正定矩阵及其应用

本科毕业论文(设

正定矩阵及其应用

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计)

A Graduation Thesis (Project)

Submitted to School of Science， Hubei University for Nationalities

In Partial Fulfillment of the Requiring for BS Degree

In the Year of 2016

Positive definite matrices and their applications

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摘 要

矩阵是高等代数里的一个基本概念，是代数知识的基础，是矩阵代数的一个主要研究对象. 它不仅是数学的一个重要分支，而且已经成为现在科技领域处理有限维空间形式与数量关系的强有力的工具. 而正定矩阵是从矩阵延伸出来的具有特殊性质的矩阵，是研究二次型的基础，在函数、不等式中都有应用，因此正定矩阵的特殊性质和广泛应用得到了许多学者关注，进而对此进行了大量的研究. 本文从矩阵最基本的概念和性质出发，由浅入深，层层递进. 从矩阵的性质出发，给出了正定矩阵定义及其等价定义，归纳整理了正定矩阵的性质及其部分证明，总结了正定矩阵的判定定理，最后研究正定矩阵在理论证明和在函数极值中的应用.

关键词：矩阵 正定二次型 正定矩阵 极值

Abstract

The matrix is very important in advanced algebra. It is not only an important branch, but also have become a powerful tool for studying finite dimensional space and quantity r- elationship in the real of modern science and technology. However , extending from the m- atrices, the positive definite matrix is a special matrix, which is a foundation for studying quadratic form and apply properly to both functions and inequality. Thus, its special prop- erty and wide applications have drawn scholars' attention, and a lot of research have been done. This paper begins with the matrix' primary concept and properties, going from the e- asy to the difficult. We define the positive definite matrix and its equivalent one, the sum up its properties and partial evidence, and summarize the determined theorems. At last, we study its application in theory and the solution of the function extremum.

Keywords: matrix， positive definite quadratic， positive definite matrix， extremum

目录

摘 要 .................................................................................................................................. I Abstract .................................................................................................................................. II 1绪论 .................................................................................................................................... 1

1.1 课题背景 ................................................................................................................ 1 1.2 课题研究的目的和意义 ........................................................................................ 1 1.3 国内外研究概况 .................................................................................................... 2 2 预备知识 ........................................................................................................................... 3

2.1 矩阵 ....................................................................................................................... 3 2.2二次型 ..................................................................................................................... 5 3正定矩阵 ............................................................................................................................ 8

3.1正定二次型 ............................................................................................................. 8 3.2正定矩阵的判定定理 ............................................................................................. 9 4正定矩阵的应用 .............................................................................................................. 13

4.1正定矩阵的相关命题 ........................................................................................... 13 4.2正定矩阵在函数极值中的应用 ........................................................................... 14 总结与展望 ......................................................................................................................... 18 致 谢 ................................................................................................................................. 19

1绪论

我们知道矩阵是高等代数中非常重要的内容之一. 在学习高等代数时，矩阵方面的知识也经常被用到. 而正定矩阵又是矩阵中的重点，它不单单用来解决数学中的问题，还应用于许多的科学领域. 本课题阐述了正定矩阵研究背景、正定矩阵的研究的目的和意义、正定矩阵的现状以及发展方向，明确指出了研究正定矩阵应用所面临的问题.

1.1 课题背景

正定矩阵作为一类常用矩阵，对它的研究最早出现在二次型中. 它也是从正定二次型中抽象出来的一个概念，有了正定矩阵的概念后，解决二次型的问题就变得简单方便. 不仅在代数学中应用广泛，在函数学、几何学、图像处理学、概率统计和物理学等学科中都得到了广泛的应用. 因此它的性质、定理以及应用问题一直备受学者关注. 而在实际生活问题中也经常出现一些相关数学问题，而用正定矩阵解决问题可能会更方便简洁一点. 这就需要我们研究正定矩阵的应用，如正定矩阵在四则运算、在函数极值、在不等式中的应用. 因此可以使得我们可以更好地使用正定矩阵这一重要工具. 本文通过对正定矩阵的理解和掌握，查阅各种相关资料，对正定矩阵及其相关知识点进行归纳总结，并且由此给出了正定矩阵在四则运算和函数极值及中的应用.根据课题研究内容和手中相关文献资料，了解课题研究现状，学习掌握相关理论基础知识，并进行初步研究，撰写开题报告.

1.2 课题研究的目的和意义

矩阵是代数中一个非常重要的概念，是研究和解决数学问题的一个重要工具. 而正定矩阵是一类非常重要的矩阵，在矩阵中扮演着重要的角色，因此是我们学习矩阵时不可忽略的重点. 本文对我们对数学感兴趣的学生深入理解和掌握正定矩阵理论有非常重要的意义. 能够加强我们对正定矩阵的掌握，也可以促进正定矩阵理论的进一步完善，丰富正定矩阵的应用，加强我们对正定矩阵的理解，丰富矩阵的理论知识. 有助于我们对整个高等代数知识的一体化的认识. 从而可以培养我们对代数知识的串联思想. 正定矩阵多方面的应用，能够开阔我们的视野，加强我们的联想能力，引起我们对数学的探究欲望，对知识的渴望.

研究矩阵的正定性，在代数理论和应用中具有重要意义. 正定矩阵不仅在数学方面，在其他各个领域都具有广泛的应用价值，因此引起了学者们极大的研究兴趣. 这些研究不断丰富了正定矩阵的理论知识，也引起了我们对正定矩阵的兴趣.

1.3 国内外研究概况

随着数学的影响力越来越大，矩阵对数学的研究也显得越来越重要. 在代数方面，正定矩阵也同样占有非常重要的地位. 因此人们对正定矩阵的研究也越来越广泛. 因而对正定矩阵的理解和应用也越来越深入，其应用范围也越来越广泛. 在函数学、几何学、经济学、图像处理学、概率统计和物理学等学科中都得到了广泛的应用.

在历史上，正定矩阵的相关研究最早出现在二次型和Hermite型中. 但是当时对于的正定矩阵局限于对实对称矩阵或者Hermite矩阵. 1970年，Johnson引入了不再局 限于对实对称矩阵或者Hermite矩阵实对称矩阵的概念. 他给出了正定矩阵较为广义的定义. 1985年，李炯生也给出了正定矩阵较为广义的定义. 1984年，佟文廷再次将正定矩阵的定义进行了推广. 他给出了推广正定矩阵的各种定义. 1988年，夏长富将实对称矩阵的正定性做了深入推广. 他又进一步极大的丰富了正定矩阵的理论. 1990年，屠伯埙将各类广义正定矩阵进行深度结合. 他重新定义了广义正定矩阵，将它称之为亚正定矩阵. 在研究正定矩阵的过程中，许多学者取得了惊人的理论成果，其成果也得到了广泛的应用. 除了对正定矩阵的研究，许多学者还对正定矩阵相关内容进行了研究，同样取得了巨大的成就. 近年来，在完善正定矩阵理论成果的历史中，得出了许多其他的概念和定理，将各类正定阵统一起来. 这些新的研究成果对完善正定矩阵的理论和其应用具有非常大的价值.

虽然对正定矩阵的研究这么广泛，但是这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面. 它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘.

2 预备知识

2.1 矩阵

定义2.1.1 由mn个数aij(i1,2,,m；j1,2,n)排成的m行n列的数表

a11a21A 

am1

a12a22am2

a1n



a2n

， 

amn

称为mn矩阵，记作A（aij）mn. 特殊地，当mn时，矩阵称为方阵.

定义2.1.2 把一矩阵A的行列互换，所得到的矩阵称为A的转置. 记为AT(或者记为

A').

即， 设

a11

a21

A

as1

a12a1n



a22a2n

，





as2asna12a22a2n

as1



as2

. 

asn

所谓A的地转置就是指矩阵

a11

a21

AT

a1n

（aij）（aij）显然，sn矩阵的转置是ns矩阵，即Asn，则Ans. 转置矩阵满足以下运算规律

A

TT

A，

T

ABATBT，

TTT

ABBA，kATkAT.

定义2.1.3 数域P上的nn矩阵A称为对称矩阵，如果AAT.

即若

a11a

A21

an1

a12a1n



a22a2n

,





an2anna12a1na11



a22a2na12

an2anna1n

a21an1



a22an2

, 

a2nann

且满足

a11

a

21

an1

则称A为对称矩阵.

定理2.1.1 任意一个n阶实对称矩阵A，都存在一个n阶正交矩阵T，使得

TTAT成对角型. 对角线上的元素为矩阵A的特征根.

定义2.1.4 数域P上的nn矩阵A称为非退化的，如果A0；否则称为退化的. 即，若

a11

a21

A



an1

a12

a1n

a22a2n

0.

an2ann

则A为非退化的.

定义2.1.5 N级方阵A称为可逆的，如果有n级方阵B，使得

ABBAE. （1）

这里E是n级单位阵.

如果矩阵B适合（1），那么B称为A的逆矩阵，记为AT. 注1：只有方阵才可能可逆； 注2：非零的矩阵不一定可逆；

注3：若A可逆，则（1）中的B必唯一； 注4：若ABAC，且A可逆，则BC.

设A是n阶可逆矩阵，下列结论成立：

12

3

AA;AA;

11T1

1T

A1

1

1;A

A1(k为非零数);k

n1

4kA5

AA

.

定理2.1.2 矩阵A是可逆的充分必要条件是A是非退化的.

定义2.1.6 数域P上nn矩阵A,B称为合同的，如果有数域P上可逆的nn矩阵C，使

BCTAC.

合同是矩阵之间的的一个关系，不难看出，合同关系具有: （1） 反身性：AETAE;

（2） 对称性：由BCT即得AC1BC1;

（3） 传递性: 由A1C1AC1和A2C2A1C2 即得A2C1C2TAC1C2.

T



T

T

定义2.1.7 设x1,x2,,xn；y1,y2,,yn是两组文字，系数在数域P中的一组关系式

x1c11y1c12y2c1nyn，xcycycy，22112222nn

 （2）



xncn1y1cn2y2cnnyn.

称为由x1,x2,,xn到y1,y2,,yn的一个线性替换，或者简称线性替换，如果系数行列式

cij0， 那么线性替换（2）称为非退化的.

2.2二次型

定义2.2.1 设P是一数域. 一个系数在数域P中的x1,x2,,xn的二次齐次多项式

fx1,x2,x3a11x122a12x1x2

2

2an1x2x1a22x22a2nx2xn



2

annxn (3)

称为数域P上的一个n元二次型，或者，在不致引起混淆时简称二次型. 令

aijaji，ij.

由于

xixjxjxi， 所以二次型（3）可以写成

fx1,x2,x3a11x21a12x1x2a1nx1xn

a221x2x1a22x2a2nx2xn



a2n1xnx1an2xnx2annxn

n

n

aijxixj i1j1

把（5）的系数排成一个nn矩阵

a11

a12a1n

Aaaa



21222n

， an1

an2

a

nn

它就称为二次型（5）的矩阵.

x1

令Xx2

.

xn

于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来

a11a12a1n XTAXxa21

ax1

1,x2,xnax



222n2

. an1

an2

annxn

5）

（

故

f(x1,x2,xn)XTAX.

定理2.2.1 在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于一对角阵. 即，对于任意一个对称矩阵A都可以找到一个可逆矩阵C使

CTAC

成对角矩阵.

定义2.2.2 二次型f(x1,x2,,xn)经过非退化的线性替换所变成的平方和形式称

22

为二次型f(x1,x2,,xn)的一个标准形. 即f(x1,x2,,xn)d1x12d2x2 dnxn

为二次型f(x1,x2,,xn)的标准形.

定义2.2.3 任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形. 且规范形是唯一的. 即任一复数的对称矩阵合同于

1

1

 

0

0

的对角阵.

定义2.2.4 实二次型f(x1,x2,,xn)经过某一个非线性替换，可使

f(x1,x2,,xn) 变成标准形

22

d1y12dpy2pdp1yp1dryr，

再做一次非退化线性替换就变成

22 z12z2pzp1zr，

称为实二次型f(x1,x2,,xn) 的规范形.

3正定矩阵

在二次型中，正定二次型占有特殊的地位. 作为本章的开始，我们给出了它的定义，引出正定矩阵的定义. 正定矩阵同样占有非常特殊的地位，我们给出了正定矩阵的判定定理.

3.1正定二次型

定义3.1.1 在实二次型 f(x1,x2,,xn)的标准型形中，正平方项的个数p称为

f(x1,x2,,xn) 的正惯性指数；负平方项的个数rp称为f(x1,x2,,xn) 的负惯性指

数；它们的差prp2pr称为f(x1,x2,,xn) 的符号差.

定义3.1.2 实二次型f(x1,x2,,xn) 称为正定的. 如果对于任意一组不全为零的实数 c1,c2,,cn都有 f(c1,c2,,cn)0.

定理3.1.1 n元实二次型 f(x1,x2,,xn)是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n.

推论3.1.1 正定矩阵的行列式大于零.

定义3.1.3 在n阶矩阵中任选k行，再取相同行号的列，所选取的行列交汇处的k2个元素组成的新的矩阵称为n阶矩阵的一个k阶主子式.

定义3.1.4 子式

a11

a21

Pi

ai1

a12a1i



a22a2i

(i1,2,n)，





ai2aii

称为矩阵Aaijnn的顺序主子式.

定理3.1.2 实二次型

f(x1,x2,,xn)aijxixjXTAX

i1j1

nn

是正定的充分必要条件为：矩阵A的顺序主子式全大于零.

定义3.1.5 若对于方阵A存在一个非零向量X和实数，使得AXX成立. 则称为矩阵A的特征值，X称为A相对于的特征向量.

定义3.1.6 设实二次型f(x1,x2,,xn)XTAX（A为对称矩阵). 如果对于任意

x1x

的X20，有f(x1,x2,,xn)XTAX0，则称该二次型为正定二次型. 矩阵A

xn

为正定矩阵.

注：本文所讨论的都为实正定矩阵.

3.2正定矩阵的判定定理

定理3.2.1 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是：存在可逆矩阵P，使得APTP.

证明 必要性 因为矩阵A为正定矩阵，所以矩阵A合同于单位矩阵，即存在可逆矩阵Q，使得QTAQE， 即AQT有APTP.

充分性 设存在可逆矩阵P使得APTP，则对任意xx1,x2,,xn0 ， 有

T



1

EQ1Q1

Q，若我们记PQ

T

1

1

，则

XTAXXTPTPXPXPX，若我们记YPXy1,y2,,yn. 则

T

T

222

XTAXYTYy1y2yn，所以矩阵A为正定矩阵.

定理3.2.2 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是：存在可逆矩阵P，使得PTAPEn.

证明 充分性 因为矩阵A为正定矩阵，所以矩阵A对应的是正定二次型. 因此可以经过非退化线性替换XPY. 其中Yy1,y2,,yn. 使得

T

a1T

f(x1,x2,,xn)XTAXPYAPYYTPTAPY



所以有P'APEn.



a2



g(y1,y2,,yn).

an

必要性 存在可逆矩阵P使得 PTAPEn，则其对应的二次型

g(y1,y2,,yn)YTEYYTPTAPY(PY)TA(PY)f(x1,x2,,xn). 因g(x1,x2,xn)为正定二次型，所以f(x1,x2,,xn)也为正定二次型. 所以其对应的矩阵A为正定矩阵.

定理3.2.3 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是：矩阵A的正惯性指数

pn.

证明 充分性 因为矩阵A为正定矩阵. 由定理3.2.2知矩阵A合同于单位阵

E. 所以矩阵A的正惯性指数为n.

必要性 因为矩阵A的正惯性指数为n，由定理3.1.1知矩阵A对应的二次型为正定二次型. 因此矩阵A为正定矩阵.

定理3.2.4 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是：矩阵A的所有顺序主子式都大于零.

证明 充分性 因为矩阵A为正定矩阵，所以矩阵A对应的二次型为正定二次型. 则构造函数f(x1,x2,,xk)(0k0)也为正定二次型. 所以其对应的矩阵顺序主子式Ak为正定矩阵，即Ak0. 所以正定矩阵A的所有顺序主子式都大于零. 必要性 因为矩阵A的所有顺序主子式都大于零，所以矩阵A的任一顺序主子式Ak对应的二次函数都为正定二次型. 因此当kn时对应的二次型f(x1,x2,,xn)为正定二次型. 即对应的矩阵A为正定矩阵.

例3.2.1 设二次型f(x1,x2,,xn)x14x22x32x1x22x1x3-4x2x3，求的取什么范围，使得f(x1,x2,,xn)为二次型. 解 二次型f(x1,x2,,xn)的矩阵为

1-1



A4-2.

-1-22

2

2

2

由定理3.2.4得

A110,

A2

1

42220,得22. 4

1

1

A34-22242-20,得02.

1-22

综合可知当02时，f(x1,x2,,xn)正定.

定理3.2.5 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是：矩阵A的所有主子式都大于零.

证明 设正定矩阵Aaijnn，则它的任一m阶主子式为 Am

ak1k1

ak1km



.

akmk1akmkm

作二次型XTAX和YTAmY. 对任意Y0bk1,bkm0，都有X0c1,,cn0.其中



b,当ik1,k2,,km时T

，由于XTAX正定，所以X0AX00. 从而cii

0,其它X0AX0Y0AmY0. 由Y0的任意性即证YTAmY是正定二次型，即Am0.

T

T

110



例3.2.2 判断A121是否为正定矩阵.

01-1 解 我们直接可以看出矩阵A的主子式不全大于零.

定理3.2.6 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是：矩阵A的所有特征值都大于零.

证明 由定理2.1.1知对于对称矩阵A存在一个n阶正交矩阵T. 使得TTAT成对角型. 对角线上的元素为矩阵A的特征根.

充分性 因为矩阵A为正定矩阵，所以存在正交矩阵P，满足

a1



PTAP



a2



. 其中a1,a2,,an是矩阵A的全部特征值. 则矩阵A对应的

an

二次型为f(x1,x2,,xn)XTAX. 令XPY，则有

f(x1,x2,,xn)XTAXPYAPYYT(PTAP)Ygy1,y2,,yn.

T

又因为矩阵A为正定矩阵，所以二次型为正定二次型. 因此矩阵A的特征值全部大于零.

必要性 因为矩阵A的特征值ai(i1,2,,n)都是大于零，所以存在正交矩阵

a1P，满足PTAP

a

2





. 则矩阵A所对应的二次型 

an

a1g(y,,y

ay12

y21,y2n)y1,y2,,yn



anyn

YTPTAPYPYT

APY

f(x1,x2,,xn)

所以二次型gy1,y2,,yn是正定二次型. 因此矩阵A为正定矩阵.

4正定矩阵的应用

正定矩阵作为本论文的中心内容，我们不仅仅只是研究它的定义和性质，它的应用也是我们需要研究的反向. 正定矩阵的应用非常广泛，它在函数学、几何学、图像处理学、概率统计和物理学等学科中都得到了广泛的应用. 本论文主要研究了它在理论证明中和在函数极值中的应用.

4.1正定矩阵的相关命题

命题4.1.1 若矩阵A,B是n阶正定矩阵，则矩阵AB也是正定矩阵. 证明 因为矩阵A,B为正定矩阵，所以对所有X0,XTAX0，XTBX0. 因此XT(AB)X0.

命题4.1.2 若矩阵A是n阶正定矩阵，0kR，则kA也为正定矩阵. 证明 因为所有X0,XTAX0，所以XT(kA)Xk(XTAX)0.

命题4.1.3 若矩阵A,B都是n阶正定阵，ABBA，则AB也是正定阵. 证明 因为ABBA，所以ABBTATBAAB. 所以AB是对称矩阵

T

又因为A,B为正定矩阵，所以存在可逆矩阵P,Q，使得APTP,BQTQ. 因此ABPTPQTQ.

又因为QABQ1QPTPQTPQPQ正定， 且与AB相似，所以AB正定.

T

命题4.1.4 设矩阵A是正定阵，则A1，A*为正定阵.

证明 因为矩阵A为正定矩阵. 所以存在可逆矩阵C，使得ACTC. 因此

A1CTC



1

C1CT



1

C1C1. 所以A1 正定.



T

又因为A*AA1A0，所以A*也是正定阵.

命题4.1.5 设矩阵A为正定阵，则与矩阵A合同的矩阵也是正定阵. 证明 因为正定矩阵A合同于单位矩阵E，又因为合同矩阵具有传递性 所以结论成立.

命题4.1.6 若矩阵A为正定矩阵，那么矩阵A的绝对值最大的元素一定在矩阵

A的主对角线上.

证明 设ai0j0maxaij,i0j0，

ai0i0aj0i0

ai0j0

0. aj0j0



这与矩阵A为正定矩阵矛盾.

113

例4.1.1 判断矩阵B121是不是正定矩阵.

311

解 因为绝对值最大的元素不在主对角线上，所以矩阵B不是正定矩阵.

4.2正定矩阵在函数极值中的应用

x1

x2

定义4.2.1 设n元函数fxf(x1,x2,,xn)在x0Rn的某个邻域内存在

xn

f(x0)f(x0)f(x0)

一阶和二阶连续偏导数. 记f(x)x,x,,x. f(x)称为函数

12n

x1

x2

f(x)在点x0处的梯度，或记为gradf(x0).

xn

12

定义4.2.2 设n元函数fxf(x1,x2,,xn)有二阶连续偏导数，并且在

n

处的一阶偏导全部为零. 则称为fxf(x1,x2,,xn)的一个驻点，则n阶矩阵

fx1x2fxx

H(x)21

fxnx1

fx1x2fx2x2

fxnx2



fx1xnfx2xn. fxnxn

称为fxf(x1,x2,,xn)在点的黑塞矩阵.

定理4.2.1 设函数f(x)f(x1,x2,,xn)的一阶和二阶连续偏导数存在. 并且在

(1,2,,n)处的一阶偏导为零. 则由函数二阶偏导所确定的n元黑塞矩阵

fx1x2fxx

H(x)21

fxnx1

fx1x2fx2x2

fxnx2



fx1xnfx2xn，满足 fxnxn

（1）当H()为正定矩阵时，fxf(x1,x2,,xn)在处取得极小值； （2）当H()为负定矩阵时，fxf(x1,x2,,xn)在处取得极大值； （3）当H()为不定矩阵时，fxf(x1,x2,,xn)在无极值.

证明 因为fxf(x1,x2,,xn)在的所有二阶偏导数都存在，所以由泰勒公式得

f1x1,2x2,,nxn

f1,2,,nxxxf1x1,2x2,,nxn 2n1xx2xn1

1

xxx12nf1x1,2x2,,nxn(其中01) 2！xxx12n

2

又因为fxf(x1,x2,,xn)在处的一阶偏导为零，

1n2

所以f(xifx21x1,2x2,,nxn

i

2!i1

2xixjfxixj1x1,2x2,,nxn).

i1ji1n

n

所以我们可以得到

fxixj1x1,2x2,,nxnfxixj1,2,,ncij(i,j1,2,.n) 当xx1,x2,,xn0时，cij0.所以

nn

1n2

f(xifx21,2,,n2xixjfxixj1,2,,n

i

2!i1i1ji1

cx2cijxixj).

2

i

2i

i1

i1ji1

nnn

因为xx1,x2,,xn0时cij0. 所以存在x的一个领域，使得在这个区域内

f的符号与fxifx21,2,,n2xixjfxixj1,2,,n的符号一致.

'

2

i1

i

nnn

i1ji1

所以由实二次型及正定矩阵的定义可以证明以上定理的正确性.

22

例4.2.1 求三元函数fx1,x2,x32x12x23x34x12x26x3的极值.

fx14x140，x11，



x21， 解 求驻点fx22x220，

f6x60.x1.

33x3

所以驻点为1，-1,1. 求得二阶偏导分别为

fx1x14,fx1x20,fx2x22,fx2x30,fx3x36,fx1x30.

400

所以矩阵H020 ， 由以上判定定理可知H为正定矩阵.

006-1,1处取得极小值，极小值为ff1,1,15. 所以f(x1,x2,x3)在1，

322

例4.2.2 求三元函数f(x1,x2,x3)x1x2x36x1x22x3的极值.

fx3x126x20，x10,x19,

1

解 求驻点fx22x26x10，x20,或x227,

f2x20.x1.x1.

x3333 所以驻点为10，0,1，29，27,1. 求得二阶偏导分别为

fx1x16x1,fx1x26,fx2x16,fx2x22,fx2x30,fx3x20,fx3x32,fx1x30,fx3x10.

6x160

所以矩阵H620.

002060

所以矩阵H1620.

002

在10，0,1处的顺序主子式为

H100，H2

06

060

36，H362072. 62

002

由定理3.2.4知矩阵H1不是正定矩阵，所以10，0,1不是f(x1,x2,x3)的极值点.

5460



H2620.

002

在29，27,1处的顺序主子式为 H1540，H2

5466

5460

201440.

02

720，H362

由定理3.2.4知矩阵H2是正定矩阵，在29，27,1处取得极小值，极小值为

f2f9,27,12915.

总结与展望

正定矩阵在高等代数中有很多重要的应用，其实质就是简化二次型的运算. 本文一共有四章. 第一章主要介绍了本文的研究背景和现状；第二章归纳了部分矩阵知识和二次型知识；第三章通过正定二次型导出正定矩阵的定义，并且整理了正定矩阵的相关知识，着重归纳证明了正定矩阵的六个判定定理及其证明；第四章在前面两部分的知识基础上，给出了正定矩阵的六个命题及其证明，给出了解决了函数极值存在问题的方法，即正定矩阵在函数极值中的应用. 从代数方面解决分析问题，使我意识到数学的跨度非常大，我们应该加强自己的逻辑思维和联想能力并且要学会多方面思考问题.

以上这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面，也可能总结不太完整，归纳的不够完善，这就希望其它研究者完善，还有它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘. 本文作者知识和写作水平有限，不足之处请读者和专家批评指正.

致 谢

在论文完成之际，我首先要向我的指导老师刘老师表示最真挚的谢意，本论文是在导师刘老师的悉心指导下完成的.

在论文写作期间，刘老师一边要兼顾自己的学业一边还耐心认真地指导我的论文，不辞辛苦，花费了许多宝贵时间和心血. 导师渊博的学识，宽厚待人的学者风范，严谨求学的治学态度，忘我的敬业精神让我受益匪浅. 能够师从刘先平老师，是我的幸运，更是我的荣幸.

衷心感谢和我是同一个指导老师的付江林同学. 感谢他帮助我指正和修改我论文的不足之处. 因为他的帮助我才能顺利完成我的论文.

感谢我的室友们，感谢他们的督促与各方面的帮助.

还有感谢我的家人们，没有他们的支持，我的论文不可能顺顺利利的完成. 最后，向评阅论文和参加论文答辩的老师们表示由衷的感谢.

由于我知识水平的限制，再加上我写此论文的时间仓促. 文中难免有错误和有待改进之处. 真诚欢迎各位老师、同学提出宝贵意见.

参考文献

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独创性声明

本人声明所呈交的论文（设计）是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文（设计）不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承担。

学位论文作者签名： 日期： 年 月 日

学位论文（设计）版权使用授权书

本论文（设计）作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文（设计）被查阅和借阅。本人授权湖北民族学院可以将本论文（设计）的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本论文（设计）。

保密□ ，在_____年解密后适用本授权书。

本论文属于

不保密□。

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学位论文作者签名： 指导教师签名：

日期： 年 月 日 日期： 年 月 日

本科毕业论文(设

正定矩阵及其应用

学生姓名： 学 号： 专 业： 指导老师： 答辩时间： 装订时间：

计)

A Graduation Thesis (Project)

Submitted to School of Science， Hubei University for Nationalities

In Partial Fulfillment of the Requiring for BS Degree

In the Year of 2016

Positive definite matrices and their applications

Student Name: Student No.: Specialty: Supervisor:

Date of Thesis Defense: Date of Bookbinding:

摘 要

矩阵是高等代数里的一个基本概念，是代数知识的基础，是矩阵代数的一个主要研究对象. 它不仅是数学的一个重要分支，而且已经成为现在科技领域处理有限维空间形式与数量关系的强有力的工具. 而正定矩阵是从矩阵延伸出来的具有特殊性质的矩阵，是研究二次型的基础，在函数、不等式中都有应用，因此正定矩阵的特殊性质和广泛应用得到了许多学者关注，进而对此进行了大量的研究. 本文从矩阵最基本的概念和性质出发，由浅入深，层层递进. 从矩阵的性质出发，给出了正定矩阵定义及其等价定义，归纳整理了正定矩阵的性质及其部分证明，总结了正定矩阵的判定定理，最后研究正定矩阵在理论证明和在函数极值中的应用.

关键词：矩阵 正定二次型 正定矩阵 极值

Abstract

The matrix is very important in advanced algebra. It is not only an important branch, but also have become a powerful tool for studying finite dimensional space and quantity r- elationship in the real of modern science and technology. However , extending from the m- atrices, the positive definite matrix is a special matrix, which is a foundation for studying quadratic form and apply properly to both functions and inequality. Thus, its special prop- erty and wide applications have drawn scholars' attention, and a lot of research have been done. This paper begins with the matrix' primary concept and properties, going from the e- asy to the difficult. We define the positive definite matrix and its equivalent one, the sum up its properties and partial evidence, and summarize the determined theorems. At last, we study its application in theory and the solution of the function extremum.

Keywords: matrix， positive definite quadratic， positive definite matrix， extremum

目录

摘 要 .................................................................................................................................. I Abstract .................................................................................................................................. II 1绪论 .................................................................................................................................... 1

1.1 课题背景 ................................................................................................................ 1 1.2 课题研究的目的和意义 ........................................................................................ 1 1.3 国内外研究概况 .................................................................................................... 2 2 预备知识 ........................................................................................................................... 3

2.1 矩阵 ....................................................................................................................... 3 2.2二次型 ..................................................................................................................... 5 3正定矩阵 ............................................................................................................................ 8

3.1正定二次型 ............................................................................................................. 8 3.2正定矩阵的判定定理 ............................................................................................. 9 4正定矩阵的应用 .............................................................................................................. 13

4.1正定矩阵的相关命题 ........................................................................................... 13 4.2正定矩阵在函数极值中的应用 ........................................................................... 14 总结与展望 ......................................................................................................................... 18 致 谢 ................................................................................................................................. 19

1绪论

我们知道矩阵是高等代数中非常重要的内容之一. 在学习高等代数时，矩阵方面的知识也经常被用到. 而正定矩阵又是矩阵中的重点，它不单单用来解决数学中的问题，还应用于许多的科学领域. 本课题阐述了正定矩阵研究背景、正定矩阵的研究的目的和意义、正定矩阵的现状以及发展方向，明确指出了研究正定矩阵应用所面临的问题.

1.1 课题背景

正定矩阵作为一类常用矩阵，对它的研究最早出现在二次型中. 它也是从正定二次型中抽象出来的一个概念，有了正定矩阵的概念后，解决二次型的问题就变得简单方便. 不仅在代数学中应用广泛，在函数学、几何学、图像处理学、概率统计和物理学等学科中都得到了广泛的应用. 因此它的性质、定理以及应用问题一直备受学者关注. 而在实际生活问题中也经常出现一些相关数学问题，而用正定矩阵解决问题可能会更方便简洁一点. 这就需要我们研究正定矩阵的应用，如正定矩阵在四则运算、在函数极值、在不等式中的应用. 因此可以使得我们可以更好地使用正定矩阵这一重要工具. 本文通过对正定矩阵的理解和掌握，查阅各种相关资料，对正定矩阵及其相关知识点进行归纳总结，并且由此给出了正定矩阵在四则运算和函数极值及中的应用.根据课题研究内容和手中相关文献资料，了解课题研究现状，学习掌握相关理论基础知识，并进行初步研究，撰写开题报告.

1.2 课题研究的目的和意义

矩阵是代数中一个非常重要的概念，是研究和解决数学问题的一个重要工具. 而正定矩阵是一类非常重要的矩阵，在矩阵中扮演着重要的角色，因此是我们学习矩阵时不可忽略的重点. 本文对我们对数学感兴趣的学生深入理解和掌握正定矩阵理论有非常重要的意义. 能够加强我们对正定矩阵的掌握，也可以促进正定矩阵理论的进一步完善，丰富正定矩阵的应用，加强我们对正定矩阵的理解，丰富矩阵的理论知识. 有助于我们对整个高等代数知识的一体化的认识. 从而可以培养我们对代数知识的串联思想. 正定矩阵多方面的应用，能够开阔我们的视野，加强我们的联想能力，引起我们对数学的探究欲望，对知识的渴望.

研究矩阵的正定性，在代数理论和应用中具有重要意义. 正定矩阵不仅在数学方面，在其他各个领域都具有广泛的应用价值，因此引起了学者们极大的研究兴趣. 这些研究不断丰富了正定矩阵的理论知识，也引起了我们对正定矩阵的兴趣.

1.3 国内外研究概况

随着数学的影响力越来越大，矩阵对数学的研究也显得越来越重要. 在代数方面，正定矩阵也同样占有非常重要的地位. 因此人们对正定矩阵的研究也越来越广泛. 因而对正定矩阵的理解和应用也越来越深入，其应用范围也越来越广泛. 在函数学、几何学、经济学、图像处理学、概率统计和物理学等学科中都得到了广泛的应用.

在历史上，正定矩阵的相关研究最早出现在二次型和Hermite型中. 但是当时对于的正定矩阵局限于对实对称矩阵或者Hermite矩阵. 1970年，Johnson引入了不再局 限于对实对称矩阵或者Hermite矩阵实对称矩阵的概念. 他给出了正定矩阵较为广义的定义. 1985年，李炯生也给出了正定矩阵较为广义的定义. 1984年，佟文廷再次将正定矩阵的定义进行了推广. 他给出了推广正定矩阵的各种定义. 1988年，夏长富将实对称矩阵的正定性做了深入推广. 他又进一步极大的丰富了正定矩阵的理论. 1990年，屠伯埙将各类广义正定矩阵进行深度结合. 他重新定义了广义正定矩阵，将它称之为亚正定矩阵. 在研究正定矩阵的过程中，许多学者取得了惊人的理论成果，其成果也得到了广泛的应用. 除了对正定矩阵的研究，许多学者还对正定矩阵相关内容进行了研究，同样取得了巨大的成就. 近年来，在完善正定矩阵理论成果的历史中，得出了许多其他的概念和定理，将各类正定阵统一起来. 这些新的研究成果对完善正定矩阵的理论和其应用具有非常大的价值.

虽然对正定矩阵的研究这么广泛，但是这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面. 它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘.

2 预备知识

2.1 矩阵

定义2.1.1 由mn个数aij(i1,2,,m；j1,2,n)排成的m行n列的数表

a11a21A 

am1

a12a22am2

a1n



a2n

， 

amn

称为mn矩阵，记作A（aij）mn. 特殊地，当mn时，矩阵称为方阵.

定义2.1.2 把一矩阵A的行列互换，所得到的矩阵称为A的转置. 记为AT(或者记为

A').

即， 设

a11

a21

A

as1

a12a1n



a22a2n

，





as2asna12a22a2n

as1



as2

. 

asn

所谓A的地转置就是指矩阵

a11

a21

AT

a1n

（aij）（aij）显然，sn矩阵的转置是ns矩阵，即Asn，则Ans. 转置矩阵满足以下运算规律

A

TT

A，

T

ABATBT，

TTT

ABBA，kATkAT.

定义2.1.3 数域P上的nn矩阵A称为对称矩阵，如果AAT.

即若

a11a

A21

an1

a12a1n



a22a2n

,





an2anna12a1na11



a22a2na12

an2anna1n

a21an1



a22an2

, 

a2nann

且满足

a11

a

21

an1

则称A为对称矩阵.

定理2.1.1 任意一个n阶实对称矩阵A，都存在一个n阶正交矩阵T，使得

TTAT成对角型. 对角线上的元素为矩阵A的特征根.

定义2.1.4 数域P上的nn矩阵A称为非退化的，如果A0；否则称为退化的. 即，若

a11

a21

A



an1

a12

a1n

a22a2n

0.

an2ann

则A为非退化的.

定义2.1.5 N级方阵A称为可逆的，如果有n级方阵B，使得

ABBAE. （1）

这里E是n级单位阵.

如果矩阵B适合（1），那么B称为A的逆矩阵，记为AT. 注1：只有方阵才可能可逆； 注2：非零的矩阵不一定可逆；

注3：若A可逆，则（1）中的B必唯一； 注4：若ABAC，且A可逆，则BC.

设A是n阶可逆矩阵，下列结论成立：

12

3

AA;AA;

11T1

1T

A1

1

1;A

A1(k为非零数);k

n1

4kA5

AA

.

定理2.1.2 矩阵A是可逆的充分必要条件是A是非退化的.

定义2.1.6 数域P上nn矩阵A,B称为合同的，如果有数域P上可逆的nn矩阵C，使

BCTAC.

合同是矩阵之间的的一个关系，不难看出，合同关系具有: （1） 反身性：AETAE;

（2） 对称性：由BCT即得AC1BC1;

（3） 传递性: 由A1C1AC1和A2C2A1C2 即得A2C1C2TAC1C2.

T



T

T

定义2.1.7 设x1,x2,,xn；y1,y2,,yn是两组文字，系数在数域P中的一组关系式

x1c11y1c12y2c1nyn，xcycycy，22112222nn

 （2）



xncn1y1cn2y2cnnyn.

称为由x1,x2,,xn到y1,y2,,yn的一个线性替换，或者简称线性替换，如果系数行列式

cij0， 那么线性替换（2）称为非退化的.

2.2二次型

定义2.2.1 设P是一数域. 一个系数在数域P中的x1,x2,,xn的二次齐次多项式

fx1,x2,x3a11x122a12x1x2

2

2an1x2x1a22x22a2nx2xn



2

annxn (3)

称为数域P上的一个n元二次型，或者，在不致引起混淆时简称二次型. 令

aijaji，ij.

由于

xixjxjxi， 所以二次型（3）可以写成

fx1,x2,x3a11x21a12x1x2a1nx1xn

a221x2x1a22x2a2nx2xn



a2n1xnx1an2xnx2annxn

n

n

aijxixj i1j1

把（5）的系数排成一个nn矩阵

a11

a12a1n

Aaaa



21222n

， an1

an2

a

nn

它就称为二次型（5）的矩阵.

x1

令Xx2

.

xn

于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来

a11a12a1n XTAXxa21

ax1

1,x2,xnax



222n2

. an1

an2

annxn

5）

（

故

f(x1,x2,xn)XTAX.

定理2.2.1 在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于一对角阵. 即，对于任意一个对称矩阵A都可以找到一个可逆矩阵C使

CTAC

成对角矩阵.

定义2.2.2 二次型f(x1,x2,,xn)经过非退化的线性替换所变成的平方和形式称

22

为二次型f(x1,x2,,xn)的一个标准形. 即f(x1,x2,,xn)d1x12d2x2 dnxn

为二次型f(x1,x2,,xn)的标准形.

定义2.2.3 任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形. 且规范形是唯一的. 即任一复数的对称矩阵合同于

1

1

 

0

0

的对角阵.

定义2.2.4 实二次型f(x1,x2,,xn)经过某一个非线性替换，可使

f(x1,x2,,xn) 变成标准形

22

d1y12dpy2pdp1yp1dryr，

再做一次非退化线性替换就变成

22 z12z2pzp1zr，

称为实二次型f(x1,x2,,xn) 的规范形.

3正定矩阵

在二次型中，正定二次型占有特殊的地位. 作为本章的开始，我们给出了它的定义，引出正定矩阵的定义. 正定矩阵同样占有非常特殊的地位，我们给出了正定矩阵的判定定理.

3.1正定二次型

定义3.1.1 在实二次型 f(x1,x2,,xn)的标准型形中，正平方项的个数p称为

f(x1,x2,,xn) 的正惯性指数；负平方项的个数rp称为f(x1,x2,,xn) 的负惯性指

数；它们的差prp2pr称为f(x1,x2,,xn) 的符号差.

定义3.1.2 实二次型f(x1,x2,,xn) 称为正定的. 如果对于任意一组不全为零的实数 c1,c2,,cn都有 f(c1,c2,,cn)0.

定理3.1.1 n元实二次型 f(x1,x2,,xn)是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n.

推论3.1.1 正定矩阵的行列式大于零.

定义3.1.3 在n阶矩阵中任选k行，再取相同行号的列，所选取的行列交汇处的k2个元素组成的新的矩阵称为n阶矩阵的一个k阶主子式.

定义3.1.4 子式

a11

a21

Pi

ai1

a12a1i



a22a2i

(i1,2,n)，





ai2aii

称为矩阵Aaijnn的顺序主子式.

定理3.1.2 实二次型

f(x1,x2,,xn)aijxixjXTAX

i1j1

nn

是正定的充分必要条件为：矩阵A的顺序主子式全大于零.

定义3.1.5 若对于方阵A存在一个非零向量X和实数，使得AXX成立. 则称为矩阵A的特征值，X称为A相对于的特征向量.

定义3.1.6 设实二次型f(x1,x2,,xn)XTAX（A为对称矩阵). 如果对于任意

x1x

的X20，有f(x1,x2,,xn)XTAX0，则称该二次型为正定二次型. 矩阵A

xn

为正定矩阵.

注：本文所讨论的都为实正定矩阵.

3.2正定矩阵的判定定理

定理3.2.1 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是：存在可逆矩阵P，使得APTP.

证明 必要性 因为矩阵A为正定矩阵，所以矩阵A合同于单位矩阵，即存在可逆矩阵Q，使得QTAQE， 即AQT有APTP.

充分性 设存在可逆矩阵P使得APTP，则对任意xx1,x2,,xn0 ， 有

T



1

EQ1Q1

Q，若我们记PQ

T

1

1

，则

XTAXXTPTPXPXPX，若我们记YPXy1,y2,,yn. 则

T

T

222

XTAXYTYy1y2yn，所以矩阵A为正定矩阵.

定理3.2.2 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是：存在可逆矩阵P，使得PTAPEn.

证明 充分性 因为矩阵A为正定矩阵，所以矩阵A对应的是正定二次型. 因此可以经过非退化线性替换XPY. 其中Yy1,y2,,yn. 使得

T

a1T

f(x1,x2,,xn)XTAXPYAPYYTPTAPY



所以有P'APEn.



a2



g(y1,y2,,yn).

an

必要性 存在可逆矩阵P使得 PTAPEn，则其对应的二次型

g(y1,y2,,yn)YTEYYTPTAPY(PY)TA(PY)f(x1,x2,,xn). 因g(x1,x2,xn)为正定二次型，所以f(x1,x2,,xn)也为正定二次型. 所以其对应的矩阵A为正定矩阵.

定理3.2.3 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是：矩阵A的正惯性指数

pn.

证明 充分性 因为矩阵A为正定矩阵. 由定理3.2.2知矩阵A合同于单位阵

E. 所以矩阵A的正惯性指数为n.

必要性 因为矩阵A的正惯性指数为n，由定理3.1.1知矩阵A对应的二次型为正定二次型. 因此矩阵A为正定矩阵.

定理3.2.4 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是：矩阵A的所有顺序主子式都大于零.

证明 充分性 因为矩阵A为正定矩阵，所以矩阵A对应的二次型为正定二次型. 则构造函数f(x1,x2,,xk)(0k0)也为正定二次型. 所以其对应的矩阵顺序主子式Ak为正定矩阵，即Ak0. 所以正定矩阵A的所有顺序主子式都大于零. 必要性 因为矩阵A的所有顺序主子式都大于零，所以矩阵A的任一顺序主子式Ak对应的二次函数都为正定二次型. 因此当kn时对应的二次型f(x1,x2,,xn)为正定二次型. 即对应的矩阵A为正定矩阵.

例3.2.1 设二次型f(x1,x2,,xn)x14x22x32x1x22x1x3-4x2x3，求的取什么范围，使得f(x1,x2,,xn)为二次型. 解 二次型f(x1,x2,,xn)的矩阵为

1-1



A4-2.

-1-22

2

2

2

由定理3.2.4得

A110,

A2

1

42220,得22. 4

1

1

A34-22242-20,得02.

1-22

综合可知当02时，f(x1,x2,,xn)正定.

定理3.2.5 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是：矩阵A的所有主子式都大于零.

证明 设正定矩阵Aaijnn，则它的任一m阶主子式为 Am

ak1k1

ak1km



.

akmk1akmkm

作二次型XTAX和YTAmY. 对任意Y0bk1,bkm0，都有X0c1,,cn0.其中



b,当ik1,k2,,km时T

，由于XTAX正定，所以X0AX00. 从而cii

0,其它X0AX0Y0AmY0. 由Y0的任意性即证YTAmY是正定二次型，即Am0.

T

T

110



例3.2.2 判断A121是否为正定矩阵.

01-1 解 我们直接可以看出矩阵A的主子式不全大于零.

定理3.2.6 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是：矩阵A的所有特征值都大于零.

证明 由定理2.1.1知对于对称矩阵A存在一个n阶正交矩阵T. 使得TTAT成对角型. 对角线上的元素为矩阵A的特征根.

充分性 因为矩阵A为正定矩阵，所以存在正交矩阵P，满足

a1



PTAP



a2



. 其中a1,a2,,an是矩阵A的全部特征值. 则矩阵A对应的

an

二次型为f(x1,x2,,xn)XTAX. 令XPY，则有

f(x1,x2,,xn)XTAXPYAPYYT(PTAP)Ygy1,y2,,yn.

T

又因为矩阵A为正定矩阵，所以二次型为正定二次型. 因此矩阵A的特征值全部大于零.

必要性 因为矩阵A的特征值ai(i1,2,,n)都是大于零，所以存在正交矩阵

a1P，满足PTAP

a

2





. 则矩阵A所对应的二次型 

an

a1g(y,,y

ay12

y21,y2n)y1,y2,,yn



anyn

YTPTAPYPYT

APY

f(x1,x2,,xn)

所以二次型gy1,y2,,yn是正定二次型. 因此矩阵A为正定矩阵.

4正定矩阵的应用

正定矩阵作为本论文的中心内容，我们不仅仅只是研究它的定义和性质，它的应用也是我们需要研究的反向. 正定矩阵的应用非常广泛，它在函数学、几何学、图像处理学、概率统计和物理学等学科中都得到了广泛的应用. 本论文主要研究了它在理论证明中和在函数极值中的应用.

4.1正定矩阵的相关命题

命题4.1.1 若矩阵A,B是n阶正定矩阵，则矩阵AB也是正定矩阵. 证明 因为矩阵A,B为正定矩阵，所以对所有X0,XTAX0，XTBX0. 因此XT(AB)X0.

命题4.1.2 若矩阵A是n阶正定矩阵，0kR，则kA也为正定矩阵. 证明 因为所有X0,XTAX0，所以XT(kA)Xk(XTAX)0.

命题4.1.3 若矩阵A,B都是n阶正定阵，ABBA，则AB也是正定阵. 证明 因为ABBA，所以ABBTATBAAB. 所以AB是对称矩阵

T

又因为A,B为正定矩阵，所以存在可逆矩阵P,Q，使得APTP,BQTQ. 因此ABPTPQTQ.

又因为QABQ1QPTPQTPQPQ正定， 且与AB相似，所以AB正定.

T

命题4.1.4 设矩阵A是正定阵，则A1，A*为正定阵.

证明 因为矩阵A为正定矩阵. 所以存在可逆矩阵C，使得ACTC. 因此

A1CTC



1

C1CT



1

C1C1. 所以A1 正定.



T

又因为A*AA1A0，所以A*也是正定阵.

命题4.1.5 设矩阵A为正定阵，则与矩阵A合同的矩阵也是正定阵. 证明 因为正定矩阵A合同于单位矩阵E，又因为合同矩阵具有传递性 所以结论成立.

命题4.1.6 若矩阵A为正定矩阵，那么矩阵A的绝对值最大的元素一定在矩阵

A的主对角线上.

证明 设ai0j0maxaij,i0j0，

ai0i0aj0i0

ai0j0

0. aj0j0



这与矩阵A为正定矩阵矛盾.

113

例4.1.1 判断矩阵B121是不是正定矩阵.

311

解 因为绝对值最大的元素不在主对角线上，所以矩阵B不是正定矩阵.

4.2正定矩阵在函数极值中的应用

x1

x2

定义4.2.1 设n元函数fxf(x1,x2,,xn)在x0Rn的某个邻域内存在

xn

f(x0)f(x0)f(x0)

一阶和二阶连续偏导数. 记f(x)x,x,,x. f(x)称为函数

12n

x1

x2

f(x)在点x0处的梯度，或记为gradf(x0).

xn

12

定义4.2.2 设n元函数fxf(x1,x2,,xn)有二阶连续偏导数，并且在

n

处的一阶偏导全部为零. 则称为fxf(x1,x2,,xn)的一个驻点，则n阶矩阵

fx1x2fxx

H(x)21

fxnx1

fx1x2fx2x2

fxnx2



fx1xnfx2xn. fxnxn

称为fxf(x1,x2,,xn)在点的黑塞矩阵.

定理4.2.1 设函数f(x)f(x1,x2,,xn)的一阶和二阶连续偏导数存在. 并且在

(1,2,,n)处的一阶偏导为零. 则由函数二阶偏导所确定的n元黑塞矩阵

fx1x2fxx

H(x)21

fxnx1

fx1x2fx2x2

fxnx2



fx1xnfx2xn，满足 fxnxn

（1）当H()为正定矩阵时，fxf(x1,x2,,xn)在处取得极小值； （2）当H()为负定矩阵时，fxf(x1,x2,,xn)在处取得极大值； （3）当H()为不定矩阵时，fxf(x1,x2,,xn)在无极值.

证明 因为fxf(x1,x2,,xn)在的所有二阶偏导数都存在，所以由泰勒公式得

f1x1,2x2,,nxn

f1,2,,nxxxf1x1,2x2,,nxn 2n1xx2xn1

1

xxx12nf1x1,2x2,,nxn(其中01) 2！xxx12n

2

又因为fxf(x1,x2,,xn)在处的一阶偏导为零，

1n2

所以f(xifx21x1,2x2,,nxn

i

2!i1

2xixjfxixj1x1,2x2,,nxn).

i1ji1n

n

所以我们可以得到

fxixj1x1,2x2,,nxnfxixj1,2,,ncij(i,j1,2,.n) 当xx1,x2,,xn0时，cij0.所以

nn

1n2

f(xifx21,2,,n2xixjfxixj1,2,,n

i

2!i1i1ji1

cx2cijxixj).

2

i

2i

i1

i1ji1

nnn

因为xx1,x2,,xn0时cij0. 所以存在x的一个领域，使得在这个区域内

f的符号与fxifx21,2,,n2xixjfxixj1,2,,n的符号一致.

'

2

i1

i

nnn

i1ji1

所以由实二次型及正定矩阵的定义可以证明以上定理的正确性.

22

例4.2.1 求三元函数fx1,x2,x32x12x23x34x12x26x3的极值.

fx14x140，x11，



x21， 解 求驻点fx22x220，

f6x60.x1.

33x3

所以驻点为1，-1,1. 求得二阶偏导分别为

fx1x14,fx1x20,fx2x22,fx2x30,fx3x36,fx1x30.

400

所以矩阵H020 ， 由以上判定定理可知H为正定矩阵.

006-1,1处取得极小值，极小值为ff1,1,15. 所以f(x1,x2,x3)在1，

322

例4.2.2 求三元函数f(x1,x2,x3)x1x2x36x1x22x3的极值.

fx3x126x20，x10,x19,

1

解 求驻点fx22x26x10，x20,或x227,

f2x20.x1.x1.

x3333 所以驻点为10，0,1，29，27,1. 求得二阶偏导分别为

fx1x16x1,fx1x26,fx2x16,fx2x22,fx2x30,fx3x20,fx3x32,fx1x30,fx3x10.

6x160

所以矩阵H620.

002060

所以矩阵H1620.

002

在10，0,1处的顺序主子式为

H100，H2

06

060

36，H362072. 62

002

由定理3.2.4知矩阵H1不是正定矩阵，所以10，0,1不是f(x1,x2,x3)的极值点.

5460



H2620.

002

在29，27,1处的顺序主子式为 H1540，H2

5466

5460

201440.

02

720，H362

由定理3.2.4知矩阵H2是正定矩阵，在29，27,1处取得极小值，极小值为

f2f9,27,12915.

总结与展望

正定矩阵在高等代数中有很多重要的应用，其实质就是简化二次型的运算. 本文一共有四章. 第一章主要介绍了本文的研究背景和现状；第二章归纳了部分矩阵知识和二次型知识；第三章通过正定二次型导出正定矩阵的定义，并且整理了正定矩阵的相关知识，着重归纳证明了正定矩阵的六个判定定理及其证明；第四章在前面两部分的知识基础上，给出了正定矩阵的六个命题及其证明，给出了解决了函数极值存在问题的方法，即正定矩阵在函数极值中的应用. 从代数方面解决分析问题，使我意识到数学的跨度非常大，我们应该加强自己的逻辑思维和联想能力并且要学会多方面思考问题.

以上这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面，也可能总结不太完整，归纳的不够完善，这就希望其它研究者完善，还有它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘. 本文作者知识和写作水平有限，不足之处请读者和专家批评指正.

致 谢

在论文完成之际，我首先要向我的指导老师刘老师表示最真挚的谢意，本论文是在导师刘老师的悉心指导下完成的.

在论文写作期间，刘老师一边要兼顾自己的学业一边还耐心认真地指导我的论文，不辞辛苦，花费了许多宝贵时间和心血. 导师渊博的学识，宽厚待人的学者风范，严谨求学的治学态度，忘我的敬业精神让我受益匪浅. 能够师从刘先平老师，是我的幸运，更是我的荣幸.

衷心感谢和我是同一个指导老师的付江林同学. 感谢他帮助我指正和修改我论文的不足之处. 因为他的帮助我才能顺利完成我的论文.

感谢我的室友们，感谢他们的督促与各方面的帮助.

还有感谢我的家人们，没有他们的支持，我的论文不可能顺顺利利的完成. 最后，向评阅论文和参加论文答辩的老师们表示由衷的感谢.

由于我知识水平的限制，再加上我写此论文的时间仓促. 文中难免有错误和有待改进之处. 真诚欢迎各位老师、同学提出宝贵意见.

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独创性声明

本人声明所呈交的论文（设计）是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文（设计）不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承担。

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不保密□。

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