北京市朝阳区九年级综合练习(二)
数 学 试 卷 2016.6
一、选择题(本题共30分,每小题3分)
下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的.
1.2015年6月国家主席习大大和比利时国王菲利普,在人民大会堂共同见证了两国公司在 集成电路方面进行合作研发的签约仪式,两国将共同着力研发14纳米量产技术,这标志 着我国芯片制造能力将进入国际顶尖水平.14纳米为0.000 000 014米,将0.000 000 014 用科学记数法表示应为
A .0.14⨯10 B .1.4⨯10 C .0.014⨯10 D .14⨯10 2.如图,在单位长度为1的数轴上,点A 、B 表示的两个数互为相反数,那么点A 表示的 数是
A .2 B .-2 C . 3 D .-3 3.在中国有很多吉祥的图案深受大家喜爱,人们会用这些图案来装饰生活,祈求平安. 比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”,其中是轴对称图形,不是中心 ... 对称图形的为
-7
-8
-6
-9
A B C D
4.一个袋子中只装有黑、白两种颜色的球,这些球的形状、质地等完全相同,其中白色球有2个, 黑色球有n 个.在看不到球的条件下,随机地从袋子中摸出一个球,记录下颜色后,放回袋子 中并摇匀.同学们进行了大量重复试验,发现摸出白球的频率稳定在0.4附近,则n 的值为 A .2
B .3 C .4 D .5
5.如图,螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形,这个正六边形ABCDEF
的半径是, 则这个正六边形的周长是
A
. B .12 cm C
.
D .36 cm
第5题图
第6题图
第7题图
6.某篮球队12名队员的年龄统计如图所示,则该队队员年龄的众数和中位数分别是
A .16,15 B .15,15.5 C .15,17 D .15,16 7.一艘海上搜救船借助雷达探测仪寻找到事故船的位置,雷达示意图如图所示,搜救船位于图中 圆心O 处,事故船位于距O 点40海里的A 处,雷达操作员要用方位角把事故船相对于搜救船 ... 的位置汇报给船长,以便调整航向,下列四种表述方式中正确的为
A .事故船在搜救船的北偏东60°方向 B .事故船在搜救船的北偏东30°方向 C .事故船在搜救船的北偏西60°方向 D .事故船在搜救船的南偏东30°方向
8.现有A 、B 两种商品,买3件A 商品和2件B 商品用了160元,买2件A 商品和3件B 商品用 了190元.如果准备购买A 、B 两种商品共10件,下列方案中费用最低的为 A .A 商品7件和B 商品3件 B .A 商品6件和B 商品4件 C .A 商品5件和B 商品5件 D .A 商品4件和B 商品6件
9.把图1所示的正方体的展开图围成正方体(文字露在外面),再将这个正方体按照图2,依次 翻滚到第1格,第2格,第 3格,第4格,此时正方体朝上一面的文字为 ..
A .富 B .强 C .文 D .民
图2 第10题图 第9题图
10.如图,∆ABC 为等边三角形,点O 在过点A 且平行于BC 的直线上运动,以∆A B C 的高为半
图1
径的⊙O 分别交线段AB 、AC 于点E 、F ,则
所对的圆周角的度数
A .从0︒到30︒变化 B .从30︒到60︒变化 C .总等于30︒ D .总等于60︒
二、填空题(本题共18分,每小题3分) 11.分解因式:3a -12=________. 12.函数y =2x +
2
1
的自变量x 的取值范围是________. x +1
13.请写出一个开口向下,并且与y 轴交于点(0,2)的抛物线的表达式,y =________. 14.将一元二次方程x -6x +5=0化成(x -a ) 2=b 的形式,
则ab =________.
15.如图,在⊙O 中,AB 为⊙O 的弦,半径OC ⊥AB 于点D ,
若OB 的长为10,sin ∠BOD =
2
4
, 则AB 的长为________. 5
16.在数学活动课上,老师说有人根据如下的证明过程,得到“1=2”的结论.
大家经过认真讨论,发现上述证明过程中从某一步开始出现错误,这一步是________ (填入编号),造成错误的原因是________.
三、解答题(本题共72分,第17-26题,每小题5分,第27题7分,第28题7分,第29题8分)
17
|-5|-() -1-2tan60︒.
12
⎧2x +y =1,
18.解方程组⎨
⎩x -y =2.
19.已知a 2-2a -2=0,求代数式
2a -1
÷的值. a 2-1a +1
20.如图,在Rt △ABC 中,∠BAC = 90º,AD 是BC 边上的中线, ED ⊥BC 于D ,交BA 延长
线于点E ,若∠E =35°,
E
求∠BDA 的度数.
B
21.每年的4月23日,是“世界读书日”.据统计,“幸福家园小区”1号楼的住户一年内共阅
读纸质图书460本,2号楼的住户一年内共阅读纸质图书184本,1号楼住户的人数比2号楼住户人数的2倍多20人,且两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量相同.求这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量是多少本?
22.如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC ,∠B = 90º, F 为DC 上一点,且FC
= AB ,E 为AD 上一点,EC 交AF 于点G . (1)求证:四边形ABCF 是矩形; (2)若ED = EC ,求证:EA = EG .
23.如图,在平面直角坐标系xOy 中,反比例函数y =
4
的图象 x
与正比例函数y =kx 的图象的一个交点为M (1,b ). (1)求正比例函数y =kx 的表达式;
(2)若点N 在直线OM 上,且满足MN=2OM , 直接写出点N 的坐标.
24.如图,O 是∠MAN 的边AN 上一点,以OA 为半径作⊙O ,交∠MAN 的平分线于点D ,
DE ⊥AM 于E .
(1)求证:DE 是⊙O 的切线;
(2)连接OE ,若∠EDA =30º,AE =1,求OE 的长.
25.为弘扬中国传统文化,2016年4月30日“北京戏曲文化周”在北京园博园开始举行,活动
期间开展了丰富多样的戏曲文化互动体验活动,同时也推出了好戏连台园博看大戏的活动,主办方统计了前几天观看戏剧情况的部分相关数据,绘制统计图表如下:
图1
(1)m =_______;
(2)若5月3日当天看豫剧的人数为93人,请你补全图1;
(3)请你根据前四天接待观众人数,估计“北京戏曲文化周”活动在5月4日接待观众约为 ________人.5月4日的戏曲活动,分别演出 “京剧”、“北京曲剧”、“沪剧”、
“秦腔”、“粤剧”. 通过对100名观众的调查发现, 有12人喜欢“沪剧”,5人喜 欢“秦腔”,8人喜欢“粤剧”.主办方希望把“沪剧”、“秦腔”、“粤剧”三种戏 剧安排到以下五个园(如下表)中的三个园进行演出.请你结合下表为这三种戏剧选择 合适的演出地点,并说明理由.
前四天每天接待的观众人数统计图
5月3日观看各种戏剧人数分布统计图
图2
26.(1)如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线y =
1
x +3与抛物线y = x 2相交于点A 、B , 2
与x 轴交于点C ,A 点横坐标为x 1,B 点横坐标为x 2(x 1
111
+与的值,并判断它们的数量关系. x 1x 2x 3
(2
条件中选择一组,证明....
111
+与仍具有(1)中的数量关系. x 1x 2x 3
①如图,∠APC =120º,PB 平分∠APC ,直线l 与P A 、PB 、PC 分别交于点A 、B 、C , P A =x 1,PC =x 2,PB =x 3.
A
C
P
l
②如图,在平面直角坐标系xOy 中,过点A (x 1,0) 、B (0,x 2) 作直线l ,与直线y =x 交于 点C ,点C 横坐标为x 3.
y x 2
B
A
x 3
x 1
l
27.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y =-2x 2+(m +9) x -6的对称轴是x =2.
(1)求抛物线表达式和顶点坐标;
(2)将该抛物线向右平移1个单位,平移后的抛物线与原抛物线相交于点A ,求点A 的坐标; (3)抛物线y =-2x 2+(m +9) x -6与y 轴交于点C ,点A 关于平移后抛物线的对称轴的
对称点为点B ,两条抛物线在点A 、C 和点A 、B 之间的部分(包含点A 、B 、C ) 记 为图象M .将直线y =2x -2向下平移b (b >0)个单位,在平移过程中直线与图象M 始终有两个公共点,请你写出b 的取值范围_________.
28.在∆ABC 中,点D 、E 分别在AB 、AC 上,BE 、CD 相交于点O ,且∠DC B =∠EBC =
(1)如图1,若AB =AC ,则BD 与CE 的数量关系是______________;
1
∠A .2
(2)如图2,若AB ≠AC ,请你补全图2,思考BD 与CE 是否仍然具有(1)中的数量关系, 并说明理由;
(3)如图3,∠BDC =105︒,BD = 3,且BE 平分∠ABC ,请写出求BE 长的思路. (不用写出计算结果)
图1
图2
图3
29.P 是⊙O 内一点,过点P 作⊙O 的任意一条弦AB ,我们把PA ⋅PB 的值称为点P 关于⊙O 的
“幂值”.
(1)⊙O 的半径为5,OP = 3.
①如图1,若点P 恰为弦AB 的中点,则点P 关于⊙O 的“幂值”为________; ②判断当弦AB 的位置改变时,点P 关于⊙O 的“幂值”是否为定值,若是定值,证明你的结论;若不是定值,求点P 关于⊙O 的“幂值”的取值范围.
(2)若⊙O 的半径为r ,OP = d ,请参考(1)的思路,用含r 、d 的式子表示点P 关于⊙O 的“幂值”或“幂值”的取值范围________;
(3)在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的半径为4,
若在直线y =
x +b 上存在点P ,使得 点P 关于⊙O 的“幂值”为13,请写出b 的取值范围________.
北京市朝阳区九年级综合练习(二)
数学试卷评分标准及参考答案 2016.6
一、选择题(本题共30分,每小题3分)
二、填空题(本题共18分,每小题3分)
三、解答题(本题共72分,第17~26题,每小题5分,第27题7分,第28题7分, 第29题8分)
17.解:原式=5-2- …………………………………………………………4分 =3.…………………………………………………………………5
分
⎧2x +y =1, ①
18.解:⎨
x -y =2. ② ⎩
①+②,得3x =3,
x =1.………………………………………………………2分 把x =1代入②,得1-y =2,
y =-1.……………………………………………………4 所以这个方程组的解是⎨19.解:原式= =
分
⎧x =1,
…………………………………………………5分
⎩y =-1.
a +1
……………………………………………………1分
a +1a -1a -1
⋅
2
2
2
(a -1)
……………………………………………………………………3分
=
2
.
a 2-2a +1
2
∵a -2a -2=0,
∴a -2a =2.……………………………………………………………4分 ∴ 原式=
2
2
.………………………………………………………………5分 3
20.解:∵ED ⊥BC ,∠E =35︒,
∴∠B =55︒. …………………………………………1分
∵在Rt △ABC 中,∠BAC = 90º,AD 是BC 边上的中线, ∴AD =BD . …………………………………………3分
∴∠BAD =∠B =55︒ .………………………………4分
E B
∴∠BDA =70︒.…………………………………………………………………5分
21.解:设这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量为x 本.……………………1分 由题意,得
4602⨯184
=+20. …………………………………………3分 x x
解得 x =4.6. ……………………………………………………4分 经检验,x =4.6是原方程的解,且符合题意.……………………………5分 答:这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量为4.6本. 22.证明:(1)∵AB ∥DC ,FC=AB,
∴四边形A B C F 是平行四边形.…………………………………………1分
∵∠B =90︒,
∴四边形A B C F 是矩形.…………………………………………………2分
(2)由(1)可得,∠AFC =90︒,
∴∠DAF =90︒-∠D ,∠CGF =90︒-∠ECD . ………………3分 ∵ED =EC ,
∴∠D =∠ECD .…………………………4分 ∴∠DAF =∠CGF .
∵∠EGA =∠CGF , ∴∠EAG =∠EGA .
∴EA =EG .………………………………………………………5分 23.解:(1)∵双曲线y =
4
过点M (1,b ), x
∴b =4.……………………………………………………………………1分 ∵正比例函数y =kx 的图象过点M (1,4),
∴k =4.……………………………………………………………………2分 ∴正比例函数的表达式为y =4x .………………………………………3分 (2)(-1,-4),(3,12). …………………………………………………5分
24.(1)证明:连接OD .
∵AD 平分∠MAN , ∴∠EAD =∠OAD . ∵OA =OD , ∴∠ODA =∠OAD .
∴∠EAD =∠ODA .……………………………1分 ∵DE ⊥AM 于E , ∴∠AED =90︒. ∴∠EAD +∠EDA =90︒, ∴∠ODA +∠EDA =90︒.
∴OD ⊥ED .
∴DE 是⊙O 的切线. ………………2分 (2)解:∵∠EDA =30︒,
∴∠ODA =60︒. ∵OA =OD ,
∴△ADO 为等边三角形.…………………………………………………3分
在Rt △AED 中,AE =1,可得AD =
2,ED =.………………4分 ∴OD =AD =2.
在Rt △ODE 中,由勾股定理可
得OE . ………………………5分
25.解:(1)41. ……………………………………………………………………… ……1分 (2)补全图1,如图所示. ……………………………………………… ………2分
前四天每天接待的观众人数统计图
图1
(3)801; ………………………………………………………………3分
答:预计观看“沪剧”、“秦腔”、“粤剧”的人数分别约为96、40、64,…………4分
所以演出应分别安排在江苏园、福建园、岭南园.………………………………5分
11
26.(1)解: 由题意可得x = ∵x 1
2
1
x +3. 2
3
,x 2=2. …………………………………………………1分 2111
∴+=-.
x 1x 26
1
∵直线y =x +3与x 轴交于点C ,C 点横坐标为x 3,
2
∴x 3=-6.………………………………………………………………2分
11
∴=-.
x 36111
∴.…………………………………………………………3分 +=
x 1x 2x 3
∴x 1=-
(2)①证明:如图,过点B 作BE ∥PA 交PC 于点E .
∴△BEC ∽△APC .…………………………………………………4分 由PB 平分∠APC ,∠APC =120︒,可得△PBE 是等边三角形.
∴BE =PE =PB =x 3.
∴EC =x 2-x 3.
BE EC
=, AP PC x x -x 3
∴3=2.
x 1x 2
∴x 2x 3+x 1x 3=x 1x 2. l
111
∴.…………………………………………………………5分 +=
x 1x 2x 3
∵
②解:过点C 作CD ⊥x 轴于点D ,CE ⊥y 轴于点E .
∵点C 在直线y =x 上,且横坐标为x 3, ∴点C (x 3,x 3) .
∴CE =CD =x 3.……………………………4分 ∵S ∆BOC +S ∆AOC =S ∆AOB ,
y x 2E B
A 3x 1
x
111
∴x 2x 3+x 1x 3=x 1x 2. 222
∴
l
111
+=.…………………………………………………………5分 x 1x 2x 3
12
27.解:(1)∵抛物线y =-2x 2+(m +9)x -6的对称轴是x =2,
m +9
=2.
2⨯(-2)
∴m =-1. ……………………………………………………………1分
∴-
2
∴抛物线的表达式为y =-2x +8x -6.…………………………………2分
∴y =-2(x -2) 2+2.
∴顶点坐标为(2,2).………………………………………………3分 (2)由题意得,平移后抛物线表达式为 y =-2(x -3)+2……………………4分 ∵-2(x -2)=-2(x -3),
2
2
2
5
. 253
∴A (,).………………………5分
227
(3)0
2
28.(1)BD =CE ;………………………………………1分
∴x =
(2)补全图形.………………………………………2分
证明:如图2,在BE 上截取BF =CD ,连接CF .
∵∠DCB =∠EBC =
1
∠A , 2
∴△DCB ≌△FBC .………………………3分 ∴BD =CF ,∠FCB =∠DBC .
图
2 ∴∠CFE =∠FBC +∠FCB =2∠FBC +∠ABE .
∵∠CEF =∠A +∠ABE .
∴∠CFE =∠CEF .………………………………………………………4分 ∴CF =CE .
∴BD =CE .………………………………………………………5分
A
(3)求解思路如下:
a .如图3,过点E 作EM ⊥BC 于M ; b .由BE 平分∠ABC ,可得∠ABC =∠A ; c .由∠BDC =105︒,可得∠EBC =25︒,
B
D
E
图3
∠A =50︒,∠ACB =80︒;………………………………………………………6分 d .由(2)知CE =BD =3,在Rt △CEM 中,可求EM 的长度;
M
C
e .在Rt △BEM 中,由∠EBM 的度数和的EM 的长度,可求BE 的长度.…7分
13
29.(1)①16.………………………………………………………………………………1分
②当弦AB 的位置改变时,点P 关于⊙O 的“幂值”为定值.………………2分 证明:如图,AB 为⊙O 中过点P 的任意一条弦,且不与OP 垂直. 过点P 作⊙O 的弦A ' B ' ⊥OP ,连接AA ' 、BB ' . ∵在⊙O 中,∠AA ' P =∠B ' BP ,∠APA ' =∠BPB ' ,
∴△APA ' ∽△B ' P B .…………………………………………………3分
∴
PA PA '
=. PB ' PB
∴PA ⋅PB =PA ' ⋅PB ' .…………………………4分
∵OP ⊥A ' B ' ,OP =3,⊙O 半径为5. ∴A ' P =B ' P =4.
∴PA ⋅PB =16.…………………………………………………………5分 ∴当弦AB 的位置改变时,点P 关于⊙O 的“幂值”为定值.
(2)r -d . …………………………………………………………………………6分 (3)-2≤b ≤2. …………………………………………………………………8分
说明:各解答题的其他正确解法请参照以上标准给分.
2
2
14
北京市朝阳区九年级综合练习(二)
数 学 试 卷 2016.6
一、选择题(本题共30分,每小题3分)
下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的.
1.2015年6月国家主席习大大和比利时国王菲利普,在人民大会堂共同见证了两国公司在 集成电路方面进行合作研发的签约仪式,两国将共同着力研发14纳米量产技术,这标志 着我国芯片制造能力将进入国际顶尖水平.14纳米为0.000 000 014米,将0.000 000 014 用科学记数法表示应为
A .0.14⨯10 B .1.4⨯10 C .0.014⨯10 D .14⨯10 2.如图,在单位长度为1的数轴上,点A 、B 表示的两个数互为相反数,那么点A 表示的 数是
A .2 B .-2 C . 3 D .-3 3.在中国有很多吉祥的图案深受大家喜爱,人们会用这些图案来装饰生活,祈求平安. 比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”,其中是轴对称图形,不是中心 ... 对称图形的为
-7
-8
-6
-9
A B C D
4.一个袋子中只装有黑、白两种颜色的球,这些球的形状、质地等完全相同,其中白色球有2个, 黑色球有n 个.在看不到球的条件下,随机地从袋子中摸出一个球,记录下颜色后,放回袋子 中并摇匀.同学们进行了大量重复试验,发现摸出白球的频率稳定在0.4附近,则n 的值为 A .2
B .3 C .4 D .5
5.如图,螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形,这个正六边形ABCDEF
的半径是, 则这个正六边形的周长是
A
. B .12 cm C
.
D .36 cm
第5题图
第6题图
第7题图
6.某篮球队12名队员的年龄统计如图所示,则该队队员年龄的众数和中位数分别是
A .16,15 B .15,15.5 C .15,17 D .15,16 7.一艘海上搜救船借助雷达探测仪寻找到事故船的位置,雷达示意图如图所示,搜救船位于图中 圆心O 处,事故船位于距O 点40海里的A 处,雷达操作员要用方位角把事故船相对于搜救船 ... 的位置汇报给船长,以便调整航向,下列四种表述方式中正确的为
A .事故船在搜救船的北偏东60°方向 B .事故船在搜救船的北偏东30°方向 C .事故船在搜救船的北偏西60°方向 D .事故船在搜救船的南偏东30°方向
8.现有A 、B 两种商品,买3件A 商品和2件B 商品用了160元,买2件A 商品和3件B 商品用 了190元.如果准备购买A 、B 两种商品共10件,下列方案中费用最低的为 A .A 商品7件和B 商品3件 B .A 商品6件和B 商品4件 C .A 商品5件和B 商品5件 D .A 商品4件和B 商品6件
9.把图1所示的正方体的展开图围成正方体(文字露在外面),再将这个正方体按照图2,依次 翻滚到第1格,第2格,第 3格,第4格,此时正方体朝上一面的文字为 ..
A .富 B .强 C .文 D .民
图2 第10题图 第9题图
10.如图,∆ABC 为等边三角形,点O 在过点A 且平行于BC 的直线上运动,以∆A B C 的高为半
图1
径的⊙O 分别交线段AB 、AC 于点E 、F ,则
所对的圆周角的度数
A .从0︒到30︒变化 B .从30︒到60︒变化 C .总等于30︒ D .总等于60︒
二、填空题(本题共18分,每小题3分) 11.分解因式:3a -12=________. 12.函数y =2x +
2
1
的自变量x 的取值范围是________. x +1
13.请写出一个开口向下,并且与y 轴交于点(0,2)的抛物线的表达式,y =________. 14.将一元二次方程x -6x +5=0化成(x -a ) 2=b 的形式,
则ab =________.
15.如图,在⊙O 中,AB 为⊙O 的弦,半径OC ⊥AB 于点D ,
若OB 的长为10,sin ∠BOD =
2
4
, 则AB 的长为________. 5
16.在数学活动课上,老师说有人根据如下的证明过程,得到“1=2”的结论.
大家经过认真讨论,发现上述证明过程中从某一步开始出现错误,这一步是________ (填入编号),造成错误的原因是________.
三、解答题(本题共72分,第17-26题,每小题5分,第27题7分,第28题7分,第29题8分)
17
|-5|-() -1-2tan60︒.
12
⎧2x +y =1,
18.解方程组⎨
⎩x -y =2.
19.已知a 2-2a -2=0,求代数式
2a -1
÷的值. a 2-1a +1
20.如图,在Rt △ABC 中,∠BAC = 90º,AD 是BC 边上的中线, ED ⊥BC 于D ,交BA 延长
线于点E ,若∠E =35°,
E
求∠BDA 的度数.
B
21.每年的4月23日,是“世界读书日”.据统计,“幸福家园小区”1号楼的住户一年内共阅
读纸质图书460本,2号楼的住户一年内共阅读纸质图书184本,1号楼住户的人数比2号楼住户人数的2倍多20人,且两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量相同.求这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量是多少本?
22.如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC ,∠B = 90º, F 为DC 上一点,且FC
= AB ,E 为AD 上一点,EC 交AF 于点G . (1)求证:四边形ABCF 是矩形; (2)若ED = EC ,求证:EA = EG .
23.如图,在平面直角坐标系xOy 中,反比例函数y =
4
的图象 x
与正比例函数y =kx 的图象的一个交点为M (1,b ). (1)求正比例函数y =kx 的表达式;
(2)若点N 在直线OM 上,且满足MN=2OM , 直接写出点N 的坐标.
24.如图,O 是∠MAN 的边AN 上一点,以OA 为半径作⊙O ,交∠MAN 的平分线于点D ,
DE ⊥AM 于E .
(1)求证:DE 是⊙O 的切线;
(2)连接OE ,若∠EDA =30º,AE =1,求OE 的长.
25.为弘扬中国传统文化,2016年4月30日“北京戏曲文化周”在北京园博园开始举行,活动
期间开展了丰富多样的戏曲文化互动体验活动,同时也推出了好戏连台园博看大戏的活动,主办方统计了前几天观看戏剧情况的部分相关数据,绘制统计图表如下:
图1
(1)m =_______;
(2)若5月3日当天看豫剧的人数为93人,请你补全图1;
(3)请你根据前四天接待观众人数,估计“北京戏曲文化周”活动在5月4日接待观众约为 ________人.5月4日的戏曲活动,分别演出 “京剧”、“北京曲剧”、“沪剧”、
“秦腔”、“粤剧”. 通过对100名观众的调查发现, 有12人喜欢“沪剧”,5人喜 欢“秦腔”,8人喜欢“粤剧”.主办方希望把“沪剧”、“秦腔”、“粤剧”三种戏 剧安排到以下五个园(如下表)中的三个园进行演出.请你结合下表为这三种戏剧选择 合适的演出地点,并说明理由.
前四天每天接待的观众人数统计图
5月3日观看各种戏剧人数分布统计图
图2
26.(1)如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线y =
1
x +3与抛物线y = x 2相交于点A 、B , 2
与x 轴交于点C ,A 点横坐标为x 1,B 点横坐标为x 2(x 1
111
+与的值,并判断它们的数量关系. x 1x 2x 3
(2
条件中选择一组,证明....
111
+与仍具有(1)中的数量关系. x 1x 2x 3
①如图,∠APC =120º,PB 平分∠APC ,直线l 与P A 、PB 、PC 分别交于点A 、B 、C , P A =x 1,PC =x 2,PB =x 3.
A
C
P
l
②如图,在平面直角坐标系xOy 中,过点A (x 1,0) 、B (0,x 2) 作直线l ,与直线y =x 交于 点C ,点C 横坐标为x 3.
y x 2
B
A
x 3
x 1
l
27.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y =-2x 2+(m +9) x -6的对称轴是x =2.
(1)求抛物线表达式和顶点坐标;
(2)将该抛物线向右平移1个单位,平移后的抛物线与原抛物线相交于点A ,求点A 的坐标; (3)抛物线y =-2x 2+(m +9) x -6与y 轴交于点C ,点A 关于平移后抛物线的对称轴的
对称点为点B ,两条抛物线在点A 、C 和点A 、B 之间的部分(包含点A 、B 、C ) 记 为图象M .将直线y =2x -2向下平移b (b >0)个单位,在平移过程中直线与图象M 始终有两个公共点,请你写出b 的取值范围_________.
28.在∆ABC 中,点D 、E 分别在AB 、AC 上,BE 、CD 相交于点O ,且∠DC B =∠EBC =
(1)如图1,若AB =AC ,则BD 与CE 的数量关系是______________;
1
∠A .2
(2)如图2,若AB ≠AC ,请你补全图2,思考BD 与CE 是否仍然具有(1)中的数量关系, 并说明理由;
(3)如图3,∠BDC =105︒,BD = 3,且BE 平分∠ABC ,请写出求BE 长的思路. (不用写出计算结果)
图1
图2
图3
29.P 是⊙O 内一点,过点P 作⊙O 的任意一条弦AB ,我们把PA ⋅PB 的值称为点P 关于⊙O 的
“幂值”.
(1)⊙O 的半径为5,OP = 3.
①如图1,若点P 恰为弦AB 的中点,则点P 关于⊙O 的“幂值”为________; ②判断当弦AB 的位置改变时,点P 关于⊙O 的“幂值”是否为定值,若是定值,证明你的结论;若不是定值,求点P 关于⊙O 的“幂值”的取值范围.
(2)若⊙O 的半径为r ,OP = d ,请参考(1)的思路,用含r 、d 的式子表示点P 关于⊙O 的“幂值”或“幂值”的取值范围________;
(3)在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的半径为4,
若在直线y =
x +b 上存在点P ,使得 点P 关于⊙O 的“幂值”为13,请写出b 的取值范围________.
北京市朝阳区九年级综合练习(二)
数学试卷评分标准及参考答案 2016.6
一、选择题(本题共30分,每小题3分)
二、填空题(本题共18分,每小题3分)
三、解答题(本题共72分,第17~26题,每小题5分,第27题7分,第28题7分, 第29题8分)
17.解:原式=5-2- …………………………………………………………4分 =3.…………………………………………………………………5
分
⎧2x +y =1, ①
18.解:⎨
x -y =2. ② ⎩
①+②,得3x =3,
x =1.………………………………………………………2分 把x =1代入②,得1-y =2,
y =-1.……………………………………………………4 所以这个方程组的解是⎨19.解:原式= =
分
⎧x =1,
…………………………………………………5分
⎩y =-1.
a +1
……………………………………………………1分
a +1a -1a -1
⋅
2
2
2
(a -1)
……………………………………………………………………3分
=
2
.
a 2-2a +1
2
∵a -2a -2=0,
∴a -2a =2.……………………………………………………………4分 ∴ 原式=
2
2
.………………………………………………………………5分 3
20.解:∵ED ⊥BC ,∠E =35︒,
∴∠B =55︒. …………………………………………1分
∵在Rt △ABC 中,∠BAC = 90º,AD 是BC 边上的中线, ∴AD =BD . …………………………………………3分
∴∠BAD =∠B =55︒ .………………………………4分
E B
∴∠BDA =70︒.…………………………………………………………………5分
21.解:设这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量为x 本.……………………1分 由题意,得
4602⨯184
=+20. …………………………………………3分 x x
解得 x =4.6. ……………………………………………………4分 经检验,x =4.6是原方程的解,且符合题意.……………………………5分 答:这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量为4.6本. 22.证明:(1)∵AB ∥DC ,FC=AB,
∴四边形A B C F 是平行四边形.…………………………………………1分
∵∠B =90︒,
∴四边形A B C F 是矩形.…………………………………………………2分
(2)由(1)可得,∠AFC =90︒,
∴∠DAF =90︒-∠D ,∠CGF =90︒-∠ECD . ………………3分 ∵ED =EC ,
∴∠D =∠ECD .…………………………4分 ∴∠DAF =∠CGF .
∵∠EGA =∠CGF , ∴∠EAG =∠EGA .
∴EA =EG .………………………………………………………5分 23.解:(1)∵双曲线y =
4
过点M (1,b ), x
∴b =4.……………………………………………………………………1分 ∵正比例函数y =kx 的图象过点M (1,4),
∴k =4.……………………………………………………………………2分 ∴正比例函数的表达式为y =4x .………………………………………3分 (2)(-1,-4),(3,12). …………………………………………………5分
24.(1)证明:连接OD .
∵AD 平分∠MAN , ∴∠EAD =∠OAD . ∵OA =OD , ∴∠ODA =∠OAD .
∴∠EAD =∠ODA .……………………………1分 ∵DE ⊥AM 于E , ∴∠AED =90︒. ∴∠EAD +∠EDA =90︒, ∴∠ODA +∠EDA =90︒.
∴OD ⊥ED .
∴DE 是⊙O 的切线. ………………2分 (2)解:∵∠EDA =30︒,
∴∠ODA =60︒. ∵OA =OD ,
∴△ADO 为等边三角形.…………………………………………………3分
在Rt △AED 中,AE =1,可得AD =
2,ED =.………………4分 ∴OD =AD =2.
在Rt △ODE 中,由勾股定理可
得OE . ………………………5分
25.解:(1)41. ……………………………………………………………………… ……1分 (2)补全图1,如图所示. ……………………………………………… ………2分
前四天每天接待的观众人数统计图
图1
(3)801; ………………………………………………………………3分
答:预计观看“沪剧”、“秦腔”、“粤剧”的人数分别约为96、40、64,…………4分
所以演出应分别安排在江苏园、福建园、岭南园.………………………………5分
11
26.(1)解: 由题意可得x = ∵x 1
2
1
x +3. 2
3
,x 2=2. …………………………………………………1分 2111
∴+=-.
x 1x 26
1
∵直线y =x +3与x 轴交于点C ,C 点横坐标为x 3,
2
∴x 3=-6.………………………………………………………………2分
11
∴=-.
x 36111
∴.…………………………………………………………3分 +=
x 1x 2x 3
∴x 1=-
(2)①证明:如图,过点B 作BE ∥PA 交PC 于点E .
∴△BEC ∽△APC .…………………………………………………4分 由PB 平分∠APC ,∠APC =120︒,可得△PBE 是等边三角形.
∴BE =PE =PB =x 3.
∴EC =x 2-x 3.
BE EC
=, AP PC x x -x 3
∴3=2.
x 1x 2
∴x 2x 3+x 1x 3=x 1x 2. l
111
∴.…………………………………………………………5分 +=
x 1x 2x 3
∵
②解:过点C 作CD ⊥x 轴于点D ,CE ⊥y 轴于点E .
∵点C 在直线y =x 上,且横坐标为x 3, ∴点C (x 3,x 3) .
∴CE =CD =x 3.……………………………4分 ∵S ∆BOC +S ∆AOC =S ∆AOB ,
y x 2E B
A 3x 1
x
111
∴x 2x 3+x 1x 3=x 1x 2. 222
∴
l
111
+=.…………………………………………………………5分 x 1x 2x 3
12
27.解:(1)∵抛物线y =-2x 2+(m +9)x -6的对称轴是x =2,
m +9
=2.
2⨯(-2)
∴m =-1. ……………………………………………………………1分
∴-
2
∴抛物线的表达式为y =-2x +8x -6.…………………………………2分
∴y =-2(x -2) 2+2.
∴顶点坐标为(2,2).………………………………………………3分 (2)由题意得,平移后抛物线表达式为 y =-2(x -3)+2……………………4分 ∵-2(x -2)=-2(x -3),
2
2
2
5
. 253
∴A (,).………………………5分
227
(3)0
2
28.(1)BD =CE ;………………………………………1分
∴x =
(2)补全图形.………………………………………2分
证明:如图2,在BE 上截取BF =CD ,连接CF .
∵∠DCB =∠EBC =
1
∠A , 2
∴△DCB ≌△FBC .………………………3分 ∴BD =CF ,∠FCB =∠DBC .
图
2 ∴∠CFE =∠FBC +∠FCB =2∠FBC +∠ABE .
∵∠CEF =∠A +∠ABE .
∴∠CFE =∠CEF .………………………………………………………4分 ∴CF =CE .
∴BD =CE .………………………………………………………5分
A
(3)求解思路如下:
a .如图3,过点E 作EM ⊥BC 于M ; b .由BE 平分∠ABC ,可得∠ABC =∠A ; c .由∠BDC =105︒,可得∠EBC =25︒,
B
D
E
图3
∠A =50︒,∠ACB =80︒;………………………………………………………6分 d .由(2)知CE =BD =3,在Rt △CEM 中,可求EM 的长度;
M
C
e .在Rt △BEM 中,由∠EBM 的度数和的EM 的长度,可求BE 的长度.…7分
13
29.(1)①16.………………………………………………………………………………1分
②当弦AB 的位置改变时,点P 关于⊙O 的“幂值”为定值.………………2分 证明:如图,AB 为⊙O 中过点P 的任意一条弦,且不与OP 垂直. 过点P 作⊙O 的弦A ' B ' ⊥OP ,连接AA ' 、BB ' . ∵在⊙O 中,∠AA ' P =∠B ' BP ,∠APA ' =∠BPB ' ,
∴△APA ' ∽△B ' P B .…………………………………………………3分
∴
PA PA '
=. PB ' PB
∴PA ⋅PB =PA ' ⋅PB ' .…………………………4分
∵OP ⊥A ' B ' ,OP =3,⊙O 半径为5. ∴A ' P =B ' P =4.
∴PA ⋅PB =16.…………………………………………………………5分 ∴当弦AB 的位置改变时,点P 关于⊙O 的“幂值”为定值.
(2)r -d . …………………………………………………………………………6分 (3)-2≤b ≤2. …………………………………………………………………8分
说明:各解答题的其他正确解法请参照以上标准给分.
2
2
14