中考数学动点问题

2015中考数学动点问题解析

1. （2014•黔南州第26题）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的

抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在C 的左侧），已知A 点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式。（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ，如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，△PAC 的面积最大？并求出此时P 点的坐标和△PAC 的最大面积．

◆满分解答：（1）设抛物线为y=a（x ﹣4）﹣1，

∵抛物线经过点A （0，3），∴3=a（0﹣4）﹣1，∴抛物线为

（2）相交．

证明：连接CE ，则CE ⊥BD ，当

时，x 1=2，x 2=6．

；

；（3分）

A （0，3），B （2，0），C （6，0），对称轴x=4，

∴OB=2，AB==，BC=4，

∵AB ⊥BD ，∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°， ∴△AOB ∽△BEC ， ∴

，即

，解得CE=

，∵

＞2，∴抛物线的对称轴l 与⊙C 相

交．（7分）

（3）如图，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q ；可求出AC 的解析式为

；（8分）

设P 点的坐标为（m ，

），则Q 点的坐标为（m ，

）；

∴PQ=﹣m+3﹣（m ﹣2m+3）=﹣m +m．

∵S △PAC =S△PAQ +S△PCQ =×（﹣m +m）×6=﹣（m ﹣3）+∴当m=3时，△PAC 的面积最大为

；

；此时，P 点的坐标为（3，

）．（10分）

2.(2011年山西省中考第26题) 如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是

平行四边形．直线l 经过O 、C 两点，点A 的坐标为(8，0) ，点B 的坐标为(11，4) ，动点P 在线段OA 上从O 出发以每秒1个单位的速度向点A 运动，同时动点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿A →B →C 的方向向点C 运动，过点P 作PM 垂直于x 轴，与折线O —C —B 相交于点M ．当P 、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒（t ＞0），△MPQ 的面积为S ．

（1）点C 的坐标为____________，直线l 的解析式为____________；

（2）试求点Q 与点M 相遇前S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．（3）试求题（2）中当t 为何值时，S 的值最大？最大值是多少？

◆满分解答：（1）点C 的坐标为(3，4) ，直线l 的解析式为： y =x

图1

0＜t ≤

（2）①当M 在OC 上，Q 在AB 上时，在Rt △OPM 中，OP ＝t ，tan ∠OMP =

，所

以PM =t ．

36，所以AE =t ． 55121661

于是PE =8+t -t =8+t ．因此S =PE ⋅PM =t 2+t ．

215355

②当M 在OC 上，Q 在BC 上时，＜t ≤3．

因为．因此BQ =2t -5，所以PF =11-t -(2t -5) =16-3t 132S =PF ⋅PM =-2t 2+t ．

③当M 、Q 相遇时，根据P 、Q 的路程和t +2t =11+5，解得t =．

因此当M 、Q 都在BC 上，相遇前，3＜t ≤，PM ＝4，MQ =16-t -2t =16-3t ．

所以S =MQ ⋅PM =-6t +32．

在Rt △AQE 中，AQ ＝2t ，cos ∠QAE =

图2 图3 图4

52162160

（3）①当0＜t ≤时，S =t 2+t =(t +20) 2-．

2153153

因为抛物线开口向上，在对称轴右侧，S 随t 的增大而增大，所以当t =

时，S 最大，2

85． 65328128②当＜t ≤3时，S =-2t 2+t =-2(t -) 2+．因为抛物线开口向下，所以当

[1**********]

．③当3＜t ≤时，S =MQ ⋅PM =-6t +32．因为S 随t t =时，S 最大，最大值为

3932

的增大而减小，所以当t =3时，S 最大，最大值为14．综上所述，当t =时，S 最大，最

128

大值为．

9最大值为

◆考点伸展：第（2）题中，M 、Q

的？

此时

从相遇到运动结束，S 关于t 的函数关系式是怎样

16131

＜t ≤， MQ =t +2t -16=3t -16．因此S =MQ ⋅PM =6t -32．

322

◆强化训练

1.(2012年连云港市中考第26题) 如图1，甲、乙两人分别从A 、B 两点同时出

发，点O 为坐标原点．甲沿AO 方向、乙沿BO 方向均以每小时4千米的速度行走，t 小时后，甲到达M 点，乙到达N 点．

（1）请说明甲、乙两人到达点O 前，MN 与AB 不可能平行；（2）当t 为何值时，△OMN ∽△OBA ？

（3）甲、乙两人之间的距离为MN 的长．设s ＝MN 2，求s 与t 之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．

图1

2.(2013年菏泽市中考第21题) 如图1， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，

点A 、C 分别是一次函数y =-

x +3的图像与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数4

y =

x +bx +c 的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD

能构成平行8

四边形．

（1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；

（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P 运动到何处时，由PQ ⊥AC ？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？

图1

3. (2014年山东烟台) 在正方形ABCD 中，动点E ，F 分别从

D ，C 两点同时出

发，以相同的速度在直线DC ，CB 上移动．(1)如图Z10-6①，当点E 自D 向C ，点F 自C

向B 移动时，连接AE 和DF 交于点P ，请你写出AE 与DF 的位置关系，并说明理由；(2)如图Z10-6②，当E ，F 分别移动到边DC ，CB 的延长线上时，连接AE 和DF ，(1)中的结

论还成立吗？(请你直接回答“是”或“否”，不需证明)(3)如图Z10-6③，当E ，F 分别在

边CD ，BC 的延长线上移动时，连接AE 和DF ，(1)中的结论还成立吗？请说明理由；(4)如图Z10-6④，当E ，F 分别在边DC ，CB 上移动时，连接AE 和DF 交于点P ，由于点

E ，F 的移动，使得点P 也随之运动，请你画出点P 运动路径的草图．若AD ＝2，试求出线段CP 的最小值．

① ② ③ ④

图Z10-6

4．（2014•山东枣庄，第25题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2

﹣2x ﹣3的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ，点D 为抛物线的顶点，点P 是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D 重合）．

（1）求∠OBC 的度数；

（2）连接CD 、BD 、DP ，延长DP 交x 轴正半轴于点E ，且S △OCE =S四边形OCDB ，求此时P 点的坐标；

（3）过点P 作PF ⊥x 轴交BC 于点F ，求线段PF 长度的最大值．

5．（2014·云南昆明，第23题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线

、B （4，0）两点，与y 轴交于点C . y =ax 2+bx -3(a ≠0) 与x 轴交于点A （-2，0）

（1）求抛物线的解析式；点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度向C 点运动. 其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动. 当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最多面积是多少？

（2）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ：S △P BQ =5:2，求K 点坐标.

6. （2014•襄阳，第26题）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE 的三个顶点

分别是C （3，0），D （3，4），E （0，4）．点A 在DE 上，以A 为顶点的抛物线过点C ，且对称轴x =1交x 轴于点B ．连接EC ，A C ．点P ，Q 为动点，设运动时间为t 秒．（1）填空：点A 坐标为；抛物线的解析式为．

（2）在图1中，若点P 在线段OC 上从点O 向点C 以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q 在线段CE 上从点C 向点E 以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t 为何值时，△PCQ 为直角三角形？

（3）在图2中，若点P 在对称轴上从点A 开始向点B 以1个单位/秒的速度运动，过点P 做PF ⊥AB ，交AC 于点F ，过点F 作FG ⊥AD 于点G ，交抛物线于点Q ，连接AQ ，CQ ．当t 为何值时，△ACQ 的面积最大？最大值是多少？

◆强化训练 1. 满分解答:

（1）当M 、N 都在O 右侧时，

OM 2-4t

==1-2t ，OA 2

ON 6-4t 2

==1-t ， OB 63所以

OM ON

．因此MN 与AB 不平行． ≠

OA OB

（2）①如图2，当M 、N 都在O 右侧时，∠OMN ＞∠B ，不可能△OMN ∽△OBA ． ②如图3，当M 在O 左侧、N 在O 右侧时，∠MON ＞∠BOA ，不可能△OMN ∽△OBA ．

③如图4，当M 、N 都在O 左侧时，如果△OMN ∽△OBA ，那么所以

ON OA

． =

OM OB

4t -62

=．解得t ＝2．

4t -26

图2 图3 图4

（3）①如图2，OM =2-4t ，OH =1-

2t ，MH -2t ) ．

NH =ON -OH =(6-4t ) -(1-2t ) =5-2t ．

②如图3，OM =4t -2，OH =2t -

1，MH t -1) ．

NH =ON +OH =(6-4t ) +(2t -1) =5-2t ．

③如图4，OM =4t -2，OH =2t -

1，MH t -1) ．

NH =OH -ON =(2t -1) -(4t -6) =5-2t ．

综

合

①

、②、③，

s =MN 2=

MH 2+NH 2=t -1) ⎤+(5-2t ) 2=16t 2-32t +28=16(t -1) 2+12．

⎦

所以当t ＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米．

2. 满分解答：（1）由y =-x +3，得A (0,3)，C (4,0)．

由于B 、C 关于OA 对称，所以B (－4,0) ，BC ＝8．因为AD //BC ，AD ＝BC ，所以D (8,3)．

将B (－4,0) 、D (8,3)分别代入y =解得b =-

⎧2-4b +c =0, 12

x +bx +c ，得⎨

88+8b +c =3. ⎩

111

，c ＝－3．所以该二次函数的解析式为y =x 2-x -3． 484

． 5

（2）①设点P 、Q 运动的时间为t ．

如图2，在△APQ 中，AP ＝t ，AQ ＝AC －CQ ＝5－t ，cos ∠P AQ ＝cos ∠ACO ＝当PQ ⊥AC 时，

AQ 45-t 425

．

=．所以=．解得AP =t =

AP 5t 59

图2 图3

②如图3，过点Q 作QH ⊥AD ，垂足为H ．

111333AP ⋅QH =AP ⋅AQ sin ∠PAQ =t (5-t ) ⨯=-t 2+t ， 222510211

S △ACD ＝AD ⋅OA =⨯8⨯3=12，

333581

所以S 四边形PDCQ ＝S △ACD －S △APQ ＝12-(-t 2+t ) =(t -) 2+．

1021028

581

所以当AP ＝时，四边形PDCQ 的最小值是．

由于S △APQ ＝

3. 满分解答

(1)AE ⊥DF . 理由：∵四边形ABCD 是正方形，

∴AD ＝DC ，∠ADC ＝∠C ＝90°. ∵DE ＝CF ， ∴△ADE ≌△DCF (SAS)． ∴AE ＝DF ，∠DAE ＝∠CDF . 由于∠CDF ＋∠ADF ＝90°，∴∠DAE ＋∠ADF ＝90°. ∴∠APD ＝90°，即AE ⊥DF . (2)是．

(3)成立．理由如下：由(1)，同理可证∠DAE ＝∠CDF . 如图2，延长FD 交AE 于点G ，则∠CDF ＋∠ADG ＝180°－∠ADC ＝90°. ∴∠ADG ＋∠DAE ＝90°. ∴∠AGD ＝90°，即AE ⊥DF . (4)如图3，由于点P 在运动中保持∠APD ＝90°，

∴点P 的路径是以AD 为直径的圆的一段的弧．

设AD 的中点为O ，连接OC ，交弧于点P ，此时CP 的长度最小．

在Rt △ODC 中，OC ＝CD ＋OD ＝2＋15. ∴CP ＝OC －OP ＝5－1.

4. 满分解答：（1）∵y=x2﹣2x ﹣3=（x ﹣3）（x+2），

∴由题意得，A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3），D （1，﹣4）．

在Rt △OBC 中，∵OC=OB=3，∴△OBC 为等腰直角三角形，∴∠OBC=45°．（2）如图1，过点D 作DH ⊥x 轴于H ，此时S 四边形OCDB =S梯形OCDH +S△HBD ， ∵OH=1，OC=3，HD=4，HB=2，

∴S 梯形OCDH =•（OC+HD）•OH=，S △HBD

=•HD•HB=4， ∴S 四边形OCDB

．∴S △OCE =S四边形OCDB

，

∴OE=5，∴E （5，0）．

设l DE ：y=kx+b，∵D （1，﹣4），E （5，0）， ∴

，解得

，∴l DE ：y=x﹣5．

∵DE 交抛物线于P ，设P （x ，y ），

∴x 2﹣2x ﹣3=x﹣5，解得 x=2 或x=1（D 点，舍去）， ∴x P =2，代入l DE ：y=x﹣5，∴P （2，﹣3）．（3）如图2，

设l BC ：y=kx+b，∵B （3，0），C （0，﹣3）， ∴

，解得

，∴l BC ：y=x﹣3．

∵F 在BC 上，∴y F =xF ﹣3， ∵P 在抛物线上，∴y P =xP 2﹣2x P ﹣3，

∴线段PF 长度=yF ﹣y P =xF ﹣3﹣（x P 2﹣2x P ﹣3），

∵x P =xF ，∴线段PF 长度=﹣x P 2+3xP =﹣（x P ﹣）2+，（1＜x P ≤3）， ∴当x P =时，线段PF 长度最大为．

5. 满分解答：（1）将

y =ax 2+bx -3(a ≠0) ，

A （-2，0）、B （4，0）两点坐标分别代入

3⎧

a =⎪⎧4a -2b -3=08 即⎨，解得：⎨

3⎩16a +4b -3=0⎪b =-4⎩

∴抛物线的解析式为：y =x 2-x -3

∴= ∴DQ =t

5 DQ t

11399

∴S ∆PBQ =PB ⋅DQ =(6-3t ) ⋅t =-t 2+t

225105

对称轴t =-S ∆PBQ =-

2⨯(-)

=1∴当运动1秒时，△PBQ 面积最大，

，

9999

+=，最大为，

1010510

323

（3）如图，设K (m , m -m -3)

连接CK 、BK ，作KL //y 轴交BC 与L ，

由（2）知：S ∆PBQ =，

S ∆CBK :S PBQ =5:2 ∴S ∆CBK =

设直线BC 的解析式为y =kx +n B (4, 0), C (0, -3)

3⎧⎧4k +n =0⎪k =

，解得：⎨ ∴⎨4

⎩n =-3⎪⎩n =-3

3333

∴直线BC 的解析式为y =x -3∴L (m , m -3) KL =m -m 2

4428

S ∆CBK =S ∆KLC +S ∆KLB

133133133

=⋅(m -m 2) ⋅m +⋅(m -m 2) ⋅(4-m ) =⋅4⋅(m -m 2)

228228228

27153329

) 或(3, -) 即：2(m -m )

=解得：m =1或m =3 ∴K 坐标为(1, -88284

6. 满分解答（1）∵抛物线的对称轴为x =1，矩形OCDE 的三个顶点分别是C （3，0），

D （3，4），E （0，4），点A 在DE 上，∴点A 坐标为（1，4），

设抛物线的解析式为y =a （x ﹣1）+4，把C （3，0）代入抛物线的解析式，可得a （3﹣1）

+4=0，解得a =﹣1．故抛物线的解析式为y =﹣（x ﹣1）+4，即y =﹣x +2x +3；

，∴，∴

=5，

；．

（2）依题意有：OC =3，OE =4，∴CE =当∠QPC =90°时，∵cos ∠QPC =当∠PQC =90°时，∵cos ∠QCP =∴当t =

或t =

=，解得t ==，解得t =

时，△PCQ 为直角三角形；

，解得

（3）∵A （1，4），C （3，0），设直线AC 的解析式为y =kx +b ，则

．

故直线AC 的解析式为y =﹣2x +6．

∵P （1，4﹣t ），将y =4﹣t 代入y =﹣2x +6中，得x =1+，∴Q 点的横坐标为1+，

将x =1+代入y =﹣（x ﹣1）+4中，得y =4﹣∴QF =（4﹣

）﹣（4﹣t ）=t ﹣

，

．∴Q 点的纵坐标为4﹣，

∴S △ACQ =S △AFQ +S △CPQ =FQ •AG +FQ •DG =FQ （AG +DG ）=FQ •AD =×2（t ﹣

）=﹣（t ﹣2）

+1，

∴当t =2时，△ACQ 的面积最大，最大值是1．故答案为：（1，4），y =﹣（x ﹣1）+4．

2015中考数学动点问题解析

1. （2014•黔南州第26题）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的

◆满分解答：（1）设抛物线为y=a（x ﹣4）﹣1，

∵抛物线经过点A （0，3），∴3=a（0﹣4）﹣1，∴抛物线为

（2）相交．

证明：连接CE ，则CE ⊥BD ，当

时，x 1=2，x 2=6．

；

；（3分）

A （0，3），B （2，0），C （6，0），对称轴x=4，

∴OB=2，AB==，BC=4，

∵AB ⊥BD ，∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°， ∴△AOB ∽△BEC ， ∴

，即

，解得CE=

，∵

＞2，∴抛物线的对称轴l 与⊙C 相

交．（7分）

（3）如图，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q ；可求出AC 的解析式为

；（8分）

设P 点的坐标为（m ，

），则Q 点的坐标为（m ，

）；

∴PQ=﹣m+3﹣（m ﹣2m+3）=﹣m +m．

∵S △PAC =S△PAQ +S△PCQ =×（﹣m +m）×6=﹣（m ﹣3）+∴当m=3时，△PAC 的面积最大为

；

；此时，P 点的坐标为（3，

）．（10分）

2.(2011年山西省中考第26题) 如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是

（1）点C 的坐标为____________，直线l 的解析式为____________；

（2）试求点Q 与点M 相遇前S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．（3）试求题（2）中当t 为何值时，S 的值最大？最大值是多少？

◆满分解答：（1）点C 的坐标为(3，4) ，直线l 的解析式为： y =x

图1

0＜t ≤

（2）①当M 在OC 上，Q 在AB 上时，在Rt △OPM 中，OP ＝t ，tan ∠OMP =

，所

以PM =t ．

36，所以AE =t ． 55121661

于是PE =8+t -t =8+t ．因此S =PE ⋅PM =t 2+t ．

215355

②当M 在OC 上，Q 在BC 上时，＜t ≤3．

因为．因此BQ =2t -5，所以PF =11-t -(2t -5) =16-3t 132S =PF ⋅PM =-2t 2+t ．

③当M 、Q 相遇时，根据P 、Q 的路程和t +2t =11+5，解得t =．

因此当M 、Q 都在BC 上，相遇前，3＜t ≤，PM ＝4，MQ =16-t -2t =16-3t ．

所以S =MQ ⋅PM =-6t +32．

在Rt △AQE 中，AQ ＝2t ，cos ∠QAE =

图2 图3 图4

52162160

（3）①当0＜t ≤时，S =t 2+t =(t +20) 2-．

2153153

因为抛物线开口向上，在对称轴右侧，S 随t 的增大而增大，所以当t =

时，S 最大，2

85． 65328128②当＜t ≤3时，S =-2t 2+t =-2(t -) 2+．因为抛物线开口向下，所以当

[1**********]

．③当3＜t ≤时，S =MQ ⋅PM =-6t +32．因为S 随t t =时，S 最大，最大值为

3932

的增大而减小，所以当t =3时，S 最大，最大值为14．综上所述，当t =时，S 最大，最

128

大值为．

9最大值为

◆考点伸展：第（2）题中，M 、Q

的？

此时

从相遇到运动结束，S 关于t 的函数关系式是怎样

16131

＜t ≤， MQ =t +2t -16=3t -16．因此S =MQ ⋅PM =6t -32．

322

◆强化训练

1.(2012年连云港市中考第26题) 如图1，甲、乙两人分别从A 、B 两点同时出

发，点O 为坐标原点．甲沿AO 方向、乙沿BO 方向均以每小时4千米的速度行走，t 小时后，甲到达M 点，乙到达N 点．

（1）请说明甲、乙两人到达点O 前，MN 与AB 不可能平行；（2）当t 为何值时，△OMN ∽△OBA ？

（3）甲、乙两人之间的距离为MN 的长．设s ＝MN 2，求s 与t 之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．

图1

2.(2013年菏泽市中考第21题) 如图1， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，

点A 、C 分别是一次函数y =-

x +3的图像与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数4

y =

x +bx +c 的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD

能构成平行8

四边形．

（1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；

图1

3. (2014年山东烟台) 在正方形ABCD 中，动点E ，F 分别从

D ，C 两点同时出

发，以相同的速度在直线DC ，CB 上移动．(1)如图Z10-6①，当点E 自D 向C ，点F 自C

论还成立吗？(请你直接回答“是”或“否”，不需证明)(3)如图Z10-6③，当E ，F 分别在

E ，F 的移动，使得点P 也随之运动，请你画出点P 运动路径的草图．若AD ＝2，试求出线段CP 的最小值．

① ② ③ ④

图Z10-6

4．（2014•山东枣庄，第25题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2

﹣2x ﹣3的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ，点D 为抛物线的顶点，点P 是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D 重合）．

（1）求∠OBC 的度数；

（2）连接CD 、BD 、DP ，延长DP 交x 轴正半轴于点E ，且S △OCE =S四边形OCDB ，求此时P 点的坐标；

（3）过点P 作PF ⊥x 轴交BC 于点F ，求线段PF 长度的最大值．

5．（2014·云南昆明，第23题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线

、B （4，0）两点，与y 轴交于点C . y =ax 2+bx -3(a ≠0) 与x 轴交于点A （-2，0）

（2）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ：S △P BQ =5:2，求K 点坐标.

6. （2014•襄阳，第26题）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE 的三个顶点

◆强化训练 1. 满分解答:

（1）当M 、N 都在O 右侧时，

OM 2-4t

==1-2t ，OA 2

ON 6-4t 2

==1-t ， OB 63所以

OM ON

．因此MN 与AB 不平行． ≠

OA OB

（2）①如图2，当M 、N 都在O 右侧时，∠OMN ＞∠B ，不可能△OMN ∽△OBA ． ②如图3，当M 在O 左侧、N 在O 右侧时，∠MON ＞∠BOA ，不可能△OMN ∽△OBA ．

③如图4，当M 、N 都在O 左侧时，如果△OMN ∽△OBA ，那么所以

ON OA

． =

OM OB

4t -62

=．解得t ＝2．

4t -26

图2 图3 图4

（3）①如图2，OM =2-4t ，OH =1-

2t ，MH -2t ) ．

NH =ON -OH =(6-4t ) -(1-2t ) =5-2t ．

②如图3，OM =4t -2，OH =2t -

1，MH t -1) ．

NH =ON +OH =(6-4t ) +(2t -1) =5-2t ．

③如图4，OM =4t -2，OH =2t -

1，MH t -1) ．

NH =OH -ON =(2t -1) -(4t -6) =5-2t ．

综

合

①

、②、③，

s =MN 2=

MH 2+NH 2=t -1) ⎤+(5-2t ) 2=16t 2-32t +28=16(t -1) 2+12．

⎦

所以当t ＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米．

2. 满分解答：（1）由y =-x +3，得A (0,3)，C (4,0)．

由于B 、C 关于OA 对称，所以B (－4,0) ，BC ＝8．因为AD //BC ，AD ＝BC ，所以D (8,3)．

将B (－4,0) 、D (8,3)分别代入y =解得b =-

⎧2-4b +c =0, 12

x +bx +c ，得⎨

88+8b +c =3. ⎩

111

，c ＝－3．所以该二次函数的解析式为y =x 2-x -3． 484

． 5

（2）①设点P 、Q 运动的时间为t ．

如图2，在△APQ 中，AP ＝t ，AQ ＝AC －CQ ＝5－t ，cos ∠P AQ ＝cos ∠ACO ＝当PQ ⊥AC 时，

AQ 45-t 425

．

=．所以=．解得AP =t =

AP 5t 59

图2 图3

②如图3，过点Q 作QH ⊥AD ，垂足为H ．

111333AP ⋅QH =AP ⋅AQ sin ∠PAQ =t (5-t ) ⨯=-t 2+t ， 222510211

S △ACD ＝AD ⋅OA =⨯8⨯3=12，

333581

所以S 四边形PDCQ ＝S △ACD －S △APQ ＝12-(-t 2+t ) =(t -) 2+．

1021028

581

所以当AP ＝时，四边形PDCQ 的最小值是．

由于S △APQ ＝

3. 满分解答

(1)AE ⊥DF . 理由：∵四边形ABCD 是正方形，

∴点P 的路径是以AD 为直径的圆的一段的弧．

设AD 的中点为O ，连接OC ，交弧于点P ，此时CP 的长度最小．

在Rt △ODC 中，OC ＝CD ＋OD ＝2＋15. ∴CP ＝OC －OP ＝5－1.

4. 满分解答：（1）∵y=x2﹣2x ﹣3=（x ﹣3）（x+2），

∴由题意得，A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3），D （1，﹣4）．

∴S 梯形OCDH =•（OC+HD）•OH=，S △HBD

=•HD•HB=4， ∴S 四边形OCDB

．∴S △OCE =S四边形OCDB

，

∴OE=5，∴E （5，0）．

设l DE ：y=kx+b，∵D （1，﹣4），E （5，0）， ∴

，解得

，∴l DE ：y=x﹣5．

∵DE 交抛物线于P ，设P （x ，y ），

∴x 2﹣2x ﹣3=x﹣5，解得 x=2 或x=1（D 点，舍去）， ∴x P =2，代入l DE ：y=x﹣5，∴P （2，﹣3）．（3）如图2，

设l BC ：y=kx+b，∵B （3，0），C （0，﹣3）， ∴

，解得

，∴l BC ：y=x﹣3．

∵F 在BC 上，∴y F =xF ﹣3， ∵P 在抛物线上，∴y P =xP 2﹣2x P ﹣3，

∴线段PF 长度=yF ﹣y P =xF ﹣3﹣（x P 2﹣2x P ﹣3），

∵x P =xF ，∴线段PF 长度=﹣x P 2+3xP =﹣（x P ﹣）2+，（1＜x P ≤3）， ∴当x P =时，线段PF 长度最大为．

5. 满分解答：（1）将

y =ax 2+bx -3(a ≠0) ，

A （-2，0）、B （4，0）两点坐标分别代入

3⎧

a =⎪⎧4a -2b -3=08 即⎨，解得：⎨

3⎩16a +4b -3=0⎪b =-4⎩

∴抛物线的解析式为：y =x 2-x -3

∴= ∴DQ =t

5 DQ t

11399

∴S ∆PBQ =PB ⋅DQ =(6-3t ) ⋅t =-t 2+t

225105

对称轴t =-S ∆PBQ =-

2⨯(-)

=1∴当运动1秒时，△PBQ 面积最大，

，

9999

+=，最大为，

1010510

323

（3）如图，设K (m , m -m -3)

连接CK 、BK ，作KL //y 轴交BC 与L ，

由（2）知：S ∆PBQ =，

S ∆CBK :S PBQ =5:2 ∴S ∆CBK =

设直线BC 的解析式为y =kx +n B (4, 0), C (0, -3)

3⎧⎧4k +n =0⎪k =

，解得：⎨ ∴⎨4

⎩n =-3⎪⎩n =-3

3333

∴直线BC 的解析式为y =x -3∴L (m , m -3) KL =m -m 2

4428

S ∆CBK =S ∆KLC +S ∆KLB

133133133

=⋅(m -m 2) ⋅m +⋅(m -m 2) ⋅(4-m ) =⋅4⋅(m -m 2)

228228228

27153329

) 或(3, -) 即：2(m -m )

=解得：m =1或m =3 ∴K 坐标为(1, -88284

6. 满分解答（1）∵抛物线的对称轴为x =1，矩形OCDE 的三个顶点分别是C （3，0），

D （3，4），E （0，4），点A 在DE 上，∴点A 坐标为（1，4），

设抛物线的解析式为y =a （x ﹣1）+4，把C （3，0）代入抛物线的解析式，可得a （3﹣1）

+4=0，解得a =﹣1．故抛物线的解析式为y =﹣（x ﹣1）+4，即y =﹣x +2x +3；

，∴，∴

=5，

；．

（2）依题意有：OC =3，OE =4，∴CE =当∠QPC =90°时，∵cos ∠QPC =当∠PQC =90°时，∵cos ∠QCP =∴当t =

或t =

=，解得t ==，解得t =

时，△PCQ 为直角三角形；

，解得

（3）∵A （1，4），C （3，0），设直线AC 的解析式为y =kx +b ，则

．

故直线AC 的解析式为y =﹣2x +6．

∵P （1，4﹣t ），将y =4﹣t 代入y =﹣2x +6中，得x =1+，∴Q 点的横坐标为1+，

将x =1+代入y =﹣（x ﹣1）+4中，得y =4﹣∴QF =（4﹣

）﹣（4﹣t ）=t ﹣

，

．∴Q 点的纵坐标为4﹣，

∴S △ACQ =S △AFQ +S △CPQ =FQ •AG +FQ •DG =FQ （AG +DG ）=FQ •AD =×2（t ﹣

）=﹣（t ﹣2）

+1，

∴当t =2时，△ACQ 的面积最大，最大值是1．故答案为：（1，4），y =﹣（x ﹣1）+4．

相关内容

热门内容

标签