ={x x >-2}， A B ={x
8. 已知集合A ={x x
9. 已知非空集合A ＝{x ｜2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x ｜3≤x ≤22}，则能使A ⊆(A ∩B ) 成立的所有a 值的集合是
222210. 已知A={a1，a 2，a 3 ，a 4}，B={a 1}，其中a 1
N ，若A ∩B={a1，a 4} ，a 1+a4=10，且A ∪B 所有元素和为124，则集合
11. 设集合A =直线，B ={圆}，则A B 的元素个数为____________
2212. 设集合A =x x +4a =(a +4) x , a ∈R ，B =x x +4=5x {}{}{}
（1）若A B =A ，求实数a 的值（2）求A B , A B .
13. 如图，U 是全集，M 、P 、S 是U 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是
14. 若全集I =R , f (x ) 与g (x ) 都为二次函数，P =x f (x )
15. 已知集合A =(-2， 1]，B =[-1， 2)，则A B =16. 若集合P ={x |2x -a 0} ，a , b ∈N ，且P Q N ={1}，则满足条件的整数对(a , b ) 的个数为 ____
变式：已知集合A ＝{x |2x +5>3x -15}, B ={x |x +317. 设A ={2, －1, a 2－a +1}，B ={b , 7, a + 1} ，M ={－1, 7}，A ∩B =M ．
（1）设全集U =A ，求C U M ； （2）若a ∈N , 求a 和b 的值．
218. 集合M ={a ,0}，N =x 2x -3x
19. 集合A ={x |log 1x >2}，B =(a , +∞) ，若A ⋂B ≠A 时a 的取值范围是(c , +∞) ，
2
则c =___
20. 已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn) 图是________．
21. 已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x ＝2a ，a ∈M }，则集合M ∩N ＝________.
22. (2009年高考江西卷改编) 已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A ) ∪(∁U B ) 中有n 个元 素. 若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为________．
23. 已知函数f (x ) ＝ 6－1的定义域为集合A ，函数g (x ) ＝lg(－x 2＋2x ＋m ) 的定义域 x ＋1
为集合B . （1）当m ＝3时，求A ∩(∁R B ) ；（2）若A ∩B ＝{x |－1
24. 已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}．
（1）若A ＝∅，求实数a 的取值范围；
（2）若A 是单元素集，求a 的值及集合A ；
（3）求集合M ＝{a ∈R |A ≠∅}．
25. 设集合A ={x |x 2-3x +2=0},B ={x |x 2+2(a +1) x +(a 2-5) =0}
（1）若A ⋂B ={2}，求实数a 的值；（2）若A ⋃B =A ，求实数a 的取值范围；
（3）若U =R , A ⋂C U B =A ，求实数a 的取值范围
解：（1）a =-3, a =-1；（2）a ≤-3
（3）a ≠-3或a ≠-
1或a ≠-
或a ≠-1
26. 集合P =x x -25
⎩6⎫⎧6⎫∈N ⎬, Q =⎨x x =, t ∈N , x ∈N ⎬, 则M Q =____{1,2} 1+x 1+t ⎭⎩⎭
2*28. 已知A =N , B =x 2x -x +3≤0, 则(C U B ) A =______ {}
29. 设方程2x +3y =7的全体解组成集合U ，方程3x -y =5的全体解组成集合V ，则U 和V 分别如何用集合表示？则U V ={(2, 1) }
30. 设M =直线AB 上的点，N =直线CD 上的点，若直线AB , CD 交于点P ， 则M N ={P }；若AB //CD ，则M N =∅；还有其它情况吗？ {}{}
-3}，方程x -3x +2=0的解集为B ={1, 2}。 31. 方程x -9=0的解集为A ={3，22
则A B ={3, -3, 1, 2}是方程x -9x -3x +2=0的解集。所以对于右端为零的方程，22()()
如果能将其左端分解为几个因式的乘积，就能使求解的问题简化，这也是数学里常常把方
程化成一端为零的形式的原因。
32. 如果集合A 和B 各有12个元素，它们的并集有20个元素，那么，这两个集合有多少个共同的元素？
33. 如果集合A 中有3个元素，集合B 中有2个元素，试问：
（1）A B 中最多有几个元素？最少有几个元素？
（2）A B 中最多有几个元素？最少有几个元素？
34. 设方程组⎨⎧f 1(x , y ) =0的解集为F , 方程f 1(x , y ) =0与f 2(x , y ) =0的解集分别是F 1f (x , y ) =0⎩2
和F 2，则F =F 1 F 2
例：若全集I =R , f (x ) 与g (x ) 都为二次函数，P =x f (x )
⎩g (x )
35. 设全集I =R , 非空集合P ⊆Q ⊆I ，若含P , Q 的一个集合运算表达式运算结果为空 集，则这个表达式可以是__________. 1⎧⎫已知集合A =⎨y |y =x , x ∈R ⎬，B ={y |y =log 2(x -1), x ∈R }，则A ⋂B = ▲ ． 2⎩⎭
5. 简单的数论问题
1. 设a , b 均为整数，把形如a +b 的一切数构成的集合记作M ，设x , y ∈M ，试判断
x x +y , x -y , xy , 是否属于集合M ，并说明理由. y
2. 已知集合A =x x =m 2-n 2, m ∈Z , n ∈Z }，
求证：(1) 3∈A ；(2) 2k +1∈A , (k ∈Z ) (3) 偶数4k -2(k ∈Z )不属于A .
3. 以某些整数为元素的集合P 具有下列性质： {
① P 中的元素有正数，有负数；② P 中的元素有奇数，有偶数；
③ -1∉P ；④若x ，y ∈P ，则x +y ∈P ．
试判断实数0和2与集合P 的关系．
4. 设集合A={x |x =2k , k ∈Z }，B={x |x =2k +1, k ∈Z }，C={x |x =4k +1, k ∈Z }，若a ∈A , b ∈B ，则a +b ∈ （填集合A 或B 或C ）
变式1: 若a ∈C , b ∈B ，则ab ∈ （填集合A 或B 或C ）
n , m ∈N , n ∈N }，若a ∈A , b ∈A ，则下列元素属于集合A 的2m
a 为 （填序号）①a +b ；②ab ；③a -b ④, b ≠0 b 变式2: 已知A={a |a =
变式3: a , b ∈Z ，集合A={(x , y ) |(x -a ) 2+3b ≤6y }，点(2, 1) ∈A , (1, 0) ∉A , (3, 2) ∉A ，求a 与b 的值
5. 已知m ∈A ，n ∈B ，且集合A ＝{x |x ＝2a ，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝2a ＋1，a ∈Z }，又 C ＝{x |x ＝4a ＋1，a ∈Z }，判断m ＋n 属于哪一个集合？
1b 1c 16. 已知集合A ＝{x |x ＝a a ∈Z }，B ＝{x |x ＝－，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝，c ∈Z }，则 62326
A 、B 、C 之间的关系是________．
6. 新定义集合问题
1. 给定集合A 、B ，定义一种新运算：A*B={x |x ∈A 或x ∈B , 但x ∉A B }，又已知A={0，1，2}，B={1，2，3}，用列举法写出A *B =
2. 设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k -1∉A 且k +1∉A ，那么k 是 A 的一个“孤立元”，给定S ={1,2,3,4,5,6,7,8,}，由S 的3个元素构成的所有集合中， 不含“孤立元”的集合共有 个
3. 整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即
[k]={5n+k丨n ∈Z}，k=0,1,2,3,4. 给出如下四个结论：
① 2011∈[1]；② -3∈[3]；③ Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4] ;
④“整数a ，b 属于同一“类”，则“a-b ∈[0]”
其中正确结论的序号是________________（填写所有满足条件的序号）
2，n }，n ∈N *．记f (n ) 为同时满足下列条件的集合A 的个数： 4. 设集合P n ={1，…，
①A ⊆P n ；② 若x ∈A ，则2x ∉A ；③ 若x ∈C p n A ，则2x ∉C p A ，f (4)=_______
n
5. 设a ，b ，c 为实数，f （x ）=（x+a）(x 2+bx +c ), g (x ) =(ax +1)(cx 2+bx +1) . 记集合S=x f (x ) =0, x ∈R , T =x g (x ) =0, x ∈R , 若S ，T 分别为集合元素S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是______________（填满足条件的字母） ．．．
A ．S =1且T =0 B ．S =1且T =1 C ．S =2且T =2 D ．S =2且T =3
6. 如图所示的韦恩图中，A , B 是非空集合，定义集合A #B 为阴影部
分表示的集合，即A #B ＝{x |x ∈A , 或x ∈B ，且x ∉A ⋂B }. 若A ＝{x |y =x +3-x }，B ={y |y =x 2+1, x ≥1}, 则A #B =27. 集合A ={0,1}, B =a , 2a ，其中a ∈R , 我们把集合x x =x 1+x 2, x 1∈A , x 2∈B , {}{}
记作A ⨯B ，若集合A ⨯B 中的最大元素是2a +1，则a 的取值范围是 .
8. （2010四川）设S 为复数集C 的非空子集. 若对任意x, y ∈S ，都有x +y,x -y,xy ∈S ，则称S 为封闭集下列命题：
① 集合S ＝{a ＋
a,b 为整数}为封闭集；② 若S 为封闭集，则一定有0∈S ；
③ 封闭集一定是无限集；④ 若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆R 的任意集合T 也是封闭集. 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
9. 已知点集A =(x , y ) x +y -4x -8y +16≤0, B =(x , y ) y ≥x -m +4, m ∈R ，点集A 所表示的平面区域与点集B 所表示的平面区域的边界的交点为M , N ，若点 {22}{}
D (m ,4) 在点集A 所表示的平面区域内（不在边界上），则∆DMN 的面积的最大值为_____
10. 设集合P ={1,2,3,4}，Q =x -3≤x ≤2，则集合A =x x ∈P 且x ∉Q =_____ （用列举法表示） {}{
{}}Q =x
变：对任意两个集合X 和Y , 定义X -Y =x x ∈X 且x ∉Y , X ∆Y =(X -Y ) (Y -X ) , {}{}{}
设A =⎨y y =⎧
⎩1⎫, x ∈R 且x ≠0⎬, B ={y y =-2cos x , x ∈R }, 则A ∆B =______ 2x ⎭
[-2,0] (2, +∞)
11. 集合的“差”运算
设M , P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集M -P =x x ∈M 且x ∉P
（i ）设集合B ={2, 4, 6, 8}，请你分别用列举法和描述法写出一个集合A ，使得A -B ={5}，试问满足条件的集合A 共有多少个？
（ii ）请写出两组集合A ，B ，使得A -B ={5}；
（iii ）从（ii ）中选出一组A ，B ，计算A -(A -B ) ，在此基础上，请你写出有关集合A ，B 的其他表达式，使其结果与集合A -(A -B ) 相等。
12. 市场调查公司为了解某市市民在阅读报纸方面的取向，抽样调查了500个市民，调查结果显示：订阅日报的有334人，订阅晚报的有297人，其中两样都订的有150人.
（1）只订日报不订晚报的有多少人？
（2）只订晚报不订日报的有多少人？
（3）至少订一种报纸的有多少人？
（4）有多少人不订报纸？
13. 某文化补习学校在学期末统计了参加补习的198名学生的成绩，统计结果表明，179{}
人语文及格，153人数学及格，其中两门都及格的有130人.
（1）这个统计数字是否正确？请说明理由；
（2）经查实，却有7人两门都不及格，而原来统计中语文和数学的及格人数是对的，那么，到底有多少人两门都及格？
14. 某社区学院一个月30天课程安排情形如下：有15天有数学课，有14天有语文课，有14天有英语课. 有数学又有语文的有7天，有数学又有英语的有6天，有语文又有英语的有6天，三门课都有的有3天. 那么，有几天不上课？有几天只上一门课？有几天只上两门课？
7. 集合中一类动态问题的研究
1. 某中学高一（1）班有45人，其中参加数学兴趣小组有28人，参加化学兴趣小组有21 人，若数学化学都参加的有x 人，则x 的取值范围是
2. [a , b ] [c , d ]=？ 2. [a , b ] [c , d ]=？
3. 对于集合A =x a ≤x ≤b ，定义b -a 为其长度，已知数集P =⎨x m -{}⎧
⎩⎫3≤x ≤m ⎬，4⎭
⎧1⎫Q =⎨x n ≤x ≤n +⎬都是集合U =[0, 1]的子集 3⎭⎩
（1）若m =
31且n =，求集合P Q 的长度；（2）求集合P Q 长度的最小值 42
8. 集合计数问题研究
1. 集合S ={1,2,3, ,9}，集合A ={a 1, a 2, a 3}是S 的子集，且a 1, a 2, a 3满足a 1
2. 记集合P = { 0，2，4，6，8 }，Q = { m | m = 100a 1 +10a 2 + a 3，且a 1，a 2，a 3∈P }，将 集合Q 中所有元素排成一个递增的数列，则此数列的第68项是_______．464
3. （13年南通学科基地密卷）设n 为给定的正整数，数集M ={1, 2, 3, , n }的两个子集A , B 构成一个有序对(A , B )
（1）记a n 为满足A ≠B 的有序对(A , B ) 的个数，求a n ；
（2）记b n 为所有满足集合B 是集合A 的真子集的有序对(A , B ) 的个数，求b n
变式：设集合A ，B 是非空集合M 的两个不同子集，满足：A 不是B 的子集，且B 也不 是A 的子集．
（1）若M={a 1, a 2, a 3, a 4}，直接写出所有不同的有序集合对(A , B ) 的个数；
（2）若M={a 1, a 2, a 3, ⋅⋅⋅, a n }，求所有不同的有序集合对(A , B ) 的个数．
解：（1）110； ………………………………………………………………3分
（2）集合M 有2个子集，不同的有序集合对(A , B ) 有2n (2n -1) 个．
*若A ⊂≠B ，并设B 中含有k (1≤k ≤n , k ∈N ) 个元素，则满足A ⊂≠B 的有序 n
集合对 (A , B ) 有∑C
k =1n k n k (2-1) =∑C 2-∑C n =3n -2n 个 ． …………………6分 k k n k k =0k =0n n
n n 同理，满足B ⊂≠A 的有序集合对(A , B ) 有3-2个． …………………8分
满足条件的有序集合对(A , B ) 的个数为2(2-1) -2(3-2) =4+2-2⨯3．…10分
4. (13年南通学科基地密卷）设P 1, 2, 3, 4 , i }的子集，其中i , j 为 , P j 为集合P ={1, P 2，
正整数，记a ij 为满足P 1 P 2 P 3 P j =∅的有序子集组(P 1, P 2, , P j ) 的个数.
（1）求a 22的值；（2）求a ij 的表达式
n n n n n n n