创意平板折叠桌设计

创意平板折叠桌设计

摘要

创意平板折叠桌具有造型美观，节省空间等优点，越来越受到现代人的喜爱。对其各加工参数进行数学建模分析可以使得折叠桌的实用性更高、加工更方便。本文对平板折叠桌的设计进行了研究。

针对问题一，首先对问题做一般性分析，认为木条无限细，建立了连续情况下的折叠模型，通过每根木条折叠后的空间位置描述了折叠桌的动态变化过程。为了确定折叠桌的设计加工参数，考虑木条的宽度，建立了离散情况下的折叠模型。为了研究问题的方便，认为铰接点的横坐标即木条的等效横坐标为木条两边与圆交点横坐标的中点，由此计算出最外桌脚与地面的夹角为73.3◦，与从附件视频中量出的73.4◦非常接近，所以该方法可行。这样就得到了每根木条折叠后的空间位置。根据折叠前后木条的空间位置关系得出了每根木条的开槽长度：中间最长为17.87cm，依次向两边递减。

1问题的重述

1.1

问题的背景

某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。1.2

目标任务

给定长方形平板尺寸为120cm×50cm×3cm，每根木条宽2.5cm，连接桌

腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。

2符号约定

符号θxiaisinlrHk

符号说明

最外木条与地面所成角度第i根木条的等效横坐标第i根木条的长度第i根木条的槽长桌面一侧的木条数平板长度的一半

平板宽度的一半，也是圆的半径

桌子高度钢筋位置

３　模型建立与求解

3.1

问题的分析

首先对问题做理想化处理，即认为木条的宽度为无限小，建立连续情况下的模型。在平板尺寸和桌子高度给定的情况下就能够确定出最外面的桌脚与地面的夹角θ。根据每根木条都通过钢筋与其它木条相关联这一条件，可以求得在给定最外桌脚与地面的夹角θ的情况下每一根木条在坐标系中的位置。对每一根木条未铰接的那个端点可以得到其空间坐标，进而确定出桌脚边缘线的数学描述。为了确定出加工参数，必须考虑到木条的宽度，这时就要建立离散情况下的模型。先确定每一根木条铰接线与圆相交的位置，接着就能够确定出每一根木条的长度。再用类似连续情况下的方法可以求得折叠后各木条的位置，进而求得槽长。3.2

模型一的建立：连续情况下各木条位置的确定

为了研究问题的一般性，先对连续情况进行考虑，即认为每一根木条的宽度都无限小，有无限根木条。如图1所示，以沿桌面垂直于木条方向为x轴，沿木条方向为y轴建立直角坐标系。对于某根横坐标为x的木条，其长度为

p(x)=HF=l−

√r22

当折叠桌展开时，它与最外的桌脚之间的位置关系如图2所示。图中横轴表示三维空间中的y轴，纵轴表示三维空间中的z轴。AB表示最外的桌脚，点D是钢筋的位置，依题意在AB中点。θ表示最外的桌脚与地面的角度，w(x)表示横坐标为x

的木条钢筋位置与铰接点的距离。由余弦定理可得

√

l22

22w(x)=r−x+−r2lcosθ

4由正弦定理可得

w(x)l

=sinθ2sinα(x)sinα=

进而确定α(x)

√lsinθlarcsincosθ

α(x)=√lsinθlπ−arcsin2w(x)2cosθ⩾r22

lsinθ

2w(x)

(1)

所以可以得到

(2)

由于木条的一端已经和圆桌面铰接，不发生移动，所以要想确定各木条的位置，就必须确定另一端的坐标。图2中的点l即表示该木条的另一端。易得

√√22y(x)=r−(l−r22)cosα(x)√

z(x)=−(l−r22)sinα(x)

(3)

将式(1)和式(2)代入式(3)中得

√√√lsinθl2222cosθ

y(x)=√√√llsinθ2222r−(l−r)cos(π−arcsin2w(x))2cosθ⩾r22

√lsinθ

z(x)=−(l−r22)2222r−x+l/4−rlcosθ

其中

w(x)=

√r2

−x2

l22

+−r2lcosθ4

(4)

(5)

所以，对一确定的θ，任意横坐标x的木条的另一端点都能被唯一确定。3.3

模型一的求解：折叠桌的动态变化过程

代入具体数值r=25cm，l=60cm，对于不同的θ，折叠桌的动态变化过程如图3所示。3.4

模型二的建立

1.离散情况下各木条位置的确定

在离散情况下需要考虑到木条的宽度。设木条的宽度为d，则一共有2r/d根木条。对第i根木条，如图4所示，与圆相交于两点H和J。在实际的加工中由于木条有宽度，圆桌不可能是完美的圆形，一定有的地方增加了一些面积，有的地方减少了一些面积。假设该木条与圆的铰接线为LM，那么这根木条就等效于横坐标与N相同的理想木条。显然，铰接线的取法决定了该木条的等效横坐标，等

图3:折叠桌的动态变化过程

效横坐标的不同将导致相同位置木条的在展开后的最终位置不同。

设一共有n=2r/d根木条，第i根木条的等效横坐标为xi,i=1,2,···,n，长√

度为ai=l−r2−xi2,i=1,2,···,n。这时，最外的木条的长度就不能认为是平板长度的一半，如图5所示，设铰接线为WZ，则该最外木条的等效横坐标就与点S√相同，所以长度应该为a1=l−WT=l−于图5中的线段WT=

√wi=

2

r2−x1，OE=

2

r2−x1。

6所示。线段OA就相当折叠桌展开后第i√根木条与最外木条的位置关系如图√

r2−xi2。由余弦定理可得

2a222

(r2−xi2−r2−x1r2−xi2−r2−x1cosθ+1−a1

4

a1sinθ2wi

(6)

由正弦定理可得

sinαi=

所以

√asinθa112−x2arcsincosθ

图5:最外一根木条与圆相交示意图

第i根木条未铰接的那个端点的坐标为

√

yi=r2−xi2−aicosαi

a1sinθ

zi=−ai

2wi

将wi,αi,a1代入上式即可得到最终结果。

2.开槽长度的确定

当最外桌脚与地面所成的角度为θ时，如图6所示，D为第i根木条钢筋所在位置。当θ为0，即桌子未展开时，钢筋在木条上的位置假设是点G，则D和G的距离定义为当前槽长si，易得

√√a1(22

si=wi−+r−xi2−r2−x1

2

(8)

(7)

显然，各木条的开槽长度就等于桌子在展开过程中si的最大值。由式(8)可以看出，对确定的i，后三项都是常数，只有wi随θ的变化而变化。而wi对θ是单调增函数，所以si对θ是单调增函数，θ越大，si越大。所以只需要确定出桌子展开后的θ，就能得到每一根木条的开槽长度。

3.5

3.5.1加工参数有开槽的长度，还有铰接线与圆的交点，即每根木条的等效横坐标。只有先确定了每根木条铰接线与圆的交点，才能够确定每根木条的开槽长度，所以首先确定每根木条铰接线与圆的交点。

1.铰接线与圆的交点

由于折叠后桌子高为53cm，而木板厚度为3cm，所以桌子下表面与地面的距离为50cm。最外桌脚的长度为a1，折叠时与地面的夹角为θ，所以得到关系式

a1sinθ=50

(9)

因为木板的宽度为2.5cm，所以可以得到每一侧都有50/2.5=20根木条。对第i根木条，确定其靠下的与圆的交点x1[i]和靠上的与圆的交点x2[i]

x1[i]=2.5×(i−1)−25x2[i]=2.5×i−25

i=1,2,···,20

(10)

由于所给条件不够，不能唯一地确定出a1和θ，所以我们大概猜测铰接线的取法。如图5所示，假设铰接线取的使得S在U和S1的竖直中点上，即

xi=

x1[i]+x2[i]

2

(11)

此即第i根木条的等效横坐标。算得第1根木条即最外的木条的等效横坐标为-23.75cm，y坐标为7.8cm，所以a1=l−7.8=60−7.8=52.2cm，代入式(9)可得θ=73.3◦。我们测量附件视频中桌子正面角度时两条最外桌脚的之间的夹角为33.15◦，所以可得对应的θ′=(180−33.15)/2=73.4◦，与我们猜想计算的非常接近，所以认为我们猜想的铰接线取法是正确的。

所以由式(10)和式(11)可得20根木条的铰接线与圆的交点即等效横坐标如表2所示，由于对称性，只给出了前10个。

表2:每根木条的等效横坐标

[1**********]2.开槽长度

由式(6)(8)(10)(11)，使用MATLAB编程(程序见附录1)可得每一根木条的开槽长度如表3所示，由于对称性，仅列出了前10个，其中第11个和第10个一样，第12个和第9个一样，等等。

表3:各木条开槽长度

[1**********]3.5.2桌脚边缘线的数学描述

由式(4)和式(5)就能够得到桌脚边缘线的参数方程

x(t)=t

√√√lsinθl2222cosθ

(12)

√lsinθz(t)=−(l−r22)2222r−t+l/4−r22lcosθ其中

w(t)=

√r2

−t2

l222

+−rlcosθ4

由上文的计算数据得，这里l=a[1]=52.2cm，θ=73.3◦,r=25cm，所以用MATLAB画出三维边缘曲线图如图7所示。

图7:边缘曲线

【附录】ＭＡＴＬＡＢ程序

１．计算开槽长度

ｒ＝２５；

ｔｈｅｔａ＝ａｓｉｎ（５０／５２．２）；ａ＝５２．１９；ｆｏｒ　ｉ＝１：２０

　　　　ｘ１（ｉ）＝２．５＊（ｉ－１）－２５；　　　　ｘ２（ｉ）＝２．５＊ｉ－２５；

　　　ｘ（ｉ）＝（ｘ１（ｉ）＋ｘ２（ｉ））／２；ｅｎｄ

ｆｏｒ　ｉ＝１：２０

　　　　ｑ１＝ｓｑｒｔ（ｒ＾２－ｘ（ｉ）＾２）－ｓｑｒｔ（ｒ＾２－ｘ（１）＾２）；　　　　ｑ２＝ａ＾２／４；

　　　　ｑ３＝ａ＊ｑ１＊ｃｏｓ（ｔｈｅｔａ）；　　　　ｗ（ｉ）＝ｓｑｒｔ（ｑ１＾２＋ｑ２－ｑ３）；　　　　　　　ｓ（ｉ）＝ｗ（ｉ）－ａ／２＋ｑ１；ｅｎｄ２．动态变化图

ｃｌｅａｒ；ｃｌｃ；

Ｈ＝５３；％参数　桌高Ｒ＝２５；％参数　半径

Ｌ＝６０；％参数　木板长一半

ｄ＝３０；％参数　钢筋距离圆桌中心距离　　

％角度４等分

ｔｈｅｔａ０＝ａｓｉｎ（Ｈ／Ｌ）；

ｔｈｅｔａ＝［０：ｔｈｅｔａ０／３：ｔｈｅｔａ０］；％画图

ｙｕｙ＝［－Ｒ：Ｒ／５０：Ｒ］；

ｙｕｘ＝ｓｑｒｔ（Ｒ＾２－ｙｕｙ．＾２）；ｙｕｚ＝ｙｕｙ＊０；％变化过程ｄｄ＝Ｒ／１０；

ｙ＝［－（Ｒ－ｄｄ／２）：ｄｄ：（Ｒ－ｄｄ／２）］；ｙｙ（１）＝－（Ｒ＋５）；ｙｙ（２）＝（Ｒ＋５）；ｆｏｒ　ｊ＝１：ｌｅｎｇｔｈ（ｔｈｅｔａ）　　　　ｓｕｂｐｌｏｔ（２，２，ｊ）；％　　　　　ｆｉｇｕｒｅ；

　　　　ｆｏｒ　ｉ＝１：ｌｅｎｇｔｈ（ｙ）　　　　　　　　％圆上一端点坐标

　　　　　　　　ｘ１（ｉ）＝ｓｑｒｔ（Ｒ＾２－（ｙ（ｉ））＾２）；　　　　　　　　ｘｘ１（ｉ）＝－ｘ１（ｉ）；　　　　　　　　ｚ１（ｉ）＝０；

　　　　　　　　％另一端点坐标

　　　　　　　　ｂｃ（ｉ，ｊ）＝ｓｑｒｔ（（ｘ１（ｉ））＾２＋（Ｌ－ｄ）＾２－２＊ｃｏｓ（ｔｈｅｔａ（ｊ））＊（Ｌ－ｄ）＊ｘ１（ｉ））；　　　　　　　　ｂｌ（ｉ，ｊ）＝（Ｌ－ｘ１（ｉ））／ｂｃ（ｉ，ｊ）；

　　　　　　　　Ｃａｌ（ｉ，ｊ）＝（ｂｃ（ｉ，ｊ））＾２＋（ｘ１（ｉ））＾２－（Ｌ－ｄ）＾２；　　　　　　　　ｉｆ　Ｃａｌ（ｉ，ｊ）＞０

　　　　　　　　　　　ｘ２（ｉ，ｊ）＝ｘ１（ｉ）－（ｘ１（ｉ）－（Ｌ－ｄ）＊ｃｏｓ（ｔｈｅｔａ（ｊ）））＊ｂｌ（ｉ，ｊ）；　　　　　　　　　　　ｘｘ２（ｉ，ｊ）＝－ｘ２（ｉ，ｊ）；　　　　　　　　ｅｌｓｅ

　　　　　　　　　　　ｘ２（ｉ，ｊ）＝ｘ１（ｉ）＋（（Ｌ－ｄ）＊ｃｏｓ（ｔｈｅｔａ（ｊ））－ｘ１（ｉ））＊ｂｌ（ｉ，ｊ）；　　　　　　　　　　　ｘｘ２（ｉ，ｊ）＝－ｘ２（ｉ，ｊ）；　　　　　　　　ｅｎｄ

　　　　　　　　ｚ２（ｉ，ｊ）＝－（（Ｌ－ｄ）＊ｓｉｎ（ｔｈｅｔａ（ｊ））＊ｂｌ（ｉ，ｊ））；　　

　　　　　　　　ｐｌｏｔ３（［ｘ１（ｉ），ｘ２（ｉ，ｊ）］，［ｙ（ｉ），ｙ（ｉ）］，［ｚ１（ｉ），ｚ２（ｉ，ｊ）］，＇Ｃｏｌｏｒ＇，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　０．１＊［ｍｏｄ（ｉ，７），ｍｏｄ（ｉ，８），ｍｏｄ（ｉ，９）］）；％不同颜色显示　　　　　　　　ｈｏｌｄ　ｏｎ；

11

　　　　　　　　ｐｌｏｔ３（［ｘｘ１（ｉ），ｘｘ２（ｉ，ｊ）］，［ｙ（ｉ），ｙ（ｉ）］，［ｚ１（ｉ），ｚ２（ｉ，ｊ）］，＇Ｃｏｌｏｒ＇　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，０．１＊［ｍｏｄ（ｉ，３），ｍｏｄ（ｉ，５），ｍｏｄ（ｉ，７）］）　　　　　　　　ｈｏｌｄ　ｏｎ；

　　　　ｅｎｄ

　　　　ｘｘ（ｊ）＝（Ｌ－ｄ）＊ｃｏｓ（ｔｈｅｔａ（ｊ））；

　　　　ｘｘｘ（ｊ）＝－ｘｘ（ｊ）；

　　　　ｚｚ（ｊ）＝－（Ｌ－ｄ）＊ｓｉｎ（ｔｈｅｔａ（ｊ））；

　　　　ｐｌｏｔ３（［ｘｘ（ｊ），ｘｘ（ｊ）］，［ｙｙ（１），ｙｙ（２）］，［ｚｚ（ｊ），ｚｚ（ｊ）］，＇ｒ＇）；　　　　ｐｌｏｔ３（［ｘｘｘ（ｊ），ｘｘｘ（ｊ）］，［ｙｙ（１），ｙｙ（２）］，［ｚｚ（ｊ），ｚｚ（ｊ）］，＇ｒ＇）；　　　　ｐｌｏｔ３（ｙｕｘ，ｙｕｙ，ｙｕｚ）；ｈｏｌｄ　ｏｎ；ｐｌｏｔ３（－ｙｕｘ，ｙｕｙ，ｙｕｚ）；ｈｏｌｄ　ｏｎ；　　　　ｘｌａｂｅｌ（＇ｘ＇）；ｙｌａｂｅｌ（＇ｙ＇）；ｚｌａｂｅｌ（＇ｚ＇）；

　　　　ａｘｉｓ　ｎｏｒｍａｌ；

ｅｎｄ

创意平板折叠桌设计

摘要

创意平板折叠桌具有造型美观，节省空间等优点，越来越受到现代人的喜爱。对其各加工参数进行数学建模分析可以使得折叠桌的实用性更高、加工更方便。本文对平板折叠桌的设计进行了研究。

针对问题一，首先对问题做一般性分析，认为木条无限细，建立了连续情况下的折叠模型，通过每根木条折叠后的空间位置描述了折叠桌的动态变化过程。为了确定折叠桌的设计加工参数，考虑木条的宽度，建立了离散情况下的折叠模型。为了研究问题的方便，认为铰接点的横坐标即木条的等效横坐标为木条两边与圆交点横坐标的中点，由此计算出最外桌脚与地面的夹角为73.3◦，与从附件视频中量出的73.4◦非常接近，所以该方法可行。这样就得到了每根木条折叠后的空间位置。根据折叠前后木条的空间位置关系得出了每根木条的开槽长度：中间最长为17.87cm，依次向两边递减。

1问题的重述

1.1

问题的背景

某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。1.2

目标任务

给定长方形平板尺寸为120cm×50cm×3cm，每根木条宽2.5cm，连接桌

腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。

2符号约定

符号θxiaisinlrHk

符号说明

最外木条与地面所成角度第i根木条的等效横坐标第i根木条的长度第i根木条的槽长桌面一侧的木条数平板长度的一半

平板宽度的一半，也是圆的半径

桌子高度钢筋位置

３　模型建立与求解

3.1

问题的分析

首先对问题做理想化处理，即认为木条的宽度为无限小，建立连续情况下的模型。在平板尺寸和桌子高度给定的情况下就能够确定出最外面的桌脚与地面的夹角θ。根据每根木条都通过钢筋与其它木条相关联这一条件，可以求得在给定最外桌脚与地面的夹角θ的情况下每一根木条在坐标系中的位置。对每一根木条未铰接的那个端点可以得到其空间坐标，进而确定出桌脚边缘线的数学描述。为了确定出加工参数，必须考虑到木条的宽度，这时就要建立离散情况下的模型。先确定每一根木条铰接线与圆相交的位置，接着就能够确定出每一根木条的长度。再用类似连续情况下的方法可以求得折叠后各木条的位置，进而求得槽长。3.2

模型一的建立：连续情况下各木条位置的确定

为了研究问题的一般性，先对连续情况进行考虑，即认为每一根木条的宽度都无限小，有无限根木条。如图1所示，以沿桌面垂直于木条方向为x轴，沿木条方向为y轴建立直角坐标系。对于某根横坐标为x的木条，其长度为

p(x)=HF=l−

√r22

当折叠桌展开时，它与最外的桌脚之间的位置关系如图2所示。图中横轴表示三维空间中的y轴，纵轴表示三维空间中的z轴。AB表示最外的桌脚，点D是钢筋的位置，依题意在AB中点。θ表示最外的桌脚与地面的角度，w(x)表示横坐标为x

的木条钢筋位置与铰接点的距离。由余弦定理可得

√

l22

22w(x)=r−x+−r2lcosθ

4由正弦定理可得

w(x)l

=sinθ2sinα(x)sinα=

进而确定α(x)

√lsinθlarcsincosθ

α(x)=√lsinθlπ−arcsin2w(x)2cosθ⩾r22

lsinθ

2w(x)

(1)

所以可以得到

(2)

由于木条的一端已经和圆桌面铰接，不发生移动，所以要想确定各木条的位置，就必须确定另一端的坐标。图2中的点l即表示该木条的另一端。易得

√√22y(x)=r−(l−r22)cosα(x)√

z(x)=−(l−r22)sinα(x)

(3)

将式(1)和式(2)代入式(3)中得

√√√lsinθl2222cosθ

y(x)=√√√llsinθ2222r−(l−r)cos(π−arcsin2w(x))2cosθ⩾r22

√lsinθ

z(x)=−(l−r22)2222r−x+l/4−rlcosθ

其中

w(x)=

√r2

−x2

l22

+−r2lcosθ4

(4)

(5)

所以，对一确定的θ，任意横坐标x的木条的另一端点都能被唯一确定。3.3

模型一的求解：折叠桌的动态变化过程

代入具体数值r=25cm，l=60cm，对于不同的θ，折叠桌的动态变化过程如图3所示。3.4

模型二的建立

1.离散情况下各木条位置的确定

在离散情况下需要考虑到木条的宽度。设木条的宽度为d，则一共有2r/d根木条。对第i根木条，如图4所示，与圆相交于两点H和J。在实际的加工中由于木条有宽度，圆桌不可能是完美的圆形，一定有的地方增加了一些面积，有的地方减少了一些面积。假设该木条与圆的铰接线为LM，那么这根木条就等效于横坐标与N相同的理想木条。显然，铰接线的取法决定了该木条的等效横坐标，等

图3:折叠桌的动态变化过程

效横坐标的不同将导致相同位置木条的在展开后的最终位置不同。

设一共有n=2r/d根木条，第i根木条的等效横坐标为xi,i=1,2,···,n，长√

度为ai=l−r2−xi2,i=1,2,···,n。这时，最外的木条的长度就不能认为是平板长度的一半，如图5所示，设铰接线为WZ，则该最外木条的等效横坐标就与点S√相同，所以长度应该为a1=l−WT=l−于图5中的线段WT=

√wi=

2

r2−x1，OE=

2

r2−x1。

6所示。线段OA就相当折叠桌展开后第i√根木条与最外木条的位置关系如图√

r2−xi2。由余弦定理可得

2a222

(r2−xi2−r2−x1r2−xi2−r2−x1cosθ+1−a1

4

a1sinθ2wi

(6)

由正弦定理可得

sinαi=

所以

√asinθa112−x2arcsincosθ

图5:最外一根木条与圆相交示意图

第i根木条未铰接的那个端点的坐标为

√

yi=r2−xi2−aicosαi

a1sinθ

zi=−ai

2wi

将wi,αi,a1代入上式即可得到最终结果。

2.开槽长度的确定

当最外桌脚与地面所成的角度为θ时，如图6所示，D为第i根木条钢筋所在位置。当θ为0，即桌子未展开时，钢筋在木条上的位置假设是点G，则D和G的距离定义为当前槽长si，易得

√√a1(22

si=wi−+r−xi2−r2−x1

2

(8)

(7)

显然，各木条的开槽长度就等于桌子在展开过程中si的最大值。由式(8)可以看出，对确定的i，后三项都是常数，只有wi随θ的变化而变化。而wi对θ是单调增函数，所以si对θ是单调增函数，θ越大，si越大。所以只需要确定出桌子展开后的θ，就能得到每一根木条的开槽长度。

3.5

3.5.1加工参数有开槽的长度，还有铰接线与圆的交点，即每根木条的等效横坐标。只有先确定了每根木条铰接线与圆的交点，才能够确定每根木条的开槽长度，所以首先确定每根木条铰接线与圆的交点。

1.铰接线与圆的交点

由于折叠后桌子高为53cm，而木板厚度为3cm，所以桌子下表面与地面的距离为50cm。最外桌脚的长度为a1，折叠时与地面的夹角为θ，所以得到关系式

a1sinθ=50

(9)

因为木板的宽度为2.5cm，所以可以得到每一侧都有50/2.5=20根木条。对第i根木条，确定其靠下的与圆的交点x1[i]和靠上的与圆的交点x2[i]

x1[i]=2.5×(i−1)−25x2[i]=2.5×i−25

i=1,2,···,20

(10)

由于所给条件不够，不能唯一地确定出a1和θ，所以我们大概猜测铰接线的取法。如图5所示，假设铰接线取的使得S在U和S1的竖直中点上，即

xi=

x1[i]+x2[i]

2

(11)

此即第i根木条的等效横坐标。算得第1根木条即最外的木条的等效横坐标为-23.75cm，y坐标为7.8cm，所以a1=l−7.8=60−7.8=52.2cm，代入式(9)可得θ=73.3◦。我们测量附件视频中桌子正面角度时两条最外桌脚的之间的夹角为33.15◦，所以可得对应的θ′=(180−33.15)/2=73.4◦，与我们猜想计算的非常接近，所以认为我们猜想的铰接线取法是正确的。

所以由式(10)和式(11)可得20根木条的铰接线与圆的交点即等效横坐标如表2所示，由于对称性，只给出了前10个。

表2:每根木条的等效横坐标

[1**********]2.开槽长度

由式(6)(8)(10)(11)，使用MATLAB编程(程序见附录1)可得每一根木条的开槽长度如表3所示，由于对称性，仅列出了前10个，其中第11个和第10个一样，第12个和第9个一样，等等。

表3:各木条开槽长度

[1**********]3.5.2桌脚边缘线的数学描述

由式(4)和式(5)就能够得到桌脚边缘线的参数方程

x(t)=t

√√√lsinθl2222cosθ

(12)

√lsinθz(t)=−(l−r22)2222r−t+l/4−r22lcosθ其中

w(t)=

√r2

−t2

l222

+−rlcosθ4

由上文的计算数据得，这里l=a[1]=52.2cm，θ=73.3◦,r=25cm，所以用MATLAB画出三维边缘曲线图如图7所示。

图7:边缘曲线

【附录】ＭＡＴＬＡＢ程序

１．计算开槽长度

ｒ＝２５；

ｔｈｅｔａ＝ａｓｉｎ（５０／５２．２）；ａ＝５２．１９；ｆｏｒ　ｉ＝１：２０

　　　　ｘ１（ｉ）＝２．５＊（ｉ－１）－２５；　　　　ｘ２（ｉ）＝２．５＊ｉ－２５；

　　　ｘ（ｉ）＝（ｘ１（ｉ）＋ｘ２（ｉ））／２；ｅｎｄ

ｆｏｒ　ｉ＝１：２０

　　　　ｑ１＝ｓｑｒｔ（ｒ＾２－ｘ（ｉ）＾２）－ｓｑｒｔ（ｒ＾２－ｘ（１）＾２）；　　　　ｑ２＝ａ＾２／４；

　　　　ｑ３＝ａ＊ｑ１＊ｃｏｓ（ｔｈｅｔａ）；　　　　ｗ（ｉ）＝ｓｑｒｔ（ｑ１＾２＋ｑ２－ｑ３）；　　　　　　　ｓ（ｉ）＝ｗ（ｉ）－ａ／２＋ｑ１；ｅｎｄ２．动态变化图

ｃｌｅａｒ；ｃｌｃ；

Ｈ＝５３；％参数　桌高Ｒ＝２５；％参数　半径

Ｌ＝６０；％参数　木板长一半

ｄ＝３０；％参数　钢筋距离圆桌中心距离　　

％角度４等分

ｔｈｅｔａ０＝ａｓｉｎ（Ｈ／Ｌ）；

ｔｈｅｔａ＝［０：ｔｈｅｔａ０／３：ｔｈｅｔａ０］；％画图

ｙｕｙ＝［－Ｒ：Ｒ／５０：Ｒ］；

ｙｕｘ＝ｓｑｒｔ（Ｒ＾２－ｙｕｙ．＾２）；ｙｕｚ＝ｙｕｙ＊０；％变化过程ｄｄ＝Ｒ／１０；

ｙ＝［－（Ｒ－ｄｄ／２）：ｄｄ：（Ｒ－ｄｄ／２）］；ｙｙ（１）＝－（Ｒ＋５）；ｙｙ（２）＝（Ｒ＋５）；ｆｏｒ　ｊ＝１：ｌｅｎｇｔｈ（ｔｈｅｔａ）　　　　ｓｕｂｐｌｏｔ（２，２，ｊ）；％　　　　　ｆｉｇｕｒｅ；

　　　　ｆｏｒ　ｉ＝１：ｌｅｎｇｔｈ（ｙ）　　　　　　　　％圆上一端点坐标

　　　　　　　　ｘ１（ｉ）＝ｓｑｒｔ（Ｒ＾２－（ｙ（ｉ））＾２）；　　　　　　　　ｘｘ１（ｉ）＝－ｘ１（ｉ）；　　　　　　　　ｚ１（ｉ）＝０；

　　　　　　　　％另一端点坐标

　　　　　　　　ｂｃ（ｉ，ｊ）＝ｓｑｒｔ（（ｘ１（ｉ））＾２＋（Ｌ－ｄ）＾２－２＊ｃｏｓ（ｔｈｅｔａ（ｊ））＊（Ｌ－ｄ）＊ｘ１（ｉ））；　　　　　　　　ｂｌ（ｉ，ｊ）＝（Ｌ－ｘ１（ｉ））／ｂｃ（ｉ，ｊ）；

　　　　　　　　Ｃａｌ（ｉ，ｊ）＝（ｂｃ（ｉ，ｊ））＾２＋（ｘ１（ｉ））＾２－（Ｌ－ｄ）＾２；　　　　　　　　ｉｆ　Ｃａｌ（ｉ，ｊ）＞０

　　　　　　　　　　　ｘ２（ｉ，ｊ）＝ｘ１（ｉ）－（ｘ１（ｉ）－（Ｌ－ｄ）＊ｃｏｓ（ｔｈｅｔａ（ｊ）））＊ｂｌ（ｉ，ｊ）；　　　　　　　　　　　ｘｘ２（ｉ，ｊ）＝－ｘ２（ｉ，ｊ）；　　　　　　　　ｅｌｓｅ

　　　　　　　　　　　ｘ２（ｉ，ｊ）＝ｘ１（ｉ）＋（（Ｌ－ｄ）＊ｃｏｓ（ｔｈｅｔａ（ｊ））－ｘ１（ｉ））＊ｂｌ（ｉ，ｊ）；　　　　　　　　　　　ｘｘ２（ｉ，ｊ）＝－ｘ２（ｉ，ｊ）；　　　　　　　　ｅｎｄ

　　　　　　　　ｚ２（ｉ，ｊ）＝－（（Ｌ－ｄ）＊ｓｉｎ（ｔｈｅｔａ（ｊ））＊ｂｌ（ｉ，ｊ））；　　

　　　　　　　　ｐｌｏｔ３（［ｘ１（ｉ），ｘ２（ｉ，ｊ）］，［ｙ（ｉ），ｙ（ｉ）］，［ｚ１（ｉ），ｚ２（ｉ，ｊ）］，＇Ｃｏｌｏｒ＇，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　０．１＊［ｍｏｄ（ｉ，７），ｍｏｄ（ｉ，８），ｍｏｄ（ｉ，９）］）；％不同颜色显示　　　　　　　　ｈｏｌｄ　ｏｎ；

11

　　　　　　　　ｐｌｏｔ３（［ｘｘ１（ｉ），ｘｘ２（ｉ，ｊ）］，［ｙ（ｉ），ｙ（ｉ）］，［ｚ１（ｉ），ｚ２（ｉ，ｊ）］，＇Ｃｏｌｏｒ＇　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，０．１＊［ｍｏｄ（ｉ，３），ｍｏｄ（ｉ，５），ｍｏｄ（ｉ，７）］）　　　　　　　　ｈｏｌｄ　ｏｎ；

　　　　ｅｎｄ

　　　　ｘｘ（ｊ）＝（Ｌ－ｄ）＊ｃｏｓ（ｔｈｅｔａ（ｊ））；

　　　　ｘｘｘ（ｊ）＝－ｘｘ（ｊ）；

　　　　ｚｚ（ｊ）＝－（Ｌ－ｄ）＊ｓｉｎ（ｔｈｅｔａ（ｊ））；

　　　　ｐｌｏｔ３（［ｘｘ（ｊ），ｘｘ（ｊ）］，［ｙｙ（１），ｙｙ（２）］，［ｚｚ（ｊ），ｚｚ（ｊ）］，＇ｒ＇）；　　　　ｐｌｏｔ３（［ｘｘｘ（ｊ），ｘｘｘ（ｊ）］，［ｙｙ（１），ｙｙ（２）］，［ｚｚ（ｊ），ｚｚ（ｊ）］，＇ｒ＇）；　　　　ｐｌｏｔ３（ｙｕｘ，ｙｕｙ，ｙｕｚ）；ｈｏｌｄ　ｏｎ；ｐｌｏｔ３（－ｙｕｘ，ｙｕｙ，ｙｕｚ）；ｈｏｌｄ　ｏｎ；　　　　ｘｌａｂｅｌ（＇ｘ＇）；ｙｌａｂｅｌ（＇ｙ＇）；ｚｌａｂｅｌ（＇ｚ＇）；

　　　　ａｘｉｓ　ｎｏｒｍａｌ；

ｅｎｄ