利用空间向量求空间角
备课人:龙朝芬 授课人:龙朝芬
授课时间:2016年11月28日
一、高考考纲要求:
能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题.体会向量法在立体几何中的应用.
二、命题趋势:
在高考中,本部分知识是考查的重点内容之一,主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算,属中档题,综合性较强,与平行垂直联系较多.
三、教学目标
知识与技能:能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题,了解向量法在研究立体几何问题中的应用;
过程与方法:通过向量这个载体,实现“几何问题代数化”的思想,进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力; 情感态度价值观:通过数形结合的思想和方法的应用,进一步让学生感受和体会空间直角坐标系,方向向量,法向量的魅力.
四、教学重难点
重点:用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角; 难点:将立体几何问题转化为向量问题.
五、教学过程
(一)空间角公式
1、异面直线所成角公式:如图,设异面直线l ,m 的方向向量分别为a , b , 异面直线l ,m
2、线面角公式:设直线l 为平面α的斜线,a 为l 的方向向量,n 为平面α的法向量,θ为
a ⋅n
l 与α所成的角,则sin θ=cos a , n =.
a n
3、面面角公式:设n 1,n 2分别为平面α、β的法向量,二面角为θ,则θ=n 1, n 2或
n 1⋅n 2
,其中cos n 1, n 2=. θ=π-n 1, n 2(需要根据具体情况判断相等或互补)
n 1n 2
(二)典例分析
如图,已知:在直角梯形OABC 中,OA //BC ,∠AOC =90,SO ⊥面OABC ,且
OS =OC =BC =1, OA =2. 求:
(1)异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值; (2)OS 与面SAB 所成角α的正弦值; (3)二面角B -AS -O 的余弦值.
解:如图建立空间直角坐标系,则O (0,0,0),A (2,0,0),B (1,1,0),C (0,1,0),S (0,0,1),
于是我们有SA =(2,0,-1) ,AB =(-1,1,0) ,OB =(1,1,0) ,OS =(0,0,1),
SA ⋅OB (1
)cos SA , OB =, ==
SA OB
所以异面直线SA 和OB
(2)设平面SAB 的法向量n =(x , y , z ) ,
⎧⎧-x +y =0, ⎪n ⋅AB =0, 则⎨ ,即⎨
2x -z =0. ⎩⎪⎩n ⋅SA =0,
取x =1,则y =1,z =2,所以n =(1,1,2) ,
OS ⋅n ∴sin α=cos OS , n ==. =
OS n
(3)由(2)知平面SAB 的法向量n 1=(1,1,2) ,
又 OC ⊥平面AOS ,∴OC 是平面AOS 的法向量,
n 1⋅n 2令n 2=OC =(0,1,0) ,则有cos n 1, n 2=. ==
6n 1n 2
∴二面角B -AS -
O 的余弦值为
6
(三)巩固练习
AB =2,BC =AA 1=1,点E 、F 分别AC 1、在长方体ABCD -A 1BC 11D 1中,11,AD 1
的中点,求:
(1)异面直线EF 和CD 所成的角的余弦值;(2)D 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值;
ABCD 所成的锐二面角的余弦值. (3)平面A 1BC 1与平面
解析:以D 为原点,分别以射线DA ,DC ,DD 1,为x 轴、y 轴、z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系D -xyz ,由于AB =2,BC =AA 1=1,所以D (0,0, 0) ,C (0,2,0),
1111E (,1,1) ,F (,0, ) ,A 1(1,0,1),(, , 1-) -,B (1,2,0) ,则EF =0C 1(0,2,1),D 1(0,0,1),2222
,2,0) ,BC 1=(-1,0,1) ,DC DC =(0,2,0),AC 11=(-111=(0,2,0).
EF ⋅DC (1
)cos EF , DC = =-
5EF DC
∴异面直线EF 和CD
所成的角余弦值为
5
(2)设平面A 1BC 1的法向量n =(x , y , z ) ,则有
⎧⎧-x +2y =0, ⎪n ⋅AC 11=0, 则⎨ ,即⎨
-x +z =0. ⎩⎪⎩n ⋅BC 1=0,
令x =2,则y =1,z =2,所以n =(2,1,2) ,
又设D 1C 1与平面A 1BC 1所成的角为θ,
D 1C 1⋅n 21
=. 则sin θ=cos D 1C 1, n ==
2⨯33D 1C 1n
(3)由(2)知平面A ,2) , 1BC 1的法向量n 1=(2,1
又 DD 1⊥平面ABCD ,∴DD 1是平面ABCD 的法向量,
n 1⋅n 222令n 2=DD 1=(0,0,1) ,则cos n 1, n 2==. =
n 1n 23⨯13
2. 3
2、如图所示,四棱锥P -ABCD ,∆ABC 为边长为2
的正三角形,CD ,AD =1,
故所成的锐二面角的余弦值为
PO 垂直于平面ABCD 于O ,O 为AC 的中点,PO =1,求:
(1)异面直线AB 与PC 所成角的余弦值; (2)平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值.
解:(Ⅰ)如图,以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A −xyz ,
因为AD =1,CD
AC =2, 所以AD ⊥CD ,∠DAC =∴AD ∥BC .
A (0,0,
0) ,B 10) ,
-1,
0) ,C 10) ,D (0,,
π
, 3
⎛ 1⎫1⎫1⎫
,,
则,, O ,
0P ,1CP =-,1⎪AB =-1,
0) 2⎪⎪2⎪⎪ ⎪2⎭⎝⎭⎝⎭⎝
AB CP =CP 〉==∴cos 〈AB ,
|AB |⨯|CP |∴异面直线AB 与PC
.
(Ⅱ)设平面P AB 法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1) ,
1
1+y 1+z 1=0,可得 2
-y =0,11
令x 1=
1,则n 1=(1, 1⎫
1⎪0,0) , 又DP =-2,⎪,DC =⎝⎭
设平面PCD 法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2) ,
1
2-y 2+z 2=0, 2可得=0,
2
1⎫ ⎛
1⎪,则
令y 2=1,则n 2= 02⎭⎝
n 1 n 2
cos 〈n 1,n 2〉=|n 1||n 2|.
∴平面P AB 与平面PCD
(四)课堂小结
1.用向量来求空间角,都需将各类角转化成对应向量的夹角来计算,问题的关键在于确定对应线段的向量.
2.合理建立空间直角坐标系
(1)一般来说,如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时,就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系;如果不存在这样的三条直线,则应尽可能找两条垂直相交的直线,以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系,即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点.
(2)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系,在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系,在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系.
[易错防范]
1.利用向量求角,一定要注意将向量夹角转化为各空间角.因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同.
2.求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角.
(五)课后作业
三维设计——课时跟踪检测(四十八)
利用空间向量求空间角
备课人:龙朝芬 授课人:龙朝芬
授课时间:2016年11月28日
一、高考考纲要求:
能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题.体会向量法在立体几何中的应用.
二、命题趋势:
在高考中,本部分知识是考查的重点内容之一,主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算,属中档题,综合性较强,与平行垂直联系较多.
三、教学目标
知识与技能:能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题,了解向量法在研究立体几何问题中的应用;
过程与方法:通过向量这个载体,实现“几何问题代数化”的思想,进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力; 情感态度价值观:通过数形结合的思想和方法的应用,进一步让学生感受和体会空间直角坐标系,方向向量,法向量的魅力.
四、教学重难点
重点:用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角; 难点:将立体几何问题转化为向量问题.
五、教学过程
(一)空间角公式
1、异面直线所成角公式:如图,设异面直线l ,m 的方向向量分别为a , b , 异面直线l ,m
2、线面角公式:设直线l 为平面α的斜线,a 为l 的方向向量,n 为平面α的法向量,θ为
a ⋅n
l 与α所成的角,则sin θ=cos a , n =.
a n
3、面面角公式:设n 1,n 2分别为平面α、β的法向量,二面角为θ,则θ=n 1, n 2或
n 1⋅n 2
,其中cos n 1, n 2=. θ=π-n 1, n 2(需要根据具体情况判断相等或互补)
n 1n 2
(二)典例分析
如图,已知:在直角梯形OABC 中,OA //BC ,∠AOC =90,SO ⊥面OABC ,且
OS =OC =BC =1, OA =2. 求:
(1)异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值; (2)OS 与面SAB 所成角α的正弦值; (3)二面角B -AS -O 的余弦值.
解:如图建立空间直角坐标系,则O (0,0,0),A (2,0,0),B (1,1,0),C (0,1,0),S (0,0,1),
于是我们有SA =(2,0,-1) ,AB =(-1,1,0) ,OB =(1,1,0) ,OS =(0,0,1),
SA ⋅OB (1
)cos SA , OB =, ==
SA OB
所以异面直线SA 和OB
(2)设平面SAB 的法向量n =(x , y , z ) ,
⎧⎧-x +y =0, ⎪n ⋅AB =0, 则⎨ ,即⎨
2x -z =0. ⎩⎪⎩n ⋅SA =0,
取x =1,则y =1,z =2,所以n =(1,1,2) ,
OS ⋅n ∴sin α=cos OS , n ==. =
OS n
(3)由(2)知平面SAB 的法向量n 1=(1,1,2) ,
又 OC ⊥平面AOS ,∴OC 是平面AOS 的法向量,
n 1⋅n 2令n 2=OC =(0,1,0) ,则有cos n 1, n 2=. ==
6n 1n 2
∴二面角B -AS -
O 的余弦值为
6
(三)巩固练习
AB =2,BC =AA 1=1,点E 、F 分别AC 1、在长方体ABCD -A 1BC 11D 1中,11,AD 1
的中点,求:
(1)异面直线EF 和CD 所成的角的余弦值;(2)D 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值;
ABCD 所成的锐二面角的余弦值. (3)平面A 1BC 1与平面
解析:以D 为原点,分别以射线DA ,DC ,DD 1,为x 轴、y 轴、z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系D -xyz ,由于AB =2,BC =AA 1=1,所以D (0,0, 0) ,C (0,2,0),
1111E (,1,1) ,F (,0, ) ,A 1(1,0,1),(, , 1-) -,B (1,2,0) ,则EF =0C 1(0,2,1),D 1(0,0,1),2222
,2,0) ,BC 1=(-1,0,1) ,DC DC =(0,2,0),AC 11=(-111=(0,2,0).
EF ⋅DC (1
)cos EF , DC = =-
5EF DC
∴异面直线EF 和CD
所成的角余弦值为
5
(2)设平面A 1BC 1的法向量n =(x , y , z ) ,则有
⎧⎧-x +2y =0, ⎪n ⋅AC 11=0, 则⎨ ,即⎨
-x +z =0. ⎩⎪⎩n ⋅BC 1=0,
令x =2,则y =1,z =2,所以n =(2,1,2) ,
又设D 1C 1与平面A 1BC 1所成的角为θ,
D 1C 1⋅n 21
=. 则sin θ=cos D 1C 1, n ==
2⨯33D 1C 1n
(3)由(2)知平面A ,2) , 1BC 1的法向量n 1=(2,1
又 DD 1⊥平面ABCD ,∴DD 1是平面ABCD 的法向量,
n 1⋅n 222令n 2=DD 1=(0,0,1) ,则cos n 1, n 2==. =
n 1n 23⨯13
2. 3
2、如图所示,四棱锥P -ABCD ,∆ABC 为边长为2
的正三角形,CD ,AD =1,
故所成的锐二面角的余弦值为
PO 垂直于平面ABCD 于O ,O 为AC 的中点,PO =1,求:
(1)异面直线AB 与PC 所成角的余弦值; (2)平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值.
解:(Ⅰ)如图,以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A −xyz ,
因为AD =1,CD
AC =2, 所以AD ⊥CD ,∠DAC =∴AD ∥BC .
A (0,0,
0) ,B 10) ,
-1,
0) ,C 10) ,D (0,,
π
, 3
⎛ 1⎫1⎫1⎫
,,
则,, O ,
0P ,1CP =-,1⎪AB =-1,
0) 2⎪⎪2⎪⎪ ⎪2⎭⎝⎭⎝⎭⎝
AB CP =CP 〉==∴cos 〈AB ,
|AB |⨯|CP |∴异面直线AB 与PC
.
(Ⅱ)设平面P AB 法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1) ,
1
1+y 1+z 1=0,可得 2
-y =0,11
令x 1=
1,则n 1=(1, 1⎫
1⎪0,0) , 又DP =-2,⎪,DC =⎝⎭
设平面PCD 法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2) ,
1
2-y 2+z 2=0, 2可得=0,
2
1⎫ ⎛
1⎪,则
令y 2=1,则n 2= 02⎭⎝
n 1 n 2
cos 〈n 1,n 2〉=|n 1||n 2|.
∴平面P AB 与平面PCD
(四)课堂小结
1.用向量来求空间角,都需将各类角转化成对应向量的夹角来计算,问题的关键在于确定对应线段的向量.
2.合理建立空间直角坐标系
(1)一般来说,如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时,就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系;如果不存在这样的三条直线,则应尽可能找两条垂直相交的直线,以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系,即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点.
(2)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系,在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系,在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系.
[易错防范]
1.利用向量求角,一定要注意将向量夹角转化为各空间角.因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同.
2.求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角.
(五)课后作业
三维设计——课时跟踪检测(四十八)