双曲线知识点
一．双曲线的定义及双曲线的标准方程：
双曲线定义：(1) 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （＜
|F 1F 2|）的点的轨迹（PF 1-PF 2=2a
意：（1）距离之差的绝对值. （2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.
(2).第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e
＞1) 时，这个动点的轨迹是双曲线l x 2y 2y 2x 2
2. 双曲线的标准方程2-2=1和2-2=1（a ＞0，b ＞0）. b 2=c 2-a 2，|F 1F 2|=2c..
a b a b
3. 双曲线的标准方程判别方法是：如果x 2项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果y 2项
的系数是正数，则焦点在y 轴上. 对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
4. 求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
二．双曲线的内外部：
22x 0y 0x 2y 2
(1)点P (x 0, y 0) 在双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的内部⇔2-2>1.
a b a b 22x 0y 0x 2y 2
(2)点P (x 0, y 0) 在双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的外部⇔2-2
a b a b
三．双曲线的简单几何性质
y x
－=1（a ＞0，b ＞0） 22a b
⑴范围：|x |≥a ，y ∈R; ⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称; ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0）; ⑷渐近线：
2
2
x 2y 2x 2y 2b
①若双曲线方程为2-2=1⇒渐近线方程2-2=0⇒y =±x
a a b a b
x y x 2y 2b
②若渐近线方程为y =±x ⇒±=0⇒双曲线可设为2-2=λ
a b a a b
x 2y 2x 2y 2
③若双曲线与2-2=1有公共渐近线，可设为2-2=λ（λ>0，焦点在x 轴上，
a b a b
λ
x 2y 2x 2y 2
④与双曲线2-2=1共渐近线的双曲线系方程是2-2=λ(λ≠0) a b a b
x 2y 2x 2y 2
-=1 ⑤ 与双曲线2-2=1共焦点的双曲线系方程是2
a +k b 2-k a b
x 2y 2y 2x 2
四．双曲线2-2=1(a
, b >0) 与 2-2=1(a , b >0) 的区别和联系
五. 弦长公式：若直线y =kx +b 与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且x 1, x 2分别为A 、B 的
横坐标，则AB =1-x 2==，若y 1, y 2分别为A 、B 的纵坐标，则AB =
y -y =12
2b 2
通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点，则弦长|AB |=。
a
若弦AB 所在直线方程设为x =ky +b ，则AB 1-y 2。
特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解，
x 2y 2
-=1相交于A , B 两点，则AB =_____________ 例：直线y =x +1与双曲线23x 2y 2
六、焦半径公式：双曲线2-2=1（a ＞0，b ＞0）上有一动点M (x 0, y 0)
a b
当M (x 0, y 0) 在左支上时|MF 1|=-ex 0-a , |MF 2|=-ex 0+a 当M (x 0, y 0) 在右支上时|MF 1|=ex 0+a , |MF 2|=ex 0-a 注：焦半径公式是关于x 0的一次函数，具有单调性，当M (x 0, y 0) 在左支端点时
|MF 1|=c -a ，|MF 2|=c +a ，当M (x 0, y 0) 在左支端点时|MF 1|=c +a ，|MF 2|=c -a
x 2y 2
七、2-2=1（a ＞0，b ＞0）当a =b 时称双曲线为等轴双曲线；则：1. a =b ；
a b
2. 离心率e =2； 3. 两渐近线互相垂直，分别为y=±x ； 4. 等轴双曲线的方程x 2-y 2=λ，
λ≠0； 5. 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。
八、共轭双曲线： 1.做原双曲线的共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线． 2.方程; 3. 性质：(1)共轭双曲线有共同的渐近线；(2) 共轭双曲线的四个焦点共圆．(3)它们的离心率的倒数的平方和等于1。
双曲线知识点扩充
1、 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.
2、 PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直
径的圆，除去长轴的两个端点.
3、 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
4、 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切. （内切：P 在右支；外切：P
在左支）
x 2y 25、 若P 0(x 0, y 0) 在双曲线2-2=1（a ＞0,b ＞0）上，则过P 0的双曲线的切线方程是
a b
x 0x y 0y
-2=1. 2a b
x 2y 2
6、 若P 0(x 0, y 0) 在双曲线2-2=1（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切
a b
x x y y
点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是02-02=1.
a b
x 2y 2
7、 双曲线2-2=1（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一
a b
γ
点∠F 1PF 2=γ，则双曲线的焦点角形的面积为S ∆F 1PF 2=b 2co t .
2
8、 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连
结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
9、 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A1、A 2为双曲线实轴上的顶点，
A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
x 2y 2
10、 AB 是双曲线2-2=1（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M (x 0, y 0) 为AB 的
a b
b 2x 0b 2x 0
中点，则K OM ⋅K AB =2，即K AB =2。
a y 0a y 0x 2y 2
11、 若P 0(x 0, y 0) 在双曲线2-2=1（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方
a b
x 0x y 0y x 02y 02
程是2-2=2-2.
a b a b
12、
x 2y 2
（a>0;b>0）的焦点为F 1与F 2，且p 为曲线上任意一点∠F 1PF 2=2θ。-2=12
a b
θ
1
2
则∆PF 1F 2的面积S =b 2cot θ，焦点三角形面积公式：S ∆F PF =b 2cot , (θ=∠F 1PF 2)
2
考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1：运用双曲线的定义
y 2
=1上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，1. 设P 为双曲线x -12
则△PF 1F 2的面积为 （ ） A ．6 B ．12 C ．12 D ．24
x 2y 2
-=1的左 2. 如图2所示，F 为双曲线C :
916
焦点，双曲线C 上的点P i 与P 7-i (i =1, 2, 3)关于y 轴对称，
2
则P 1F +P 2F +P 3F -P 4F -P 5F -P 6F 的值是（ ） A ．9 B ．16 C ．18 D ．27
题型2 求双曲线的标准方程
y 2x 23. 已知双曲线C 与双曲线－=1有公共焦点，且过点（32，2）. 求双曲线C 的方
164
程．
4. 已知双曲线的渐近线方程是y =±x ，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程
2
为 ；
5. 以抛物线y 2=8x 的焦点F 为右焦点, 且两条渐近线是x ±3y =0的双曲线方程为
___________________.
6. 已知点M (-3,0) ，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为
y 2y 22
=1(x 1) A ．x -88
2
y 2y 22
=1（x > 0） D ．x -=1(x >1) C ．x +810
2
考点2 双曲线的几何性质 题型1 与渐近线有关的问题
1. 焦点为（0，6），且与双曲线
x 2
-y 2=1有相同的渐近线的双曲线方程是 2
（ ）
A ．x
2
12
-
y 2
=1 24
B ．
y 2x 2
-=1 1224
C ．
y 2x 2
-=1 2412
D ．x
2
24
-
y 2
=1 12
x 2y 2x 2y 2
+=1的右焦点为圆心，=1的渐近线相切的圆的方程2. 以椭圆且与双曲线-169144916
是 （A ）x 2+y 2-10x +9=0 （B ）x 2+y 2-10x -9=0 （C ）x 2+y 2+10x +9=0 （D ）x 2+y 2+10x -9=0
综合练习
1. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0
)，右顶点为（Ⅰ）求双曲线C 的方程
.
)
（Ⅱ）
若直线l :y =kx A 和B 且OA ∙OB >2（其中O 为原点），求k 的取值范围
2．已知直线y =ax +1与双曲线3x 2-y 2=1交于A 、B 点。
（1）求a 的取值范围；（2）若以A B 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值；
1
（3）是否存在这样的实数a ，使A 、B 两点关于直线y =x 对称？若存在，
2
请求出a 的值；若不存在，说明理由。 3．(1)椭圆C:
x 2a 2
+
y 2b
2
=1(a＞b ＞0) 上的点A(1,2) 到两焦点的距离之和为4,
求椭圆的方程;
(2)设K 是(1)中椭圆上的动点, F1是左焦点, 求线段F 1K 的中点的轨迹方程;
(3)已知椭圆具有性质:若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一
点, 当直线PM 、PN 的斜率都存在并记为k PM 、k PN 时，那么k PM ⋅k PN 是与点P 位置无关的定值。试对双曲线
2a 2
-
y 2b 2
=1写出具有类似特性的性质，并加以证明。
4.
已知两定点F
1(F 2满足条件PF 2-PF 1=2的点P 的轨迹是曲线E ，直线
ｙ＝kx －1与曲线E 交于A 、B 两点。 （Ⅰ）求ｋ的取值范围；
AB =（Ⅱ）
如果且曲线E 上存在点C ，使O A O B +m O C =, 求m 的值和∆ABC 的面积S 。
x 2y 2
5. 已知P 为双曲线2-2=1(a >b >0) 的右支上一点(y p >0)，A 、B 分别是椭圆
a b
x 2y 2
+=1的长轴顶点，连接AP 交椭圆于D ，若∆ACD 与∆PCD 面积相等. a 2b 2
（1）求直线PD 的斜率和直线CD 的倾斜角；
a
（2）当的值为多少时，直线CD 恰好过椭圆的右焦点？
b
双曲线知识点
一．双曲线的定义及双曲线的标准方程：
双曲线定义：(1) 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （＜
|F 1F 2|）的点的轨迹（PF 1-PF 2=2a
意：（1）距离之差的绝对值. （2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.
(2).第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e
＞1) 时，这个动点的轨迹是双曲线l x 2y 2y 2x 2
2. 双曲线的标准方程2-2=1和2-2=1（a ＞0，b ＞0）. b 2=c 2-a 2，|F 1F 2|=2c..
a b a b
3. 双曲线的标准方程判别方法是：如果x 2项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果y 2项
的系数是正数，则焦点在y 轴上. 对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
4. 求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
二．双曲线的内外部：
22x 0y 0x 2y 2
(1)点P (x 0, y 0) 在双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的内部⇔2-2>1.
a b a b 22x 0y 0x 2y 2
(2)点P (x 0, y 0) 在双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的外部⇔2-2
a b a b
三．双曲线的简单几何性质
y x
－=1（a ＞0，b ＞0） 22a b
⑴范围：|x |≥a ，y ∈R; ⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称; ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0）; ⑷渐近线：
2
2
x 2y 2x 2y 2b
①若双曲线方程为2-2=1⇒渐近线方程2-2=0⇒y =±x
a a b a b
x y x 2y 2b
②若渐近线方程为y =±x ⇒±=0⇒双曲线可设为2-2=λ
a b a a b
x 2y 2x 2y 2
③若双曲线与2-2=1有公共渐近线，可设为2-2=λ（λ>0，焦点在x 轴上，
a b a b
λ
x 2y 2x 2y 2
④与双曲线2-2=1共渐近线的双曲线系方程是2-2=λ(λ≠0) a b a b
x 2y 2x 2y 2
-=1 ⑤ 与双曲线2-2=1共焦点的双曲线系方程是2
a +k b 2-k a b
x 2y 2y 2x 2
四．双曲线2-2=1(a
, b >0) 与 2-2=1(a , b >0) 的区别和联系
五. 弦长公式：若直线y =kx +b 与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且x 1, x 2分别为A 、B 的
横坐标，则AB =1-x 2==，若y 1, y 2分别为A 、B 的纵坐标，则AB =
y -y =12
2b 2
通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点，则弦长|AB |=。
a
若弦AB 所在直线方程设为x =ky +b ，则AB 1-y 2。
特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解，
x 2y 2
-=1相交于A , B 两点，则AB =_____________ 例：直线y =x +1与双曲线23x 2y 2
六、焦半径公式：双曲线2-2=1（a ＞0，b ＞0）上有一动点M (x 0, y 0)
a b
当M (x 0, y 0) 在左支上时|MF 1|=-ex 0-a , |MF 2|=-ex 0+a 当M (x 0, y 0) 在右支上时|MF 1|=ex 0+a , |MF 2|=ex 0-a 注：焦半径公式是关于x 0的一次函数，具有单调性，当M (x 0, y 0) 在左支端点时
|MF 1|=c -a ，|MF 2|=c +a ，当M (x 0, y 0) 在左支端点时|MF 1|=c +a ，|MF 2|=c -a
x 2y 2
七、2-2=1（a ＞0，b ＞0）当a =b 时称双曲线为等轴双曲线；则：1. a =b ；
a b
2. 离心率e =2； 3. 两渐近线互相垂直，分别为y=±x ； 4. 等轴双曲线的方程x 2-y 2=λ，
λ≠0； 5. 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。
八、共轭双曲线： 1.做原双曲线的共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线． 2.方程; 3. 性质：(1)共轭双曲线有共同的渐近线；(2) 共轭双曲线的四个焦点共圆．(3)它们的离心率的倒数的平方和等于1。
双曲线知识点扩充
1、 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.
2、 PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直
径的圆，除去长轴的两个端点.
3、 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
4、 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切. （内切：P 在右支；外切：P
在左支）
x 2y 25、 若P 0(x 0, y 0) 在双曲线2-2=1（a ＞0,b ＞0）上，则过P 0的双曲线的切线方程是
a b
x 0x y 0y
-2=1. 2a b
x 2y 2
6、 若P 0(x 0, y 0) 在双曲线2-2=1（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切
a b
x x y y
点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是02-02=1.
a b
x 2y 2
7、 双曲线2-2=1（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一
a b
γ
点∠F 1PF 2=γ，则双曲线的焦点角形的面积为S ∆F 1PF 2=b 2co t .
2
8、 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连
结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
9、 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A1、A 2为双曲线实轴上的顶点，
A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
x 2y 2
10、 AB 是双曲线2-2=1（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M (x 0, y 0) 为AB 的
a b
b 2x 0b 2x 0
中点，则K OM ⋅K AB =2，即K AB =2。
a y 0a y 0x 2y 2
11、 若P 0(x 0, y 0) 在双曲线2-2=1（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方
a b
x 0x y 0y x 02y 02
程是2-2=2-2.
a b a b
12、
x 2y 2
（a>0;b>0）的焦点为F 1与F 2，且p 为曲线上任意一点∠F 1PF 2=2θ。-2=12
a b
θ
1
2
则∆PF 1F 2的面积S =b 2cot θ，焦点三角形面积公式：S ∆F PF =b 2cot , (θ=∠F 1PF 2)
2
考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1：运用双曲线的定义
y 2
=1上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，1. 设P 为双曲线x -12
则△PF 1F 2的面积为 （ ） A ．6 B ．12 C ．12 D ．24
x 2y 2
-=1的左 2. 如图2所示，F 为双曲线C :
916
焦点，双曲线C 上的点P i 与P 7-i (i =1, 2, 3)关于y 轴对称，
2
则P 1F +P 2F +P 3F -P 4F -P 5F -P 6F 的值是（ ） A ．9 B ．16 C ．18 D ．27
题型2 求双曲线的标准方程
y 2x 23. 已知双曲线C 与双曲线－=1有公共焦点，且过点（32，2）. 求双曲线C 的方
164
程．
4. 已知双曲线的渐近线方程是y =±x ，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程
2
为 ；
5. 以抛物线y 2=8x 的焦点F 为右焦点, 且两条渐近线是x ±3y =0的双曲线方程为
___________________.
6. 已知点M (-3,0) ，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为
y 2y 22
=1(x 1) A ．x -88
2
y 2y 22
=1（x > 0） D ．x -=1(x >1) C ．x +810
2
考点2 双曲线的几何性质 题型1 与渐近线有关的问题
1. 焦点为（0，6），且与双曲线
x 2
-y 2=1有相同的渐近线的双曲线方程是 2
（ ）
A ．x
2
12
-
y 2
=1 24
B ．
y 2x 2
-=1 1224
C ．
y 2x 2
-=1 2412
D ．x
2
24
-
y 2
=1 12
x 2y 2x 2y 2
+=1的右焦点为圆心，=1的渐近线相切的圆的方程2. 以椭圆且与双曲线-169144916
是 （A ）x 2+y 2-10x +9=0 （B ）x 2+y 2-10x -9=0 （C ）x 2+y 2+10x +9=0 （D ）x 2+y 2+10x -9=0
综合练习
1. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0
)，右顶点为（Ⅰ）求双曲线C 的方程
.
)
（Ⅱ）
若直线l :y =kx A 和B 且OA ∙OB >2（其中O 为原点），求k 的取值范围
2．已知直线y =ax +1与双曲线3x 2-y 2=1交于A 、B 点。
（1）求a 的取值范围；（2）若以A B 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值；
1
（3）是否存在这样的实数a ，使A 、B 两点关于直线y =x 对称？若存在，
2
请求出a 的值；若不存在，说明理由。 3．(1)椭圆C:
x 2a 2
+
y 2b
2
=1(a＞b ＞0) 上的点A(1,2) 到两焦点的距离之和为4,
求椭圆的方程;
(2)设K 是(1)中椭圆上的动点, F1是左焦点, 求线段F 1K 的中点的轨迹方程;
(3)已知椭圆具有性质:若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一
点, 当直线PM 、PN 的斜率都存在并记为k PM 、k PN 时，那么k PM ⋅k PN 是与点P 位置无关的定值。试对双曲线
2a 2
-
y 2b 2
=1写出具有类似特性的性质，并加以证明。
4.
已知两定点F
1(F 2满足条件PF 2-PF 1=2的点P 的轨迹是曲线E ，直线
ｙ＝kx －1与曲线E 交于A 、B 两点。 （Ⅰ）求ｋ的取值范围；
AB =（Ⅱ）
如果且曲线E 上存在点C ，使O A O B +m O C =, 求m 的值和∆ABC 的面积S 。
x 2y 2
5. 已知P 为双曲线2-2=1(a >b >0) 的右支上一点(y p >0)，A 、B 分别是椭圆
a b
x 2y 2
+=1的长轴顶点，连接AP 交椭圆于D ，若∆ACD 与∆PCD 面积相等. a 2b 2
（1）求直线PD 的斜率和直线CD 的倾斜角；
a
（2）当的值为多少时，直线CD 恰好过椭圆的右焦点？
b