大理学院本科毕业论文
n 阶矩阵的幂运算
The power operation of n-order matrix
学 院： 数学与计算机学院
项目组成员： 自己姓名
指导教师 ： 老师姓名
专 业： 年级（班级）：
起止日期 ：
制表日期： 年 月 日
摘要： 一个n 阶矩阵的幂运算是矩阵论中基本运算问题，在给定的矩阵的阶数较高时，计算量很大。本文针对该问题，结合实例介绍了数学归纳法、二项式展开法、乘法结合律方法、分块对角矩阵法、Jordan 标准形法、最小多项式法及特殊矩阵法等多种方阵高次幂求解方法，为n 阶矩阵的幂运算提供一个参照。 关键词： 矩阵的幂；相似矩阵；分块矩阵；Jordan 标准形；最小多项式；特殊矩阵；图论算法
Abstract ： The power operation of a n-order matrix is a fundamental operation in matrix theory.When the given matrix has a high order which will lead to a complex operation.On this question,this paper will introduce many methods to find the solution of high order matrix combine with some living examples,such as mathematical induction,multiplication law of association ,binomial expansion method,block diagonal matrix, Jordan standard form, minimum polynomials method and special matrix which offer a reference to the power operation of n-order matrix. Key words： The power of matrix ；similar matrix ；partitioning of matrix; Jordan standard form; minimum polynomials; special matrix; algorithm of graph theory
I
目 录
引言................................................................ 1
1 预备知识.......................................................... 1
1.1 矩阵的幂的概念及其运算律........................................ 1
2 n 阶矩阵A 的高次幂的若干算法及应用举例 ........................... 1
2.1 利用数学归纳法求解方阵高次幂.................................... 1
2.2 利用二项式展开法求解方阵高次幂.................................. 2
2.3 利用矩阵乘法结合律求解方阵高次幂................................ 3
2.4 利用分块对角矩阵求解方阵高次幂.................................. 4
2.5 利用Jo rd a n 标准形求解方阵高次幂 ................................ 5
2.6 用最小多项式法求解方阵高次幂.................................... 6
2.7 特殊矩阵法求解方阵高次幂........................................ 7
2.7.1 对合矩阵...................................................... 7
2.7.2 幂等矩阵...................................................... 8
2.8 利用图论算法求解方阵高次幂...................................... 9
2.8.1 邻接矩阵...................................................... 9
n 个
n 2.8.2 A AA A 的元素的意义 ...................................... 9
3 结束语........................................................... 10
参考文献........................................................... 12
致谢............................................................... 13
II
引言
矩阵理论是高等代数的主要内容之一。矩阵理论和方法对于图论的研究起了很重要的推动作用，同时也是数学及许多科学领域中的重要工具，它有着广泛的应用。掌握矩阵的运算及它们的运算规律是学习矩阵知识的一个重要环节。矩阵的幂运算以矩阵的乘法运算为基础，而矩阵的幂运算是比较麻烦的，因此，不断寻找简便的算法便成为矩阵幂运算方面的重要课题。
目前，对于矩阵高次幂的运算问题，有许多人进行过研究，本文在此基础上，以分类讨论的思想，系统全面地介绍了一般n 阶矩阵及一些特殊矩阵的高次幂的求解方法。对简单矩阵的低次幂的求解可直接按矩阵乘法的定义求解，对秩为1的n 阶矩阵可考虑用矩阵乘法结合律方法求解，另外还有二项式展开法、分块对角矩阵法、一般的n 阶矩阵可采用Jordan 标准形法、最小多项式等求解方法，以及特殊矩阵法（如：对合矩阵、幂等矩阵的高次幂求法）、图论算法。
诸方法为n 阶矩阵的幂运算提供一个参照。在实际应用中，可根据方阵的不同特征采用不同的计算方法以简化计算。
1 预备知识
1.1 矩阵的幂的概念及其运算律
在矩阵的运算中，乘法是经常用到的一种运算。特别地，当一个矩阵为方阵时，可以定义矩阵与它自身的乘法运算，即矩阵的幂。
定义（矩阵的幂）[1]设A 是n ⨯n 矩阵（n 阶方阵），m 是正整数，则
A m m 个 =AA A 称为A 的m 次幂。由方阵的幂的定义，显然有以下运算律： A A =A k l k +l ；(A k ) l =A kl ；(λA ) k =λk A k ；|A k |=|A |k ；(A k ) T =(A T ) k ，其中k ，l 为非负整数。
2 n 阶矩阵A 的高次幂的若干算法及应用举例
2.1 利用数学归纳法求解方阵高次幂
该方法的思路是通过计算A 2，A 3等，从中发现A k 的元素的规律，再用数学归 1
纳法证明。
⎛λ
例1 已知矩阵A = 0
0⎝
⎛λ2
解：可求得A 2= 0
0⎝1λ02λ0⎫⎪1，试求A k （k 为自然数）． ⎪λ⎪⎭⎛λ31⎫⎪ 32λ⎪, A = 02 0λ⎪⎭⎝3λ2λ2λ3003λ⎫2⎪3λ⎪, 3λ⎪⎭
观察这些矩阵的规律可以看到, A 2的第1行元素是(λ+1) 2展开式的三项元素, 而A 3的第1行元素是(λ+1) 3展开式的前三项，由此推测，A k 的第1行元素应该是(λ+1) k 的展开式的前三项元素，λk ，k λk -1，
⎛k λ
现假设A k = 0
0 ⎝k λk -1k (k -1) 2λk -2． k (k -1) 2k λλk -2λk k -1k 0λ⎫⎪⎪⎪，显然当k =2时是成立的； ⎪⎪⎭
k -2
则A k +1⎛k λ k =A ⋅A = 0
0 ⎝
⎛k +1 λ
= 0
0 ⎝k λk -1k (k -1) 2k λλλk k -1k 0λ⎫⎪⎛λ⎪ ⎪ 0⎪ 0⎪⎝⎭1λ00⎫⎪1 ⎪λ⎪⎭(k +1) λk (k +1) k 2λk -1λk +1(k +1) λk 0λk +1⎫⎪⎪⎪，即k +1时结论也成立， ⎪⎪⎭
故由归纳假设法知上述结论正确．
2.2 利用二项式展开法求解方阵高次幂
若n 阶矩阵A 可分解为A =F +G , 且矩阵F 与G 的高次幂容易计算， F G =G F
k （即F 与G 可交换，否则二项展开公式不成立），则有 k k 1k -1A =(F +G ) =F +C k F G +C k F 2k -2G + +C k FG +G 2k -1k k ．
特别：若n 阶矩阵A 的主对角上元素相同，这样A 可表为一个纯量矩阵kE 与另 2
一个矩阵G 之和，即A =kE +G ，且G 的高次幂易计算，则采用该方法较直观． 例2 对例1中的矩阵A ，将矩阵A 分解为
⎛λ
A =0 0⎝00⎫⎛0⎪ 0+0⎪ λ⎪⎭⎝01000⎫⎛0⎪ 1=λE +H ，其中H =0⎪ ⎪ 00⎭⎝
⎛0
=0 0⎝000100λ00⎫⎪1， ⎪0⎪⎭可以验证矩阵H 满足H 21⎫⎪0，H 3=H 4= =0， ⎪0⎪⎭
且(λE ) H =λH =H (λE ) , 即λE 与H 可交换，由二项式展开公式得： A =(λE +H ) =(λE ) +C k (λE ) k k k 1k -1H +C k (λE ) 2k -2H 2
λk -2
=λk E +k λk -1H +k (k -1)
2λk -2H 2⎛k λ = 0
0 ⎝k λk -1k (k -1) 2k λλk k -1k 0λ⎫⎪⎪⎪． ⎪⎪⎭
2.3 利用矩阵乘法结合律求解方阵高次幂
对于n 阶矩阵A ，若r (A ) =1，则矩阵A 至少有一行元素不为零，且其余各行元素都是它的倍数，于是秩为1的n ⨯n 的矩阵的一般形式为
⎛a 1b 1 a 2b 1A =
⎝a n b 1a 1b 2a 2b 2 a n b 2 a 1b n ⎫⎛a 1⎫⎛b 1⎫⎪ ⎪ ⎪a 2b n a 2b ⎪，若设α= ⎪，β= 2⎪，a , b (i =1, 2, , n ) i i ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪a n b n ⎭a ⎝n ⎭⎝b n ⎭
均为非零实数，则A =(αβT ) ，记a =tr (A ) =a 1b 1+a 2b 2+ +a n b n =βT α，
k 个
则有A k =(αβT )(αβT ) (αβT ) =α(βT α) k -1βT =a k -1αβT =a k -1A ．
这种方法就称矩阵的乘法结合律． [2]
3
1
2
1
3
21⎫⎪3⎪2⎪，求A n （n 为自然数）． ⎪3⎪1⎪⎪⎭⎛ 1 例3 已知矩阵A = 2 3 ⎝
解：对A 施行初等变换，不难发现r (A ) =1，考虑用乘法结合律： 取α=(1,2, 3) T , β=(1,, ) T ，则A =αβT ，且a =βT α=tr (A ) =3， 2311
⎛
1
于是A n =a n -1A =3n -1 2
3 ⎝121321⎫⎪3⎪2⎪． 3⎪⎪1⎪⎪⎭
2.4 利用分块对角矩阵求解方阵高次幂
当一个n 阶矩阵的阶数比较大时，可以通过用一些横线和竖线将矩阵分成许多小块，这些小块称为矩阵的子阵。若n 阶矩阵可分成分块对角阵形式，则可以将高阶矩阵的高次幂计算问题转化为简单子阵的高次幂计算问题，从而达到简化计算的目的．
⎛A 1
即对于分块对角矩阵A =
⎝A 2 ⎛A 1k ⎫ ⎪⎪，有A k = ⎪ ⎪ A S ⎭⎝A 2k A S k ⎫⎪⎪， ⎪⎪⎪⎭
其中A i (i =1, 2, , s ) 均为方阵．
⎛2
1例4 已知A =
0 ⎝0420000240⎫⎪0⎪，求A n （n 为自然数）． ⎪0⎪2⎭
0⎫⎛2
⎪, 其中B = C ⎭⎝14⎫⎛2⎪, C = 2⎭⎝40⎫⎪2⎭[3]⎛B 解：矩阵A 可分块为A = ⎝0
n ⎛B 于是A n = ⎝0 0⎫，下面求B n 与C n ， n ⎪C ⎭
4
由于B = ⎛2⎝14⎫⎛2⎫T =1, 2=αβ()⎪ ⎪2⎭⎝1⎭
T n n -1，其中α= ⎪, β= ⎪， ⎝1⎭⎝2⎭⎛2⎫⎛1⎫于是B =(αβ) =4
⎛2又有C = ⎝4n ⎛4n -1⋅2B = n -1⎝4⎫⎪ n -14⋅2⎭40⎫2⎪，且G =0, (2E ) G =G (2E ) 0⎭n 0⎫⎪=2E +G 2⎭⎛0, 其中G = ⎝4，
由二项式展开公式得
C =(2E +G ) =(2E ) +C (2E )
⎛4n -1⋅2 n -10⎫ 4=n ⎪C ⎭ 0 0⎝n n n 1n n -1G =2E +n 20n n -1⎛2n G = n -1⎝4n ⋅20⎫ n ⎪2⎭44n ⎛B n 故A = ⎝0n n -1⋅202n n -1004n ⋅20⎫⎪0⎪． ⎪0⎪n ⎪2⎭
2.5 利用Jordan 标准形求解方阵高次幂
我们知道，若A 与n 阶对角阵D 相似，则可求出一个n 阶可逆阵P ，使：-1n n -1，P AP =D , 于是A =PD P ；若A 不与n 阶对角阵相似（即A 不可对角化）则可用Jordan 标准形法来求解．
[4] 定理（Jordan 定理）设A ∈C n ⨯n ，则A 与一个Jordan 矩阵J 相似，这个Jordan
矩阵J 除去其中Jordan 块的排列次序外是被矩阵A 唯一确定的，称J 为A 的Jordan 标准形．（即存在n 阶可逆矩阵P ，使：P -1AP =J =diag (J 1, J 2, , J s ) ，其中J i (i =1, 2, , s ) 为m i 阶Jordan 块，则A =PJP -1，故有A n =PJ n P -1）．
此时要用到求Jordan 块的方幂的如下结果：
⎛λi
=
⎝1⎛λi k ⎫ ⎪⎪= 1⎪ ⎪λi ⎭m ⨯m ⎝i i k C k λi 1k -1 C k m i -1λi k -m i +1J i k λi λi k C k λi 1k -1λi k ⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎭m i ⨯m i ， 其中C k l =k (k -1) (k -l +1) l ! ，且规定C k l =0(l >k ) ．λi 为A 的特征根． 可见该方法更具有一般性，应用它可计算任何n 阶矩阵的高次幂． 5
⎛-1
例5 设矩阵A = -1
-1⎝-20-16⎫⎪3，求A k （k 为自然数）． ⎪4⎪⎭
2-6⎫⎛1
⎪ -3→0⎪ ⎪ 0λ-4⎭⎝0⎫⎪0， ⎪2(λ-1) ⎪⎭0⎛λ+1 解：由于λE -A = 1 1⎝λ1λ-10
2从而A 的初等因子为λ-1，(λ-1) ，故A 相似于Jordan 标准形
⎛1
J=0 0⎝0110⎫⎪0．下求矩阵P ，使：P -1AP =J , 设P =(α1, α2, α3) ， ⎪1⎪⎭
有A (α1, α2, α3) =(α1, α2, α3) J , 经计算得：
α1=(3,0,1) ; α2=(-1, 0, 0) ; α3=(2,1,1), T T T
⎛3
则P =(α1, α2, α3) = 0
1⎝
⎛1
故有A k =P 0
0⎝011k -1002⎫⎪1，且有A =PJP -1， ⎪1⎪⎭01k 0⎫⎛1-2k ⎪-1 0P =-k ⎪ -k 1⎪⎭⎝-2k 1-k -k ⎫⎪3k ． ⎪1+3k ⎪⎭6k 0⎫⎛1⎪ -10P =P 0⎪ ⎪ 01⎭⎝
2.6 用最小多项式法求解方阵高次幂
定理（Hamilton -Cayley 定理）[5]设n 阶矩阵A 是其特征多项式的根（零点），即令f (x ) =xE -A =x n +a 1x n -1+ +a n -1x +a n
则f (A ) =A n +a 1A n -1+ +a n -1A +a n E =0．
由以上定理知，以A 为根的多项式有很多，但把首项系数为１、次数最小且以A 为根的多项式，称为A 的最小多项式，常用m A (λ) 表示．
这说明A 的最小多项式m A (λ) 是其特征多项式f (λ) 的因式，该事实有一般性，且有以下结论：
①m A (λ) 可整除以A 为根的任何首项系数为１的多项式，且m A (λ) 是唯一的； ②m A (λ) 与f (λ) 有相同的根（不计重数）；③两相似矩阵的最小多项式相同； 6
④m A (λ) =d n (λ) ，其中d n (λ) 是A 的第n 个不变因子．
⎛-7
例6 设A = 3
3⎝
-1256
-6⎫⎪
3，计算A 300． ⎪2⎪⎭
解：由于A 的特征多项式为：
λ+7
f (λ) =λE -A =
-3-3
12
6-3
=(λ+1) (λ-2) ，
2
λ-5-6
λ-2
而A +E ≠0, A -2E ≠0, (A +E )(A -2E ) =0, 故：m A (λ) =(λ+1)(λ-2) ， 当g (λ) =λ300，设g (λ) =m A (λ) ⋅q (λ) +r (λ) ，（其中
r (λ) =0或∂(r (λ))
），
不妨令r (λ) =b 0+b 1λ，从而有：
1300⎧
b =(2+2) 0⎪⎪3
，解之得⎨，
1⎪b =(2300-1) 1⎪3⎩
-222
302
⎧g (-1) =b 0-b 1⎧b 0-b 1=1
，亦即⎨⎨300
g (2)=b +2b 01⎩⎩b 0+2b 1=2
于是A 300
⎛-2301+3
300
=g (A ) =b 0E +b 1A = 2-1
2300-1⎝
+4-1-2
-2
301
301
+2⎫
⎪300
2-1⎪． 300⎪2⎭
301
2.7 特殊矩阵法求解方阵高次幂
2.7.1 对合矩阵
定义[1] 设A 为n 阶矩阵，若有A 2=E ，则称A 为对合矩阵．
⎧A ，n 为奇数
性质 (1)A =⎨；
E ，n 为偶数⎩
[6]
n
(2)满足A 2=E 的一切二阶方阵为±E 及
⎛a ⎝c b ⎫2
⎪，其中a +bc =1． -a ⎭
⎧λn E ，n 为偶数
推广性质 若有A =λE ，则A =⎨n -1．
λA ，n 为奇数⎩
[6]
2
2
n
7
⎛a ⎝b
b ⎫n
． ⎪，试求A （n 为自然数）
a ⎭
1⎫2
⎪，易知P =E 0⎭
例7 设A =
解：记P =
⎛0⎝1
，即P 为对合矩阵，
故P 2=P 4= =E, P 3=P 5= =P ，由A =aE +bP
⎛a n
得A =
⎝b
b ⎫n 1n -12n -222n n ⎪=a E +C n a bP +C n a b P + +b P a ⎭
n
1n -13n -33
=(a n +C n 2a n -2b 2+C n 4a n -4b 4+ ) E +(C n a b +C n a b + ) P
=
(a +b ) +(a -b )
2
n n
E +
(a +b ) -(a -b )
2
n n
P
n n
1⎛(a +b ) +(a -b ) =
2⎝(a +b ) n -(a -b ) n n n
(a +b ) -(a -b ) ⎫
． n n ⎪
(a +b ) +(a -b ) ⎭n
1⎫1⎛2⎪= n 1⎭2⎝2
n
n
n n -1
2⎫⎛2
= n -1n ⎪
2⎭⎝2
n -1
⎛1
特别地：a =1, b =1时，有
⎝1⎫； n -1⎪2⎭2
-22
n -1
⎛1
a =1, b =-1时，有
⎝-1⎛-1
时，有 a =-1, b =1
⎝1
n
-1⎫1⎛2⎪= 1⎭2⎝-2n
n
n n -1
-2⎫⎛2
= n ⎪n -1
2⎭⎝-2
n -1
n -1
⎫⎪； ⎭
1⎫n
⎪=(-1) -1⎭⎛2n -1 n -1⎝-2
-22
n -1
⎫⎪⎭
．
2.7.2 幂等矩阵
定义[1] 设A 为n 阶矩阵，若有A 2=A ，则称A 为幂等矩阵．
性质[6] (1)A n =A (n =2, 3, ) ；(2)满足A 2=A 的一切二阶方阵有：0, E
, 及形如
⎛ ⎝
2c
1-
⎫⎪⎪或
⎪
⎪
2⎭b
⎛ ⎝
2c
1+
⎫⎪
⎪的矩阵．
⎪
⎪
2⎭b
推广性质[6] 若有A 2=kA ，则A n =k n -1A ．
8
⎛1 2
例8 已知A =
-1 ⎝2⎛1 2
解：由A = 2
-1 ⎝2
-
1⎫2⎪100
⎪，求A ． 1⎪⎪2⎭
2
1⎫⎛1-⎪ 22⎪= 1⎪ -1⎪ 2⎭⎝2
-
1⎫
⎪2
⎪=A ，故A 为幂等矩阵， 1⎪⎪2⎭
由其性质知 A 100
⎛1 2
=A =
-1 ⎝2
-
1⎫⎪2
⎪． 1⎪⎪2⎭
2.8 利用图论算法求解方阵高次幂
若图G =V , E 是结点集合V 和边的集合E 所组成的一个系统，A 是由0和1为元素组成的n 阶矩阵． 2.8.1 邻接矩阵
定义[7]
设一有向图G =, E ，其中V ={v 1, v 2, , v n }, E ={l 1, l 2, , l m }， 假定各结点从v 1到v n 排列，定义一个n ⨯n 矩阵A ，A 中的元素为
∈E ⎧⎪1, 如果（v i ，v j ）
，称A a ij =⎨
0, 如果（v ，v ）∉E ⎪i j ⎩
为图G 的邻接矩阵，称图G 为A 的相关图．显
然任意一个n 阶矩阵都有一个相关图．
n 个
n
2.8.2 A =AA A 的元素的意义
（v i ，v j ）当n =1时, a ij =1表示存在一条边，或者说从v i 到v j 存在一条长度为
n
1的通路；n =2时, 令B =A ，B 中的元素b ij =
2
∑a
k =1
ik
a kj
，据图论知识：b ij 表示从
结点v i 到结点v j 长度为2的路径的数目，（b ij =0，则长度为2的路径不存在），
b ii 表示长度为2
的回路数目．一般地，n =k 时, 令C=(cij ) =A k ，c ij 表示从结点v i
到结点v j 长度为k 的路径的数目，同理c ij =0表示长度为k 的路径不存在，c ii 表
9
示长度为k 的回路数目[7]．
据此，可得到n 阶矩阵幂运算的图论算法步骤：
第一步：据所给的n 阶矩阵A =
(a ij ) ，画出其相关图G =V , E ，
V ={v 1, v 2, , v n }, E ={l 1, l 2, , l m }；
第二步：在图G =V , E 上逐步找出从结v i (i =1, 2, , n ) 到结点v j (i =1, 2, , n ) 长度为k 的路径数目c ij ；
第三步：写出n 阶矩阵C=(cij ) ，便得到所求的幂矩阵A k =(cij ) n ⨯n ．
⎛0 1 = 0 0 0⎝
10100
01000
00001
0⎫⎪0⎪
3
0⎪，试求A ． ⎪1⎪0⎪⎭
例9 设A =(a ij ) 5⨯5
解：先画出矩阵A 的相关有向图G 如右图所示：
从图可算出：从结点v i 到v j (i , j =1, 2, 3, 4, 5) 长度为3的路径数目为 5 3C 12=2; C 21=2; C 23=2; C 32=2; C 45=1; C 54=1
⎛0
2 = 0 0 0⎝
20200
02000
00001
0⎫⎪0⎪0⎪． ⎪1⎪0⎪⎭
其余长度为3的路径都不存在，故A 3=(cij ) 5⨯5
说明：当已知方阵的相关有向图较复杂时，此方法的运算量较大，不提倡采用该方法，在此，仅作为一种n 阶矩阵的幂运算的方法提出．
3 结束语
在具体求解一个方阵的高次幂时，根据方阵的不同特征采用不同的计算方法是求方阵高次幂的关键。上述介绍的几种方法不一定全是最简单的，也不是独立存在的，有时还需要相互配合使用（如例4结合使用了方法3与方法4）。总之，在方阵高次幂的求解过程中要充分运用矩阵的特征寻求A n 的最佳计算方
10
法，这对于沟通矩阵各部分内容之间的联系及推广思路，是大有裨益的，而能熟练选择出最简单的计算方法的能力需要在实践中逐步提高。
11
参考文献
[1] 徐仲等．高等代数考研教案(M)．2版．西北工业大学出版社．2009，7(1):165－172
[2] 姜海勤．特殊方阵高次幂的简单算法(J)．扬州职业大学学报．2003，7(3):44－45
[3] 李战国，卢亚丽等．方阵高次幂计算方法研究(J)．河南教育学院学报(自然科学版) ．2002，11(4):2－3
[4] 张禾瑞，赦炳新．高等代数(M)．5版．高等教育出版社．2007:429－430 [5] 程云鹏．矩阵论(M)．2版．西北工业大学出版社．2005，9:52－57 [6] 严文利．求矩阵幂的几种方法(J)．淮阴工业专科学校．1994，10(1):189－191 [7] 杜忠复，陈兆均．离散数学(M)．高等教育出版社．2004，4(1):105－109
12
致 谢
经过近半年的忙碌，终于完成了本次毕业论文的书写与修改整个过程。一路走来，在感受艰辛的同时也沐浴了关爱。
在这里，首先要衷心地感谢我的指导老师张老师。本论文从选题、构思到最后定稿等环节张老师都给予我耐心的指导。张老师严谨的治学态度、渊博的知识、敏锐的学术思维、认真负责的工作态度以及诲人不倦的师者风范是我毕生的学习楷模。导师的悉心教诲，是鞭策我不知疲倦探究问题的力量源泉；导师的学术远见，拓展了我的视野和研究思路。总之，张老师不仅在学业上对我潜心引导，而且在生活、做人等方面也给了我很大的启发。
其次，在四年的大学生涯里，还有众多老师的关心、支持和帮助，在此，谨向老师们致以衷心的感谢和崇高的敬意! 特别是我的班主任杨老师，在督促我们学习之余，还教会了我诸多书本里学不到的知识。
再次，我要向在百忙之中抽时间对本文进行审阅、评议和参加本人论文答辩的各位老师表示感谢。
最后，我也要感谢给过我关心、支持和帮助的亲人、同学和朋友们。在今后的学习工作和生活中，我会继续努力进取，争取以优异的表现作为给予大家的回报！
13
大理学院本科毕业论文
n 阶矩阵的幂运算
The power operation of n-order matrix
学 院： 数学与计算机学院
项目组成员： 自己姓名
指导教师 ： 老师姓名
专 业： 年级（班级）：
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摘要： 一个n 阶矩阵的幂运算是矩阵论中基本运算问题，在给定的矩阵的阶数较高时，计算量很大。本文针对该问题，结合实例介绍了数学归纳法、二项式展开法、乘法结合律方法、分块对角矩阵法、Jordan 标准形法、最小多项式法及特殊矩阵法等多种方阵高次幂求解方法，为n 阶矩阵的幂运算提供一个参照。 关键词： 矩阵的幂；相似矩阵；分块矩阵；Jordan 标准形；最小多项式；特殊矩阵；图论算法
Abstract ： The power operation of a n-order matrix is a fundamental operation in matrix theory.When the given matrix has a high order which will lead to a complex operation.On this question,this paper will introduce many methods to find the solution of high order matrix combine with some living examples,such as mathematical induction,multiplication law of association ,binomial expansion method,block diagonal matrix, Jordan standard form, minimum polynomials method and special matrix which offer a reference to the power operation of n-order matrix. Key words： The power of matrix ；similar matrix ；partitioning of matrix; Jordan standard form; minimum polynomials; special matrix; algorithm of graph theory
I
目 录
引言................................................................ 1
1 预备知识.......................................................... 1
1.1 矩阵的幂的概念及其运算律........................................ 1
2 n 阶矩阵A 的高次幂的若干算法及应用举例 ........................... 1
2.1 利用数学归纳法求解方阵高次幂.................................... 1
2.2 利用二项式展开法求解方阵高次幂.................................. 2
2.3 利用矩阵乘法结合律求解方阵高次幂................................ 3
2.4 利用分块对角矩阵求解方阵高次幂.................................. 4
2.5 利用Jo rd a n 标准形求解方阵高次幂 ................................ 5
2.6 用最小多项式法求解方阵高次幂.................................... 6
2.7 特殊矩阵法求解方阵高次幂........................................ 7
2.7.1 对合矩阵...................................................... 7
2.7.2 幂等矩阵...................................................... 8
2.8 利用图论算法求解方阵高次幂...................................... 9
2.8.1 邻接矩阵...................................................... 9
n 个
n 2.8.2 A AA A 的元素的意义 ...................................... 9
3 结束语........................................................... 10
参考文献........................................................... 12
致谢............................................................... 13
II
引言
矩阵理论是高等代数的主要内容之一。矩阵理论和方法对于图论的研究起了很重要的推动作用，同时也是数学及许多科学领域中的重要工具，它有着广泛的应用。掌握矩阵的运算及它们的运算规律是学习矩阵知识的一个重要环节。矩阵的幂运算以矩阵的乘法运算为基础，而矩阵的幂运算是比较麻烦的，因此，不断寻找简便的算法便成为矩阵幂运算方面的重要课题。
目前，对于矩阵高次幂的运算问题，有许多人进行过研究，本文在此基础上，以分类讨论的思想，系统全面地介绍了一般n 阶矩阵及一些特殊矩阵的高次幂的求解方法。对简单矩阵的低次幂的求解可直接按矩阵乘法的定义求解，对秩为1的n 阶矩阵可考虑用矩阵乘法结合律方法求解，另外还有二项式展开法、分块对角矩阵法、一般的n 阶矩阵可采用Jordan 标准形法、最小多项式等求解方法，以及特殊矩阵法（如：对合矩阵、幂等矩阵的高次幂求法）、图论算法。
诸方法为n 阶矩阵的幂运算提供一个参照。在实际应用中，可根据方阵的不同特征采用不同的计算方法以简化计算。
1 预备知识
1.1 矩阵的幂的概念及其运算律
在矩阵的运算中，乘法是经常用到的一种运算。特别地，当一个矩阵为方阵时，可以定义矩阵与它自身的乘法运算，即矩阵的幂。
定义（矩阵的幂）[1]设A 是n ⨯n 矩阵（n 阶方阵），m 是正整数，则
A m m 个 =AA A 称为A 的m 次幂。由方阵的幂的定义，显然有以下运算律： A A =A k l k +l ；(A k ) l =A kl ；(λA ) k =λk A k ；|A k |=|A |k ；(A k ) T =(A T ) k ，其中k ，l 为非负整数。
2 n 阶矩阵A 的高次幂的若干算法及应用举例
2.1 利用数学归纳法求解方阵高次幂
该方法的思路是通过计算A 2，A 3等，从中发现A k 的元素的规律，再用数学归 1
纳法证明。
⎛λ
例1 已知矩阵A = 0
0⎝
⎛λ2
解：可求得A 2= 0
0⎝1λ02λ0⎫⎪1，试求A k （k 为自然数）． ⎪λ⎪⎭⎛λ31⎫⎪ 32λ⎪, A = 02 0λ⎪⎭⎝3λ2λ2λ3003λ⎫2⎪3λ⎪, 3λ⎪⎭
观察这些矩阵的规律可以看到, A 2的第1行元素是(λ+1) 2展开式的三项元素, 而A 3的第1行元素是(λ+1) 3展开式的前三项，由此推测，A k 的第1行元素应该是(λ+1) k 的展开式的前三项元素，λk ，k λk -1，
⎛k λ
现假设A k = 0
0 ⎝k λk -1k (k -1) 2λk -2． k (k -1) 2k λλk -2λk k -1k 0λ⎫⎪⎪⎪，显然当k =2时是成立的； ⎪⎪⎭
k -2
则A k +1⎛k λ k =A ⋅A = 0
0 ⎝
⎛k +1 λ
= 0
0 ⎝k λk -1k (k -1) 2k λλλk k -1k 0λ⎫⎪⎛λ⎪ ⎪ 0⎪ 0⎪⎝⎭1λ00⎫⎪1 ⎪λ⎪⎭(k +1) λk (k +1) k 2λk -1λk +1(k +1) λk 0λk +1⎫⎪⎪⎪，即k +1时结论也成立， ⎪⎪⎭
故由归纳假设法知上述结论正确．
2.2 利用二项式展开法求解方阵高次幂
若n 阶矩阵A 可分解为A =F +G , 且矩阵F 与G 的高次幂容易计算， F G =G F
k （即F 与G 可交换，否则二项展开公式不成立），则有 k k 1k -1A =(F +G ) =F +C k F G +C k F 2k -2G + +C k FG +G 2k -1k k ．
特别：若n 阶矩阵A 的主对角上元素相同，这样A 可表为一个纯量矩阵kE 与另 2
一个矩阵G 之和，即A =kE +G ，且G 的高次幂易计算，则采用该方法较直观． 例2 对例1中的矩阵A ，将矩阵A 分解为
⎛λ
A =0 0⎝00⎫⎛0⎪ 0+0⎪ λ⎪⎭⎝01000⎫⎛0⎪ 1=λE +H ，其中H =0⎪ ⎪ 00⎭⎝
⎛0
=0 0⎝000100λ00⎫⎪1， ⎪0⎪⎭可以验证矩阵H 满足H 21⎫⎪0，H 3=H 4= =0， ⎪0⎪⎭
且(λE ) H =λH =H (λE ) , 即λE 与H 可交换，由二项式展开公式得： A =(λE +H ) =(λE ) +C k (λE ) k k k 1k -1H +C k (λE ) 2k -2H 2
λk -2
=λk E +k λk -1H +k (k -1)
2λk -2H 2⎛k λ = 0
0 ⎝k λk -1k (k -1) 2k λλk k -1k 0λ⎫⎪⎪⎪． ⎪⎪⎭
2.3 利用矩阵乘法结合律求解方阵高次幂
对于n 阶矩阵A ，若r (A ) =1，则矩阵A 至少有一行元素不为零，且其余各行元素都是它的倍数，于是秩为1的n ⨯n 的矩阵的一般形式为
⎛a 1b 1 a 2b 1A =
⎝a n b 1a 1b 2a 2b 2 a n b 2 a 1b n ⎫⎛a 1⎫⎛b 1⎫⎪ ⎪ ⎪a 2b n a 2b ⎪，若设α= ⎪，β= 2⎪，a , b (i =1, 2, , n ) i i ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪a n b n ⎭a ⎝n ⎭⎝b n ⎭
均为非零实数，则A =(αβT ) ，记a =tr (A ) =a 1b 1+a 2b 2+ +a n b n =βT α，
k 个
则有A k =(αβT )(αβT ) (αβT ) =α(βT α) k -1βT =a k -1αβT =a k -1A ．
这种方法就称矩阵的乘法结合律． [2]
3
1
2
1
3
21⎫⎪3⎪2⎪，求A n （n 为自然数）． ⎪3⎪1⎪⎪⎭⎛ 1 例3 已知矩阵A = 2 3 ⎝
解：对A 施行初等变换，不难发现r (A ) =1，考虑用乘法结合律： 取α=(1,2, 3) T , β=(1,, ) T ，则A =αβT ，且a =βT α=tr (A ) =3， 2311
⎛
1
于是A n =a n -1A =3n -1 2
3 ⎝121321⎫⎪3⎪2⎪． 3⎪⎪1⎪⎪⎭
2.4 利用分块对角矩阵求解方阵高次幂
当一个n 阶矩阵的阶数比较大时，可以通过用一些横线和竖线将矩阵分成许多小块，这些小块称为矩阵的子阵。若n 阶矩阵可分成分块对角阵形式，则可以将高阶矩阵的高次幂计算问题转化为简单子阵的高次幂计算问题，从而达到简化计算的目的．
⎛A 1
即对于分块对角矩阵A =
⎝A 2 ⎛A 1k ⎫ ⎪⎪，有A k = ⎪ ⎪ A S ⎭⎝A 2k A S k ⎫⎪⎪， ⎪⎪⎪⎭
其中A i (i =1, 2, , s ) 均为方阵．
⎛2
1例4 已知A =
0 ⎝0420000240⎫⎪0⎪，求A n （n 为自然数）． ⎪0⎪2⎭
0⎫⎛2
⎪, 其中B = C ⎭⎝14⎫⎛2⎪, C = 2⎭⎝40⎫⎪2⎭[3]⎛B 解：矩阵A 可分块为A = ⎝0
n ⎛B 于是A n = ⎝0 0⎫，下面求B n 与C n ， n ⎪C ⎭
4
由于B = ⎛2⎝14⎫⎛2⎫T =1, 2=αβ()⎪ ⎪2⎭⎝1⎭
T n n -1，其中α= ⎪, β= ⎪， ⎝1⎭⎝2⎭⎛2⎫⎛1⎫于是B =(αβ) =4
⎛2又有C = ⎝4n ⎛4n -1⋅2B = n -1⎝4⎫⎪ n -14⋅2⎭40⎫2⎪，且G =0, (2E ) G =G (2E ) 0⎭n 0⎫⎪=2E +G 2⎭⎛0, 其中G = ⎝4，
由二项式展开公式得
C =(2E +G ) =(2E ) +C (2E )
⎛4n -1⋅2 n -10⎫ 4=n ⎪C ⎭ 0 0⎝n n n 1n n -1G =2E +n 20n n -1⎛2n G = n -1⎝4n ⋅20⎫ n ⎪2⎭44n ⎛B n 故A = ⎝0n n -1⋅202n n -1004n ⋅20⎫⎪0⎪． ⎪0⎪n ⎪2⎭
2.5 利用Jordan 标准形求解方阵高次幂
我们知道，若A 与n 阶对角阵D 相似，则可求出一个n 阶可逆阵P ，使：-1n n -1，P AP =D , 于是A =PD P ；若A 不与n 阶对角阵相似（即A 不可对角化）则可用Jordan 标准形法来求解．
[4] 定理（Jordan 定理）设A ∈C n ⨯n ，则A 与一个Jordan 矩阵J 相似，这个Jordan
矩阵J 除去其中Jordan 块的排列次序外是被矩阵A 唯一确定的，称J 为A 的Jordan 标准形．（即存在n 阶可逆矩阵P ，使：P -1AP =J =diag (J 1, J 2, , J s ) ，其中J i (i =1, 2, , s ) 为m i 阶Jordan 块，则A =PJP -1，故有A n =PJ n P -1）．
此时要用到求Jordan 块的方幂的如下结果：
⎛λi
=
⎝1⎛λi k ⎫ ⎪⎪= 1⎪ ⎪λi ⎭m ⨯m ⎝i i k C k λi 1k -1 C k m i -1λi k -m i +1J i k λi λi k C k λi 1k -1λi k ⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎭m i ⨯m i ， 其中C k l =k (k -1) (k -l +1) l ! ，且规定C k l =0(l >k ) ．λi 为A 的特征根． 可见该方法更具有一般性，应用它可计算任何n 阶矩阵的高次幂． 5
⎛-1
例5 设矩阵A = -1
-1⎝-20-16⎫⎪3，求A k （k 为自然数）． ⎪4⎪⎭
2-6⎫⎛1
⎪ -3→0⎪ ⎪ 0λ-4⎭⎝0⎫⎪0， ⎪2(λ-1) ⎪⎭0⎛λ+1 解：由于λE -A = 1 1⎝λ1λ-10
2从而A 的初等因子为λ-1，(λ-1) ，故A 相似于Jordan 标准形
⎛1
J=0 0⎝0110⎫⎪0．下求矩阵P ，使：P -1AP =J , 设P =(α1, α2, α3) ， ⎪1⎪⎭
有A (α1, α2, α3) =(α1, α2, α3) J , 经计算得：
α1=(3,0,1) ; α2=(-1, 0, 0) ; α3=(2,1,1), T T T
⎛3
则P =(α1, α2, α3) = 0
1⎝
⎛1
故有A k =P 0
0⎝011k -1002⎫⎪1，且有A =PJP -1， ⎪1⎪⎭01k 0⎫⎛1-2k ⎪-1 0P =-k ⎪ -k 1⎪⎭⎝-2k 1-k -k ⎫⎪3k ． ⎪1+3k ⎪⎭6k 0⎫⎛1⎪ -10P =P 0⎪ ⎪ 01⎭⎝
2.6 用最小多项式法求解方阵高次幂
定理（Hamilton -Cayley 定理）[5]设n 阶矩阵A 是其特征多项式的根（零点），即令f (x ) =xE -A =x n +a 1x n -1+ +a n -1x +a n
则f (A ) =A n +a 1A n -1+ +a n -1A +a n E =0．
由以上定理知，以A 为根的多项式有很多，但把首项系数为１、次数最小且以A 为根的多项式，称为A 的最小多项式，常用m A (λ) 表示．
这说明A 的最小多项式m A (λ) 是其特征多项式f (λ) 的因式，该事实有一般性，且有以下结论：
①m A (λ) 可整除以A 为根的任何首项系数为１的多项式，且m A (λ) 是唯一的； ②m A (λ) 与f (λ) 有相同的根（不计重数）；③两相似矩阵的最小多项式相同； 6
④m A (λ) =d n (λ) ，其中d n (λ) 是A 的第n 个不变因子．
⎛-7
例6 设A = 3
3⎝
-1256
-6⎫⎪
3，计算A 300． ⎪2⎪⎭
解：由于A 的特征多项式为：
λ+7
f (λ) =λE -A =
-3-3
12
6-3
=(λ+1) (λ-2) ，
2
λ-5-6
λ-2
而A +E ≠0, A -2E ≠0, (A +E )(A -2E ) =0, 故：m A (λ) =(λ+1)(λ-2) ， 当g (λ) =λ300，设g (λ) =m A (λ) ⋅q (λ) +r (λ) ，（其中
r (λ) =0或∂(r (λ))
），
不妨令r (λ) =b 0+b 1λ，从而有：
1300⎧
b =(2+2) 0⎪⎪3
，解之得⎨，
1⎪b =(2300-1) 1⎪3⎩
-222
302
⎧g (-1) =b 0-b 1⎧b 0-b 1=1
，亦即⎨⎨300
g (2)=b +2b 01⎩⎩b 0+2b 1=2
于是A 300
⎛-2301+3
300
=g (A ) =b 0E +b 1A = 2-1
2300-1⎝
+4-1-2
-2
301
301
+2⎫
⎪300
2-1⎪． 300⎪2⎭
301
2.7 特殊矩阵法求解方阵高次幂
2.7.1 对合矩阵
定义[1] 设A 为n 阶矩阵，若有A 2=E ，则称A 为对合矩阵．
⎧A ，n 为奇数
性质 (1)A =⎨；
E ，n 为偶数⎩
[6]
n
(2)满足A 2=E 的一切二阶方阵为±E 及
⎛a ⎝c b ⎫2
⎪，其中a +bc =1． -a ⎭
⎧λn E ，n 为偶数
推广性质 若有A =λE ，则A =⎨n -1．
λA ，n 为奇数⎩
[6]
2
2
n
7
⎛a ⎝b
b ⎫n
． ⎪，试求A （n 为自然数）
a ⎭
1⎫2
⎪，易知P =E 0⎭
例7 设A =
解：记P =
⎛0⎝1
，即P 为对合矩阵，
故P 2=P 4= =E, P 3=P 5= =P ，由A =aE +bP
⎛a n
得A =
⎝b
b ⎫n 1n -12n -222n n ⎪=a E +C n a bP +C n a b P + +b P a ⎭
n
1n -13n -33
=(a n +C n 2a n -2b 2+C n 4a n -4b 4+ ) E +(C n a b +C n a b + ) P
=
(a +b ) +(a -b )
2
n n
E +
(a +b ) -(a -b )
2
n n
P
n n
1⎛(a +b ) +(a -b ) =
2⎝(a +b ) n -(a -b ) n n n
(a +b ) -(a -b ) ⎫
． n n ⎪
(a +b ) +(a -b ) ⎭n
1⎫1⎛2⎪= n 1⎭2⎝2
n
n
n n -1
2⎫⎛2
= n -1n ⎪
2⎭⎝2
n -1
⎛1
特别地：a =1, b =1时，有
⎝1⎫； n -1⎪2⎭2
-22
n -1
⎛1
a =1, b =-1时，有
⎝-1⎛-1
时，有 a =-1, b =1
⎝1
n
-1⎫1⎛2⎪= 1⎭2⎝-2n
n
n n -1
-2⎫⎛2
= n ⎪n -1
2⎭⎝-2
n -1
n -1
⎫⎪； ⎭
1⎫n
⎪=(-1) -1⎭⎛2n -1 n -1⎝-2
-22
n -1
⎫⎪⎭
．
2.7.2 幂等矩阵
定义[1] 设A 为n 阶矩阵，若有A 2=A ，则称A 为幂等矩阵．
性质[6] (1)A n =A (n =2, 3, ) ；(2)满足A 2=A 的一切二阶方阵有：0, E
, 及形如
⎛ ⎝
2c
1-
⎫⎪⎪或
⎪
⎪
2⎭b
⎛ ⎝
2c
1+
⎫⎪
⎪的矩阵．
⎪
⎪
2⎭b
推广性质[6] 若有A 2=kA ，则A n =k n -1A ．
8
⎛1 2
例8 已知A =
-1 ⎝2⎛1 2
解：由A = 2
-1 ⎝2
-
1⎫2⎪100
⎪，求A ． 1⎪⎪2⎭
2
1⎫⎛1-⎪ 22⎪= 1⎪ -1⎪ 2⎭⎝2
-
1⎫
⎪2
⎪=A ，故A 为幂等矩阵， 1⎪⎪2⎭
由其性质知 A 100
⎛1 2
=A =
-1 ⎝2
-
1⎫⎪2
⎪． 1⎪⎪2⎭
2.8 利用图论算法求解方阵高次幂
若图G =V , E 是结点集合V 和边的集合E 所组成的一个系统，A 是由0和1为元素组成的n 阶矩阵． 2.8.1 邻接矩阵
定义[7]
设一有向图G =, E ，其中V ={v 1, v 2, , v n }, E ={l 1, l 2, , l m }， 假定各结点从v 1到v n 排列，定义一个n ⨯n 矩阵A ，A 中的元素为
∈E ⎧⎪1, 如果（v i ，v j ）
，称A a ij =⎨
0, 如果（v ，v ）∉E ⎪i j ⎩
为图G 的邻接矩阵，称图G 为A 的相关图．显
然任意一个n 阶矩阵都有一个相关图．
n 个
n
2.8.2 A =AA A 的元素的意义
（v i ，v j ）当n =1时, a ij =1表示存在一条边，或者说从v i 到v j 存在一条长度为
n
1的通路；n =2时, 令B =A ，B 中的元素b ij =
2
∑a
k =1
ik
a kj
，据图论知识：b ij 表示从
结点v i 到结点v j 长度为2的路径的数目，（b ij =0，则长度为2的路径不存在），
b ii 表示长度为2
的回路数目．一般地，n =k 时, 令C=(cij ) =A k ，c ij 表示从结点v i
到结点v j 长度为k 的路径的数目，同理c ij =0表示长度为k 的路径不存在，c ii 表
9
示长度为k 的回路数目[7]．
据此，可得到n 阶矩阵幂运算的图论算法步骤：
第一步：据所给的n 阶矩阵A =
(a ij ) ，画出其相关图G =V , E ，
V ={v 1, v 2, , v n }, E ={l 1, l 2, , l m }；
第二步：在图G =V , E 上逐步找出从结v i (i =1, 2, , n ) 到结点v j (i =1, 2, , n ) 长度为k 的路径数目c ij ；
第三步：写出n 阶矩阵C=(cij ) ，便得到所求的幂矩阵A k =(cij ) n ⨯n ．
⎛0 1 = 0 0 0⎝
10100
01000
00001
0⎫⎪0⎪
3
0⎪，试求A ． ⎪1⎪0⎪⎭
例9 设A =(a ij ) 5⨯5
解：先画出矩阵A 的相关有向图G 如右图所示：
从图可算出：从结点v i 到v j (i , j =1, 2, 3, 4, 5) 长度为3的路径数目为 5 3C 12=2; C 21=2; C 23=2; C 32=2; C 45=1; C 54=1
⎛0
2 = 0 0 0⎝
20200
02000
00001
0⎫⎪0⎪0⎪． ⎪1⎪0⎪⎭
其余长度为3的路径都不存在，故A 3=(cij ) 5⨯5
说明：当已知方阵的相关有向图较复杂时，此方法的运算量较大，不提倡采用该方法，在此，仅作为一种n 阶矩阵的幂运算的方法提出．
3 结束语
在具体求解一个方阵的高次幂时，根据方阵的不同特征采用不同的计算方法是求方阵高次幂的关键。上述介绍的几种方法不一定全是最简单的，也不是独立存在的，有时还需要相互配合使用（如例4结合使用了方法3与方法4）。总之，在方阵高次幂的求解过程中要充分运用矩阵的特征寻求A n 的最佳计算方
10
法，这对于沟通矩阵各部分内容之间的联系及推广思路，是大有裨益的，而能熟练选择出最简单的计算方法的能力需要在实践中逐步提高。
11
参考文献
[1] 徐仲等．高等代数考研教案(M)．2版．西北工业大学出版社．2009，7(1):165－172
[2] 姜海勤．特殊方阵高次幂的简单算法(J)．扬州职业大学学报．2003，7(3):44－45
[3] 李战国，卢亚丽等．方阵高次幂计算方法研究(J)．河南教育学院学报(自然科学版) ．2002，11(4):2－3
[4] 张禾瑞，赦炳新．高等代数(M)．5版．高等教育出版社．2007:429－430 [5] 程云鹏．矩阵论(M)．2版．西北工业大学出版社．2005，9:52－57 [6] 严文利．求矩阵幂的几种方法(J)．淮阴工业专科学校．1994，10(1):189－191 [7] 杜忠复，陈兆均．离散数学(M)．高等教育出版社．2004，4(1):105－109
12
致 谢
经过近半年的忙碌，终于完成了本次毕业论文的书写与修改整个过程。一路走来，在感受艰辛的同时也沐浴了关爱。
在这里，首先要衷心地感谢我的指导老师张老师。本论文从选题、构思到最后定稿等环节张老师都给予我耐心的指导。张老师严谨的治学态度、渊博的知识、敏锐的学术思维、认真负责的工作态度以及诲人不倦的师者风范是我毕生的学习楷模。导师的悉心教诲，是鞭策我不知疲倦探究问题的力量源泉；导师的学术远见，拓展了我的视野和研究思路。总之，张老师不仅在学业上对我潜心引导，而且在生活、做人等方面也给了我很大的启发。
其次，在四年的大学生涯里，还有众多老师的关心、支持和帮助，在此，谨向老师们致以衷心的感谢和崇高的敬意! 特别是我的班主任杨老师，在督促我们学习之余，还教会了我诸多书本里学不到的知识。
再次，我要向在百忙之中抽时间对本文进行审阅、评议和参加本人论文答辩的各位老师表示感谢。
最后，我也要感谢给过我关心、支持和帮助的亲人、同学和朋友们。在今后的学习工作和生活中，我会继续努力进取，争取以优异的表现作为给予大家的回报！
13