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构造三角形模型求解线段最值难题
作者：陈明儒
来源：《中学数学杂志(初中版) 》2016年第02期
以往求解线段（线段和）的最值问题，常用的解题方法是将所求线段进行等价转换，或者通过图形变换，将所求问题变成要么求两个定点之间的距离，要么转化成定点到直线的距离. 但是新近出现一些线段最值问题，尽管解决问题的依据还是一样，但是学生碰到这些问题往往束手无策，成为几何难题. 笔者为此作了一些研究与总结，现与大家共享.1构造斜三角形模型 例1如图1，直角扇形ODE 中，∠DOE=90°，OD=12，△ABC 是扇形内接三角形，其中
A 、B 、C 分别在弧DE ，半径OE 、OD 上，∠ACB=90°，AC ∶BC=2∶3，求线段AC 的最小值.
分析学生见到∠ACB=∠COB=90°，想到构造直角相似三角形，即作AH ⊥OD 于H ，如图1，运用△ACH ∽△COB ，结果无功而返. 其实，因为AC ∶BC=2∶3，当AC 变化时，BC 也随之变换. 如果抓住OA 是扇形的半径这个不变量，联想直角三角形中的常用辅助线即斜边上的中线，尝试取BC 的中点M ，如图2，连结OM 、AM ，构造斜三角形AOM ，运用AM+OM≥OA，当且仅当A 、M 、O 三点共线时等号成立，这样问题迎刃而解.
评注本题是属于双动点问题，难点是A 、C 两点都是动点，关键是找出与AC 关联的两条线段OM 、AM ，通过添三条辅助线，将问题转化到一个斜三角形中，这是一般学生很难想到的. 在图2中，学生可能还会想到斜三角形AOC ，但是OC 与AC 不关联，问题也会陷入困境，因此构造合适的斜三角形至关重要.
例2如图3，已知抛物线y=-49（x-1）（x-7）与x 轴交于A 、B 两点，对称轴与抛物线交于点C ，与x 轴交于点D ，圆C 的半径为2，G 为圆C 上的一动点，P 为AG 的中点，则DP 的最大值为（）.
A.72B.352C.23D.412
分析G 为圆C 上的一动点，学生的直觉是当直线AG 与圆C 相切时，DP 取到最大值，显然这是错误的. 如图4，因为直线CD ⊥x 轴，这样就得到直角三角形ACD ，又有“P为AG 的中点”这个重要信息，自然联想到“三角形中位线”及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”两个定理，从而构造出斜三角形PDM ，再利用DP≤PM+DM，求解问题.
评注本题还有另外构造斜三角形的方法，如图5，具体解法留给读者思考. 纵观例1、例2的解题思路，解题依据都是利用“两点之间线段最短”这一基本事实，但是当问题的条件与这一事实的联系不是十分明了时，通过构造出斜三角形的模型，才是有效的解题策略. 但是构造斜三角形往往需要添多条辅助线，使问题增加了难度，不易解决.2构造直角三角形模型
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构造三角形模型求解线段最值难题
作者：陈明儒
来源：《中学数学杂志(初中版) 》2016年第02期
以往求解线段（线段和）的最值问题，常用的解题方法是将所求线段进行等价转换，或者通过图形变换，将所求问题变成要么求两个定点之间的距离，要么转化成定点到直线的距离. 但是新近出现一些线段最值问题，尽管解决问题的依据还是一样，但是学生碰到这些问题往往束手无策，成为几何难题. 笔者为此作了一些研究与总结，现与大家共享.1构造斜三角形模型 例1如图1，直角扇形ODE 中，∠DOE=90°，OD=12，△ABC 是扇形内接三角形，其中
A 、B 、C 分别在弧DE ，半径OE 、OD 上，∠ACB=90°，AC ∶BC=2∶3，求线段AC 的最小值.
分析学生见到∠ACB=∠COB=90°，想到构造直角相似三角形，即作AH ⊥OD 于H ，如图1，运用△ACH ∽△COB ，结果无功而返. 其实，因为AC ∶BC=2∶3，当AC 变化时，BC 也随之变换. 如果抓住OA 是扇形的半径这个不变量，联想直角三角形中的常用辅助线即斜边上的中线，尝试取BC 的中点M ，如图2，连结OM 、AM ，构造斜三角形AOM ，运用AM+OM≥OA，当且仅当A 、M 、O 三点共线时等号成立，这样问题迎刃而解.
评注本题是属于双动点问题，难点是A 、C 两点都是动点，关键是找出与AC 关联的两条线段OM 、AM ，通过添三条辅助线，将问题转化到一个斜三角形中，这是一般学生很难想到的. 在图2中，学生可能还会想到斜三角形AOC ，但是OC 与AC 不关联，问题也会陷入困境，因此构造合适的斜三角形至关重要.
例2如图3，已知抛物线y=-49（x-1）（x-7）与x 轴交于A 、B 两点，对称轴与抛物线交于点C ，与x 轴交于点D ，圆C 的半径为2，G 为圆C 上的一动点，P 为AG 的中点，则DP 的最大值为（）.
A.72B.352C.23D.412
分析G 为圆C 上的一动点，学生的直觉是当直线AG 与圆C 相切时，DP 取到最大值，显然这是错误的. 如图4，因为直线CD ⊥x 轴，这样就得到直角三角形ACD ，又有“P为AG 的中点”这个重要信息，自然联想到“三角形中位线”及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”两个定理，从而构造出斜三角形PDM ，再利用DP≤PM+DM，求解问题.
评注本题还有另外构造斜三角形的方法，如图5，具体解法留给读者思考. 纵观例1、例2的解题思路，解题依据都是利用“两点之间线段最短”这一基本事实，但是当问题的条件与这一事实的联系不是十分明了时，通过构造出斜三角形的模型，才是有效的解题策略. 但是构造斜三角形往往需要添多条辅助线，使问题增加了难度，不易解决.2构造直角三角形模型