利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题
例1：求弦中点的轨迹方程
x 2y 2
+=1所截得的线段的中点，已知点M (4, 2) 是直线l 被椭圆求直线l 的方程。 369
22
解：设直线l 与椭圆交点为A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，则有x 12+4y 12=36， x 2+4y 2=36，
两式相减，得：(x 1+x 2)(x 1-x 2)+4(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0， 因为M (4, 2) 为AB 中点，所以有： x 1+x 2=8, 所以k AB =
y 1+y 2=4，
y 1-y 2-(x 1+x 2) 1
==-，
x 1-x 24(y 1+y 2) 2
1
故所求直线l 的方程为y -2=-(x -4) ，即x +2y -8=0 。
2
x 2y 2
=1内一点M (2, 1) 引一条弦，使弦被M 点平分，求这变式训练1、过椭圆+
164
条弦所在直线的方程。 （x +2y -4=0。）
y 2
=1，经过点M (1, 1) 能否作一条直线l ，使例2、存在性问题 已知双曲线x -2
2
l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是
否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
解：设存在被点M 平分的弦AB ，且A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2)
则x 1+x 2=2，y 1+y 2=2
y y 2
x 1-1=1，x 2-2=1
22
2
2
2
两式相减，得
1y -y 2
(x 1+x 2)(x 1-x 2) -(y 1+y 2)(y 1-y 2) =0 ∴k AB =1=2
2x 1-x 2
故直线AB :y -1=2(x -1)
⎧y -1=2(x -1) ⎪
由⎨2y 2 消去y ，得2x 2-4x +3=0
x -=1⎪2⎩
∴ ∆=(-4) 2-4⨯2⨯3=-8
这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。
1
变式训练2： 已知双曲线x 2-y 2=1，过B (1,1)能否作直线l ，使l 与双曲线
2交于P ，Q 两点，且B 是线段PQ 的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由. （直线不存在）
例3平行弦中点轨迹，过定点弦中点轨迹
x 2
已知椭圆+y 2=1，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.
2
解：
设弦的两个端点分别为P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2)，PQ 的中点为M (x , y ).
x 12x 222
+y 1=1，+y 22=1，则（1）（2） 22x 12-x 22
+(y 12-y 22)=0， (1)-(2)得：
2
∴
x 1+x 2y 1-y 2
+(y 1+y 2)=0. 2x 1-x 2
y 1-y 2
=2，∴x +4y =0. x 1-x 2
又x 1+x 2=2x , y 1+y 2=2y ,
弦中点轨迹在已知椭圆内，∴所求弦中点的轨迹方程为x +4y =0（在已知椭圆内）.
y 2x 2
+=17525变式训练3-1已知椭圆, 求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
x +y =0(-
55
3-2直线l :ax -y -(a +5)=0（a 是参数）与抛物线f :y =(x +1)的相交弦是AB ，则弦AB 的中点轨迹方程是 .(y =2x 2-7.)
x 2y 2
+=1
3-3过椭圆6436上一点P （-8，0）作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点
2
的轨迹方程。
(x +4) 2y 2
+=1
（ 169 （x ≠-8） ）
例4求曲线方程
x 2y 2
已知椭圆2+2=1(a >b >0)的一条准线方程是
a b
x =1，有一条倾斜角为
π⎛11⎫
的直线交椭圆于A 、B 两点，若AB 的中点为C -, ⎪，4⎝24⎭
求椭圆方程.
解：
x 12y 121
设A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)，则x 1+x 2=-1, y 1+y 2=，且2+2=1，
2a b
x 22y 22
（1）2+2=1，（2）
a b
b 2(x 1+x 2)y 1-y 2x 12-x 22y 12-y 22b 2-1
=-2=-2⋅， (1)-(2)得：2=-2，∴
x 1-x 2a y 1+y 2a 1a b
2
∴1=k AB
y 1-y 22b 2
（3） ==2，∴a 2=2b 2，
x 1-x 2a
a 2
=1，∴a 2=c ，又（4） c
而a 2=b 2+c 2，（5） 由（3），（4），（5）可得a 2=
121
, b =， 24
x 2y 2
=1. ∴所求椭圆方程为+
1124
变式训练4 . 已知∆ABC 的三个顶点都在抛物线y 2=32x 上，其中A (2,8)，且
∆ABC 的重心G 是抛物线的焦点，求直线BC 的方程.
（4x +y -40=0. ） 例5求直线斜率
已知椭圆
x 2y 2
+=1259
上不同的三点
A (1, x
)1y , ⎛
⎝9⎫
B (⎪4, 5⎭
, 2C 与焦x 点, F y (4, 0))的距离成等差数列. （1）求证：2
（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率x 1+x 2=8；
k .
（1）证 （2）解：
略.
x 1+x 2=8，∴设线段AC 的中点为D (4, y 0).
x 12y 12x 22y 22
+=1，+=1，又A 、C 在椭圆上，∴（1）（2） 259259x 12-x 22y 12-y 22=-， (1)-(2)得：
259
∴
9(x 1+x 2)y 1-y 29836
. =-=-⋅=-
x 1-x 225y 1+y 2252y 025y 0
25y 025y 0
，∴直线DT 的方程为y -y 0=(x -4). 3636
∴直线DT 的斜率k DT =
9
-0
645⎛64⎫5令y =0，得x =，即T ,0⎪，∴直线BT 的斜率k ==
64425⎝25⎭4-25
例6、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题
x 2y 2
=1，试确定的m 取值范围，使得对于直线y =4x +m ，椭圆上已知椭圆+
43
总有不同的两点关于该直线对称。
解：设P 1(x 1, y 1) ，P 2(x 2, y 2) 为椭圆上关于直线y =4x +m 的对称两点，P (x , y ) 为
弦P 1P 2的中点，则3x 1+4y 1=12，3x 2+4y 2=12 两式相减得，3(x 1-x 2) +4(y 1-y 2) =0
2
2
2
2
2
2
2
2
即3(x 1+x 2)(x 1-x 2) +4(y 1+y 2)(y 1-y 2) =0
x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ，
y 1-y 21
=-
x 1-x 24
∴y =3x 这就是弦P 1P 2中点P 轨迹方程。 它与直线y =4x +m 的交点必须在椭圆内
⎧y =3x ⎧x =-m 3
联立⎨，得⎨ 则必须满足y 2
4⎩y =4x +m ⎩y =-3m
322即(3m ) 2
41313
变式训练6 若抛物线C :y 2=x 上存在不同的两点关于直线l :y =m (x -3)对称，求实数m 的取值范围
. 综合性问题
例7、已知中心在原点，一焦点为F (0, ) 的椭圆被直线l :y =3x -2截得的弦
的中点的横坐标为
1
，求椭圆的方程。 2
(y 2x 2
解：设椭圆的方程为2+2=1，则a 2-b 2=50┅┅①
a b
设弦端点P (x 1, y 1) 、Q (x 2, y 2) ，弦PQ 的中点M (x 0, y 0) ，则
x 0=
11
，y 0=3x 0-2=- ∴x 1+x 2=2x 0=1，y 1+y 2=2y 0=-1 22
2
2
2
2
y x y x
又12+12=1，22+22=1 a b a b
两式相减得b 2(y 1+y 2)(y 1-y 2) +a 2(x 1+x 2)(x 1-x 2) =0 即-b 2(y 1-y 2) +a 2(x 1-x 2) =0
a 2y 1-y 2a 2
∴ 2=3┅┅② =∴
b x 1-x 2b 2
联立①②解得a 2=75，b 2=25
y 2x 2
=1 ∴所求椭圆的方程是+
7525
例8
x 2y 2
已知AB 是椭圆2+2=1(a >b >0)不垂直于x 轴的任意一条弦，
a b
P 是AB 的中点，O 为椭圆的中心. 求证：直线AB 和直线OP 的斜率之积是定值.
证明： 设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)且x 1≠x 2，
x 12y 12x 22y 22
则2+2=1，（1）2+2=1，（2） a b a b x 12-x 22y 12-y 22
(1)-(2)得：2=-2，
a b
b 2(x 1+x 2)b 2(x 1+x 2)y 1-y 2y 1-y 2
，∴k AB =. ∴=-2=-2
x 1-x 2x 1-x 2a y 1+y 2a y 1+y 2又k OP
x 2y 2⎛3⎫
+=1a >b >01, ⎪，F 1, F 2是椭圆C 的两个焦点，()例9. 已知椭圆C:a 2b 2经过M ⎝2⎭
y 1+y 2b 2b 21，∴k AB =-2⋅，∴k AB ⋅k OP =-2（定值） =
a x 1+x 2a k OP
且
MF 1+MF 2=4,O 为椭圆C 的中心。 （1）求椭圆 C的方程
（2）设P,Q 是椭圆C 上不同的两点，且O 为MPQ 的重心，试求MPQ 的面积 此题请学生讲解，这种方法不仅可以吸引学生听讲，也可增强学生数学表达能力。 解：（1）由椭圆的定义知2a =4, ∴a =2 ，
3x 2y 2
椭圆C 的方程为+2=1，带入点M (1, ) ，求得b 2=3
24b
x 2y 2
=1 故椭圆C :+
43
（2）当P , Q 在椭圆上时，不妨P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2) ，则有
⎧⎪x 2⎪1+y 2
1=1⎨43(x 1+x 2)(x 1-x 2) =-(y 1+y 2)(y 1-y 2) ⎪x 222
，两式相减得⎪⎩4
+y 23=1
43 则
y 1-y 2=-3⨯x 1+x 2=-3⨯2x N 1
1x y =- 即k PQ =-，
1-x 24y 1+y 242N 2
2∴直线PQ 的方程为y +
34=-12(x +12) 即y =-1
2
x -1， ⎧
联立⎪y =-1⎨2x -122消去y 得x +x -2=0, ∴x =-2或x =1⎪x 2
⎩4
+y 3=1
不妨P (-2, 0), Q (1, -3139
2) ，由椭圆对称性知S ∆MPQ =2⨯2⨯3⨯2=2
.
利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题
例1：求弦中点的轨迹方程
x 2y 2
+=1所截得的线段的中点，已知点M (4, 2) 是直线l 被椭圆求直线l 的方程。 369
22
解：设直线l 与椭圆交点为A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，则有x 12+4y 12=36， x 2+4y 2=36，
两式相减，得：(x 1+x 2)(x 1-x 2)+4(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0， 因为M (4, 2) 为AB 中点，所以有： x 1+x 2=8, 所以k AB =
y 1+y 2=4，
y 1-y 2-(x 1+x 2) 1
==-，
x 1-x 24(y 1+y 2) 2
1
故所求直线l 的方程为y -2=-(x -4) ，即x +2y -8=0 。
2
x 2y 2
=1内一点M (2, 1) 引一条弦，使弦被M 点平分，求这变式训练1、过椭圆+
164
条弦所在直线的方程。 （x +2y -4=0。）
y 2
=1，经过点M (1, 1) 能否作一条直线l ，使例2、存在性问题 已知双曲线x -2
2
l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是
否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
解：设存在被点M 平分的弦AB ，且A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2)
则x 1+x 2=2，y 1+y 2=2
y y 2
x 1-1=1，x 2-2=1
22
2
2
2
两式相减，得
1y -y 2
(x 1+x 2)(x 1-x 2) -(y 1+y 2)(y 1-y 2) =0 ∴k AB =1=2
2x 1-x 2
故直线AB :y -1=2(x -1)
⎧y -1=2(x -1) ⎪
由⎨2y 2 消去y ，得2x 2-4x +3=0
x -=1⎪2⎩
∴ ∆=(-4) 2-4⨯2⨯3=-8
这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。
1
变式训练2： 已知双曲线x 2-y 2=1，过B (1,1)能否作直线l ，使l 与双曲线
2交于P ，Q 两点，且B 是线段PQ 的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由. （直线不存在）
例3平行弦中点轨迹，过定点弦中点轨迹
x 2
已知椭圆+y 2=1，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.
2
解：
设弦的两个端点分别为P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2)，PQ 的中点为M (x , y ).
x 12x 222
+y 1=1，+y 22=1，则（1）（2） 22x 12-x 22
+(y 12-y 22)=0， (1)-(2)得：
2
∴
x 1+x 2y 1-y 2
+(y 1+y 2)=0. 2x 1-x 2
y 1-y 2
=2，∴x +4y =0. x 1-x 2
又x 1+x 2=2x , y 1+y 2=2y ,
弦中点轨迹在已知椭圆内，∴所求弦中点的轨迹方程为x +4y =0（在已知椭圆内）.
y 2x 2
+=17525变式训练3-1已知椭圆, 求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
x +y =0(-
55
3-2直线l :ax -y -(a +5)=0（a 是参数）与抛物线f :y =(x +1)的相交弦是AB ，则弦AB 的中点轨迹方程是 .(y =2x 2-7.)
x 2y 2
+=1
3-3过椭圆6436上一点P （-8，0）作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点
2
的轨迹方程。
(x +4) 2y 2
+=1
（ 169 （x ≠-8） ）
例4求曲线方程
x 2y 2
已知椭圆2+2=1(a >b >0)的一条准线方程是
a b
x =1，有一条倾斜角为
π⎛11⎫
的直线交椭圆于A 、B 两点，若AB 的中点为C -, ⎪，4⎝24⎭
求椭圆方程.
解：
x 12y 121
设A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)，则x 1+x 2=-1, y 1+y 2=，且2+2=1，
2a b
x 22y 22
（1）2+2=1，（2）
a b
b 2(x 1+x 2)y 1-y 2x 12-x 22y 12-y 22b 2-1
=-2=-2⋅， (1)-(2)得：2=-2，∴
x 1-x 2a y 1+y 2a 1a b
2
∴1=k AB
y 1-y 22b 2
（3） ==2，∴a 2=2b 2，
x 1-x 2a
a 2
=1，∴a 2=c ，又（4） c
而a 2=b 2+c 2，（5） 由（3），（4），（5）可得a 2=
121
, b =， 24
x 2y 2
=1. ∴所求椭圆方程为+
1124
变式训练4 . 已知∆ABC 的三个顶点都在抛物线y 2=32x 上，其中A (2,8)，且
∆ABC 的重心G 是抛物线的焦点，求直线BC 的方程.
（4x +y -40=0. ） 例5求直线斜率
已知椭圆
x 2y 2
+=1259
上不同的三点
A (1, x
)1y , ⎛
⎝9⎫
B (⎪4, 5⎭
, 2C 与焦x 点, F y (4, 0))的距离成等差数列. （1）求证：2
（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率x 1+x 2=8；
k .
（1）证 （2）解：
略.
x 1+x 2=8，∴设线段AC 的中点为D (4, y 0).
x 12y 12x 22y 22
+=1，+=1，又A 、C 在椭圆上，∴（1）（2） 259259x 12-x 22y 12-y 22=-， (1)-(2)得：
259
∴
9(x 1+x 2)y 1-y 29836
. =-=-⋅=-
x 1-x 225y 1+y 2252y 025y 0
25y 025y 0
，∴直线DT 的方程为y -y 0=(x -4). 3636
∴直线DT 的斜率k DT =
9
-0
645⎛64⎫5令y =0，得x =，即T ,0⎪，∴直线BT 的斜率k ==
64425⎝25⎭4-25
例6、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题
x 2y 2
=1，试确定的m 取值范围，使得对于直线y =4x +m ，椭圆上已知椭圆+
43
总有不同的两点关于该直线对称。
解：设P 1(x 1, y 1) ，P 2(x 2, y 2) 为椭圆上关于直线y =4x +m 的对称两点，P (x , y ) 为
弦P 1P 2的中点，则3x 1+4y 1=12，3x 2+4y 2=12 两式相减得，3(x 1-x 2) +4(y 1-y 2) =0
2
2
2
2
2
2
2
2
即3(x 1+x 2)(x 1-x 2) +4(y 1+y 2)(y 1-y 2) =0
x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ，
y 1-y 21
=-
x 1-x 24
∴y =3x 这就是弦P 1P 2中点P 轨迹方程。 它与直线y =4x +m 的交点必须在椭圆内
⎧y =3x ⎧x =-m 3
联立⎨，得⎨ 则必须满足y 2
4⎩y =4x +m ⎩y =-3m
322即(3m ) 2
41313
变式训练6 若抛物线C :y 2=x 上存在不同的两点关于直线l :y =m (x -3)对称，求实数m 的取值范围
. 综合性问题
例7、已知中心在原点，一焦点为F (0, ) 的椭圆被直线l :y =3x -2截得的弦
的中点的横坐标为
1
，求椭圆的方程。 2
(y 2x 2
解：设椭圆的方程为2+2=1，则a 2-b 2=50┅┅①
a b
设弦端点P (x 1, y 1) 、Q (x 2, y 2) ，弦PQ 的中点M (x 0, y 0) ，则
x 0=
11
，y 0=3x 0-2=- ∴x 1+x 2=2x 0=1，y 1+y 2=2y 0=-1 22
2
2
2
2
y x y x
又12+12=1，22+22=1 a b a b
两式相减得b 2(y 1+y 2)(y 1-y 2) +a 2(x 1+x 2)(x 1-x 2) =0 即-b 2(y 1-y 2) +a 2(x 1-x 2) =0
a 2y 1-y 2a 2
∴ 2=3┅┅② =∴
b x 1-x 2b 2
联立①②解得a 2=75，b 2=25
y 2x 2
=1 ∴所求椭圆的方程是+
7525
例8
x 2y 2
已知AB 是椭圆2+2=1(a >b >0)不垂直于x 轴的任意一条弦，
a b
P 是AB 的中点，O 为椭圆的中心. 求证：直线AB 和直线OP 的斜率之积是定值.
证明： 设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)且x 1≠x 2，
x 12y 12x 22y 22
则2+2=1，（1）2+2=1，（2） a b a b x 12-x 22y 12-y 22
(1)-(2)得：2=-2，
a b
b 2(x 1+x 2)b 2(x 1+x 2)y 1-y 2y 1-y 2
，∴k AB =. ∴=-2=-2
x 1-x 2x 1-x 2a y 1+y 2a y 1+y 2又k OP
x 2y 2⎛3⎫
+=1a >b >01, ⎪，F 1, F 2是椭圆C 的两个焦点，()例9. 已知椭圆C:a 2b 2经过M ⎝2⎭
y 1+y 2b 2b 21，∴k AB =-2⋅，∴k AB ⋅k OP =-2（定值） =
a x 1+x 2a k OP
且
MF 1+MF 2=4,O 为椭圆C 的中心。 （1）求椭圆 C的方程
（2）设P,Q 是椭圆C 上不同的两点，且O 为MPQ 的重心，试求MPQ 的面积 此题请学生讲解，这种方法不仅可以吸引学生听讲，也可增强学生数学表达能力。 解：（1）由椭圆的定义知2a =4, ∴a =2 ，
3x 2y 2
椭圆C 的方程为+2=1，带入点M (1, ) ，求得b 2=3
24b
x 2y 2
=1 故椭圆C :+
43
（2）当P , Q 在椭圆上时，不妨P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2) ，则有
⎧⎪x 2⎪1+y 2
1=1⎨43(x 1+x 2)(x 1-x 2) =-(y 1+y 2)(y 1-y 2) ⎪x 222
，两式相减得⎪⎩4
+y 23=1
43 则
y 1-y 2=-3⨯x 1+x 2=-3⨯2x N 1
1x y =- 即k PQ =-，
1-x 24y 1+y 242N 2
2∴直线PQ 的方程为y +
34=-12(x +12) 即y =-1
2
x -1， ⎧
联立⎪y =-1⎨2x -122消去y 得x +x -2=0, ∴x =-2或x =1⎪x 2
⎩4
+y 3=1
不妨P (-2, 0), Q (1, -3139
2) ，由椭圆对称性知S ∆MPQ =2⨯2⨯3⨯2=2
.