三角函數： 正弦, 餘弦, 正切, 正割, 餘割, 餘切
正弦（英文：Sine
）是三角函數的一種。它的定義域是整個實數集，值域是[-1,1]。它是周期函數，其最小正周期為2π。在自變數為(4n+1)π/2〔n 為整數〕時，該函數有極大值1；在自變數為(4n+3)π/2時，該函數有極小值-1。正弦函數是奇函數，其圖像關於原點對稱。
正弦函數(藍色) 被對中心為原點的全圓的它的 5 次泰勒級數(粉紅色) 緊密逼近
兩個角的和及差的正弦
二倍角公式
三倍角公式
半形公式
和差化積公式
萬能公式
餘弦是三角函數的一種。它的定義域是整個實數集，值域是[-1,1]
。它是周期函數，其最小正周期為2π。在自變數為2
π（n 為整數）時，該函數有極大值1；在自變數為
(2n+1)π時，該函數有極小值-1。餘弦函數是偶函數，其圖像關於y 軸對稱。
兩個角的和及差的餘弦
二倍角公式
三倍角公式
半形公式
冪簡約公式
和差化積公式
萬能公式
例題1: (a) (b) (a)
描繪 y = cos (x + ) 在區間 0 ≤ x ≤ 2π 的圖像。 由此，解 cos (x + ) = 0， 其中 0 ≤ x ≤ 2π。
(b)
從上圖所得，
當x = π 或 5πcos (x +π) = 0
4
4,
4
例題2: (a)
在同一圖中描繪 y = 2 cos x + 1 及 y = 2 sin 的圖像，
其中 0︒ ≤ x ≤ 360︒
(b) 由此，用圖像法解方程
2 cos x – 2 sin + 1 = 0， 其中 0︒ ≤ x ≤ 360︒。 答案準確至最接近
(a)
(b) 從圖像可得，x = 81︒ 或 279︒ (準確至最接近)
習題:
1. 下圖所示為 y = sin 3x + 1 的圖像，其中 0° ≤ x ≤ 360°。
(a) 求 y 的極大值和極小值。 解: y=
(b) y = sin 3x + 1 是一個周期函數嗎? 若是的話，求它的周期。
2. 下圖所示為 y = sin x 的圖像。
試在圖中加上適當的直線，從而解下列各方程，其中 0° ≤ x ≤ 360°。 (a) sin x = –1 (b) sin x = –0.5
3. 利用圖解法解 tan 3x = –1，其中 0° ≤ x ≤ 360°。
4. 利用圖解法解 sin x = cos 2x ，其中 0° ≤ x ≤ 360°。
5考慮下圖中的
△ABC 。
求 θ。
由此，證明 △ABC 是一個等腰三角形。
6. 下圖所示為 y = cos 3x 的圖像。試在圖中加上適當的直線，從而解方程 cos 3x – 1 =
0，其中 0︒ ≤ x ≤ 360︒。
7. 下圖所示為 y = sin 3x – cos 2x 的圖像。試在圖中加上適當的直線，從而解方程
2 sin 3x = 1 + 2 cos 2x ，其中 0︒ ≤ x ≤ 360︒。
8. 下圖所示為 y = cos 3x 及 y = cos x 的圖像。解方程 cos 3x = cos x ，其中 0︒ ≤ x ≤ 360︒。
線的方程。
(a) 2 sin x + 3 cos x + 2 = 0 (b) 2 sin x = – 3 cos x (c) 4 sin x + 6 cos x = –1
9. 假設已知 y = 2 sin x + 3 cos x – 2的圖像。求在解下列各方程時，應在圖像中加上的直
10. 假設已知 y =3 sin x +cos x +4 的圖像。求在解下列各方程時，應在圖像中加上的直線的方程。
(a)
3 sin x +cos x =-2
(b) cos x =-3 sin x
(c)
3 sin x +3 cos x =-53
11. 對於函數 y = 3 cos 2x ，
(a) 繪畫它的圖像，其中 0︒ ≤ x ≤ 360︒；
(b) 求它的極大值和極小值；
(c) 判斷它是否周期函數； 若是的話，求它的周期。
12. 對於函數 y = cos 3x + 1，
(a) 繪畫它的圖像，其中 0︒ ≤ x ≤ 360︒；
(b) 求它的極大值和極小值；
(c) 判斷它是否周期函數； 若是的話，求它的周期
13. 利用圖解法解方程 sin (x +30︒) =
12
，其中 0︒ ≤ x ≤ 360︒。
14. 利用圖解法解方程 cos 2x =-
12
，其中 0︒ ≤ x ≤ 360︒。
15. (a) 利用圖解法解方程cos x + sin x = 1，其中 0︒ ≤ x ≤ 360︒
(b) 由此，解 cos (x + 30︒) + sin (x + 30︒) = 1，其中 0︒ ≤ x ≤ 360︒。
選擇題: 16.
上圖為下列哪個函數的圖像? A. B. C. D. 17. y =
23sin 3x
y =2sin x
y =sin x +1 y =2sin 2x y =sin 2x +1
(0︒≤3x ≤360︒) 的圖像的最高點是
2⎫3⎭
A. 90︒, ⎪。
⎝
⎛
B. C.
2⎫⎛
30︒, ⎪
3⎭⎝
。
2⎫⎛
0︒, ⎪。
3⎭⎝⎛⎝
2⎫3⎭
D. 180︒, ⎪。 18. .
上圖為下列哪個函數的圖像?
B. C. D.
y =2cos(x +45︒) y =cos(2x +45︒) y =2cos(x -45︒) y =cos(2x -45︒)
19. 下圖所示為周期函數 y =f (x ) 。
20. 下圖所示為周期函數 y =g (x ) 。
y =f (x ) 的周期是
A. 30︒。 B.
60︒。 C. 90︒。 D. 120︒。
y =g (x ) 的周期是
A. 30︒。 B.
60︒。 C. 90︒。 D. 120︒。
21. 假設已知 y =2cos θ+3sin θ+3 的圖像。 以下哪一項是不正確的?
A. 在該圖像中加上 y =3 的圖像，可解2cos θ
+3sin θ=0。
y =-3。
C. 在該圖像中加上 y =sin θ 的圖像，可解 cos θ+sin θ=-D. 在該圖像中加上 y =cos θ 的圖像，可解
32
cos θ+sin θ=-1。
反三角函數
預備知識
(正弦函數、余弦函數、正切函數的定義、圖象及性質 (已知三角函數值，求角 (誘導公式 重點 (反正弦函數
(已知三角函數值，在指定範圍內求角 難點
(反正弦函數的概念
(已知三角函數值，在指定範圍內求角 學習要求
(了解反三角函數的概念和圖象，掌握反三角函數的記號
(掌握已知三角函數值利用電算機求角的方法，並應用誘導公式將 角轉化為指定範圍內的角 (會解任意三角形
1. 反正弦函數 (1)反正弦函數的定義 先來探討正弦函數
y=sinx, x((-(, +() (1)
的反函數問題〃你已經在§6.1中學習了y=f(x) 存在反函數的條件，是x, y之間必頇一一對應，反映在圖象上，那就是任一平行於x 軸的直線與函數圖象的交點不能多於一個〃正弦函數在其定義域(-(, +()中顯然不滿足這些條件〃如 sin
π
6
=
12
，sin(2k π+
π
6
)=sin((2k -1) π-
π
6
)=
12
, k ∈Z ，
12
因此对应关系不是一一对应的；从图象上看就更明显了，如图6-19所示，直线y =曲线有无限多个交点．
但是若把x 限制在 sinx 的局部區間內，例 如在[-π
2
与正弦
,
π
2
]内，考虑
π
2
函数 y =sinx , x ∈[-
π
2
, ] (2)
图6-19
因為它在定義域上單調增加，反函數是存在的(圖6-19) 〃把值域是[-1, 1]的函數(2)(注意它不是正弦函數) 的反函數稱為反正弦函數〃
我们已经知道，“sin”本来就是一个函数记号，你一看见函数sin x ，尽管没有具体
的x 的数学式，但立即能知道函数值是表示什么；函数(2)的反函数的含义也十分明确：与[-1,1]中的任一y 对应的是[-π
2
,
π
2
]内唯一使sin x =y 成立的那个x ．但x 無法表示為一個y 的數學
式〃因此我們用一個特殊的函數記號 “arcsin ” 來標記〃即函數(2)的直接反函數是 x=arcsiny, y([-1, 1]，
而常規反函數則是
y=arcsinx, x([-1,1] (6-4-1)
按照通用函數記號表示，y=f(x)的常用反函數用y=f 1(x)表示，因此，在很多場合，我們又把函數(2)的反函數，即反正弦函數表示為
y=sin 1x, x([-1,1] (6-4-2) (注意不要把sin 1x 與正弦函數值sinx 的-1次冪混淆，後者表示為 (sinx) 1〃) 反正弦函数(6-4-1)的值域是[-π
2
,
π
2
]，只要把函数(2)的图象，关于直线y =x 作对称，就
是反正弦函数(6-4-1)的图象(见图6-20) ． -π
图6-20
图6-21
注意，根據弧長公式s= r(x (r為半徑，x 為弧所對中心角的弧度) ，在單位圓上(見圖6-21) ，x 既是角度，又反映對應弧AP 的長度，而sinx 是正弦線MP 〃AP 的長度>MP的長度，即 (sinx(
表現下圖象上，在x>0部分(即y 軸的右側) ，y=sinx的圖象總是在直線y=x之下；在x
既然 “arcsin ”僅是一個函數記號，y=arcsinx沒有表示為一個x 的具體數學式，那麼怎么求它的函數值呢？其实这个问题就是在第四章的 “已知三角函数函数值求角”问题，因此对[-1,1]中的任一x ，你可以用计算器求得在[-π
2
,
π2
]的y ．我們先複習一下〃
例1 求下列反三角函數的函數值(保留4個有效數字) ︰ (1)arcsin(-0.866)； (2)arcsin
32
； (3)arcsin
52
； (4)arcsin
35
．
解 用MODE 鍵，把角度調成RAD (弧度製) 狀態，然後用電算機求角〃 (1)按鍵順序 0.866 +/- 2ndF sin 1 顯示-1.047 146 746，所以 arcsin(-0.866)(-1.047
(2)按鍵順序 3 ( ( 2 = 2ndF sin-1 ，顯示1.047 197 551，所以 arcsin
32
=1.047 ▍
π
3
(事实上，因为sin (3)因为
52
=
3252
, 所以 arcsin
32
=
π
3
，这两种结果是一致的．)
>1，所以不在arcsin x 的定义域[-1,1]内，本题题目错误(你可以强行在
计算器上操作一下，看看得到什么结果？)
(4)按鍵順序 3 ( 5 = ( 2ndF sin 1 ，顯示0.886 077 123，所以 arcsin 課內練習1
1. 求下列反正弦函數的函數值(保留4個有效數字) ︰ (1)arcsin0.766； (2)arcsin22； (3)arcsin
3
22
35
≈0.8861 ▍
； (4)arcsin36．
8
(3)已知正弦函數值，求指定範圍內的角 你可以用计算器算一下，sin
5π6
=0.5．现在提一个相反的问题：求x 使 sin x =0.5．你至
少立即会用两种不同办法得到x ．能记住一批特殊角三角函数值的，可以不假思索地回答x =π
6
；记不住的，也会用计算器得到相同的结果．但是你的答案并不是我所希望的，我现
5π6
在要你得到的答案就是x =，而不是其它任何值．对这种解答要求，你的计算器就无用武
之地了，因为计算器总是求反正弦函数的函数值，因此所得到的x 总是在反正弦函数的值域[-π
2
,
π
2
]里面．
這種解答要求是不是有點過分？一點也不，實際問題中有時就會有這種要求〃例如在△ABC
中，已知AB=4, A C=3, sinα=
38
，且AB 是最大边，求β
(見圖6-22) 〃 應用正弦定理，得到
s i βn 4
=s i αn 3
=18
⇒ sin β = 0.5．
图6-22中可见β 显然是钝角，β∈(
π
2
, π) ，所以不应该是β=
π
6
，而是β=
5π6
！
把上面的問題一般化︰已知sinx=a(a是已知值且a([-1,1])，在指定區間內求x 〃如果指定区间恰好是反正弦函数的值域，也就是在[-ππ
2
,
2
]范围内，那就是求反正弦函数的函数值问
题，用计算器完全可以解决问题；如果指定区间不是反正弦函数的值域，那有没有办法求呢？ 回到最初提出的問題上來〃其實使sinx=0.5的x 是有規律的︰我們畫出y=sinx的圖象，作直線y=0.5〃由圖6-23可見直線與正弦曲線有無限個交點，使sinx=0.5的x 值，就是這些交點的橫座標〃你可以找到一个靠近圆点处交点的横坐标是x =由電算機直接求得的 aercsin0.5的值；有了這個 值，只要根據正弦曲線的
对称性，你不难在(0, π) 内写出另一个交点的x 值是π-π
6
π
6
，这是
=
5π6
．
在指定區間[(,(]內求x ，使sinx=a，也可以類似地分兩步︰ 第一步 求出arcsin a；
第二步 作出正弦曲線和直線y=a，觀察在區間[(,(]內的交點，寫出這些交點的橫座標，便是所求全部x 了〃
例2 求下列各題中指定區間範圍的x ︰ (1)sinx =
12
, 求x ∈[
π
2
,
3π2
]； (2)sinx =0.9511, 求x ∈[-2π,2π]； ]；(4) sinx =-0.788, 求x ∈[2π,4π]．
π
612
(3)sinx =-0.788, 求x ∈[π,
解 (1) 第一步 arcsin
3π2
12
=；
π
2
3π2
第二步 作出正弦曲线及y =应的x =π-π
6
的图象(见图6-23) ，在[, ]内只有一个交点，它对
=
5π6
．所以x =
5π6
▍
2π5
(2)第一步 arcsin(-0.9511)=-1.2566576≈-0.4π= -；
第二步 作出正弦曲線及y= -0.9511的圖象(見圖6-24) ，在[-2(,2(]內另外還有三個交點，依次寫出它們的橫座標為
-π-(-2π5
)= -
3π5
，π - (-
2π5
)=
7π5
，2π+( -
2π5
)=
8π5
．
所以所求的解集為 {-3π5
, -
2π5
,
7π5
,
8π5
} ▍
(3)第一步 arcsin(-0.788)= -0.9076；
第二步 作出正弦曲线及y =-0.788的图象(见图6-25) ，在[π, 应的横坐标x =π+0.9076．所以所求解为x =π+0.9076 ▍
(4)第一步及作圖同(3)；
第二步，從圖6-26中可見，在區間[2(,4(]內有兩個交點，這兩點的橫座標為3(+0.9076和4(-0.90763〃
所以所求解集為{3(+0.9076, 4(-0.9076} 課內練習2
1. 求下列各題中指定範圍內的x ︰ (1)sinx =
3212
3π2
]内只有一个交点，对
图6-25
, x ∈[
π
2
,
3π2
]； (2)sinx =0.5878, x ∈[2π,4π]；
5π2
(3)sinx = -, x ∈[-2π,2π]； (4)sinx = -0.9877, x ∈[
2. 反余弦函數
比照反正弦函數來討論反余弦函數〃
(1)反余弦函數定義 余弦函數 y=cosx, x((-(, +() 不存在反函數(見 圖6-27，想一想，
,
7π2
]．
為什麼？) 〃
考慮值域為[-1,1]的函數
y=cosx, x([0, (] (3)
它在定義域內單調減小，因此反函數存在〃函數(3)的反函數稱為反余弦函數，用記號 “arccos ”表示，
y=arccosx, x([- 1,1] (6-4-4) 或 y=cos 1x, x([-1,1] (6-4-5) 它的值域是[0, (]，它的圖象是函數 (3)的圖象關於直線y=x的對稱(見 圖6-28) 〃
(2)求反余弦函數的函數值 求反余弦函數的函數值，也是 第四章中已知三角函數值求角問題， 因此也可用電算機來求〃 1. 求下列反余弦函數的函數值︰ (1)arccos(-0.8090)；(2)arccos0.8480〃 (3)已知cosx 值，在指定範圍內求x
設cosx=a, a([-1,1]，若x([0, (]，則x=arccos a；若在某指定區間[(,(]內求x ，使cosx=a，與反正弦函數相仿，只要配輔助圖，便可以準確地找到答案〃 例4 求下列各題中指定區間範圍內的x ︰
(1)cosx=-0.5376，求x([0, 2(]； (2)cosx=-0.8090，求x([-2(, -(]〃
解 (1)在例3中已求得 arccos(-0.5376)=
25π36
．
作出余弦曲線y=cosx和直 線y=-0.5376(見圖6-29) ，可見在 [0, 2π]内有两个交点，其横坐标一个是{
25π36
25π36
，另一个是2π-
25π36
=
47π36
．所以所求解集为
,
47π36
} ▍
(2)先使用電算機求arccos(-0.8090) 〃按鍵順序為 0.8090 +/- 2ndF cos-1
显示144，表示arccos(-0.8090)=144︒，即arccos(-0.8090)=144⨯
π
180
=
4π5
．
作出余弦曲线y =cosx 和直线y =-0.8090(见图6-30) ，可见在[-2π, -π]内仅有一个交点，其横坐标是-2π+
4π5
= -
6π
5
图6-30
因此，所求解為
x = -
6π5
▍
課內練習4
1. 在指定區間內求x:
(1)cosx=0.7431，求x([2(, 4(]； (2)cosx=-0.8829，求x([-3(, -(]〃
3. 反正切函數
有了反正弦函數、反余弦函數的基礎，對反正切函數的處理，你不應該有什麼困難了〃 (1)反正切函數定義 正切函数 y =tan x , x ≠k π+
π
2
, (k
在其定義域上，不存在反函數(見圖 考慮值域為(-(,+()的函數 y =tan x , x ∈(-π
2
,
π
2
) (4)
它在定義域內單調增加，因此存在反 函數〃稱(4)的反函數為反正切函數， 記作
y=arctan x, x((-(,+() (6-4-7) 或 y=tan 1x, x((-(,+() (6-4-8) 反正切函数的值域是(-π
2
图6-31
,
π
2
) ；图象
是函數(4)的圖象關於直線y=x的對稱 (見圖6-32) 〃 注意，当x ∈(-π
2
,
π
2
) ，tan x 表示
單位圓上正切線AT ，而 (x( 長，從圖6-33可以看出正切線AT 長>圓弧段AP 長，所以 (x(
在圖象上，在y 軸的右側，y=tanx的圖象在直線y=x之上；在y 軸的左側，y=tanx的圖象在直線y=x之下；反函數
y=arctan x 的圖象與y=x的相對關係與此
相反〃在作圖時務必注意這一特點〃 (2)求反正切函數的函數值
求反正切函數的函數值，也是第四章 中已知三角函數值求角問題，因此也可用 電算機來求〃
例5 求下列各反正切函數的函數值︰
(1)arctan3； (2)arctan(-0.2679)． 解 (1)因为tan
π3
=3，所以 arctan 3=
π
3
▍
(2)電算機上用MODE 鍵，把角度製調到DEG ，然後按鍵 0.2679 +/- 2ndF tan 15， 即 arctan(-0.2679)= –15︒= -15⨯課內練習5
1. 求下列反正切函數的函數值︰ (1)arctan
(-33
π
180
–1
= -
π
12
▍
) ； (2)arctan(-1.6)．
(3)已知tanx 值，在指定區間範圍內求x 已知tan x =a ，若x ∈(-π
2
,
π
2
) ，
则x =arctan a ；若在某指定区间 [α, β]内求x ，使tan x =a ，
画如同反正弦、反余弦时那样的辅助图，便可获得结果. 例6 求下列各題指定區間內的x ︰
(1)tan x =3，求x ∈[-π, π]； (2)tan x =-0.2679，求x ∈[π,3π]． 解 (1)在例5中已求得arctan 3=
π
3
．
π
3
画出y =tanx和y =3的图象(见图6-34) -π+
π
3
和
= -
2π3
．
2π3
所以所求解集为{-,
π
3
} ▍
π12
．
(2)在例5中已求得arctan(-0.2679)= -
图6-34
π12
畫出y=tanx和y=-0.2679的圖象(見圖6-35) ， 在[π,3π]内有两个交点，它们的横坐标是2π+(-所以所求解为{課內練習6
1. 求下列各題中指定區間範圍內 的x ︰ (1)arctan(-33
)=
23π12
, 3π+(-
π12
)=
35π12
．
23π12
,
35π12
} ▍
) ，求x ∈[-2π,0]；
图6-35
(2)arctan(-1.6)，求x([-3(,-(]〃
4. 求三角形內角
在第四章你已學習了正弦定理、余弦定理，並能利用它們解決解斜三角形問題──已知斜三角形的一些邊、角，求其餘的邊、角〃但那時有意識地避開了下面這類問題︰已知兩邊及其中一邊的對角(即兩邊一對角) ，求解三角形。因为解这类问题的第一步，就需要用正弦定理，而已知正弦函数值，在(0,π) 范围内(三角形内角可以是钝角) 求角时，可以有两个解：一个在(0,
π
2
) ，即锐角，另一个在(
π
2
, π) ，即钝角．這一原因在第四章時已經明確地指
出過︰問題的解可能不只一個〃現下，在學習了已知三角函數值，求指定區間內角的方法後，就可以解這類斜三角形問題了〃
例7 在△ABC 中，已知AB=4, AC=3, (=45(，求BC 及其餘內角(見圖6-35)
解 這正是在第四章所迴避的兩邊一對角問題, 第一步應該用正弦定理(見圖6-35) 〃 設(BAC=(，(BCA=(〃由正弦定理 s i n β=s i n α
4
3
⇒ sin β=sin α=
3
443
⋅
22
=
223
，
B
得 β=arcsin
223
≈1.2310rad =70.53︒ (锐角) ≈1.9106rad
4
或 β=π-arcsin
223
=109.47((鈍角) 〃 若(=70.53( (見圖6-35(2))， 則 (=180( -45(- 70.53((64.47((64(28(〃 再應用余弦定理 得 BC(3.8283；
若(=109.47( (見圖6-35(1))，則 (=180( -45(- 109.47((25.53((25(32(〃 再應用余弦定理
BC2=AB2+AC 2-2AB(BC(cos( =16+9-24(cos((3.3436， 得 BC(1.8285〃 所以，本題有二解︰
C
β
3
图6-35(2)
A
BC2=AB2+AC2-2AB(BC(cos( =16+9-24(cos((14.656，
( (70(32(, ((64(28(, BC(3.8283，(見圖6-35(2)，是銳角三角形) ；
( (109.47(, ((25.53(, BC(1.8285，(見圖6-35(1)，是鈍角三角形) 〃 課內練習7
1. 在⊿ABC 中，已知AB =8, BC =3, β=
π
6
，
求AC 及其餘內角(見附圖，保留四個有
效數字) 〃
課外練習
A 組
1. 求下列反三角函數的函數值︰
(1)arcsin(-3) ； (2)arcsin0.9205； (3)arcsin(-1) ；
2
2
(4)arccos0.9511； (5)arctan0.7265； (6)arctan3.0777〃 2. 根據下列條件求角(︰(若有小數，保留四個有效數字) (1)sin(= -0.3256，0((((360(； (2)sin(=0.7880，(([0,2(]； (3)cos(=0.8829，0((((360(； (4)cos(=-0.7314，(([0,2(]；
ππ
(5)tanα=3.732，90︒
3
22
3. 在△ABC 中，已知(C=41(，b=36,c=28〃求(A, (B 及a(保留四個有效 數字) 〃
4. 在△ABC 中，已知(B=45(，b=30,c=25〃求(A, (C及a(保留四個有效 數字) 〃
5. 已知△ABC 中，a=17,b=21,c=27，求(A, (B, (C(保留四個有效數字) 〃
B 組
1. 根據下列條件求角((若有小數，保留四個有效數字) ︰ (1)sinα=-32
，α∈[
3π2
,2π]； (2)sinα=
12
，α∈[2π,4π]；
(3)sin(=-0.7314，-360((((0(； (4)cos(=0.9703，90((((360(；
5π3π
(5)tanα=-3，
2
2
2. 在△ABC 中，已知(C=50(，a=16,b=18〃求(A,(B及c(保留四個有效 數字) 〃
3. 在△ABC 中，已知(B=27(，a=25,b=30〃求(A,(C及c(保留四個有效
數字) 〃
C 組
1. 已知x 滿足下列條件，求x ︰
(1)3sinx-4=0； (2)2cos2x-1=0； (3)2sin2x-5sinx-3=0；
2. 已知⊿ABC 中，∠A =45︒，c =102，在a 分别为20, 10,
相應的(C〃
本章小結
2033
时，求
3. 反三角函數
(2)已知三角函數值sinx=a(或cosx=a,或tanx=a)，求指定範圍[(,(]內的角 指定範圍在反三角函數的值域內(即[(,(]是反三角函數值域的子集) ，可 用電算機直接求得；
指定範圍超出反三角函數的值域，則求出三角函數圖象與直線y=a交 點的橫座標在[(,(]上的集合，即可確定解集〃
(3)解斜三角形問題─已知兩邊一對角情況應用正弦定理求出另一對角(可能
有二解) ( 求出第三個內角 ( 應用正弦定理(或余弦定理) 求出第三邊〃
實習軟體題 1. 对a =
1
1086422222
, ,
1111357911
, , , , , , ,
2
，作出对数函数y =loga x 的图象，考
察圖象的改變規律〃
2. 作出y=arcsinx+arccosx的圖象，你能對令人驚奇的圖象作出解釋嗎？
三角函數： 正弦, 餘弦, 正切, 正割, 餘割, 餘切
正弦（英文：Sine
）是三角函數的一種。它的定義域是整個實數集，值域是[-1,1]。它是周期函數，其最小正周期為2π。在自變數為(4n+1)π/2〔n 為整數〕時，該函數有極大值1；在自變數為(4n+3)π/2時，該函數有極小值-1。正弦函數是奇函數，其圖像關於原點對稱。
正弦函數(藍色) 被對中心為原點的全圓的它的 5 次泰勒級數(粉紅色) 緊密逼近
兩個角的和及差的正弦
二倍角公式
三倍角公式
半形公式
和差化積公式
萬能公式
餘弦是三角函數的一種。它的定義域是整個實數集，值域是[-1,1]
。它是周期函數，其最小正周期為2π。在自變數為2
π（n 為整數）時，該函數有極大值1；在自變數為
(2n+1)π時，該函數有極小值-1。餘弦函數是偶函數，其圖像關於y 軸對稱。
兩個角的和及差的餘弦
二倍角公式
三倍角公式
半形公式
冪簡約公式
和差化積公式
萬能公式
例題1: (a) (b) (a)
描繪 y = cos (x + ) 在區間 0 ≤ x ≤ 2π 的圖像。 由此，解 cos (x + ) = 0， 其中 0 ≤ x ≤ 2π。
(b)
從上圖所得，
當x = π 或 5πcos (x +π) = 0
4
4,
4
例題2: (a)
在同一圖中描繪 y = 2 cos x + 1 及 y = 2 sin 的圖像，
其中 0︒ ≤ x ≤ 360︒
(b) 由此，用圖像法解方程
2 cos x – 2 sin + 1 = 0， 其中 0︒ ≤ x ≤ 360︒。 答案準確至最接近
(a)
(b) 從圖像可得，x = 81︒ 或 279︒ (準確至最接近)
習題:
1. 下圖所示為 y = sin 3x + 1 的圖像，其中 0° ≤ x ≤ 360°。
(a) 求 y 的極大值和極小值。 解: y=
(b) y = sin 3x + 1 是一個周期函數嗎? 若是的話，求它的周期。
2. 下圖所示為 y = sin x 的圖像。
試在圖中加上適當的直線，從而解下列各方程，其中 0° ≤ x ≤ 360°。 (a) sin x = –1 (b) sin x = –0.5
3. 利用圖解法解 tan 3x = –1，其中 0° ≤ x ≤ 360°。
4. 利用圖解法解 sin x = cos 2x ，其中 0° ≤ x ≤ 360°。
5考慮下圖中的
△ABC 。
求 θ。
由此，證明 △ABC 是一個等腰三角形。
6. 下圖所示為 y = cos 3x 的圖像。試在圖中加上適當的直線，從而解方程 cos 3x – 1 =
0，其中 0︒ ≤ x ≤ 360︒。
7. 下圖所示為 y = sin 3x – cos 2x 的圖像。試在圖中加上適當的直線，從而解方程
2 sin 3x = 1 + 2 cos 2x ，其中 0︒ ≤ x ≤ 360︒。
8. 下圖所示為 y = cos 3x 及 y = cos x 的圖像。解方程 cos 3x = cos x ，其中 0︒ ≤ x ≤ 360︒。
線的方程。
(a) 2 sin x + 3 cos x + 2 = 0 (b) 2 sin x = – 3 cos x (c) 4 sin x + 6 cos x = –1
9. 假設已知 y = 2 sin x + 3 cos x – 2的圖像。求在解下列各方程時，應在圖像中加上的直
10. 假設已知 y =3 sin x +cos x +4 的圖像。求在解下列各方程時，應在圖像中加上的直線的方程。
(a)
3 sin x +cos x =-2
(b) cos x =-3 sin x
(c)
3 sin x +3 cos x =-53
11. 對於函數 y = 3 cos 2x ，
(a) 繪畫它的圖像，其中 0︒ ≤ x ≤ 360︒；
(b) 求它的極大值和極小值；
(c) 判斷它是否周期函數； 若是的話，求它的周期。
12. 對於函數 y = cos 3x + 1，
(a) 繪畫它的圖像，其中 0︒ ≤ x ≤ 360︒；
(b) 求它的極大值和極小值；
(c) 判斷它是否周期函數； 若是的話，求它的周期
13. 利用圖解法解方程 sin (x +30︒) =
12
，其中 0︒ ≤ x ≤ 360︒。
14. 利用圖解法解方程 cos 2x =-
12
，其中 0︒ ≤ x ≤ 360︒。
15. (a) 利用圖解法解方程cos x + sin x = 1，其中 0︒ ≤ x ≤ 360︒
(b) 由此，解 cos (x + 30︒) + sin (x + 30︒) = 1，其中 0︒ ≤ x ≤ 360︒。
選擇題: 16.
上圖為下列哪個函數的圖像? A. B. C. D. 17. y =
23sin 3x
y =2sin x
y =sin x +1 y =2sin 2x y =sin 2x +1
(0︒≤3x ≤360︒) 的圖像的最高點是
2⎫3⎭
A. 90︒, ⎪。
⎝
⎛
B. C.
2⎫⎛
30︒, ⎪
3⎭⎝
。
2⎫⎛
0︒, ⎪。
3⎭⎝⎛⎝
2⎫3⎭
D. 180︒, ⎪。 18. .
上圖為下列哪個函數的圖像?
B. C. D.
y =2cos(x +45︒) y =cos(2x +45︒) y =2cos(x -45︒) y =cos(2x -45︒)
19. 下圖所示為周期函數 y =f (x ) 。
20. 下圖所示為周期函數 y =g (x ) 。
y =f (x ) 的周期是
A. 30︒。 B.
60︒。 C. 90︒。 D. 120︒。
y =g (x ) 的周期是
A. 30︒。 B.
60︒。 C. 90︒。 D. 120︒。
21. 假設已知 y =2cos θ+3sin θ+3 的圖像。 以下哪一項是不正確的?
A. 在該圖像中加上 y =3 的圖像，可解2cos θ
+3sin θ=0。
y =-3。
C. 在該圖像中加上 y =sin θ 的圖像，可解 cos θ+sin θ=-D. 在該圖像中加上 y =cos θ 的圖像，可解
32
cos θ+sin θ=-1。
反三角函數
預備知識
(正弦函數、余弦函數、正切函數的定義、圖象及性質 (已知三角函數值，求角 (誘導公式 重點 (反正弦函數
(已知三角函數值，在指定範圍內求角 難點
(反正弦函數的概念
(已知三角函數值，在指定範圍內求角 學習要求
(了解反三角函數的概念和圖象，掌握反三角函數的記號
(掌握已知三角函數值利用電算機求角的方法，並應用誘導公式將 角轉化為指定範圍內的角 (會解任意三角形
1. 反正弦函數 (1)反正弦函數的定義 先來探討正弦函數
y=sinx, x((-(, +() (1)
的反函數問題〃你已經在§6.1中學習了y=f(x) 存在反函數的條件，是x, y之間必頇一一對應，反映在圖象上，那就是任一平行於x 軸的直線與函數圖象的交點不能多於一個〃正弦函數在其定義域(-(, +()中顯然不滿足這些條件〃如 sin
π
6
=
12
，sin(2k π+
π
6
)=sin((2k -1) π-
π
6
)=
12
, k ∈Z ，
12
因此对应关系不是一一对应的；从图象上看就更明显了，如图6-19所示，直线y =曲线有无限多个交点．
但是若把x 限制在 sinx 的局部區間內，例 如在[-π
2
与正弦
,
π
2
]内，考虑
π
2
函数 y =sinx , x ∈[-
π
2
, ] (2)
图6-19
因為它在定義域上單調增加，反函數是存在的(圖6-19) 〃把值域是[-1, 1]的函數(2)(注意它不是正弦函數) 的反函數稱為反正弦函數〃
我们已经知道，“sin”本来就是一个函数记号，你一看见函数sin x ，尽管没有具体
的x 的数学式，但立即能知道函数值是表示什么；函数(2)的反函数的含义也十分明确：与[-1,1]中的任一y 对应的是[-π
2
,
π
2
]内唯一使sin x =y 成立的那个x ．但x 無法表示為一個y 的數學
式〃因此我們用一個特殊的函數記號 “arcsin ” 來標記〃即函數(2)的直接反函數是 x=arcsiny, y([-1, 1]，
而常規反函數則是
y=arcsinx, x([-1,1] (6-4-1)
按照通用函數記號表示，y=f(x)的常用反函數用y=f 1(x)表示，因此，在很多場合，我們又把函數(2)的反函數，即反正弦函數表示為
y=sin 1x, x([-1,1] (6-4-2) (注意不要把sin 1x 與正弦函數值sinx 的-1次冪混淆，後者表示為 (sinx) 1〃) 反正弦函数(6-4-1)的值域是[-π
2
,
π
2
]，只要把函数(2)的图象，关于直线y =x 作对称，就
是反正弦函数(6-4-1)的图象(见图6-20) ． -π
图6-20
图6-21
注意，根據弧長公式s= r(x (r為半徑，x 為弧所對中心角的弧度) ，在單位圓上(見圖6-21) ，x 既是角度，又反映對應弧AP 的長度，而sinx 是正弦線MP 〃AP 的長度>MP的長度，即 (sinx(
表現下圖象上，在x>0部分(即y 軸的右側) ，y=sinx的圖象總是在直線y=x之下；在x
既然 “arcsin ”僅是一個函數記號，y=arcsinx沒有表示為一個x 的具體數學式，那麼怎么求它的函數值呢？其实这个问题就是在第四章的 “已知三角函数函数值求角”问题，因此对[-1,1]中的任一x ，你可以用计算器求得在[-π
2
,
π2
]的y ．我們先複習一下〃
例1 求下列反三角函數的函數值(保留4個有效數字) ︰ (1)arcsin(-0.866)； (2)arcsin
32
； (3)arcsin
52
； (4)arcsin
35
．
解 用MODE 鍵，把角度調成RAD (弧度製) 狀態，然後用電算機求角〃 (1)按鍵順序 0.866 +/- 2ndF sin 1 顯示-1.047 146 746，所以 arcsin(-0.866)(-1.047
(2)按鍵順序 3 ( ( 2 = 2ndF sin-1 ，顯示1.047 197 551，所以 arcsin
32
=1.047 ▍
π
3
(事实上，因为sin (3)因为
52
=
3252
, 所以 arcsin
32
=
π
3
，这两种结果是一致的．)
>1，所以不在arcsin x 的定义域[-1,1]内，本题题目错误(你可以强行在
计算器上操作一下，看看得到什么结果？)
(4)按鍵順序 3 ( 5 = ( 2ndF sin 1 ，顯示0.886 077 123，所以 arcsin 課內練習1
1. 求下列反正弦函數的函數值(保留4個有效數字) ︰ (1)arcsin0.766； (2)arcsin22； (3)arcsin
3
22
35
≈0.8861 ▍
； (4)arcsin36．
8
(3)已知正弦函數值，求指定範圍內的角 你可以用计算器算一下，sin
5π6
=0.5．现在提一个相反的问题：求x 使 sin x =0.5．你至
少立即会用两种不同办法得到x ．能记住一批特殊角三角函数值的，可以不假思索地回答x =π
6
；记不住的，也会用计算器得到相同的结果．但是你的答案并不是我所希望的，我现
5π6
在要你得到的答案就是x =，而不是其它任何值．对这种解答要求，你的计算器就无用武
之地了，因为计算器总是求反正弦函数的函数值，因此所得到的x 总是在反正弦函数的值域[-π
2
,
π
2
]里面．
這種解答要求是不是有點過分？一點也不，實際問題中有時就會有這種要求〃例如在△ABC
中，已知AB=4, A C=3, sinα=
38
，且AB 是最大边，求β
(見圖6-22) 〃 應用正弦定理，得到
s i βn 4
=s i αn 3
=18
⇒ sin β = 0.5．
图6-22中可见β 显然是钝角，β∈(
π
2
, π) ，所以不应该是β=
π
6
，而是β=
5π6
！
把上面的問題一般化︰已知sinx=a(a是已知值且a([-1,1])，在指定區間內求x 〃如果指定区间恰好是反正弦函数的值域，也就是在[-ππ
2
,
2
]范围内，那就是求反正弦函数的函数值问
题，用计算器完全可以解决问题；如果指定区间不是反正弦函数的值域，那有没有办法求呢？ 回到最初提出的問題上來〃其實使sinx=0.5的x 是有規律的︰我們畫出y=sinx的圖象，作直線y=0.5〃由圖6-23可見直線與正弦曲線有無限個交點，使sinx=0.5的x 值，就是這些交點的橫座標〃你可以找到一个靠近圆点处交点的横坐标是x =由電算機直接求得的 aercsin0.5的值；有了這個 值，只要根據正弦曲線的
对称性，你不难在(0, π) 内写出另一个交点的x 值是π-π
6
π
6
，这是
=
5π6
．
在指定區間[(,(]內求x ，使sinx=a，也可以類似地分兩步︰ 第一步 求出arcsin a；
第二步 作出正弦曲線和直線y=a，觀察在區間[(,(]內的交點，寫出這些交點的橫座標，便是所求全部x 了〃
例2 求下列各題中指定區間範圍的x ︰ (1)sinx =
12
, 求x ∈[
π
2
,
3π2
]； (2)sinx =0.9511, 求x ∈[-2π,2π]； ]；(4) sinx =-0.788, 求x ∈[2π,4π]．
π
612
(3)sinx =-0.788, 求x ∈[π,
解 (1) 第一步 arcsin
3π2
12
=；
π
2
3π2
第二步 作出正弦曲线及y =应的x =π-π
6
的图象(见图6-23) ，在[, ]内只有一个交点，它对
=
5π6
．所以x =
5π6
▍
2π5
(2)第一步 arcsin(-0.9511)=-1.2566576≈-0.4π= -；
第二步 作出正弦曲線及y= -0.9511的圖象(見圖6-24) ，在[-2(,2(]內另外還有三個交點，依次寫出它們的橫座標為
-π-(-2π5
)= -
3π5
，π - (-
2π5
)=
7π5
，2π+( -
2π5
)=
8π5
．
所以所求的解集為 {-3π5
, -
2π5
,
7π5
,
8π5
} ▍
(3)第一步 arcsin(-0.788)= -0.9076；
第二步 作出正弦曲线及y =-0.788的图象(见图6-25) ，在[π, 应的横坐标x =π+0.9076．所以所求解为x =π+0.9076 ▍
(4)第一步及作圖同(3)；
第二步，從圖6-26中可見，在區間[2(,4(]內有兩個交點，這兩點的橫座標為3(+0.9076和4(-0.90763〃
所以所求解集為{3(+0.9076, 4(-0.9076} 課內練習2
1. 求下列各題中指定範圍內的x ︰ (1)sinx =
3212
3π2
]内只有一个交点，对
图6-25
, x ∈[
π
2
,
3π2
]； (2)sinx =0.5878, x ∈[2π,4π]；
5π2
(3)sinx = -, x ∈[-2π,2π]； (4)sinx = -0.9877, x ∈[
2. 反余弦函數
比照反正弦函數來討論反余弦函數〃
(1)反余弦函數定義 余弦函數 y=cosx, x((-(, +() 不存在反函數(見 圖6-27，想一想，
,
7π2
]．
為什麼？) 〃
考慮值域為[-1,1]的函數
y=cosx, x([0, (] (3)
它在定義域內單調減小，因此反函數存在〃函數(3)的反函數稱為反余弦函數，用記號 “arccos ”表示，
y=arccosx, x([- 1,1] (6-4-4) 或 y=cos 1x, x([-1,1] (6-4-5) 它的值域是[0, (]，它的圖象是函數 (3)的圖象關於直線y=x的對稱(見 圖6-28) 〃
(2)求反余弦函數的函數值 求反余弦函數的函數值，也是 第四章中已知三角函數值求角問題， 因此也可用電算機來求〃 1. 求下列反余弦函數的函數值︰ (1)arccos(-0.8090)；(2)arccos0.8480〃 (3)已知cosx 值，在指定範圍內求x
設cosx=a, a([-1,1]，若x([0, (]，則x=arccos a；若在某指定區間[(,(]內求x ，使cosx=a，與反正弦函數相仿，只要配輔助圖，便可以準確地找到答案〃 例4 求下列各題中指定區間範圍內的x ︰
(1)cosx=-0.5376，求x([0, 2(]； (2)cosx=-0.8090，求x([-2(, -(]〃
解 (1)在例3中已求得 arccos(-0.5376)=
25π36
．
作出余弦曲線y=cosx和直 線y=-0.5376(見圖6-29) ，可見在 [0, 2π]内有两个交点，其横坐标一个是{
25π36
25π36
，另一个是2π-
25π36
=
47π36
．所以所求解集为
,
47π36
} ▍
(2)先使用電算機求arccos(-0.8090) 〃按鍵順序為 0.8090 +/- 2ndF cos-1
显示144，表示arccos(-0.8090)=144︒，即arccos(-0.8090)=144⨯
π
180
=
4π5
．
作出余弦曲线y =cosx 和直线y =-0.8090(见图6-30) ，可见在[-2π, -π]内仅有一个交点，其横坐标是-2π+
4π5
= -
6π
5
图6-30
因此，所求解為
x = -
6π5
▍
課內練習4
1. 在指定區間內求x:
(1)cosx=0.7431，求x([2(, 4(]； (2)cosx=-0.8829，求x([-3(, -(]〃
3. 反正切函數
有了反正弦函數、反余弦函數的基礎，對反正切函數的處理，你不應該有什麼困難了〃 (1)反正切函數定義 正切函数 y =tan x , x ≠k π+
π
2
, (k
在其定義域上，不存在反函數(見圖 考慮值域為(-(,+()的函數 y =tan x , x ∈(-π
2
,
π
2
) (4)
它在定義域內單調增加，因此存在反 函數〃稱(4)的反函數為反正切函數， 記作
y=arctan x, x((-(,+() (6-4-7) 或 y=tan 1x, x((-(,+() (6-4-8) 反正切函数的值域是(-π
2
图6-31
,
π
2
) ；图象
是函數(4)的圖象關於直線y=x的對稱 (見圖6-32) 〃 注意，当x ∈(-π
2
,
π
2
) ，tan x 表示
單位圓上正切線AT ，而 (x( 長，從圖6-33可以看出正切線AT 長>圓弧段AP 長，所以 (x(
在圖象上，在y 軸的右側，y=tanx的圖象在直線y=x之上；在y 軸的左側，y=tanx的圖象在直線y=x之下；反函數
y=arctan x 的圖象與y=x的相對關係與此
相反〃在作圖時務必注意這一特點〃 (2)求反正切函數的函數值
求反正切函數的函數值，也是第四章 中已知三角函數值求角問題，因此也可用 電算機來求〃
例5 求下列各反正切函數的函數值︰
(1)arctan3； (2)arctan(-0.2679)． 解 (1)因为tan
π3
=3，所以 arctan 3=
π
3
▍
(2)電算機上用MODE 鍵，把角度製調到DEG ，然後按鍵 0.2679 +/- 2ndF tan 15， 即 arctan(-0.2679)= –15︒= -15⨯課內練習5
1. 求下列反正切函數的函數值︰ (1)arctan
(-33
π
180
–1
= -
π
12
▍
) ； (2)arctan(-1.6)．
(3)已知tanx 值，在指定區間範圍內求x 已知tan x =a ，若x ∈(-π
2
,
π
2
) ，
则x =arctan a ；若在某指定区间 [α, β]内求x ，使tan x =a ，
画如同反正弦、反余弦时那样的辅助图，便可获得结果. 例6 求下列各題指定區間內的x ︰
(1)tan x =3，求x ∈[-π, π]； (2)tan x =-0.2679，求x ∈[π,3π]． 解 (1)在例5中已求得arctan 3=
π
3
．
π
3
画出y =tanx和y =3的图象(见图6-34) -π+
π
3
和
= -
2π3
．
2π3
所以所求解集为{-,
π
3
} ▍
π12
．
(2)在例5中已求得arctan(-0.2679)= -
图6-34
π12
畫出y=tanx和y=-0.2679的圖象(見圖6-35) ， 在[π,3π]内有两个交点，它们的横坐标是2π+(-所以所求解为{課內練習6
1. 求下列各題中指定區間範圍內 的x ︰ (1)arctan(-33
)=
23π12
, 3π+(-
π12
)=
35π12
．
23π12
,
35π12
} ▍
) ，求x ∈[-2π,0]；
图6-35
(2)arctan(-1.6)，求x([-3(,-(]〃
4. 求三角形內角
在第四章你已學習了正弦定理、余弦定理，並能利用它們解決解斜三角形問題──已知斜三角形的一些邊、角，求其餘的邊、角〃但那時有意識地避開了下面這類問題︰已知兩邊及其中一邊的對角(即兩邊一對角) ，求解三角形。因为解这类问题的第一步，就需要用正弦定理，而已知正弦函数值，在(0,π) 范围内(三角形内角可以是钝角) 求角时，可以有两个解：一个在(0,
π
2
) ，即锐角，另一个在(
π
2
, π) ，即钝角．這一原因在第四章時已經明確地指
出過︰問題的解可能不只一個〃現下，在學習了已知三角函數值，求指定區間內角的方法後，就可以解這類斜三角形問題了〃
例7 在△ABC 中，已知AB=4, AC=3, (=45(，求BC 及其餘內角(見圖6-35)
解 這正是在第四章所迴避的兩邊一對角問題, 第一步應該用正弦定理(見圖6-35) 〃 設(BAC=(，(BCA=(〃由正弦定理 s i n β=s i n α
4
3
⇒ sin β=sin α=
3
443
⋅
22
=
223
，
B
得 β=arcsin
223
≈1.2310rad =70.53︒ (锐角) ≈1.9106rad
4
或 β=π-arcsin
223
=109.47((鈍角) 〃 若(=70.53( (見圖6-35(2))， 則 (=180( -45(- 70.53((64.47((64(28(〃 再應用余弦定理 得 BC(3.8283；
若(=109.47( (見圖6-35(1))，則 (=180( -45(- 109.47((25.53((25(32(〃 再應用余弦定理
BC2=AB2+AC 2-2AB(BC(cos( =16+9-24(cos((3.3436， 得 BC(1.8285〃 所以，本題有二解︰
C
β
3
图6-35(2)
A
BC2=AB2+AC2-2AB(BC(cos( =16+9-24(cos((14.656，
( (70(32(, ((64(28(, BC(3.8283，(見圖6-35(2)，是銳角三角形) ；
( (109.47(, ((25.53(, BC(1.8285，(見圖6-35(1)，是鈍角三角形) 〃 課內練習7
1. 在⊿ABC 中，已知AB =8, BC =3, β=
π
6
，
求AC 及其餘內角(見附圖，保留四個有
效數字) 〃
課外練習
A 組
1. 求下列反三角函數的函數值︰
(1)arcsin(-3) ； (2)arcsin0.9205； (3)arcsin(-1) ；
2
2
(4)arccos0.9511； (5)arctan0.7265； (6)arctan3.0777〃 2. 根據下列條件求角(︰(若有小數，保留四個有效數字) (1)sin(= -0.3256，0((((360(； (2)sin(=0.7880，(([0,2(]； (3)cos(=0.8829，0((((360(； (4)cos(=-0.7314，(([0,2(]；
ππ
(5)tanα=3.732，90︒
3
22
3. 在△ABC 中，已知(C=41(，b=36,c=28〃求(A, (B 及a(保留四個有效 數字) 〃
4. 在△ABC 中，已知(B=45(，b=30,c=25〃求(A, (C及a(保留四個有效 數字) 〃
5. 已知△ABC 中，a=17,b=21,c=27，求(A, (B, (C(保留四個有效數字) 〃
B 組
1. 根據下列條件求角((若有小數，保留四個有效數字) ︰ (1)sinα=-32
，α∈[
3π2
,2π]； (2)sinα=
12
，α∈[2π,4π]；
(3)sin(=-0.7314，-360((((0(； (4)cos(=0.9703，90((((360(；
5π3π
(5)tanα=-3，
2
2
2. 在△ABC 中，已知(C=50(，a=16,b=18〃求(A,(B及c(保留四個有效 數字) 〃
3. 在△ABC 中，已知(B=27(，a=25,b=30〃求(A,(C及c(保留四個有效
數字) 〃
C 組
1. 已知x 滿足下列條件，求x ︰
(1)3sinx-4=0； (2)2cos2x-1=0； (3)2sin2x-5sinx-3=0；
2. 已知⊿ABC 中，∠A =45︒，c =102，在a 分别为20, 10,
相應的(C〃
本章小結
2033
时，求
3. 反三角函數
(2)已知三角函數值sinx=a(或cosx=a,或tanx=a)，求指定範圍[(,(]內的角 指定範圍在反三角函數的值域內(即[(,(]是反三角函數值域的子集) ，可 用電算機直接求得；
指定範圍超出反三角函數的值域，則求出三角函數圖象與直線y=a交 點的橫座標在[(,(]上的集合，即可確定解集〃
(3)解斜三角形問題─已知兩邊一對角情況應用正弦定理求出另一對角(可能
有二解) ( 求出第三個內角 ( 應用正弦定理(或余弦定理) 求出第三邊〃
實習軟體題 1. 对a =
1
1086422222
, ,
1111357911
, , , , , , ,
2
，作出对数函数y =loga x 的图象，考
察圖象的改變規律〃
2. 作出y=arcsinx+arccosx的圖象，你能對令人驚奇的圖象作出解釋嗎？