投资学
Investments
3 最优风险资产组合 （Portfolio Theory）
• 3.1 风险资产的效用评价
• 3.2 风险资产与无风险资产的投资组合 • 3.3 两项风险资产的投资组合
•3.1 风险资产的效用评价
3.1.1 均值——方差准则
利用均值——方差准则评估投资
E (r ) E (r ) 与 ( r ) ( r ) 如果： 至少有一个能够在任何条件下都成立
A B
A
B
则：投资组合A优于投资组合B
在均值——方差准则无法直接判定的情况下 可借助效用价值的计算方法画出无差异曲线
•3.1 风险资产的效用评价
3.1.2 风险容忍度
•3.1 风险资产的效用评价
3.1.3 风险资产的效用价值
测量风险厌恶系数A： A>0 风险厌恶 A=0 风险中性 A
2 设定效用函数： U E (r ) 1/ 2 A （这是美国业界用的较多一个经验公式）
根据效用函数，资产的期望收益越高，U分值越高；资产的波动性越大，U分值越小。
•3.1 风险资产的效用评价
3.1.3 风险资产的效用价值
U E (r ) 1/ 2 A 2
可供选择的风险资产组合（无风险资产收益率5%） 组合 风险溢价（%） 期望收益（%） 标准差（%） 2 7 5 低风险（L） 4 9 10 中等风险（M） 8 13 20 高风险（H）
利用效用价值评估投资：若有三个投资者，其风险厌恶系数分别为2，3.5和5
风险厌恶系数
2 3.5 5
L组合的U 0.0675 0.065625 0.06375
M组合的U 0.08 0.0725 0.065
H组合的U 0.09 0.06 0.03
因为无风险资产的效用值与收益率是相同的，所以，投资者选择风险资产组合的前提是：
投资组合的收益率大于无风险收益率，然后再从可选资产组合中选择U分值最大。
•3.1 风险资产的效用评价
3.1.3 风险资产的效用价值
利用无差异曲线(indifference curve)评估投资 在均值——方差准则无法直接判定的情况下 可借助前面效用价值的计算方法画出无差异曲线
•3.2 风险资产与无风险资产的投资组合
3.2.1 资本配置线（capital allocation line,CAL）
假定有：风险资产组合P（股票，长期债券等），无风险资产组 合F（短期国债，1年期银行存单等）。 理性的投资者一般会构建投资组合：C P (1 ) F 对于风险资产组合P有： rP 无风险资产组合F有： rf
E (rP )
P
rC rP (1 )rf 记组合C的收益为rC 则：
E (rC ) E (rP ) (1 )rf rf ( E(rP ) rf ) 两边同取期望：
结论很明确：无风险资产组合用来保底，风险资产组合用来谋 求风险溢价。
•3.2 风险资产与无风险资产的投资组合
3.2.1 资本配置线（capital allocation line,CAL）
注意：
C P
所以：E (rC ) rf
( E (rP ) rf ) C ( E (rP ) rf ) rf C P P
显然，这是整个组合C的有关于均值——方差的函数
对应该函数的曲线称为资本配置线（capital allocation line,CAL） 截距为 rf 斜率为
( E (rP ) rf )
这样，给定不同的值，可给出该投资者所有可能的投资组合。
P
（斜率其实就是夏普比率）
•3.2 风险资产与无风险资产的投资组合
3.2.1 资本配置线（capital allocation line,CAL）
例：已知， E (rP ) 15% P 22%
rf 7%
求CAL
E (rC ) 7%
(15% 7%) 8 C 7% C 22% 22
斜率S：在给定条件下，标准差每增加一单位，所增加的期望收益
•3.2 风险资产与无风险资产的投资组合
3.2.1 资本配置线（capital allocation line,CAL）
(15% 7%) 8 E (rC ) 7% C 7% C 22% 22
投资者会寻求选择风险资产的最优配置 以达到效用最大化 根据 U E(r ) 1/ 2 A 2 可以计算不同风险资产配置 的效用值
风险厌恶系数A 4 风险资产配置比例γ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 无风险收益率 0.07 组合C的预期收益 0.07 0.078 0.086 0.094 0.102 0.11 0.118 0.126 0.134 0.142 0.15 风险资产期望收益 组合C的标准差 0 0.022 0.044 0.066 0.088 0.11 0.132 0.154 0.176 0.198 0.22 0.15 风险资产的标准差 0.22 组合C的效用值 0.07 0.077032 0.082128 0.085288 0.086512 0.0858 0.083152 0.078568 0.072048 0.063592 0.0532
•3.2 风险资产与无风险资产的投资组合
3.2.1 资本配置线（capital allocation line,CAL）
风险厌恶系数A 4 风险资产配置比例γ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
无风险收益率 0.07 组合C的预期收益 0.07 0.078 0.086 0.094 0.102 0.11 0.118 0.126 0.134 0.142 0.15
风险资产期望收益 组合C的标准差 0 0.022 0.044 0.066 0.088 0.11 0.132 0.154 0.176 0.198 0.22
0.15
风险资产的标准差 0.22 组合C的效用值 0.07 0.077032 0.082128 0.085288 0.086512 0.0858 0.083152 0.078568 0.072048 0.063592 0.0532
风险资产比例γ
显然，随着风险资产配置比例的增加 ，组合C的期望收益在增加，但同时 其波动率也在增加；对于风险系数为 4的投资而言，其效用值有一个先增 加后减少的变动趋势，即存在最优风 险资产配置比例。
效用值U
•3.2 风险资产与无风险资产的投资组合
3.2.2 最优风险资产配置比例的精确解
MaxU E (rC ) 1/ 2 A C 2
rf ( E (rP ) rf ) 1/ 2 A( P ) 2
上式存在最优解的条件为一阶导数等于0
E (rP ) rf A P 2 0
E (rP ) rf A P 2
•3.2 风险资产与无风险资产的投资组合
3.2.2 最优风险资产配置比例的精确解
对于组合C，风险厌恶系数为4的投资者的最优风险资产比例： E (rP ) rf A P 2
0.15 0.07 0.08 0.413 2 4 0.22 0.1936
此时：
E (rC ) rf ( E (rP ) rf ) 0.07 0
.41 (0.15 0.07) 0.1028
C P 0.41 0.22 0.0902
•3.3 两项风险资产的投资组合
3.3.1 风险的类型
不可分散风险：对所有资产都存在影响的风险，如商业周期、 通货膨胀、利率、汇率等，又称为市场风险或系统性风险。 可分散风险：只影响某个具体资产的风险，如管理层变动、合 同纠纷等，又称为公司特有风险或非系统风险。 当风险均来自于公司层面时，分散化可以降低该类风险，特别地 ，当所有风险来源都相互独立时，通过资产组合可将该类风险降 低到可忽视水平。
•3.3 两项风险资产的投资组合
3.3.2 分散原理
因为： ( X ) cov( X , X ) E X E (X) X E (X) 2 所以： P wD wD cov(rD , rD ) wE wE cov(rE , rE ) 2wD wE cov(rD , rE )
2
cov(rD , rE ) cov(rE , rD ) 因为所有协方差矩阵是关于对角线对称的： 这保证了上述计算的正确性，并可扩大到任意多个资产组合。
•3.3 两项风险资产的投资组合
3.3.2 分散原理
rP (i) wD rD (i) wE rE (i) 投资组合的收益率：
E (rP ) wD E (rD ) wE E (rE ) 投资组合的期望收益率：
投资组合收益率的方差：
2 P w2 D 2 D w2 E 2 E 2wD wE cov(rD , rE )
2 P w2 D 2 D w2 E 2 E 2wD wE D E corr (rD , rE )
•3.3 两项风险资产的投资组合
3.3.2 分散原理
2 P w2 D 2 D w2 E 2 E 2wD wE D E corr (rD , rE )
corr (rD , rE ) 1
corr (rD , rE ) 0
corr (rD , rE ) 1
P (wD D wE E )2 wD D wE E
P w2 D 2 D w2 E 2 E
P (wD D wE E )2 wD D wE E
可见：当相关系数从-1到1变化时，资产组合的风险是递增；即 除非相关系数等于1，否则资产组合的风险始终低于单独投资这 两种资产的加权平均——资产组合可降低投资风险。
•3.3 两项风险资产的投资组合
3.3.2 分散原理
完全对冲头寸
corr (rD , rE ) 1
P (wD D wE E )2 wD D wE E
令 wD D wE E wD D E wD E 0 解得： wD
E D E
wE
D D E
此时，组合风险降为0。
•3.3 两项风险资产的投资组合
3.3.3 最小方差组合
最小方差组合：相关系数不为-1时，如何求最小方差组合？ 2 P w2 D 2 D w2 E 2 E 2wD wE cov(rD , rE ) 投资组合收益率的方差： 代入： wE 1 wD 同样利用导数为零求解最小方差组合：
2 E cov(rD , rE ) wmin ( D) 2 D 2 E 2cov(rD , rE )
•3.3 两项风险资产的投资组合
3.3.3 最小方差组合
E (rP ) wD E (rD ) wE E (rE )
2 P w2 D 2 D w2 E 2 E 2wD wE D E corr (rD , rE )
2 E cov(rD , rE ) wmin ( D) 2 D
2 E 2cov(rD , rE )
•3.3 两项风险资产的投资组合
3.3.3 最小方差组合
从图中可以看出，当相关系数不为1时， 资产组合最小标准差都低于不进行资产组合 时的标准差
•3.3 两项风险资产的投资组合
3.3.3 最小方差组合
作出不同相关系数对应的均值—标准差图 有效组合：既定收益风险最小或既定风险收益 最大原则建立起来的组合；由此形成的轨迹为 有效边界。
•3.4 总结：马科维茨的资产投资组合理论
投资决策的两个选择依据： 给定风险水平下收益最大 给定收益水平下风险最小 如何得知预期风险和收益：历史的平均收益率、标准差和分布
如何计算投资组合的预期风险和收益：
E (rP ) wD E (rD ) wE E (rE )
2 P w2 D 2 D w2 E 2 E 2wD wE D D corr (rD , rE )
•3.4 总结：马科维茨的资产投资组合理论
Markowitz理论的核心：计算出风险和收益、判断投资的好坏
即使只有两种证券，考虑不同的资本配置比例，也会有无数组合
因此，投资决策的关键在于：选择有效资产组合的边界 或者说 给定风险水平下所有收益最大的资产组合的集合
•3.4 总结：马科维茨的资产投资组合理论
Markowitz理论的核心：选择有效资产组合的边界
•3.4 总结：马科维茨的资产投资组合理论
现在解决另一个问题： A、B、C三点如何选择？
这个答案将取决于不同投资者的风险态度和效用水平。 不同的风险偏好下进行投资应以预期效用水平最大化为准则。
•3.4 总结：马科维茨的资产投资组合理论
给定某投资者（从而其风险厌恶 水平和无差异曲线随之确定）。
就该投资者而言，D是最优选择。
无差异曲线：
存在无数组（有无数个投资者） 每组又存在无数条 （同一投资者的不同效用值）
•3.4 总结：马科维茨的资产投资组合理论
风险分散图示
2 P w2 D 2 D w2 E 2 E 2wD wE D D corr (rD , rE )
2 2 2 2 当 n 时， w D D w E E 0
结论可证明，称其非系统风险或可分散风险
2wD wE D E corr (rD , rE )
非系统性风险 总风险
系统性风险
0
5
10
15
20
则无法通过增加资产数 量分散掉，为系统风险 或不可分散风险或市场 n风险
资产数量与资产组合风险的关系
•3.4 总结：马科维茨的资产投资组合理论
系统风险： 2wD wE D E corr (rD , rE ) 2 2 2 2 w w 非系统风险： D D E E Markowitz认为某个资产组合的收益可表示为：Ri i i Rm i
i
i Rm
——无风险收益
——市场风险补偿 ——特有风险补偿
i
i
2 2 2 2 i i m 对上式求方差：
投资学
Investments
3 最优风险资产组合 （Portfolio Theory）
• 3.1 风险资产的效用评价
• 3.2 风险资产与无风险资产的投资组合 • 3.3 两项风险资产的投资组合
•3.1 风险资产的效用评价
3.1.1 均值——方差准则
利用均值——方差准则评估投资
E (r ) E (r ) 与 ( r ) ( r ) 如果： 至少有一个能够在任何条件下都成立
A B
A
B
则：投资组合A优于投资组合B
在均值——方差准则无法直接判定的情况下 可借助效用价值的计算方法画出无差异曲线
•3.1 风险资产的效用评价
3.1.2 风险容忍度
•3.1 风险资产的效用评价
3.1.3 风险资产的效用价值
测量风险厌恶系数A： A>0 风险厌恶 A=0 风险中性 A
2 设定效用函数： U E (r ) 1/ 2 A （这是美国业界用的较多一个经验公式）
根据效用函数，资产的期望收益越高，U分值越高；资产的波动性越大，U分值越小。
•3.1 风险资产的效用评价
3.1.3 风险资产的效用价值
U E (r ) 1/ 2 A 2
可供选择的风险资产组合（无风险资产收益率5%） 组合 风险溢价（%） 期望收益（%） 标准差（%） 2 7 5 低风险（L） 4 9 10 中等风险（M） 8 13 20 高风险（H）
利用效用价值评估投资：若有三个投资者，其风险厌恶系数分别为2，3.5和5
风险厌恶系数
2 3.5 5
L组合的U 0.0675 0.065625 0.06375
M组合的U 0.08 0.0725 0.065
H组合的U 0.09 0.06 0.03
因为无风险资产的效用值与收益率是相同的，所以，投资者选择风险资产组合的前提是：
投资组合的收益率大于无风险收益率，然后再从可选资产组合中选择U分值最大。
•3.1 风险资产的效用评价
3.1.3 风险资产的效用价值
利用无差异曲线(indifference curve)评估投资 在均值——方差准则无法直接判定的情况下 可借助前面效用价值的计算方法画出无差异曲线
•3.2 风险资产与无风险资产的投资组合
3.2.1 资本配置线（capital allocation line,CAL）
假定有：风险资产组合P（股票，长期债券等），无风险资产组 合F（短期国债，1年期银行存单等）。 理性的投资者一般会构建投资组合：C P (1 ) F 对于风险资产组合P有： rP 无风险资产组合F有： rf
E (rP )
P
rC rP (1 )rf 记组合C的收益为rC 则：
E (rC ) E (rP ) (1 )rf rf ( E(rP ) rf ) 两边同取期望：
结论很明确：无风险资产组合用来保底，风险资产组合用来谋 求风险溢价。
•3.2 风险资产与无风险资产的投资组合
3.2.1 资本配置线（capital allocation line,CAL）
注意：
C P
所以：E (rC ) rf
( E (rP ) rf ) C ( E (rP ) rf ) rf C P P
显然，这是整个组合C的有关于均值——方差的函数
对应该函数的曲线称为资本配置线（capital allocation line,CAL） 截距为 rf 斜率为
( E (rP ) rf )
这样，给定不同的值，可给出该投资者所有可能的投资组合。
P
（斜率其实就是夏普比率）
•3.2 风险资产与无风险资产的投资组合
3.2.1 资本配置线（capital allocation line,CAL）
例：已知， E (rP ) 15% P 22%
rf 7%
求CAL
E (rC ) 7%
(15% 7%) 8 C 7% C 22% 22
斜率S：在给定条件下，标准差每增加一单位，所增加的期望收益
•3.2 风险资产与无风险资产的投资组合
3.2.1 资本配置线（capital allocation line,CAL）
(15% 7%) 8 E (rC ) 7% C 7% C 22% 22
投资者会寻求选择风险资产的最优配置 以达到效用最大化 根据 U E(r ) 1/ 2 A 2 可以计算不同风险资产配置 的效用值
风险厌恶系数A 4 风险资产配置比例γ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 无风险收益率 0.07 组合C的预期收益 0.07 0.078 0.086 0.094 0.102 0.11 0.118 0.126 0.134 0.142 0.15 风险资产期望收益 组合C的标准差 0 0.022 0.044 0.066 0.088 0.11 0.132 0.154 0.176 0.198 0.22 0.15 风险资产的标准差 0.22 组合C的效用值 0.07 0.077032 0.082128 0.085288 0.086512 0.0858 0.083152 0.078568 0.072048 0.063592 0.0532
•3.2 风险资产与无风险资产的投资组合
3.2.1 资本配置线（capital allocation line,CAL）
风险厌恶系数A 4 风险资产配置比例γ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
无风险收益率 0.07 组合C的预期收益 0.07 0.078 0.086 0.094 0.102 0.11 0.118 0.126 0.134 0.142 0.15
风险资产期望收益 组合C的标准差 0 0.022 0.044 0.066 0.088 0.11 0.132 0.154 0.176 0.198 0.22
0.15
风险资产的标准差 0.22 组合C的效用值 0.07 0.077032 0.082128 0.085288 0.086512 0.0858 0.083152 0.078568 0.072048 0.063592 0.0532
风险资产比例γ
显然，随着风险资产配置比例的增加 ，组合C的期望收益在增加，但同时 其波动率也在增加；对于风险系数为 4的投资而言，其效用值有一个先增 加后减少的变动趋势，即存在最优风 险资产配置比例。
效用值U
•3.2 风险资产与无风险资产的投资组合
3.2.2 最优风险资产配置比例的精确解
MaxU E (rC ) 1/ 2 A C 2
rf ( E (rP ) rf ) 1/ 2 A( P ) 2
上式存在最优解的条件为一阶导数等于0
E (rP ) rf A P 2 0
E (rP ) rf A P 2
•3.2 风险资产与无风险资产的投资组合
3.2.2 最优风险资产配置比例的精确解
对于组合C，风险厌恶系数为4的投资者的最优风险资产比例： E (rP ) rf A P 2
0.15 0.07 0.08 0.413 2 4 0.22 0.1936
此时：
E (rC ) rf ( E (rP ) rf ) 0.07 0
.41 (0.15 0.07) 0.1028
C P 0.41 0.22 0.0902
•3.3 两项风险资产的投资组合
3.3.1 风险的类型
不可分散风险：对所有资产都存在影响的风险，如商业周期、 通货膨胀、利率、汇率等，又称为市场风险或系统性风险。 可分散风险：只影响某个具体资产的风险，如管理层变动、合 同纠纷等，又称为公司特有风险或非系统风险。 当风险均来自于公司层面时，分散化可以降低该类风险，特别地 ，当所有风险来源都相互独立时，通过资产组合可将该类风险降 低到可忽视水平。
•3.3 两项风险资产的投资组合
3.3.2 分散原理
因为： ( X ) cov( X , X ) E X E (X) X E (X) 2 所以： P wD wD cov(rD , rD ) wE wE cov(rE , rE ) 2wD wE cov(rD , rE )
2
cov(rD , rE ) cov(rE , rD ) 因为所有协方差矩阵是关于对角线对称的： 这保证了上述计算的正确性，并可扩大到任意多个资产组合。
•3.3 两项风险资产的投资组合
3.3.2 分散原理
rP (i) wD rD (i) wE rE (i) 投资组合的收益率：
E (rP ) wD E (rD ) wE E (rE ) 投资组合的期望收益率：
投资组合收益率的方差：
2 P w2 D 2 D w2 E 2 E 2wD wE cov(rD , rE )
2 P w2 D 2 D w2 E 2 E 2wD wE D E corr (rD , rE )
•3.3 两项风险资产的投资组合
3.3.2 分散原理
2 P w2 D 2 D w2 E 2 E 2wD wE D E corr (rD , rE )
corr (rD , rE ) 1
corr (rD , rE ) 0
corr (rD , rE ) 1
P (wD D wE E )2 wD D wE E
P w2 D 2 D w2 E 2 E
P (wD D wE E )2 wD D wE E
可见：当相关系数从-1到1变化时，资产组合的风险是递增；即 除非相关系数等于1，否则资产组合的风险始终低于单独投资这 两种资产的加权平均——资产组合可降低投资风险。
•3.3 两项风险资产的投资组合
3.3.2 分散原理
完全对冲头寸
corr (rD , rE ) 1
P (wD D wE E )2 wD D wE E
令 wD D wE E wD D E wD E 0 解得： wD
E D E
wE
D D E
此时，组合风险降为0。
•3.3 两项风险资产的投资组合
3.3.3 最小方差组合
最小方差组合：相关系数不为-1时，如何求最小方差组合？ 2 P w2 D 2 D w2 E 2 E 2wD wE cov(rD , rE ) 投资组合收益率的方差： 代入： wE 1 wD 同样利用导数为零求解最小方差组合：
2 E cov(rD , rE ) wmin ( D) 2 D 2 E 2cov(rD , rE )
•3.3 两项风险资产的投资组合
3.3.3 最小方差组合
E (rP ) wD E (rD ) wE E (rE )
2 P w2 D 2 D w2 E 2 E 2wD wE D E corr (rD , rE )
2 E cov(rD , rE ) wmin ( D) 2 D
2 E 2cov(rD , rE )
•3.3 两项风险资产的投资组合
3.3.3 最小方差组合
从图中可以看出，当相关系数不为1时， 资产组合最小标准差都低于不进行资产组合 时的标准差
•3.3 两项风险资产的投资组合
3.3.3 最小方差组合
作出不同相关系数对应的均值—标准差图 有效组合：既定收益风险最小或既定风险收益 最大原则建立起来的组合；由此形成的轨迹为 有效边界。
•3.4 总结：马科维茨的资产投资组合理论
投资决策的两个选择依据： 给定风险水平下收益最大 给定收益水平下风险最小 如何得知预期风险和收益：历史的平均收益率、标准差和分布
如何计算投资组合的预期风险和收益：
E (rP ) wD E (rD ) wE E (rE )
2 P w2 D 2 D w2 E 2 E 2wD wE D D corr (rD , rE )
•3.4 总结：马科维茨的资产投资组合理论
Markowitz理论的核心：计算出风险和收益、判断投资的好坏
即使只有两种证券，考虑不同的资本配置比例，也会有无数组合
因此，投资决策的关键在于：选择有效资产组合的边界 或者说 给定风险水平下所有收益最大的资产组合的集合
•3.4 总结：马科维茨的资产投资组合理论
Markowitz理论的核心：选择有效资产组合的边界
•3.4 总结：马科维茨的资产投资组合理论
现在解决另一个问题： A、B、C三点如何选择？
这个答案将取决于不同投资者的风险态度和效用水平。 不同的风险偏好下进行投资应以预期效用水平最大化为准则。
•3.4 总结：马科维茨的资产投资组合理论
给定某投资者（从而其风险厌恶 水平和无差异曲线随之确定）。
就该投资者而言，D是最优选择。
无差异曲线：
存在无数组（有无数个投资者） 每组又存在无数条 （同一投资者的不同效用值）
•3.4 总结：马科维茨的资产投资组合理论
风险分散图示
2 P w2 D 2 D w2 E 2 E 2wD wE D D corr (rD , rE )
2 2 2 2 当 n 时， w D D w E E 0
结论可证明，称其非系统风险或可分散风险
2wD wE D E corr (rD , rE )
非系统性风险 总风险
系统性风险
0
5
10
15
20
则无法通过增加资产数 量分散掉，为系统风险 或不可分散风险或市场 n风险
资产数量与资产组合风险的关系
•3.4 总结：马科维茨的资产投资组合理论
系统风险： 2wD wE D E corr (rD , rE ) 2 2 2 2 w w 非系统风险： D D E E Markowitz认为某个资产组合的收益可表示为：Ri i i Rm i
i
i Rm
——无风险收益
——市场风险补偿 ——特有风险补偿
i
i
2 2 2 2 i i m 对上式求方差：